6,1
Исчислите,
сколько безработных
приходится на 1000 занятых в экономике РФ.
Решение
ОПК= (6,1 /
65,8) ´ 1000 = 92,7 чел.
Следовательно,
на каждую 1000 чел., занятых в экономике РФ, приходилось 92,7 чел. безработных.
Относительные
показатели сравнения (ОПС).
Показатели
характеризуют отношения одноименных абсолютных или относительных показателей,
соответствующих одному и тому же периоду или моменту времени, но относящихся к
различным объектам или территориям.
3. Сущность
средней в статистике, виды и формы средних
Средняя в
статистике - обобщающая
характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно
варьирующему признаку, определяющая уровень признака в расчете на единицу
совокупности.
Виды
средних
В
представленных формулах применены следующие обозначения:
x - значения признака;
- среднее значение признака;
Σ - знак
суммирования;
П - знак
перемножения;
f (частота) и М (произведение
частоты на значения признака) - веса для расчета взвешенной средней:
N и f - численность
единиц совокупности;
М - общий объем варьирующего признака.
Если средние
вычислить по одним и тем же данным, то приведенные виды средних по своим
численным значения встают в следующий ряд:
xh < xg < ха < хq,
иллюстрируя
так называемое правило мажорантности средних.
Одна из задач
определения средней состоит в правильности выбора вида средней величины.
При выборе
вида средней необходимо учитывать экономическое содержание индивидуальных
признаков, которое должно быть сохранено и в итоговой средней величине. При
этом любые промежуточные действия, включая конечный результат, должны быть
экономически значимы.
4.
Средняя арифметическая и условия ее применения
Средняя
арифметическая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака
всей совокупности образуется как сумма значений этого признака у ее отдельных
единиц.
Формулы и
техника расчетов следующие:
простой
средней арифметической (невзвешенной)
взвешенной
средней арифметической
Пример
1.3.8. По данным табл.
1.6.2, повторно приведенной далее, осуществим расчет среднего производственного
стажа работников, используя формулу арифметической простой (невзвешенной)
Таблица 1.6.2
Производственный
стаж работников и их среднемесячная выработка изделий
Номер работника по
списку
|
Производственный стаж,
лет
|
Среднемесячная
выработка изделий, шт.
|
1
|
8
|
10
|
2
|
2
|
6
|
3
|
6
|
7
|
4
|
1
|
6
|
5
|
4
|
9
|
6
|
2
|
8
|
7
|
10
|
12
|
8
|
5
|
10
|
9
|
4
|
8
|
10
|
3
|
7
|
11
|
6
|
Применение
арифметической средней объясняется тем, что объем варьирующего признака для
всей совокупности - общее число проработанных лет работниками (51 год),
образуется как сумма стажа каждого работника.
Расчет
средней арифметической по данным ряда распределения имеет свои особенности.
Проиллюстрируем эти особенности по данным группировки в табл. 1.3.5.
средний
арифметический вариация
Таблица 1.3.5
Расчет
среднего производственного стажа работников на основе ряда распределения
Стаж, лет
|
Число работников, f
|
Середина интервала х
|
xf
|
1 – 4
|
4
|
2,5
|
10,0
|
4 – 7
|
5
|
5,5
|
27,5
|
7 – 10
|
2
|
8,5
|
17,0
|
Итого
|
11
|
-
|
54,5
|
В данном
случае следует воспользоваться формулой средней арифметической взвешенной, поскольку
интервальные значения признака встречаются не один раз, и эти числа повторений
(частоты) не одинаковы.
Конкретными
значениями признака, которые должны непосредственно участвовать в расчетах,
служат середины (центры) интервалов (но не средние в интервалах значения!), а
весами - частоты:
Данный
результат отличается от полученного на основе средней арифметической простой.
Это объясняется тем, что в расчете на основе ряда распределения мы располагаем
не исходными индивидуальными данными, а лишь сведениями о величине середины
(центра) интервала.
5. Средняя гармоническая и условия ее применения
Формулы и
техника расчета средней гармонической следующие:
простой
средней гармонической
взвешенной
средней гармонической
Общий подход
к выбору правильности вида средней изложен в подразделе 1.3.3.
В данном
случае приведем дополнительное условие применения средней гармонической
взвешенной (поскольку в практике расчетов взвешенные средние используются
чаще).
Средняя
гармоническая взвешенная применяется в тех случаях, когда весами являются не
частоты f, а произведения этих частот на значения
признака: М = xf.
Пример
1.3.9. Имеются следующие
данные (табл. 1.3.6).
Таблица 1.3.6
Заработная
плата рабочих в цехах предприятия
Цех
|
Средняя заработная
плата, руб.
|
Фонд заработной платы,
тыс. руб.
|
Литейный
|
3820
|
191
|
Сборочный
|
2960
|
592
|
Вычислите среднюю заработную плату рабочих по
предприятию в целом.
Решение
Средняя
заработная плата рабочих по цехам может быть вычислена делением фонда
заработной платы на численность рабочих. Этот подход должен быть сохранен и при
расчете общей средней, т.е. в числителе дроби необходимо представить общий по
всем цехам фонд заработной платы, а в знаменателе – общую численность рабочих.
Однако фонд заработной платы по цехам (М) есть произведение средних
заработков на число рабочих f. Фонд
заработной платы - единственно возможный в данном случае соизмеритель - вес при
расчете средней.
Оба эти
обстоятельства обусловливают применение средней гармонической, а с учетом того,
что заработки по отдельным цехам получают неодинаковые по численности группы
рабочих, следует использовать среднюю гармоническую взвешенную. Тогда
При этом
783000 руб. - общий фонд заработной платы по предприятию, 250 чел. - общая
численность работников (50 и 200 чел. - численность по каждому цеху в
отдельности).
Если веса при
расчете средней у отдельных единиц совокупности одинаковы, то средняя
гармоническая взвешенная обращается в среднюю гармоническую простую:
(M выносится за скобки, поскольку является
общим множителем). Проиллюстрируем расчет на условном примере.
Пример
1.3.10. Цена за единицу
товара А, продаваемого в первой торговой точке, составила 20 руб., во
второй - 30 руб. Какова средняя продажная цена товара, если выручка от продаж
товара в торговых точках одинакова?
Решение
Поскольку
весами при расчете средней являются выручки от продажи (товарооборота), а сама
выручка представляет собой произведение цены х на количество проданного
товара/, вычисления проводили по средней гармонической взвешенной, равенство
весов позволяет осуществлять расчеты по формуле средней гармонической простой:
6. Структурные
средние
Наряду с
расчетом средней арифметической и средней гармонической для вариационных рядов
распределения исчисляют структурные средние - моду, медиану.
Мода - это значение признака (варианта),
которое чаще всего встречается в исследуемой совокупности и имеет наибольшую
частоту.
Медианой называется значение признака (варианта),
которое находится в середине вариационного ряда и делит ряд пополам.
где хМо -
минимальная граница модального интервала;
- величина модального
интервала;
- частота модального
интервала;
- частота интервала,
предшествующего модальному;
частота интервала,
следующего за модальным.
Медиана для
интервального ряда распределения рассчитывается по формуле
где - нижняя граница медианного
интервала;
- величина медианного
интервала;
- сумма накопленных частот,
предшествующих медианному;
- частота медианного
интервала.
Для
характеристики структуры вариационного ряда дополнительно к медиане исчисляют
квартили, которые делят ряд по сумме частот на четыре равные части, квинтели -
на пять равных частей, децили - на десять равных частей и перцентили - на сто
равных частей.
Пример
1.3.11. Имеются следующие
данные (табл. 1.3.7).
Таблица 1.3.7
Месячная
заработная плата рабочих группы малых предприятий одного из регионов
Группы рабочих по
размеру заработной платы, руб.
|
Число рабочих, чел.
|
2000-3000
3000-4000
4000-5000
5000-6000
6000-7000
Свыше 7000
|
15
35
75
40
25
10
|
Итого
|
200
|
Исчислите среднюю заработную плату, моду и медиану
заработной платы рабочих малых предприятий.
Решение
По условию
задачи имеется интервальный ряд распределениярабочих, поэтому средняя
заработная плата исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной
(сначала определим середину каждого интервала, т.е.
Следовательно,
средняя месячная заработная плата рабочих малых предприятий составляет 4775
руб. Далее исчислим моду и медиану:
Следовательно,
половина рабочих имеет среднемесячную заработную плату меньше 4667 руб., а
половина - больше этой суммы.
7. Виды
показателей вариации
Показатели
вариации являются числовой мерой уровня колеблемости признака. Одновременно по
размеру показателя вариации делают вывод о типичности, надежности средней
величины, найденной для данной совокупности, и об однородности самой
совокупности.
Важнейшие
виды показателей вариации:
1) размах
вариации [R]
R = xmax - xmin
2) среднее
линейное отклонение []
3) дисперсия
[σ2]
4) среднее
квадратическое отклонение [σ]
5)
коэффициент вариации [v]
Размах
вариации учитывает только крайние значения признака и не учитывает все
промежуточные.
Дисперсия не
имеет единиц измерения.
Равные
значения средних квадратических отклонений, рассчитанных для разных
совокупностей, не позволяют делать вывод об одинаковой степени вариации.
Коэффициенты
вариации позволяют сравнить степени вариации признака различных совокупностей.
Сам по себе
коэффициент вариации, если его величина не превышает 33-35%, позволяет сделать
вывод об относительно невысокой колеблемости признака, о типичности, надежности
средней величины, об однородности совокупности. Если он более 33-35%, то все
приведенные выводы следует изменить на противоположные.
Проиллюстрируем
расчет показателей вариации.
Пример
1.3.12. Имеется ряд
распределения (табл. 1.3.8).
Таблица 1.3.8
Распределение по стажу
Стаж, лет
|
Число работников, чел.
|
1-7
4-7
7-10
|
4
2
|
Итого
|
11
|
Определите:
1)размах
вариации;
2)дисперсию;
3)среднее
квадратическое отклонение;
4)коэффициент
вариации.
Решение
1) Размах
вариации - разница между максимальным и минимальным значениями признака: R= 10-1 =9 лет. Заметим, что R лучше находить по исходным несгруппированным данным, что уже
сделано нами при расчете величины интервала.
Остальные
показатели потребуют более трудоемких расчетов. Определим показатели вариации
производственного стажа работников (табл. 1.3.9).
Таблица 1.3.9
Расчет показателей вариации производственного стажа работников
Стаж, лет
|
Число работников
|
x
|
xf
|
|
()2
|
()2f
|
1-4
4-7
7-10
|
4
5
2
|
2,5
5,5
8,5
|
10,0
27,5
17,0
|
-2,5
0,5
3,5
|
6,25
0,25
12,25
|
25,00
1,25
24,20
|
Итого
|
11
|
-
|
54,5
|
-
|
-
|
50,75
|
=54,5 /
11 = 5,0 лет
xf= 54,5 найден ранее (см. пример 1.3.8).
2) Дисперсия
равна:
=50,75 / 11 = 4,6
3) Среднее
квадратическое отклонение равно:
2,1 года
4)
Коэффициент вариации равен:
= (2,1 / 5,0) ´100 = 42,0%.
Анализ
полученных данных говорит о том, что стаж работников предприятия отличается от
среднего стажа (
= 5,0) в среднем на 2,1 года, или на 42,0%. Значение коэффициента вариации
превышает 33%, следовательно, вариация производственного стажа велика, найденный
средний производственный стаж плохо представляет всю совокупность работников,
не является ее типичной, надежной характеристикой, а саму совокупность нет
оснований считать однородной по производственному стажу.
Похожие работы на - Абсолютные и относительные величины. Средние величины и показатели вариации
|