Средние величины

Средние величины

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

ЗАДАНИЕ 1. ГРУППИРОВКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

статистическая группировка индекс вариация

Задача 1.1

Построить ряд распределения 25 предприятий по стоимости основных производственных фондов, выделить 5 групп с равными интервалами. Результаты показать в форме таблицы с расчетом частот и удельного веса каждой группы в процентах к итогу.

Построить группировочную таблицу, в которой для каждой группы по стоимости основных производственных фондов рассчитать суммарную и среднюю на одно предприятие выручку от продаж, суммарную и среднюю на одно предприятие численность рабочих. Дать краткий анализ данных группировочной таблицы.

Показатели работы 25 предприятий

Номер п/п	Стоимость основных производственных фондов, млн.руб.	Средняя численность рабочих, чел.	Выручка от продаж, млн.руб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25	30 70 20 39 33 28 65 66 20 47 27 33 30 31 31 35 31 56 35 40 10 70 45 49 65	360 380 220 460 395 280 580 200 270 340 200 250 310 410 635 400 310 450 300 350 330 260 435 505 600	32 96 15 42 64 28 94 119 25 35 23 13 14 30 25 79 36 80 25 28 16 129 56 44 110

Решение

Построим ряд распределения 25 предприятий по стоимости основных производственных фондов с равными закрытыми интервалами.

Размах интервалов R = Xmax-Xmin- число интервалов- наибольший элементнаименьший элемент

∆x = R / k - приближенная длина каждого интервала

∆x = (70-10) /5 =60/5= 12

Удельный вес = (число предприятий в группе / итог) * 100 %

Группы предприятий по стоимости основных производственных фондов	Частота (число предприятий в группе)	Удельный вес каждой группы в %  к итогу
10-22	3	12
22-34	9	36
34-46	5	20
46-58	3	12
58-70	5	20
Итого 25 100

Построим группировочную таблицу

Но-мер п/п	Группы предприятий по стоимости основных производственных фондов	Суммарная выручка от продаж предприятий, млн руб.	Средняя на одно предприятие выручка от продаж, млн руб.	Суммарная численность рабочих на предприятиях, чел.	Средняя численность рабочих на одно предприя-тие, чел.
1	10-22	56	18,7	820	273
2	22-34	265	29,4	3150	350
3	34-46	230	46	1945	389
4	46-58	159	53	1295	432
5	58-70	548	109,6	2020	404

Вывод: Самая большая суммарная выручка от продаж предприятий принадлежит 5 группе предприятий по стоимости основных производственных фондов от 58 до 70 млн руб.; самая меньшая - группе от 10-22. Самая большая средняя на одно предприятие выручка от продаж принадлежит 5-ой группе предприятий. Самая большая суммарная численность рабочих на предприятиях - во 2-ой группе от 22 до 34; а самая большая средняя численность рабочих на одно предприятие - в 4-ой группе от 46 до 58.

ЗАДАНИЕ 2. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Задача 2.1

Найти среднюю себестоимость единицы однородной продукции для трех производств

Производства	Суммарная величина затрат производства, млн. руб.	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.
1 2 3	200 460 140	20 23 25

Решение.

Используем формулу средней гармонической простой:

х = ∑ω / ∑(ω/х)

х =

Ответ: средняя себестоимость единицы однородной продукции для трех производств равна 22, 5 тыс. рублей.

Задача 2.2 Найти среднюю цену поставок сырья приобретенного у двух поставщиков

Поставщики	Дата закупок	Объем закупок тонн	Закупочные цены тыс. руб./тонну
1 2	10.09 10.10	120 100	6 7

Решение.

Используем формулу средней арифметической взвешенной:

х = ∑x*f / ∑ f

 х = (тыс. руб.)

Ответ: средняя цена поставок сырья, приобретенного у двух поставщиков, равна 6,5 тыс. руб.

Задача 2.3

Найти среднюю величину ставки за кредит по трем заемщикам банка

Заемщик	Величина кредита, млн. руб.	Срок кредита, мес.	Годовая процентная ставка, %
1 2 3	30 80 200	3 9 24	14 16 20

Решение.

Найдем процентную ставку за кредит по трем заемщикам банка:

/12 * 3 = 3,5 (%) - 1- го заемщика,

/12 * 9 = 12 (%) - 2 -го заемщика,

/12 * 24 = 40 (%) - 3 -го заемщика.

Найдем среднюю величину ставки за кредит по трем заемщикам банка, используя формулу средней арифметической взвешенной:

х = ∑x*f / ∑ f

х = (3,5*30 + 12*80 + 40*200) / (30 + 80 + 200) = 9065/310 = 29 (%)

Ответ: средняя величина ставки за кредит по трем заемщикам банка равна 29 %. 

Задача 2.4

Найти средний процент выполнения плана прибыли по трем коммерческим организациям

Организации	Фактическая прибыль, млн. руб.	Выполнение плана %
1  2  3	18 28 20	115 95 102

Решение.

Найдем средний процент выполнения плана прибыли, используя формулу средней арифметической взвешенной:

х = ∑x*f / ∑ f

= (115*18 + 95*28 + 102*20) / (18+28+20) = (2070 + 2660 + 2040) / 66 =

= 6770 / 66 = 103 (%)

Ответ: средний процент выполнения плана прибыли по трем коммерческим организациям равен 103 %.

Задача 2.5

Найти средний уровень рентабельности продаж по группе коммерческих фирм, если известно, что 45% всех фирм имеют рентабельность равную 30%, 25% всех фирм работают с рентабельностью 15%, а остальные - убыточные, с рентабельностью - 5%

Решение.

- (45 + 25) = 30 (%) - остальные фирмы с рентабельностью = (-5) %

Найдем средний уровень рентабельности:

х = (30 * 0,45 + 15*0,25 + (-5) * 0,3) / 1 = (13,5 + 3,75 -1,5) / 1 = 15,75 (%)

Ответ: средний уровень рентабельности продаж по группе коммерческих фирм равен 15,75 %.

Задача 2.6

Найти среднюю норму амортизационных отчислений по двум группам внеоборотных активов

Группы внеоборотных активов	Годовая сумма амортизации, млн. руб.	Норма амортизации, %
1  2	100 40	20 33

Решение.

Используем формулу средней арифметической взвешенной:

х =  (%)

Ответ: средняя норма амортизационных отчислений по двум группам внеоборотных активов= 23,7 %.

Задача 2.7

Найти средний уровень затрат производства на единицу реализации по ряду распределения

Затраты производства на 1000 руб. реализованной продукции	Выручка от реализации, млн. руб.
до 800  800 - 900  900 - 1000	140 180 60

Решение

Затраты производства на 1000 руб. реализованной продукции	Середина интервала затрат производства	Выручка от реализации, млн. руб.
до 800  800 - 900  900 - 1000	750 850 950	140 180 60

Найдем средний уровень затрат производства на единицу реализации, используя формулу средней арифметической взвешенной:

х = ∑x*f / ∑ f

х = (750*140 + 850*180 + 950*60) / (140+180+60) = (105000+153000+57000) / 380 = 828,95 (руб.)

Ответ: средний уровень затрат производства на 1000 руб. реализованной продукции по ряду распределения составляет 828,95 руб.

Задача 2.8. Портфель ценных бумаг сформирован по 40% из гособлигаций, на 30% из корпоративных облигаций и на 30% из акций ОАО. Найти потенциальную доходность портфеля, если доходность гособлигаций составляет 6%, доходность корпоративных облигаций 8% и доходность акций равна 15%.

Решение.

х = .(0,4 * 6 + 0,3 * 8 + 0,3 * 15) / 1 = 9,3 (%)

Ответ: потенциальная доходность портфеля ценных бумаг составляет 9,3 %.

Задача 2.9

Найти средний уровень рентабельности продукции по каждому предприятию, выпускающему два вида продукции, объяснить различие в величинах средней рентабельности

Виды	Предприятие 1		Предприятие 2
	Рентабельность продукции, %	Доля затрат на  производство продукции	Рентабельность продукции, %	Доля затрат на производство продукции
1 2	20 12	15 85	18 13	20 80

Решение

Найдем средний уровень рентабельности продукции по первому предприятию:

х1 = (0,2 * 15 + 0,12*85) / 1 = 13,2 (%)

Найдем средний уровень рентабельности продукции по второму предприятию:

х2 = (0,18*20 + 0,13*80) / 1 = 14 (%)

Ответ: 13,2 %, 14 %.

Задача 2.10

Найти средний процент бракованной продукции

Виды продукции	Плановый выпуск, млн. руб.	Процент выполнения плана, %	Доля брака, %
1 2	350 650	98 105	1,0 0,5

Решение.

Найдем фактический выпуск продукции:

*0,98 = 343 (млн. руб.) - 1-й вид продукции,

*1,05 = 682,5 (млн. руб.) - 2-й вид продукции.

Найдем средний процент бракованной продукции:

х = (1,0 *343 + 0,5*682,5) / (343 +682,5) = 0,67 (%)

Ответ: средний процент бракованной продукции составляет 0,67 %.

Задача 2.11

Найти средний процент прироста цен на товары и услуги в 2004 г.

Виды товаров и услуг	Приросты цен в 2004 г, %	Доля в расходах населения, %
1. Продовольственные товары 2. Непродовольственные товары 3. Разные платные услуги	12 9 25	55 30 15

Решение.

Найдем средний процент прироста цен, используя формулу средней арифметической взвешенной:

х = ∑x*f / ∑ f

х =  (%)

Ответ: средний процент прироста цен на товары и услуги в 2004 г. составил 13,05 %.

Задача 2.12

Найти среднюю заработную плату работников на каждом из двух предприятий

Категории персонала	Предприятие 1		Предприятие 2
	Средняя з/п, тыс. руб.	Доля категории в общей численности персонала, %	Средняя з/п, тыс. руб.	Доля категории в общей численности персонала, %
Руководители Специалисты Рабочие	20 12 7	4 21 75	18 13 8	5 25 70

Решение.

Используем формулу средней арифметической взвешенной:

х = ∑x*f / ∑ f

 СЗП на 1-ом предприятии,

СЗП на 2-ом предприятии.

Ответ: 8,57 тыс. руб.; 9,75 тыс. руб.

Задача 2.13

Найти средний процент выполнения норм выработки по трем рабочим бригадам

Бригады рабочих	Нормы выработки продукции, ед.	Средний процент выполнения норм, %
1 2 3	20 21 23	115,0 100,0 98,5

Решение.

х =  (%)

Ответ: средний процент выполнения норм выработки по трем рабочим бригадам составляет 104 %.

Задача 2.14

Определить среднюю численность работников на одном предприятии

Группы предприятий работников	Интервалы по численности в группе	Количество предприятий
1  2  3  4	20 - 50 50 - 90 90 - 150 150 - 250	20 26 10 4

Решение

Группы предприятий работников	Интервалы по численности в группе	Середины интервала х	Количество предприятий	x*f
1  2  3  4	20 - 50 50 - 90 90 - 150 150 - 250	35 70 120 200	20 26 10 4	700 1820 1200 800
Итого			60	4520

х =

Ответ: средняя численность работников на одном предприятии = 75 чел.

ЗАДАНИЕ 3. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Задача 3.1

Финансирование организации складывается на 40% от коммерческой деятельности и на 60% из госбюджета. Как изменится общая сумма финансирования, если бюджетное финансирование сократится на 5%, а коммерческое увеличится на 10%

Решение.

Относительные показатель динамики вычисляется по формуле

где . - уровень показателя в базисном периоде, - уровень показателя в отчетном периоде.

=1,25 (раза) - ОПД от коммерческой деятельности

 от бюджетного финансирования

,25 + 0,91 = 2,16 (раза)

Ответ: в 2,16 раза увеличится сумма финансирования организации.

Задача 3.2

Как изменится фактический выпуск продукции в октябре в сравнении с сентябрем по каждому предприятию и в среднем по всем предприятиям?

Предприятия	Сентябрь		Октябрь
	План выпуска продукции, млн. руб.	Выполнение плана, %	Фактический выпуск, млн. руб.
1 2 3	200 400 300	105 93 107	224 378 318

Решение.

Найдем фактический выпуск в сентябре по трем предприятиям:

*1,05 = 210 (млн. руб.) - 1-го предприятия,

* 0,93 = 372 (млн. руб.) - 2-го предприятия,

*107 = 321 (млн. руб.) - 3-го предприятия,

Сравним его с фактич. выпуском в октябре:

) 224 - 210 = 14 (млн. руб.) - увеличится,

) 378 - 372 = 6 (млн.руб.) - увеличится,

) 318 - 321 = -3 (млн. руб.) - уменьшится.

Найдем среднее изменение фактического выпуска продукции, используя среднюю арифметическую простую:

х = (14 + 6 -3) / 3 = 5,6 (млн. руб.)

Ответ: на 14 увеличится, на 6 увеличится, на 3 уменьшится; среднее изменение фактического выпуска продукции равно 5,6 млн. руб.

Задача 3.3

Как изменятся реальные доходы, если номинальная заработная плата увеличится на 12%, а цены вырастут в 1,2 раза

Решение

∆Д - изменение реальных доходов

∆Д = 1 - ЗП / Ц, где

ЗП - коэффициент изменения номинальной заработной платы,

Ц - коэффициент изменения цены

∆Д = 1-12 / 1,2 = - 9

Вывод: реальные доходы уменьшатся на 9 %.

Задача 3.5

Как изменится сумма налога, если налоговая база вырастет на 6%, а ставка налога снизится на 2%?

Решение.

х - налоговая база ((1,00 + 0,06)х = 1,06х ),

у - ставка налога ((1,00 - 0,02)у = 0,98у)

налог - (х*у)

длина налога = 1,06х * 0,98у = 1,0388ху

Изменение суммы налога = (1,06 * 0,98)ху / ху = 1,0388 (раз)

Ответ: сумма налога увеличится на 3,88 %.

Задача 3.6

Доходы госбюджета формируются как сумма налоговых и неналоговых поступлений. В базисном периоде соотношение этих частей 4 к 1. Как изменится общая сумма доходов бюджета, если налоговые доходы снизить на 1%, а неналоговые поступления увеличить на 4%

Решение.

а - налоговые поступления ((1,00 - 0,01)а = 0,99а)

в - неналоговые поступления (1,00 + 0,04)в = 1,04в

а/в = 4/1 - соотношение этих частей

(а + в) - доходы бюджета

Изменение доходов бюджета = (1,04в + 0,99а) / (а + в) = (1,04 + 0,99а/в) / (а/в + 1) = (1,04 + 0,99*4) / (4 + 1) = 5 / 5 = 1, 00

Ответ: общая сумма доходов бюджета не изменится.

ЗАДАНИЕ 4. РЯДЫ ДИНАМИКИ

Задача 4.1

За полгода средние размеры пенсий выросли с 2100 до 2300 руб.в месяц. Найти средний месячный прирост пенсий за этот период ( в % )

Решение.

- конечный уровень ряда,- начальный уровень ряда.

∆ = (2300-2100) / (6-1) = 200/5 = 40 / 100 = 0,4 (%)

Ответ: средний месячный прирост пенсий за полгода составил 0,4 %.

Задача 4.2

По данным ежемесячным приростам выручки от продаж, найти средний месячный прирост за период май - август

Месяцы	май	июнь	июль	август
прирост выручки %	1,5	2,1	4,0	4,1

Решение.

∆= ∑∆ / (n - 1), где

∑∆ - сумма показателей прироста выручки

∆1 = 2,1 - 1,5 = 0,6 9%),

∆2 = 4,0 - 2,1 = 1.9 (%),

∆3 =4,1 - 4,0 = 0,1 (%), - число месяцев = 4

∆ = (0,6 + 1,9+ 0,1)/ (4 - 1) = 2,6 / 3 = 0,9 (%)

Ответ: средний месячный прирост выручки за период май - август составляет 0,9 %.

Задача 4.3

Найти среднемесячный темп роста объема продаж торговой организации

Месяцы	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь
Объем продаж, млн. руб.	2,5	3,0	3,8	4,2	4,5

Решение.

Кр= √Кр1 * Кр2 * …* Кр (n - 1)

средний коэффициент роста по формуле средней геометрической, n - число уровней ряда,

Кр1= 3,0 / 2,5 = 1,2

Кр2= 3,8 / 3,0 = 1,27

Кр3= 4,2/3,8 = 1,1

Кр4=4,5 / 4,2 = 1,07

Кр = √1,2 * 1,27 * 1,1 * 1,07 = √1,79 = 1,156

Tр = Kр * 100 % - средний темп роста,

Tр = 1,156 * 100 = 115,6 (%)

Ответ: среднемесячный темп роста объема продаж торговой организации равен 115,6 %.

Задача 4.4 Какой из двух показателей растет в большей мере и на сколько

Показатели	Кварталы
	1	2	3	4
1. Выручка от продаж, млн. руб.	67,8	70,1	72,8	77,3
2. Валовая прибыль, млн. руб.	5,7	6,0	6,3	6,0
3. Рентабельность продаж в среднем в течение года растет / снижается?

Решение.

Найдем средний темп роста выручки от продаж:

Тр1= √(70,1 / 67,8) * (72,8 / 70,1) * (77,3 / 72,8) * 100 = 104,5 (%)

Найдем средний темп роста валовой прибыли:

Тр2 = √(6,0 / 5,7) * (6,3 / 6,0) * (6,0 / 6,3) * 100 = 101,6 (%)

Найдем рентабельность продаж в среднем в течение года:

Тр2 - Тр1= 101,6 - 104, 5 = - 2,9 (%) - снизилась рентабельность

Ответ: выручка от продаж растет больше валовой прибыли на 2,9 %, рентабельность продаж в среднем в течение года снижается.

ЗАДАНИЕ 5. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Задача 5.1

Рассчитайте коэффициент вариации производственного стажа работников предприятия

Стажевые группы, лет	Середина интервала стажевых групп	Количество работников в стажевых группах, чел.
До 5 5 - 10 10 - 15 15 - 20 свыше 20	2,5 7,5 12,5 17,5 22,5	50 150 320 100 80

Решение.

= S / x * 100 % - коэффициент вариации, где

-среднее квадратическое отклонение, х - мат. ожидание

х = (2,5 * 50 + 7,5 * 150 + 12,5 * 320 + 17,5 * 100 + 22,5 * 80) / (50 + 150 + 320 + 100 + 80) = (125 + 1125 + 4000 + 1750 + 1800) / 700 = 12,57

= √ ∑(хi - х)2 ni / ∑ni

= √ ((2,5 - 12,57)2 * 50 + ( 7,5 - 12,57) 2 * 150 + (12,5 - 12,57) 2 * 320 + (17,5 - 12,57) 2 * 100 + (22,5 - 12,57) 2 * 80) / 700 = √(5070,2 + 3855,7 + 1,568 + 2430,49 + 7888,392) / 700 = √19246,35 / 700 = √27,5 = 5,24= 5,24 / 12,57 * 100 = 41,69 (%)

Ответ: коэффициент вариации производственного стажа работников предприятия равен 41,69 %.

ЗАДАНИЕ 6. ИНДЕКСЫ

Задача 6.4

По приведенным данным определите:

1) индекс физического объема продукции;

2) индекс производительности труда;

3) экономию (перерасход) затрат труда в зависимости от изменения производительности труда

Виды продукции	Производство продукции		Затраты времени на всю продукцию, чел. дни
	январь	февраль	январь	февраль
А Б	123 348	148 374	17400 11200	17350 10450

Решение.

Найдем индексы физического объема продукции:ф.об.1 = 148 / 123 = 1,2ф.об.2 = 374 / 348 = 1,07

Затраты на производство:

Янв. Февр.

А х1 =17400 / 123 = 141,46 х2 = 17350 / 148 = 117,23

В у1 = 11200 / 348 = 32,18 у2= 10450 / 374 = 27,94

Найдем индекс производительности труда:пр.т.1 = х2 / х1 = 117,23 / 141,46 = 0,83пр.т.2= у2 / у1 = 27,94 / 32,18 = 0,87

Найдем экономию (перерасход) затрат труда:

- 17400 = - 50 (чел.дн.) - А,

- 11200 = -750 (чел.дн.) - В. Экономия

Ответ: 1,2; 1,07; 0,83; 0,87; 50 чел. дн.; 750 чел. дн..

Задача 6.5

По данным таблицы определить: общий индекс себестоимости; общий объем издержек производства; сумму экономии (или перерасхода) издержек производства, полученную за счет изменения себестоимости

Затраты на производство трех видов изделий

Виды изделий	Общая сумма затрат на производство в периоде, тыс. руб.		Изменение себестоимости продукции в отчетном периоде, по сравнению с базисным
	Базисном	Отчетном
А Б В	16 180 60	28 254 67	- 5  + 1 - 2

Решение.

Себестоимость: А а - 0,05а = 0,95а

В b + 0,01b = 1,01b

С с-0,02с = 0,98с

Общий индекс себестоимости:

сб. = ∑iq′ * p′ / ∑q0 * p0

сб. =(28 / 0,95а * 0,95а + 254 / 1,01b * 1,01b + 67 / 0,98с * 0,98с) / (28 / 0,95а * а + 254 / 1,01b * b + 67 / 0,98с * с) = 349 / (29,5 + 251,5 + 68,37) = 349 / 349,4 = 1

Общий объем издержек производства:

в базисн. пер. = 16 + 180 + 60 = 256 (тыс. руб.),

в отчетн. пер.= 28 + 254 + 67 = 349 (тыс. руб.).

Сумма экономии (или перерасхода) издержек производства:

- 256 = 93 (тыс. руб.) - перерасход

Ответ: 1; 256 тыс. руб.; 349 тыс.руб;93 тыс. руб.

Задача 7.6

Выручка от продаж в розничной торговле в текущем периоде составляет 1000 тыс. руб. Из-за роста цен в сравнении с базисным периодом покупателем товаров переплатили 200 тыс. руб. Найдите индекс цен.

Решение.

Выручка = цена * кол - во

Цена = Выручка / кол-во (n)

Найдем индекс цен:

iц = цена тек. / цена баз.

Цена баз. = 1000 - 200 = 800 (тыс. руб.)ц =(1000 / n ) / (800 / n) = 1000 / 800 = 1,25

Ответ: индекс цен равен 1,25.

ЗАДАНИЕ 7. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

Задача 7.4

Найти необходимую численность выборки при определении среднего размера срочных вкладов в отделении Сбербанка с точностью 5000 рублей (ошибка выборки), если среднее квадратическое отклонение по размеру вклада составляет 10 тыс. руб. и вероятность выбора 0,954

Решение.

х = (10000 ± 5000)*0,954 = 4770 и 14310, т. е. численность выборки составляет от 4770 до 14310 руб.

Ответ: численность выборки при определении среднего размера срочных вкладов в отделении Сбербанка при заданной ошибке составляет от 4770 до 14310 руб.