Различные подходы к определению тригонометрических функций

Различные подходы к определению тригонометрических функций

Содержание

Введение

Глава 1. Из истории тригонометрии

.1 Зарождение тригонометрии

.2 Тригонометрия в Древнем Мире

.2.1 Греческая тригонометрия

.2.2 Индийская тригонометрия

.3 Развитие тригонометрии в Средневековье

.3.1 Тригонометрия на Ближнем и Среднем Востоке. Плоская тригонометрия

.3.2 Тригонометрия в трудах европейских учёных

.4 Развитие тригонометрии в работах европейских учёных XVIII-XIX веков

Глава 2. Различные подходы к введению тригонометрических функций

.1 Введение тригонометрических функций на уроках алгебры и начал анализа по учебнику А. Г. Мордковича

.1.1 Понятие числовой окружности на координатной плоскости

.1.2 Синус, косинус, тангенс и котангенс

.1.3 Тригонометрические функции числового и углового аргументов. Формулы приведения

.1.4 Функции y=sin?x и y=cos?x, их свойства и графики. Периодичность

.1.5 Построение графиков функции y=m•f(x) и y=f(k•x), если известен график функции y=f(x). График гармонического колебания

.1.6 Функции y=tg x и y=ctg x, их свойства и графики

.2 Введение тригонометрических функций на уроках алгебры и начал анализа по учебнику М.И. Башмакова

.2.1 Вводная беседа

.2.2 Определение и простейшие свойства тригонометрических функций

.2.3 Исследование тригонометрических функций

.3 Определение тригонометрических функций как сумм степенных рядов

.4 Аксиоматическое определение тригонометрических функций

.5 Тригонометрические функции как решения линейного дифференциального уравнения

.6 Определение тригонометрических функций при помощи обращения интегралов

.7 Тригонометрические функции как решение системы функциональных уравнений

Заключение

Литература

Введение

Тригонометрия, как и всякая научная дисциплина, возникла из практической деятельности человечества. Ёще в древнем мире потребности астрономии, мореплавания, землемерия, архитектуры привели к необходимости решать задачи на соотношение между углами и сторонами в треугольнике.

Само название «тригонометрия» греческого происхождения, в переводе на русский язык означает «измерение треугольников»: τριωνον (тригонон) - треугольник, μετρεω (метрейн) - измерение.

Содержание тригонометрии представляется состоящим из трёх частей.

В школе тригонометрический материал впервые появляется в курсе планиметрии. С помощью тригонометрии решаются плоские треугольники. Тригонометрические соотношения получают названия «синус», «тангенс» и т.д.

На втором этапе соотношения тригонометрии определяются с помощью окружности. Хотя они по-прежнему определяются как функции углов, но эти углы уже произвольно велики, их меры выражаются в радианах. Рассматриваются основные тригонометрические формулы, формулы сложения и их следствия. И весь этот материал предстаёт перед учащимися уже как часть алгебры, а не геометрии, как прежде.

Третье обличие принимает тригонометрия, когда она появляется в системе начал анализа. Здесь идёт речь о тригонометрических функциях, об их структуре, свойствах и приложениях.

Такое распределение материала вызывает свои методические трудности. Элементы тригонометрических знаний в ходе преподавания могут оказаться разделёнными или же слабо связанными. Чтобы найти эффективные методические приёмы, позволяющие сохранить единство тригонометрических познаний и возможность широкого их истолкования, учителю математики необходимо знать историю формирования этого раздела математики, ведь в процессе обучения ребёнок проходит все те же этапы, что и всё человечество при формировании самой науки. В связи с этим история возникновения тригонометрической науки представляет несомненный интерес. К этому вопросу неоднократно возвращались в своих работах Г.И.Глейзер [1], Г.П.Матвиевская [3], К.А.Рыбников [4] и др.

Поэтому одна из целей данной работы - дать исторический обзор формирование тригонометрии как науки. Кроме того рассматриваются различные способы введения понятия тригонометрических функций.

Для достижения поставленных целей решались следующие задачи:

•       Анализ имеющейся литературы по истории тригонометрии;

•       Анализ школьных учебников М. И. Башмакова и А. Г. Мордковича;

•       Анализ различных подходов к определению тригонометрических функций.

Практическая ценность материала, содержащегося в работе, состоит в том, что он может быть использован при изучении тригонометрии в школе, а также при изложении методики изучения этого раздела в педагогическом вузе.

В своей работе мы ограничились рассмотрением вопросов, касающихся, в основном, плоской тригонометрии.

Глава 1. Из истории тригонометрии

1.1 3арождение тригонометрии

Термин «тригонометрия» был впервые введен в 1595 году немецким богословом - математиком Бартоломеем Питиском (1561 - 1613), известным в то время автором учебника тригонометрии и тригонометрических таблиц. Возникновение тригонометрии связано с развитием астрономии - науки о движении небесных тел, о строении и развитии Вселенной - и географии.

Астрономия - одна из древнейших наук, в свою очередь возникшая из потребностей знать сроки смены времен года, измерять и считать время, иметь календарь. Одним из стимулов развития астрономии были путешествия по суше и по морю, вызванные разными потребностями, в первую очередь торговлей. Солнце днём, Луна, планеты и звёзды ночью испокон веков служили человеку для определения не только часа дня и времени года, но и положение кораблей в открытом море и для указания правильного пути караванам в пустыне.

Астрономия зародилась и развивалась в Вавилоне, Египте, Китае, Индии и других странах древности. В результате проведенных астрономических наблюдений возникла необходимость определения положения светил, вычисления расстояния и углов. Так как некоторые расстояния, например от Земли до планет, нельзя было измерить непосредственно, то учёные стали разрабатывать приёмы нахождения взаимосвязей между сторонами и углами треугольника, у которого две вершины расположены на Земле, а третья представляет планета или звезда. Такие соотношения можно вывести, изучая различные треугольники и их свойства. Вот почему астрономические вычисления привели к решению (то есть нахождению элементов) треугольника. Этим и занимается тригонометрия.

Зачатки тригонометрии обнаружены в сохранившихся документах древнего Вавилона, где астрономия достигла значительного развития. Вавилонские учёные составили одну из карт звёздного неба. Они умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Некоторые сведения тригонометрического характера встречаются и в старинных памятниках других народов древности.

Все древние цивилизации вносили свой вклад в дело накопления тригонометрических знаний. Начало истории тригонометрии как науки связано с деятельностью ученых Древней Греции, которые унаследовали от египтян и вавилонян большой запас математических и астрономических фактов и вычислительных приемов. Согласно легенде, знаменитый древнегреческий филосов и математик Фалес Милетский (VII - VI вв. до н.э.) познакомился в Египте с методом нахождения высоты предмета по известной длине его тени.

1.2  Тригонометрия в Древнем Мире

.2.1.Греческая тригонометрия

В древней Греции тригонометрия, как часть астрономии, достигла значительного развития.

Древнегреческие ученые впервые поставили перед собой задачу решения прямоугольного треугольника, то есть определения его элементов по трем данным элементам, из которых хотя бы один - сторона треугольника. Для решения этой задачи вначале составляли таблицы длин хорд, соответствующих разным центральным углам круга постоянного радиуса. Первые тригонометрические таблицы хорд были составлены астрономом - математиком Гиппархом из Никеи (II век до н. э). Эта таблица явилась основным элементом античной плоской тригонометрии.

 (рис.1)

Рассматривалась только одна тригонометрическая функция - хорда круга, стягивающая некоторый центральный угол. По существу современная таблица синусов эквивалентна таблице хорд двойных углов, так как очевидно, что в круге радиуса г для хорды, стягивающей дугу центрального угла а,

справедливо равенство: хорда а = 2r sin .

Диаметр круга принимался равным 120 (рис.1). Тогда из прямоугольного треугольника ОВС легко получали соотношения:

с² = а² + b²

b =  (180° - 2α)

Применять на практике тригонометрию хорд было значительно труднее, чем современную. Позднее математики Индии и среднего Востока устранили эту трудность, введя знакомые нам тригонометрические функции - синус и косинус.

Гиппарх был основоположником математической географии, а кроме того, составил звёздный каталог, довольно точно определил расстояние от Земли до Луны и ввёл географические координаты - широту и долготу. Сочинения Гиппарха до нас не дошли. Но многие из них вошли в «Альмагест» (ІІ в.) - знаменитое сочинение древнегреческого астронома Клавдия Птолемея. Альмагест - классическое сочинение, в котором изложена античная теория движения небесных тел, геоцентрическая система мира.

Птолемей дал полное изложение греческой тригонометрии в своем труде. Он привел таблицу хорд, которая, по мнению большинства исследователей, совпадает с таблицей Гиппарха. Однако, заслуга составления этих таблиц принадлежит исключительно Птолемею. Он основывает астрономическую теорию на учении об отношениях хорд в круге. Он подразделяет окружность на 360 равных частей, а ее диаметр d - на 120. тогда радиус г равен 60 частям, каждая из которых делится на 60 минут, каждая минута - на 60 секунд, каждая секунда - на 60 терций и т.д. Это позволяет пользоваться при вычислениях шестидесятиричными дробями.

Птолемея интересуют численные значения хорд различных углов. Он получает эти значения, опираясь на доказанные им геометрические предложения, которые отсутствуют в «Началах» Евклида (ок. 300 г. до н.э). Они позволяют вычислить стороны правильных вписанных многоугольников с 3,4, 5, 6 и 10 сторонами, а отсюда найти хорды дуг 120°, 90°, 72°, 60°, 30°, 36°. Так как хорда

° = 60', хорда 90° = 84р 51' 10", хорда 120° = 108р 55' 23", хорда 180° = 120р. Далее выводится соотношение (хорда а)² + [хорда (180° - а)]² = d², равносильное формуле sin² а + cos² а = 1.

Следующее соотношение равносильно формуле для синуса разности двух углов. Вывод его основан на лемме, получившей позднее название теоремы Птолемея. Пусть в круг вписан четырёхугольник ABCD (рис.2).

Согласно лемме, площадь прямоугольника, образованного диагоналями АС и BD, равна сумме площадей прямоугольников, образованных противоположными сторонами данного четырёхугольника, т.е. AC·BD = AB·CD + AD·BC.

1.2.2 Индийская тригонометрия

Индийская тригонометрия была вспомогательным разделом астрономии, как и древнегреческая, которая оказала на неё большое влияние. Наряду с этим индийские учёные испытали на себе также воздействие древневавилонских вычислительных методов. Однако их собственный вклад в развитие тригонометрии весьма велик.

Наиболее важен для истории индийской тригонометрии период IV - VII вв. именно в это время было написано несколько научных трактатов - сидцхант, преимущественно посвящённых астрономии, но включавших разделы, касающие тригонометрии. В сиддхантах отразилось эллинистическое влияние, о чем свидетельствуют, например, названия двух книг из них: «пулиса-сидцханта» и «Ромака-сиддханта». Первое связано с именем астронома Паулоса из Александрии, второе - с «ромеями», т.е. римлянами. Сведения об этих сиддхантах сообщает в своем сочинении об Индии великий среднеазиатский учёный - Абу Райхан Беруни (975 - 1048 гг.)

Как и другие научные книги индийцев, сочинение по астрономии написаны в стихотворной форме, а математические правила выражаются словесно, а причём доказательства обычно не приводятся.

Индийские астрономы существенно развили греческую тригонометрию хорд. Важнейшее значение дня истории математики имела замена хорды синусом. В вычислениях вместо хорды АВ, проведенной в круге с центром О и стягивающей центральный угол а (рис.4), стали пользоваться полухордой АС, введя таким образом линию

синуса угла . Это нововведение фактически превратило учение о хордах в науку о тригонометрических величинах.

   Рис 4                                              Рис 5

Помимо линии синуса, в индийской тригонометрии фигурировали линия косинуса ОС и линия синуса-верзуса CD, которая представляет собой разность между радиусом и линией косинуса. Радиус круга считался произвольным. Поэтому значение синуса, которым пользовались индийцы, отличалась от современного: для угла α оно выражается как R sin α.

Теперь в четырёхугольнике ABCD сторона AD есть диаметр круга (рис.3), если известны хорды АВ и АС, то, как показано, будут известны также хорды дополнительных дуг, т.е. BD и CD. Тогда можно определить и хорду ВС, которая представляет собой хорду разности дуг BD и CD. Действительно,

Если положить ےАОС = 2α, ےАОВ = 2β, r =1, то ясно, что полученное выражение равносильно формуле

Далее Птолемей выражает хорду дуги, равной половине заданной дуги, и выводит соотношение, равносильное формуле

 «Альмагест» стал прочной основой всех дальнейших исследований в области тригонометрии. Для популяризации его теории важное значение имели комментарии к «Альмагесту», составленные в IV в. до н. э. Паппом  (ок. 320 г.) и Теоном Александрийским (ок. 380 г.).

Теон исследовал степень точности вычислительных методов Птолемея и получил ряд новых результатов. В частности, он доказал важную теорему плоской тригонометрии, которая позднее с пользой применялась восточными учёными. В ней утверждается, что приращения хорд у постоянно возрастающих дуг уменьшаются.

Таким образом, мы видим, что древнегреческими учёными были заложены основы плоской тригонометрии. Но в то время ей не придавали особого значения, так как для астрономии более важную роль, естественно, играла сферическая тригонометрия. Таблицы хорд и тригонометрические теоремы, из которых исходили при составлении этих таблиц, рассматривались лишь как вспомогательное средство для вычислений на сфере. Исторически всё складывалось так, что плоская тригонометрия в своём развитии шла вслед за сферической, которая тоже оформилась в самостоятельную дисциплину далеко не сразу.

Синус был введен уже в «Сурье-сиддханте». В сочинении «Ариабхатиа» одного из крупнейших астрономов и математиков Индии Ариабхатты (род. в 476 г.) дано определение синуса и приведена таблица 1 его значений.

Таблица 1

Замена хорды синусом произошла в связи с тем, что индийские астрономы широко применяли проективные методы, разработанные греками и описанные в «Аналемме» Птолемея. Это становится понятным из следующего рассуждения.

Пусть в первой четверти круга АОВ (рис.5) дуга разделена на равные части BС₁ = CС₁ = С₂С₃ и т.д. точки деления проектируются на радиус OA. Полученные отрезки OD₁, OD₂, OD₃ и т.д. являются полухордами удвоенных дуг BС₁, ВС2, ВСз и т.д. или синусами дуг BС₁, ВС₂, ВС₃ и т.д.

Прямоугольный треугольник в индийской тригонометрии не играл роли.

Подобно предшественникам, индийцы подразделяли окружность на 360 градусов, считая радиус произвольным. Дуга четверти круга делилась на 24 части, из которых каждая равна 3°45 или 225'. Было установлено, что синус такой дуги по величине равняется радиусу. Поэтому радиус и тригонометрические линии в круге (линии синуса, синуса-верзуса и косинуса) выражали в частях окружности, сравнивая таким образом по величине дугу и прямолинейный отрезок. Это полностью противоречило греческой традиции: у Птолемея, как уже упоминалось, хорды выражались в долях диаметра, подразделенного на 12 частей.

Дуга в 225' носила название «кардаджа». Беруни пишет, что подразделение дуги четверти круга на 24 части встречается в «Полусе - сиддханты», и цитирует это сочинение: «Если кто-нибудь спросит о причине этого, то пусть он знает, что каждая из этих кардаджей - одна девяносто шестая часть круга, то есть 225 минут. А когда мы выводим его синус, то это тоже 225 минут» [3, с.42].

Ариабхатта, исходя из того, что 2πR = 360° = 21600' и принимая π = 3,1416, получил выражение для радиуса круга R = 3437,73872' или, приблизительно, R = 3438'. Индийская таблица синусов (табл.1) строилась для 24 значений угла в первом квадранте через каждые 3°45'. Для рассматриваемых дуг (они переводились а минуты) приводились значения R sin φ, затем первые разности ∆¹ последовательных значений R sin φ, и вторые ∆², в таблице фигурировал также синус-верзус дуги.

Правило составления этой таблицы равносильно формуле

, где , а  α=225'.

По-видимому, была построена сама таблица, а затем из нее выведено указанное правило. Возможно, что, исходя из значения R и простых геометрических соображений, нашли синусы 30°, 60°, 45°, а затем, воспользовавшись известным правилом определения синуса половинной дуги, получили также синусы 22°30', 11°15', 15°, 7°30', 3°45'. Далее по правилу нахождения синусов дополнений этих дуг, половин дополнений и т.д. можно было получить остальные табличные значения. На вопрос о том, каким образом составлялись и уточнялись индийские таблицы синусов, исследователи отвечают по-разному.

1.3 Развитие тригонометрии в Средневековье

.3.1 Тригонометрия на Ближнем и Среднем Востоке. Плоская

тригонометрия

Важнейший период истории тригонометрии связан с деятельностью учёных Ближнего и Среднего Востока. Начало его можно датировать VIII в., когда в столице арабского халифата Багдаде началась активная работа по изучению индийского и греческого научного наследия. Среди успешно развивавшихся научных дисциплин были те направления астрономии и математики, в рамках которых формировалась плоская и сферическая тригонометрия.

Астрономия - одна из древнейших наук - на протяжении всего средневековья развивалась в неразрывной связи с другими дисциплинами. Необходимое в разных областях практической деятельности людей, например, при точном определении времени, составлении календаря, ориентировки на местности, измерении расстояний и т.д., она, в свою очередь, нуждалась в совершенном математическом аппарате. Именно потребности астрономии явились в тот период важнейшим стимулом быстрого прогресса математики и, в частности, разработки новых вычислительных приёмов.

Большое внимание в это время привлекала гномоника - теория солнечных часов, широко применявшихся в практике. При решении астрономических задач использовались древние графические приёмы, основанные на ортогональном проектировании сферы на плоскость. Всё большее значение приобретало учение о линиях в тригонометрическом круге.

Обобщив результаты, полученные предшественниками, учёные ближнего и Среднего востока развили тригонометрические методы и уже в XII в. фактически превратили тригонометрию в самостоятельную науку.

Прежде чем перейти к обзору тригонометрии на средневековом ближнем и Среднем востоке, следует назвать некоторых учёных, чьи труды сыграли особенно важную роль в ее истории.

Вначале необходимо упомянуть выдающихся переводчиков античной научной литературы с греческого и сирийского языка. Это работавшие в Багдаде в конце VIII - начале IX вв. Хаджжадж ибн Йусуф ибн Матар (жил между 786 и 833 гг.), математик, физик и медик Исхак ибн Хунайн 9830 - 910). Большой вклад в развитие тригонометрии внесли уроженцы Средней Азии Муххамад ибн Мусса ал-Хорезми (ок. 780 - ок.880 гг.) и Ахмад ибн Абдаллах ал-Марвази. Известный под именем Хабаш ал-Хасиб (ок. 770 - ок. 870 гг.). Первый из них прославился прежде всего сочинениями по математике: его имя связывается с созданием алгебры и с распространением арифметики, основанной на десятичной позиционной системе счисления с применением нуля. Важное значение в истории науки имел также его географический труд. Как и Хабаш ал-Хасиб, ал-Хорезми относился к виднейшим астрономам своего времени. Их сочинения пользовались огромной популярностью. Особую роль в истории тригонометрии сыграли составленные ими «зиджи».

Особое место в истории тригонометрии занимает выдающийся астроном средневекового Востока Мухаммад ибн Джабир ал-Баттани (ок. 850 - 929). Следует упомянуть также крупнейшего философа, основоположника восточного аристотелизма Абу Насра Мухаммада ал - Фараби (ок. 870 - 950 гг.).

К концу XI в. общими усилиями учёных Ближнего и Среднего Востока были заложены основы тригонометрии как самостоятельной науки. Оформлялась она и в трудах западноарабских математиков, среди которых должны быть названы Мухаммад ибн Йусуф ибн Ахмад ибн My'аз ал-Джаййани (989 - ок. 1080 гг.) и Абу Мухаммад джабир ибн Афлах (XII в.).

В XIII в. важный шаг в развитии тригонометрии сделали представители марагинской научной школы - прежде всего ее руководитель, учёный Насир ад-Дин ат-Туси (1201 - 1274 гг.) и его ученики Мухьи ад-Дин ал-Магриби и кутб ад-Дин аш-Ширази.

Средневековые учёные стран ислама продолжали в своих сочинениях традиции предшественников, наследниками которых в области точных наук они явились. Поэтому в астрономо- математической литературе этого периода, имеющей отношение к тригонометрии, четко выделяются, во-первых. Комментарии к греческим трудам (прежде всего к «Альмагесту» Птолемея и к сочинениям о сферике) и их обработки, и, во-вторых, сочинения, в которых развиваются индийские методы. Третью группу составляют труды, в которых эти методы сочетаются с греческими.

Индийское влияние сказалось в арабской тригонометрической терминологии. Линия синуса была названа джайб. Это арабизированный индийский термин джива, обозначающий хорду или тетиву лука. Косинус обозначался термином «синус дополнения». Обращённый синус называли вслед за индийцами «стрелой».

Вплоть до X - XI вв. зиджи и близкие им по характеру астрономические сочинения включались сводки основных сведений по тригонометрии и тригонометрические таблицы. Среди авторов трудов, внёсших значительный вклад в развитие науки и увеличение этого материала, были такие учёные как Абу Насар Мансур ибн Ирак и его великий ученик Абу Райхан Беруни. А работа Насир ад-Дина ат-Туси оставила важный след в истории тригонометрии.

Плоская тригонометрия излагалась, как правило, в специальных разделах астрономических сочинениях, прежде всего зиджей. Здесь приводились определения тригонометрических функций и устанавливались соотношения между ними, предлагались правила решения треугольников. Наибольшее внимание, естественно, уделялось вопросу, важному для практики, - составлению тригонометрических таблиц.

Понятие синуса и обращённого синуса встречаются - по-видимому, впервые арабоязычной литературе - в зидже ал-Хорезми. Он приводит таблицу синусов (до секунд включительно) и правило пользования ею, разъясняет, как с помощью этой таблицы найти синус и обращённый синус по данной дуге и как по данному синусу найти дугу. В качестве угловой единицы у ал-Харезми служит «знак зодиака», равный  окружности круга, т.е. 30°. Значение синусов даются в частях радиуса,  который принят равный 60, и выражаются в шестидесятеричных дробях.

                  Рис.6                                     рис.7

Правило определения обращённого синуса, словесно сформулированное ал-Харезми, с помощью современной математической символике можно записать так: если обозначить линию обращённого синуса дуги α через sinvers α, то

sinvers а = 60° - sin (90° - а), при α < 90°,

sinvers а = 60° + sin (90° - а), при α > 90°.

Если радиус круга, как принято сейчас, взять равным 1, то это правило примет вид sinvers α = 1 - cos α, где соответственно cos α > 0 и cos  < 0.

Тангенс, котангенс, а также секанс и косеканс, введённые и табулированные тогда же, рассматривались вначале, как линии, фигурировавшие в науке о солнечных часах - гномонике.

Правило, по которому находился котангенс угла α, в современных обозначениях имеет вид

,

множитель 12 появляется здесь в связи с тем, что гномон подразделяется на 12 частей. Аналогично правило приводится дня тангенса, которая выражается в долях единицы

.

Однако уже ал-Фараби при изложении труда Птолемея не только отказался от понятия хорды, но и рассматривал линии тангенса и котангенса как линии, связанные с кругом. Тем самым он нарушил традиционную связь этих тригонометрических функций с гномоникой.

Приведём для иллюстрации цитату из его «Книги приложений к Альмагесту», содержащую определение тангенса и котангенса в связи с задачей нахождения высоты солнца: «Пусть ABCD (рис.7) - круг высоты, его центр Е, a DI - пересечение плоскостей круга, высоты и круга горизонта; DE - гномон, стоящий под прямым углом к плоскости горизонта в точке D, СК - пересечение плоскости круга высоты и плоскости, стоящий под прямым углом к горизонту в точке С, а СЕ - гномон, стоящий на этой плоскости. Зададимся дугой высоты AG. Проведём GEF, т.е.луч, соединяющий вершину гномона и конец тени; DF - тень гномона DE, называемая плоской тенью или второй тенью высоты AG, а СН - тень гномона СЕ, называемая обращённой тенью или первой тенью высоты AG» [10, с.73].

При этом ал-Фараби особо отмечает, что тангенс «изменяется и увеличивается с увеличением высоты солнца», а котангенс «уменьшается с увеличением этой высоты».

Но если в приведённом рассуждении связь с гномоникой ещё сильна, то далее, при нахождении величины линий тангенса и котангенса, ал-Фараби рассматривает их только как линии в круге - наряду с линией синуса и косинуса.

, где r-радиус круга.

Существенно также, что ал-Фараби выражает тангенс и котангенс (также, как синус и косинус) в далях радиуса, подразделённого на 60 частей, а не в седьмых и двенадцатых долях гномона, как было принято раньше.

Тригонометрическая функция косинус в трудах восточных математиков рассматривалась только как синус дополнения угла до 90.

Таким образом, к концу ІХ века учёные средневекового Востока знали все шесть тригонометрических функций. Соотношение между ними, которые были выведены из геометрических соображений, формулировались словесно. С помощью математической символики эти соотношения приведенные, например, ал-Баттани, будут иметь вид:

,

,  .

Чрезвычайно важный шаг для развития тригонометрии сделал Абу- л-Вафа ал-Бузджанни, положив г = 1 вместо α= 60. Он стал рассматривать тригонометрические функции в единичном круге и тем самым существенно облегчил вычисления. Ему же принадлежит более изящное, чем у Птолемея, доказательство соотношения, которое сейчас мы выражаем формулой

.

А у Ибн Йуниса встречается другое, сыгравшее существенную роль в истории тригонометрии:

.

Далее следуют уже известные из «Альмагеста» теоремы о хорде дополнительной дуги, хорде удвоенной дуги, хорде суммы и разности двух данных дуг, равносильные теоремам о синусе удвоенного и половинного углов, о синусе суммы и разности двух углов. Их важность отмечает Беруни.

Значительно облегчила решение треугольников доказанная в X в. теорема синусов, устанавливающая пропорциональность сторон и противолежащих углов.

Теорема косинусов а² = b² + с² - 2 bc cos А, где а, b, с - стороны треугольника, А - его угол, в общем виде сформулирована не была.

1.3.2 Тригонометрия в трудах европейских учёных

Обзор развития тригонометрии в Европейских странах, где в XVв., начался новый период истории этой науки, следует начать с трудов западно-арабских учёных, которые были посредниками в передаче достижений математиков и астрономов Ближнего и Среднего Востока на «Латинский» Запад. Их собственные результаты явились важным элементом научной традиции, которая легла в основу европейской тригонометрии в последующие века.

В X в. Маслама ибн Ахмад ал-Маджрити (ум. 1008 г.) и его современник Ахмад ибн ал-Мусанна ибн 'Абд-ал-Карим составили комментарии к зиджу ал-Хорезми. Первый из них, кроме того, был автором комментариев к зиджу ал-Батанни. Таким образом, благодаря трудам этих учёных в то время в Испании стали общедоступными сведения по тригонометрии, которыми располагали астрономы Ближнего и Среднего Востока.

В XI в. значительный вклад в тригонометрию сделал один из знаменитых астрономов своего времени Ибрахим ибн Йахйа ан-Наккаш ибн аз-Заркала, известный как аз-Заркали (ок. 1030 - 1099 гг.). Он прославился как знаток «Альмагеста» и критик теории Птолемея. Под руководством аз-Заркали был составлен коллективный труд - «Толеданский зидж», получивший впоследствии широкое распространение в латинских переводах. В нем содержатся, в частности, таблицы синусов при радиусе, равном 150, и описан индийский метод их вычисления; приведены также таблицы восхождений, вычисленные для различных широт по индийскому методу и методу Птолемея.

Для развития тригонометрии, как и других отраслей математики, в европейских странах решающее значение имела широко развернувшаяся в XII в. деятельность переводчиков научной литературы с арабского языка на латинский.

Прославленная школа переводчиков действовала между ИЗО и 1150 гг. в Толедо, отвоеванном в 1085 г. Испанцами; покровителем ее был великий канцлер Кастилии архиепископ Раймундо. Выдающимся представителем школы переводчиков был Герардо Кремонский (1114­-1187 гг.), которому принадлежало свыше 70 переводов произведений античных и восточных авторов, в том числе ал-Хорезми, ал-Фаргани и др. в Толедо также работали Иоанн Севильский, Доминго Гонзалец (Доминико Гундисальви) и другие учёные, переводившие математические и астрономические сочинения.

Важную роль в распространении в Европе достижений восточных ученых сыграли видные переводчики XII в. Роберт из Честера и Герман из Каринтии (известным также под именем Германа Второго или Славянина), поддерживающие между собой тесную связь.

Среди первых астрономических сочинений, переведённых с арабского языка, были «Альмагест» и ряд зиджей, в основе которых лежали труд Птолемея и индийские сиддханты.

К числу первых зиджей, появившихся в латинском переводе, относится зидж ал-Хорезми. Он стал известен в XII в. в двух версиях - ал- Маджрити и Ибн Мусанны. Первую из них перевел Аделард из Бата, и этот перевод получил наибольшее распространение. Версия ал- Маджрити представляет собой переработку оригинала, причем, видимо, значительную. Современник ал-Маджрити писал: «Он занимался обработкой таблиц ал-Хорезми; он перевел его персидское летосчисление в арабское и определил средние положения планет для начала хиджры; он добавил к сочинению еще другие прекрасные таблицы, но точно ему следуя и не обращая внимания на ошибки в его труде». Таким образом, ясно, что не все таблицы в версии ал-Маджрити принадлежат ал-Хорезми, но какие именно, установить трудно.

Вторая версия зиджа ал-Хорезми, принадлежащая Ибн Мусанны, была переведена в XII в. с арабского языка дважды.в настоящее время оба перевода хорошо изучены. Ибн Мусанна по-иному, в сравнении с ал-Маджрити, изложил содержание зиджа ал-Хорезми, построив свое сочинение в форме вопросов и ответов. Он пытался с помощью правил Птолемея объяснить индийские астрономические методы, которые применялись в зидже, но не всегда успешно.

В 1983 г. Тригонометрические разделы обеих версий зиджа ал- Хорезми, оказавших столь большое влияние на развитие математики и астрономии в Европе, были опубликованы на русском языке в томе математических трактатов ал-Хорезми.

В XII веке были переведены и другие арабские сочинения в переводе Герардо Кремонского, в которых содержались сведения по тригонометрии. Позднее стали появляться труды европейских учёных, базировавшихся на арабской версии «Альмагеста», зиджах и переводах тригонометрических трактатов. Важное место среди них занимают «Альфонсинские таблицы», составленные на испанском языке в 1262­-1272 гг. в Толедо под покровительством короля Кастилии Альфонсо X, прозванного Мудрым. Эта работа была выполнена группой христианских и еврейских учёных. «Альфонсинские таблицы», носивший чисто компилятивный характер, в значительной мере основывались на зидже аз-Заркале. Вплоть до XVIb. они служили главным источником астрономических познаний и основой всех вычислений, связанных с астрономией. Помимо географических и хронологических таблиц, таблиц видимых движений Солнца, Луны и планет т.п., сочинение содержало тригонометрический раздел, включавший таблицы синусов и тангенсов; последние были составлены для гномона, равного 12 «пальцам».

С XIII в. в разных концах Европы начинают появляться самостоятельные сочинения по математике и астрономии, в которых значительное место занимало изложение начал тригонометрии и приводились тригонометрические таблицы. К ним относятся «Практика геометрии» выдающегося ученого XIII в. Леонардо Пизанского (ок. 1170 - 1250 гг.), труды Джованни Кампано (XIII в.), Жана Линерииса (ок. 1322 г.), Николая Кузанского (конец XIV в.) и др. в этих трудах обобщались сведения по тригонометрии, полученные из арабских источников, разъяснялись правила пользования тригонометрическими таблицами.

Чаще всего приводились таблицы синусов и вскоре были сделаны попытки уточнить их. Но уже Дж. Кампано составил таблицу тангенсов (Tabula foecunda) для значений аргумента от 0 до 45° через 1°.

В XIV в. тригонометрия постепенно стала учебным предметом, заняв прочное место среди университетских курсов. Так, а Парижском университете лекции по тригонометрии читал Жан Линериис, который вычислил таблицы синусов через - приняв диаметр круга за 120, и излагал элементы сферической тригонометрии. Работавший там же Жан де Мер составил таблицы синусов, основываясь на зидже аз- Заркали.

Особое внимание привлекла тригонометрия в Венском университете, сыгравшем важную роль в развитии математики в Европе. Здесь работал Иоганн из Гмундена (ок. 1380 - 1442 гг.), который прославился своими лекциями. Его «Трактат о синусах, хордах и дугах», написанный в 1437 г.,- это хороший учебник по тригонометрии для своего времени, в котором разъясняются методы вычисления таблиц синусов по аз-Заркали и Птолемею. Сочинение дало толчок к составлению новых, более точных тригонометрических таблиц.

Первым завершенным курсом тригонометрии явилось сочинение Региомонтана «О видах треугольников пять книг». Трактат состоит из пяти книг. В 1 определены основные математические понятия и доказаны 57 предложений о тригонометрических функциях (синусе и косинусе), о плоских треугольниках и их решении с применением синуса. В частности, решается задача о нахождении углов треугольника по трем сторонам. Косоугольные треугольнике Региомонтан решает, сведя их к прямоугольным. Книга 2, в которой излагается общая теория треугольников, начинается с доказательства плоской теоремы синусов,

используемой при доказательстве других теорем. Книги 3-5 посвящены сферической геометрии.

Дальнейшая история плоской и сферической тригонометрии в XVI - XVII вв. связана с именами Франческо Мавролико, Христофа Клавия, Франсуа Виета, Адриана ванн Роумена, Бартоломея Питиска и др.

1.4 Развитие тригонометрии в работах европейских учёных XVIII -веков

Зидж ал-Хорезми в версии ал-Маджрити и в латинском переводе Аделарда из Бата послужил одним из краеугольных камней европейской астрономии в средние века. Известны четыре его рукописи, которые привлекли внимание историков науки в середине XIX в. На основе их изучения А. Бьёрнбо и Р. Бестгорном был подготовлен к печати текст сочинения, который в 1914 г. Издал Г. Зутер со своими комментариями.

А.Бьёрнбо изучил тригонометрические таблицы ал-Хорезми и впервые показал их роль в истории тригонометрии. Он рассмотрел описанные ал-Хорезми правила определения синуса по дуге и обратно с помощью таблицы синусов и указал, что это - первая таблица такого рода в арабоязычной литературе; в качестве угловой еденицы здесь служил «знак Зодиака», равный  окружности круга, т.е., а значение синусов даны в частях радиуса, который принят равный 60, и выражены в шестидесятиричных дробях. Особое внимание А.Бьёрнбо уделил правилам нахождения «обращённого синуса», а также методом определения «прямой тени» (т.е.котангенса) некоторого тела по высоте Солнца, высоты Солнца по тени, отбрасываемой телом, и «обращённой тени» (т.е.тангенса) по высоте Солнца. Исследователь пришёл к выводу, что значение для таблицы синусов были взяты у Птолемея, и что, возможно, в оригинале имелось также таблица арксинусов. Что касается таблицы тангенсов, то он отметил, что, они также являются первыми в литературе на арабском языке.

До сих пор тригонометрия формировалась и развивалась под определяющим влиянием астрономии. Положение в этом смысле мало изменилось даже тогда, когда самостоятельное существование тригонометрии стало общепризнанным фактом. Новое обогащение содержания тригонометрии происходило как часть истории математического анализа. И когда после первых ошеломляющих открытий понадобилось привести в систему математический анализ, пришлось сделать то же и с тригонометрическими функциями. Эта работа, её результаты нашли своё отчётливое выражение в трудах Л.Эйлера. Теорию тригонометрических функций Эйлер изложил в 8 -й главе 1-го тома своей книги « Введение в анализ бесконечных» (1748г., на русском языке изданного 1961г.). Тем самым он завершил более или менее успешные попытки своих ближайших предшественников.

Эйлер ввёл близкую к привычной нам символику, полностью разъяснил вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента. Эти функции он рассматривал как безразмерные числа, называя их общим термином «трансцендентные количества, получающиеся из круга».

Ход рассуждения Эйлера был примерно таков.

1.  С помощью формул приведения для sin (k+z) и cos (к +z) при целых k выясняется вопрос о знаках тригонометрических функций любых дуг.

2.  На основе теорем о синусах и косинусах суммы и разности аргументов выводится формула Муавра дня натурального показателя степени (cos z ± i sin z)ⁿ = cos nz ± i sin nz.

3.  Из этой формулы выводятся следующие:

4.      

 ;

 ;

а далее формулы

4. Полагая в полученных таким образом формулах n бесконечно большим, z бесконечно малым, налагая условие, что nz = v, т.е. конечное, а также что в этих предположениях cos z = 1, sin z = z =  , Эйлер получает разложения:

Тем самым был сделан важный шаг. Дело в том, что предшественники Эйлера неизменно связывали понимания тригонометрических функций с образами линий в круге некоторого радиуса, называя его «полным синусом». Теперь же тригонометрические функции составили просто некоторый класс аналитических функций как действительных, так и комплексных аргументов, что было проделано с характерной для того времени смелостью и оправдывалось на первых порах только правильностью и полезностью достигаемых при этом результатов.

Вскоре, в 1770г., появилось и удержавшееся до наших дней название тригонометрические функции. Его ввёл Г.С.Клюгель (1739 - 1812 гг.) в работе «Аналитическая тригонометрия» (1770 г.).

В то же примерно время (т.е.во второй половине XVIIIв.). Построение общей системы тригонометрических и примыкающих к ним знаний развивалось и несколько в ином направлении. И.Г.Ламберт (1728 - 1777гг.) в «Очерках об употреблении математики и её приложений» (1770г.). Провёл обобщение тригонометрии на четырёхугольнике, создав таким образом тетрогонометрию. Ещё через несколько лет, в 1774 - 1776гг., в работах А.И.Лекселя (1741 - 1784гг.). Было произведено дальнейшее обобщение и построено полигонометрия. Рассматривая n-угольник со сторонами а_ь а₂,...,а_п и углами φ_ь φ₂,..., φ_п между продолжениями сторон и предыдущими сторонами,

Лексель получил соотношения

Суммы в левых частях приведённых равенств эквиваленты суммам векторов, направленных по сторонам многоугольников. Из этих формул, справедливых и не для невыпуклых, и для самопересекающихся многоугольников, в работах Лекселя выведены основные формулы тригонометрии и тетрагонометрии. Затем он распространил теорию на 5, 6, 7, - угольники и решил ряд задач на исследование п - угольников, исходя из заданных диагоналей и углов этих диагоналей со сторонами.

Результаты Лекселя были существенно дополнены С. Люилье (1750 - 1840гг.) в книге «Полигонометрия, или об измерении прямолинейных фигур (1789г.) ». Основную роль в исследования Люилье играла выражение для площади многоугольника, которую он вычислял так: откинув одну из n сторон, он составил все парные произведения остальных n - 1 сторон на синусы углов между этими сторонами и, складывая полученные  произведений, нашёл удвоенную

площадь многоугольника. Исходя из формулы, Люилье получил все формулы полигонометрии, в том числе и формулы Лекселя.

Наконец, Люилье обобщил и эти результаты на пространственные случаи и, развивая работы Эйлера о многогранниках, создал в (1799 - 1805 гг.) полиэдрометрию - учение об измерении многогранников (полиэдров), описав её в работе «теоремы полиэдрометрии». Основной теоремой является следующая: «Площадь каждой грани многогранника равна сумме произведений площадей остальных граней на косинусы углов, образуемых ими с этой гранью».

Таким образом, к XIX веку тригонометрия приобрела разнообразные интерпретации, не теряя своей теоретической целостности, а наращивая её.

Глава 2.Различные подходы к введению тригонометрических

функций

.1 Введение тригонометрических функций на уроках алгебры и

начал анализа по учебнику А. Г. Мордковича

.1.1 Понятие числовой окружности на координатной плоскости

В 5 главе учебника автор, вводя элементы теории тригонометрических функций, говорит, что «для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель - числовая окружность, с которой  вы до сих пор не встречались». Для этого он вспоминает понятие числовой прямой, рассматривает некоторые примеры, связанные с ней, и говорит: «…в реальной жизни двигаться приходится не только по прямой. Довольно часто рассматривается движение по окружности. Вот конкретный пример. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью… в математике условились использовать для этой цели единичную окружность - окружность с радиусом 1. Это будет наша беговая дорожка». Таким образом, автор подводит учеников к понятию Числовая окружность.

Для начала автор предусматрительно объясняет:

рис 8

Длина L окружности с радиусом R вычисляется   по формуле

L = 2πR, где π ~ 3,14.

Если R = 1, то L = 2π ~ 6,28. Длина половины  окружности равна п, а длина четверти  окружности - АВ, ВС, CD, DA на рис. 8 равна   . Условимся называть дугу АВ первой  четвертью единичной окружности, дугу ВС -  второй четвертью, дугу CD - третьей  четвертью, дугу DA - четвертой четвертью.

При этом обычно речь идет об открытой дуге, т.е. о дуге без ее концов (что-то вроде интервала на числовой прямой).

Определение: Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А- правый конец горизонтального диаметра (рис.8). Поставим в соответствие каждому действительному числу t точку окружности по следующему правилу:

) если t > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной t; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = M(t);

) если t < 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной |t|; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = M(t);

) числу t = 0 поставим в соответствие точку А: А = А(0).

Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой

окружностью.

Затем автор показывает положение точек на окружности:

                 рис 9                                                         рис 10

И объясняет причину такого расположения: «…длина единичной окружности равна 2π, и если мы окружность или ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины которых выражаются долями числа π.»

Для понимания учащимися понятия числа на окружности  не , а, например, числа 1, автор дает легкое и понятное объяснение: «… можно ли найти на единичной окружности такую точку, что длина дуги будет равна 1? Давайте прикинем:

π = 3,14;  ,  ,

Таким образом,…»

Далее автор разъясняет основные фундаментальные понятия этой темы.

Итак, на числовой окружности, как и на числовой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности). Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу. Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом. Для числовой окружности справедливо следующее утверждение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует и числу вида t + 2πk, где k - любое целое число (k  Z). В самом деле, 2π - длина числовой (единичной) окружности, а целое число |k| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, k = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если k = -7, то это значит, что мы делаем семь (| k | = | -7| = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке M(t), то, выполнив еще | k | полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М. Итак,

M(t)= M(T+2πk)

Перейдем непосредственно к понятию числовой окружности на координатной плоскости, представленную в данном учебнике.

Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат ХОУ так, как показано на рис. 11:

                                         центр окружности совмещен с началом

                                         координат, радиус окружности

                                          принимается за масштабный отрезок.

                                          Начальная точка А числовой окружности

                                          совмещена с точкой (1; 0) на оси х. При

рис 11                                этом  В = В(0; 1), С = С(-1; 0), D = D(0; -1).

Каждая точка числовой окружности имеет  в системе ХОУ свои координаты, причем:

у точек первой четверти - х > 0, у > 0;

у точек второй четверти - х < 0, у > 0;

у точек третьей четверти - х < 0, у < 0;

у точек четвертой четверти - х > 0, у < 0

Для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства:

≤ х ≤ 1,  -1≤ у ≤ 1.

Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х² + у² = R². Заметим, во-вторых, что R = 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид

х²+у² = 1.

                                           Точка М₁- середина первой четверти.

                                          Опустим из точки М₁ перпендикуляр М₁Р на

                                          прямую ОА и рассмотрим ∆ОМ₁Р (рис. 12).

                                          Так как дуга АМ₁ составляет половину дуги

                                          АВ, то АOМ₁ = 45°. Значит, ОМ₁P -

рис 12                                        равнобедренный прямоугольный  треугольник; его катеты ОР и М₁Р равны,  т.е. у точки М₁ абсцисса и ордината равны: х = у. Кроме того, координаты точки М₁(х; у)  удовлетворяют уравнению окружности

х² + у² = 1. Таким образом, для отыскания координат точки М₁ нужно решить систему уравнений:

Подставив х вместо у во второе уравнение системы, получим:

х² + x² = 1, т.е. 2х² = 1, х² =  , х = =  ,

(мы учли, что абсцисса точки М₁ положительна). А так как у = х, то и у = .

Итак,

М₁ = М₁

Для остальных ключевых точек так же выводятся свои координаты, а результат записывается в таблицу.

2.1.2 Синус, косинус, тангенс, котангенс.

1. Синус и косинус.

Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.

Итак (см.рис. 13),

                                               Если М(t) = M(x, y), то

                                               x = cos t

                                                y = sin t

                                                 отсюда сразу следует, что

                                                -1≤ sin t ≤ 1,  -1≤ cos t ≤ 1.

рис 13

Вернемся к предыдущему параграфу: каждая точка числовой окружности имеет в системе ХОУ свои координаты,  причем:

у точек первой четверти - х > 0, у > 0;

у точек второй четверти - х < 0, у > 0;

у точек третьей четверти - х < 0, у < 0;

у точек четвертой четверти - х > 0, у < 0

Это позволяет нам составить соответствующую таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности:

Мы отметили в предыдущем параграфе, что уравнение числовой окружности имеет вид  х²+у² = 1.

Тем самым фактически получено важное равенство, связывающее sin t и cos t:

sin² t+cos² t = 1

было отмечено, как важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, опираясь на таблицы, которые составляются для координат точек, мы без труда составим соответствующие таблицы для вычисления значений cos t и sin t.

табл.1

Опираясь на предыдущий параграф, увидим, что, например, решения уравнения

t = 0  имеют вид  t = πk.

Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 13), она соответствует числу , а значит, и всем числам вида   + 2 πk. Значит, решения уравнения sin t = 1  имеют вид t =  + 2 πk. Аналогично:

cos t = 1,  t = 2 πk;  cos t = -1, t = π+ 2 πk.

Параметр k (или n) принимает любые целочисленные значения (k  Z ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем.

Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.

sin (-t) = - sin t(-t) = cos t

Свойство 2. Для любого значения t справедливы  равенства:

sin (t+ 2 πk) = sin t(t+ 2 πk) = cos t

Свойство 3. Для любого значения t справедливы равенства:

sin (t+ π) = - sin t(t+ π) = - cos t

. Тангенс и котангенс.

Определение. Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg t. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctg t:

Говоря о tg t, подразумевают, что cos t ≠ 0, т.е. что t ≠  + πk , а говоря о ctg t, подразумевают, что sin t ≠0, т.е. что t ≠ πk. Поэтому обычно определения tg t и ctg t записывают так:

Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности (она имеется в табл. 1), нетрудно составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:

Зная значения синуса и косинуса числа t, нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить небольшую таблицу основных значений тангенса и котангенса:

Свойство 1. Для любого значения t справедливы равенства:

tg (-t) = - tg t(-t) = - ctg t

Свойство 2. Для любого значения t справедливы равенства:

tg (t+ π) = tg t                                           tg (t+ πk) = tg t 

ctg (t+ π) = ctg t, и как следствие:        ctg (t+ πk) = ctg t  

2.1.3 Тригонометрические функции числового и углового аргументов. Формулы приведения.

Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение sin t, нужно:

) расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);

) на окружности найти точку, соответствующую числу t;

) найти ординату этой точки.

Эта ордината и есть sin t.

Фактически речь идет о функции u = sin t, где t - любое действительное число.  

Точно так же можно считать, что в предыдущем параграфе получили некоторые представления еще о трех функциях: u = cos t, u = tg t, u = ctg t.

Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.

Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, некоторые из этих соотношений мы уже получили:

sin ² t+cos ² t = 1

Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t и ctg t:

Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.

Термины «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс» на самом деле были знакомы, правда, использовали их до сих пор в несколько иной интерпретации: в геометрии и в физике рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс у г л а (а не

числа, как это было в предыдущих параграфах).

Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла - это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла - это отношение катетов прямоугольного треугольника. Иной подход к понятиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса развивали в предыдущих параграфах. На самом деле эти подходы взаимосвязаны.

Возьмем угол с градусной мерой α^o и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так, как показано на рис. 14

                                          вершину угла совместим с центром

                                         окружности (с началом системы координат),

                                          а одну сторону угла совместим с

                                           положительным лучом оси абсцисс. Точку

                                            пересечения второй стороны угла с

                                            окружностью обозначим буквой М. Ордина-

                                             ту точки М естественно считать синусом угла 

                рис 14                   α^o, а абсциссу этой точки - косинусом угла α^o.

Для отыскания синуса или косинуса угла α^o  совсем не обязательно каждый раз делать  указанные весьма сложные построения.

Достаточно заметить, что дуга AM составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол α^o составляет от утла 360°. Если длину дуги AM обозначить буквой t, то получим:

Таким образом,

Например,

Считают, что 30° - это градусная мера угла, а    - радианная мера того же угла: 30°  =  рад. Вообще:  

В частности,  рад, откуда, в свою очередь, получаем .

Так что же такое 1 радиан? Есть различные меры длин отрезков: сантиметры, метры, ярды и т.д. Есть и различные меры для обозначения величин углов. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° - это  центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую  часть окружности. Угол в 1 радиан - это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Из формулы  , получаем, что 1 рад = 57,3°.

Рассматривая функцию u = sin t (или любую другую тригонометрическую функцию), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но можем считать эту переменную и мерой угла, т.е. угловым аргументом. Поэтому, говоря о тригонометрической функции, в определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или углового аргумента.

2.1.4 Функции у= sin x,  y = cos x, их свойства и графики.

Периодичность.

В этом параграфе обсудим некоторые свойства функций у = sin x,y = cos х и построим их графики.

1. Функция у = sin х.

Ранее мы сформулировали правило, позволяющее каждому числу t поставить в соответствие число sin t, т.е. охарактеризовали функцию u = sin t. Отметим некоторые ее свойства.

Свойства функции u = sin t.

Свойство 1: Область определения - множество R действительных чисел.

Это следует из того, что любому числу t соответствует на числовой окружности точка M(t), которая имеет вполне определенную ординату; эта ордината и есть sin t.

Свойство 2. u = sin t - нечетная функция.

Это следует из того, что для любого t выполняется равенство sin (-t) = -sin t.

Значит, график функции u = sin t, как график любой нечетной функции, симметричен относительно начала координат в прямоугольной системе координат tOu.

Свойство 3. Функция u = sin t возрастает на отрезке и убывает на отрезке .

Это следует из того, что при движении точки по первой четверти числовой окружности (от 0 до ) ордината постепенно увеличивается (от 0 до 1 - рис. 15), а при движении точки по второй четверти числовой окружности (от  до ) ордината постепенно уменьшается (от 1 до 0 - рис. 16).

                        рис 15                                                рис 16

Свойство 4. Функция u = sin t ограничена и снизу, и сверху.

Это следует из того, что для любого t справедливо неравенство  -1≤ sin t ≤ 1.

Свойство 5. u_наим = -1 (этого значения функция достигает в любой точке вида

); u_наиб = 1 (этого значения функция достигает в любой точке вида

).

Воспользовавшись полученными свойствами, построим график интересующей нас функции. Но вместо u = sin t будем писать у = sin х. Значит, и строить график будем в привычной системе координат хОу.

Сначала построим график функции у = sin x на отрезке [0, π].

Составим таблицу значений функции у = sin x:

 Построим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. (рис 17)

                                                  Это - график функции у = sin x на 

                                                  отрезке [0, π]. Добавив к построенной

                                                   линии симметричную ей относительно

                                                   начала координат, получим график

                                                   функции на отрезке [-π, π] А теперь

                                                   построим график функции у = sin x на

                                                   отрезке [π, Зπ]. Обратите внимание: если

рис 17                                          х [-π, π], то (х + 2 π)  [л, Зπ]. Но

                                                    sin(x + 2π) = sin х (по свойству 2).

Это  значит, что в точке х + 2π функция у = sin x  принимает то же значение, что и в точке х.

Иными словами, на отрезке [π, Зπ] график функции выглядит точно так же, как и на отрезке [-π, π] (рис. 18).

                                                               И на отрезках [Зπ, 5π],

                                                              [5π, 7π], [-Зπ, -π] и т.д. график

                                                              функции выглядит так же, как

                                                              на отрезке [-π, π].

                                                               Окончательный вид графика

рис 18                                                     функции у = sin x

                                                               представлен на рис. 19.

рис 19

Линию, служащую графиком функции у = sin x, называют синусоидой. Ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 18, называют волной синусоиды, а ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 17, называют полуволной или аркой

синусоиды. Опираясь на построенный график, отметим еще несколько свойств функции у = sin x:

Свойство 6. у = sin х - непрерывная функция.

Свойство 7. Область значений функции у = sin x - отрезок [-1, 1].

Свойство 8. Функция у - sin x выпукла вверх на отрезке [0, π], выпукла вниз на отрезке [π, 2π] и т.д.

2. Функция у = cos x.

Изучение функции у = cos x можно было бы провести примерно по той же схеме, которая была использована выше для функции у = sin х. Но мы выберем путь, быстрее приводящий к цели. Сначала докажем две формулы, важные сами по себе, но пока имеющие для наших целей лишь вспомогательное значение.

Для любого значения t справедливы равенства:

Построим график функции у = . Для этого перейдем

к вспомогательной системе координат с началом в точке  (пунктирная прямая х =  проведена на рис. 20). Привяжем функцию у = sin x к новой системе координат - это и будет график функции у =  (рис. 20), т.е. график функции у = cos х. Его, как и график функции у = sin x, называют синусоидой (что вполне естественно).

рис 20

Свойство 1. D(f) = (-∞, + ∞).

Свойство 2. у = cos х - четная функция.

Свойство 3. Функция убывает на отрезке [0, π], возрастает на отрезке [π, 2π] и т.д.

Свойство 4. Функция ограничена и снизу и сверху.

Свойство 5. у_наим = -1 (этого значения функция достигает в любой точке вида ; у_наиб = 1 (этого значения функция достигает в любой точке вида

х = ).

Свойство 6. у = cos х - непрерывная функция.

Свойство 7. Е(y) = [-1. 1].

Свойство 8. Функция выпукла вверх на отрезке , выпукла вниз на отрезке  и т.д.

Определение. Функцию у = f(х), хХ, называют периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого х из множества X выполняется двойное равенство:

f(x-T)=f(x)=f(x + T).

Число T, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции у = f(x). Отсюда следует, что, поскольку для любого х справедливы равенства:

sin (x-2π) = sin x = sin (х+2π),

cos (x-2π)= cos x= cos (x+2π),

то функции у = sin х, у=cos х являются периодическими и число 2π служит периодом и той, и другой функции. Периодичность функции - это есть девятое свойство функций.

2.1.5 Построение графиков функции  и ,

если известен график функции . График гармонического

колебания

В курсе алгебры 8-9-го классов учащиеся научились, зная график функции = f(x), строить графики функций y = f(x+a), y = f(x)+b,y = f(x+a)+b. Все эти графики получаются из графика функции y = f(x) с помощью преобразования параллельного переноса: на |а | единиц масштаба вправо или влево вдоль оси х и на |b | единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси у. Теперь познакомимся еще с одним преобразованием, позволяющим, зная график функции y = f(x), довольно быстро строить график функции , где m - любое действительное число (кроме нуля)

Задача 1. Зная график функции у = f(x), построить график функции

, где m- положительное число. Ординаты точек графика функции ,  получаются умножением на m ординат соответствующих точек графика функции у = f(x). Такое преобразование графика называют обычно растяжением от оси х с коэффициентом m. Отметим, что при этом преобразовании остаются на месте точки пересечения графика функции у = f(x) с осью х, т.е. точки, удовлетворяющие уравнению f(x) = 0.

Если m < 1, то предпочитают говорить не о растяжении с коэффициентом т, а о сжатии к оси х с коэффициентом  . Например, если m = , то говорят не о растяжении с коэффициентом , а о сжатии с коэффициентом 3.

На рис. 21 показаны графики функций у = sin x и у = 3 sin x, а на рис.22 - графики функций у= cos х  и  у=0,5cosx.

рис 21

рис 22

Задача 2. Зная график функции у = f(x), построить график функции

, где m - отрицательное число.

Так как в этом случае справедливо равенство , то

речь идет о построении графика функции ,. Это можно сделать в три шага:

) построить график функции у = f(x);

) осуществить его растяжение от оси х с коэффициентом |m|;

) растянутый (или сжатый) график подвергнуть преобразованию симметрии относительно оси х.

На рис. 23 изображены графики функций y= cosx и y = - cosx.

рис 23

В этом параграфе мы познакомимся еще с одним преобразованием, позволяющим, зная график функции y = f(x), довольно быстро строить график функции , где k - любое действительное число (кроме нуля).

Задача 3. Зная график функции у = f(х), построить график функции ,  где k - положительное число. График функции   получается из графика функции y = f(x) с помощью сжатия к оси у с коэффициентом k. Отметим, что при этом преобразовании остается на месте точка пересечения графика функции у = f(x) с осью у (если х =0, то и kx = 0).

Впрочем, если k < 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом k, а о растяжении от оси у с коэффициентом    (если k =, то говорят не о сжатии с коэффициентом  , а о растяжении с коэффициентом 3).

Задача 4. Зная график функции у = f{x), построить график функции , где k - отрицательное число.

Так как в этом случае справедливо равенство , то речь идет о построении графика функции . Это можно сделать в три шага:

) построить график функции у = f(x);

) осуществить его сжатие (или растяжение) к оси у с коэффициентом |k|;

) сжатый (или растянутый) график подвергнуть преобразованию симметрии относительно оси y.

Тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов такого рода описывается формулой s = A sin (ωt + α). Эту формулу называют законом (или уравнением) гармонических колебаний. Если, например, материальную точку, висящую на пружине, вывести из

положения равновесия, то она начнет совершать вертикальные колебания, причем закон движения выражается указанной выше формулой, где t - время, ω - отклонение материальной точки от положения равновесия.

Пример. Построить график функции в системе координат sOt.

Решение. Имеем  . Чтобы построить график такой функции, нужно над синусоидой s = sin t осуществить следующие преобразования:

) сжать ее к оси ординат с коэффициентом 2;

) растянуть от оси абсцисс с коэффициентом 3;

) сжатую и растянутую полуволну сдвинуть вдоль оси абсцисс на    влево. В результате получится главная полуволна искомого графика, с помощью которой без труда можно построить весь график.

На практике главную полуволну предпочитают строить по-другому.

Решим уравнение  = 0 (это даст нам точки пересечения графика с осью абсцисс). Имеем:

Дадим параметру k два соседних значения 0 и 1. При k = 0 получаем

при k = 1 получаем . Точки А и В служат концами одной полуволны искомого графика. Серединой отрезка является точка  - среднее арифметическое (полусумма) чисел. Найдем значение заданной функции в точке :

Точка С  - верхняя точка искомой полуволны. По трем точкам А, В и С строим сначала полуволну искомого графика, а затем и весь график (рис. 24).

                                    В уравнении гармонических колебаний

                                   s = A sin (ωt + α) все величины А, ω, α имеют 

                                    определенный физический смысл: А (или -А,

                                    если А <0) - амплитуда колебаний

                                    (максимальное отклонение от положения

                                     равновесия); ω - частота колебаний; α -

                                     начальная фаза колебаний. Так, в рассмотренном

                                    примере   амплитуда равна

рис 24                          трем (А = 3), частота колебаний равна двум

                                       (ω=2), начальная фаза колебаний равна  (α =  ).

.1.6 Функции  и , их свойства и графики

Отметим свойства функции у = tg x, причем в первую очередь те, которые помогут составить представление о графике функции (большинство из этих свойств фактически известно нам). Когда такое представление сложится, начнем строить график, как обычно, по точкам.

Свойство 1. Область определения функции у = tg x - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида .

Это свойство означает, что на графике функции нет точки, принадлежащей прямой х = , нет точки, принадлежащей прямой х= , нет точки, принадлежащей прямой х= , нет точки, принадлежащей прямой х = - , и т.д. Эти прямые проведены пунктиром на рис. 26.

Первое представление о графике получено: он состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между х = - - и х = , в полосе между х =  и х =и т.д.).

Свойство 2. у = tg х- периодическая функция с основным периодам π.

Это следует из двойного равенства

f(x-π)=f(x)=f(x + π).

полученного в § 2.1.2. Значит, если мы построим ветвь графика в полосе от х = - - до х = , то затем нужно будет сдвинуть построенную ветвь по оси х вправо и влево на π, 2π, Зπ и т.д. Тем самым получено второе представление о графике.

Свойство 3. у = tg х- нечетная функция.

Это следует из доказанного соотношения tg (-х) = -tg x.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Значит, нам можно действовать так: построить по точкам часть графика на промежутке от 0 до , а затем воспользоваться указанной симметрией. Приступим к построению графика на полуинтервале . Выберем контрольные точки:

Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них плавную кривую. Добавим линию, симметричную построенной кривой относительно начала координат.Воспользовавшись периодичностью, достроим график до конца.

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Ту ее часть, которая изображена на рис. 25, обычно называют главной ветвью тангенсоиды.

            рис 25                                                        рис 26

Отметим еще несколько свойств функции у = tg x.

Свойство 4. Функция возрастает на интервале. В более общем виде - функция возрастает на любом интервале вида .

Свойство 5. Функция у = tg х не ограничена ни сверху, ни снизу.

Свойство 6. У функции y = tg х нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Свойство 7. Функция у = tg x непрерывна на интервале   .  В более общем виде - функция непрерывна на любом интервале

При значениях x =  функция претерпевает разрыв. Каждая прямая вида

x=  служит вертикальной асимптотой графика функции.

Свойство 8. .

Имеет место тождество (формула приведения):

График функции y = ctg х (рис. 27), как и график функции у = tg x, называют тангенсоидой. Главной ветвью графика функции y = ctg x обычно называют ветвь, заключенную в полосе от х = 0 до х = π.

рис  27

2.2 Введение тригонометрических функций на уроках алгебры и

начал анализа по учебнику М. И. Башмакова

.2.1 Вводная беседа

Мы изучаем новый класс функций - тригонометрические функции. Они служат прежде всего для описания разнообразных процессов. С периодически повторяющимися ситуациями человек сталкивается повсюду. Его жизнь сопровождают различные астрономические явления - восход и заход Солнца, изменение фаз Луны, чередование времен года, положение звезд на небе, затмения и движения планет. Человек давно заметил, что все эти явления возобновляются периодически. Жизнь на Земле тесно связанна с ними, и поэтому неудивительно, что астрономические наблюдения явились источником многих математических открытий.

Открывая утром газету, мы часто читаем сообщение об очередном запуске искусственного спутника Земли. Обычно в сообщении указывают наименьшее и наибольшее расстояние спутника от поверхности Земли и период его обращения. Если сказано, что период обращения спутника составляет 92 мин, то мы понимаем, что его положение относительно Земли в какой-то момент времени и через каждые 92 мин с этого момента будет одинаковым. Так мы приходим к понятию периодической функции как функции, обладающей период, т.е. таким числом Т, что значение функции при значениях аргумента, отличающихся на Т, 2Т, 3Т и т.д., будут одинаковыми.

Астрономия, которая дает нам наиболее наглядное представление о периодических процессах, определяет положение объектов в небесной сфере с помощью углов. Можно сказать так: в качестве аргумента периодических функций очень часто выступает угол. Поэтому в нашей беседе мы обсудим вопрос об измерении углов.

Геометрический угол - это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки, вершины угла. Чтобы сравнивать углы, удобно закрепить их вершины в одной точке и вращать стороны.

В качестве единицы измерения геометрических углов принят градус -   часть развернутого угла. Конкретные углы удобно измерять в градусах с помощью транспортира. Углы, получаюшиеся при непрерывном вращении, удобно измерять не в градусах, а с помощью таких чисел, которые отображали бы сам процесс построения угла, т.е. вращение. Поэтому удобно связать измерения углов со временем.

Развернутый угол измеряется половиной дуги единичной окружности. Это число обозначается буквой π. π = 3,14159265358…

Угол величиной π - самостоятельная единица измерения углов. Прямой угол равен   . Угол в равностороннем треугольнике равен   и т.д. Угол, мера которого равна числу 1, называют радианом. Он соответствует некоторому углу, чуть меньше, чем   , ведь 

Так как прямой угол равен  , то , откуда

радиан можно выразить через градусы:

Представим маленький шарик, который равномерно вращается по единичной окружности в положительном направлении (против часовой стрелки).В момент времени t = 0 шарик находился в т.А, за время t = 1 он прошел расстояние, равное 1. За время, равное π, он прошел половину окружности, а за время 2π - всю окружность.

                                        Пусть t =  . Отложим по окружности от точки А = Р₀

                                       в положительном направлении путь длинной  . Так

                                       как длина всей окружности равна  2π, то точка  

                                       является серединой дуги АВ (рис.28)

рис 28                             Таким образом, для каждого значения t можно

                                       построить точку  P_i.На языке механики аргумент t - это время, на языке геометрии t - это угол.

2.2.2 Определения и простейшие свойства тригонометрических

функций

Тригонометрические функции определяются с помощью координат вращающейся точки. Рассмотрим на координатной плоскости ху единичную окружность. Точка Р₀ имеет координаты (1;0), она начальная.

Определение. Синусом числа t называется ордината точки P_i, косинусом числа t называется абсцисса точки P_i, где P_i получается поворотом начальной точки единичной окружности на угол t.

Если обозначить координаты точки P_i через х и у, то мы получим x = cos t,

y = sin t или можно записать что точка P_i имеет координаты (cos t, sin t).

Так как точка P_i лежит на окружности, то ее координаты связаны соотношением:

х² + у² =1, тогда cos t и  sin t будут связанны следующими соотношениями:

sin ² t + cos ² t = 1,

которое называют основным тригонометрическим тождеством.

Определение. Тангенсом числа t называется отношение синуса числа t к его косинусу, т.е. по определению

Котангенсом числа t называется отношение косинуса числа t к его синусу, т.е. по определению

Тангенс числа t определен для тех значений t, для которых cos t ≠ 0. Котангенс числа t определен для тех значений t, для которых sin t ≠ 0.

Тригонометрические функции являются периодическими.

Теорема. Число 2π является периодом синуса и косинуса.

Для доказательства необходимо показать верность равенств:

Это доказывается с помощью координат вращающейся точки. Точки Р_t и P_t+π совпадают, то совпадают и их координаты ч.т.д.

Знаки тригонометрических функций определяются в зависимости от того, в какой четверти лежит рассматриваемый угол.

Синус числа t есть ордината точки P_i, поэтому синус положителен в первой и второй четвертях и отрицателен в третьей и четвертой четвертях.

Косинус числа t как абсцисса точки P_i положителен в первой и четвертой четвертях и отрицателен во второй и третьей. 

Тангенс и котангенс являются отношением координат. Поэтому они положительны тогда, когда эти координаты имеют одинаковые знаки (первая и третья четверти), и орицательны, когда разные (вторая и четвертая четверти) (рис 29).

   рис 29

Теорема. Синус - нечетная функция, т.е. при всех t выполнено равенство

sin (-t) = - sin t.  Косинус - четная функция, т.е. при всех t выполнено равенство

cos (-t) = cos t.

Доказательство. Для всякого значения t точки Р_t и Р_{- t} симметричны друг другу относительно оси абсциссы (т.е. cos t = cos (-t)), а ординаты противоположны (т.е.

sin t = - sin (-t)), ч.т.д.

С л е д с т в и е: Тангенс и котангенс - нечетные функции.

Действительно,  . Аналогично доказывается нечетность котангенса.

Значения тригонометрических функций острых углов можно вычислить по таблицам с помощью прямоугольного треугольника. Их вычисление для любого значения аргумента можно привести к вычислению значений для аргумента t. Соответствующие формулы - формулы приведения.

Из этих основных формул можно вывести и другие формулы приведения:

Доказательство:

Аналогично выводятся формулы:

Мнемоническое правило для запоминания формул приведения следующее:

)  Название функции не меняется, если к аргументу левой части добавляется

-π или + π, и меняется, если добавляется

) Знак правой части определяется знаком левой, считая, что t

Вычислять значения тригонометрических функций можно пользуясь следующими соображениями:

) С помощью формул приведения вычисление значения тригонометрической функции любого числа можно свести к вычислению функции угла, лежащего в первой четверти.

) Достаточно знать значение лишь одной из тригонометрических функций. С помощью основных тождеств и зная четверть, в которой лежит значение аргумента, легко найти значения остальных функций.

) Полезно помнить значения тригонометрических функций для углов:

Для решения простых, но важных уравнений достаточно вспомнить определение тригонометрической функции.

Например: 1. sin t = 0.Вращающаяся точка Р_t имеет нулевую ординату в момент времени t = 0, π, 2π,…, а так же t = -π, -2π,… .В общем виде множество этих значений можно записать в виде t = πk, k. Таким образом, решением уравнения sin t = 0 будут числа t = πk, k.

2. sin t = 1, t =  πk, k.

3. sin t = -1, t =  πk, k.

4. cos t = 0, t =  πk, k.

5. cos t = 1, t =  πk, k.

6. cos t = -1, t =  πk, k.

Все рассмотренные уравнения имеют бесчисленное множество решений. Эти решения записываются в виде бесконечных серий с помощью переменной (в наших примерах k), которая может принимать любые целые значения.

2.2.3 Исследование тригонометрических функций.

Рассмотрим функции у = sin x  и  y = cos x.

) Область определения. Синус и косинус числа х задаются как координаты точки Р_х, получившейся из точки Р₀(1;0) поворотом на угол х. Так как поворот возможен на любой угол, то область определения синуса и косинуса является множество R.

) Промежутки монотонности. При  х = 0 точка занимает положение Р₀(1;0). Пока она движется по окружности, оставаясь в первой четверти, ее абсцисса уменьшается, а ордината увеличивается. При х =    точка займет положение

 (0;1). Итак, в первой четверти синус (ордината) возрастает от 0 до 1, а косинус (ордината) убывает от 1 до 0.

Когда точка переходит во вторую четверть, ордината начинает убывать от 1 до 0. Абсцисса становится отрицательной и растет по абсолютной величине, значит, косинус продолжает убывать от 0 до -1.

В третьей четверти синус становится отрицательной и убывает от 0 до -1, а косинус начинает возрастать от -1 до 0.

Наконец, в четвертой четверти синус возрастает от -1 до 0 и косинус возрастает от 0 до 1.

) Точки экстремума. Координаты вращающейся точки меняются между -1 и +1. Эти числа являются наименьшими и наибольшими значениями синуса и косинуса. Если требуется указать абсциссы точек экстремума, то надо решить уравнения

sin x = ± 1, cos x = ± 1.

) Промежутки постоянного знака и корни функции. Эти вопросы были рассмотрены в предыдещем параграфе.

) Множество значений. Синус и косинус принимают любые значения от - 1 до +1, так как являются координатами точки, движущейся по единичной окружности.

Для приближенного построения графика синусоиды можно поступить

так:

                                              перенести на числовые прямые все

                                             ключевые точки и их значения для функции

                                             у = sin x, (рис 30) получим точки на

                                              координатной плоскости, принадлежащие

                                              синусоиде, которые плавной линией

                                               соединим. Так мы получим график синуса

рис 30                                      на промежутке . Так как

,

то график синуса должен быть симметричен относительно  прямой  Это позволяет построить график синуса на отрезке . Воспользовавшись нечетностью синуса, получим график синуса на отрезке [-π, 0] симметричным отражением построенной части синусоиды относительно начала координат. Так как отрезок [-π, π] имеет длину, равную периоду синуса, то график синуса на всей числовой оси можно получить параллельными переносами построенной кривой.

Вернемся к свойствам синуса и косинуса, и посмотрим, как они проявляются на графике.

. Функция  y = sin x имеет период 2π. На графике: если разобьем ось Ох на отрезки длиной 2π, то получим «одинаковые» части, получающиеся друг из друга параллельным переносом вдоль оси Ох.

. Функция  y = sin x нечетна. На графике: синусоида симметрична относительно начала координат.

. Функция  y = sin x обращается в нуль при х = πk, k. На графике: точки пересечения с осью абсцисс.

. Функция  y = sin x положительна при 2πk < x < (2k+1)π  и отрицательна при

(2k+1)π < x < (2k+2)π , k. Указанные промежутки соответствуют первой-второй (sin x> 0) четвертям или третьей-четвертой (sin x< 0) четвертям.

. Функция  y = sin x возрастает при  πk ≤ х ≤  πk, и убывает при πk ≤ х ≤  πk, k.

6. Множеством значений функции  y = sin x является отрезок [-1, 1].

График косинуса можно построить так же, как и синуса. Или, воспользовавшись формулами приведения построить график косинуса как синусоида, сдвинутая на    влево по оси Ох (рис 31).

Рис 31

По определению тангенс числа х задается как отношение sin x и cos x. Изучим свойства тангенса:

1. Область определения функции у = tg x - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида .

. Тангенс - периодическая функция с основным периодом π.

. Тангенс - нечетная функция, tg (-x) = tg x.

. Функция у = tg x обращается в нуль одновременно с синусом, т.е. при

х =

. Функция у = tg х положительна в первой и третьей четвертях и отрицательна во второй и четвертой.

. Тангенс возрастает в первой четверти. Действительно, пусть 0 ≤ х₁ < x₂ <  Тогда sin х₁ < sin x₂ (возрастание синуса) и cos х₁ > cos x₂ (убывание косинуса). Так как значения косинуса положительны, то Умножим это неравенство на неравенство с положительными членами: sin х₁ < sin x₂. Получим tg х₁ < tg x₂.

Тангенс возрастает так же и в четвертой четверти. Пусть  < х₁ < x₂ ≤ 0. Тогда,

0 ≤ -х₁ Б -ч₂ Б 0 ≤ - х₁ < - x₂ <  . Тогда, tg (-х₂) < tg (-x₁). Пользуясь свойством нечетности, получаем, - tg х₂ < - tg x₁. Поэтому tg х₁ < tg x₂.

На промежутке   тангенс отрицателен и возрастает. На  положителен и возрастает. В итоге: тангенс возрастает на промежутке .

. Когда х возрастает от 0 до  , тангенс возрастает, при этом когда х приближается к  , синус близок к 1, а косинус - к 0. Поэтому отношение   становится сколь угодно большим.

. График тангенса. На промежутке  график можно построить по точкам, учтя, что тангенс строго возрастает, в нуле обращается в нуль, а при приближении к    становится сколь угодно большим. Отразив построенную часть относительно начала координат, получим график тангенса на промежутке . Для построения полного графика разобьем числовую ось на отрезки, перенося  вправо и влево на π, 2π, 3 π  и т.д.

График тангенса (рис 32) распадается на отдельные, не связанные между собой части. Это вызвано тем, что в точках , k тангенс не определен.

Свойства котангенса получаются так же, как и свойства тангенса.

. Функция у = сtg x определена при , k

. Функция у = сtg x периодична с периодом равным π.

3. Функция у = сtg x нечетна: сtg (-x) = сtg x.

4. Функция у = tg x обращается в нуль одновременно с косинусом, т.е. при  х =, k.

. Функция у = сtg х положительна в первой и третьей четвертях и отрицательна во второй и четвертой.

. Функция у = сtg х убывает на промежутке (πk; π+πk).

. Область значений - множество R.

. График котангенса на рис. 33

      Рис 32                                      рис 33

2.3 Определение тригонометрических функций как сумм степенных

рядов

Докажем сначала следующее простое предложение, которым сразу будет охвачен ряд важных случаев:

Если функция f(x) в промежутке [0, Н] или [-Н,0] (Н>0) имеет производные всех порядков, и все эти производные при изменении х в указанном промежутке оказываются по абсолютной величине ограниченными одним и тем же числом:

        (1)

(где L не зависит от n), то во всем промежутке имеет место разложение

В самом деле, взяв дополнительный член r_n(х) в форме Лагранжа

                                                          (2)

имеем, в силу (1)

                                                   (3)

При безграничном возрастании n выражение   стремится к 0, как видно из сходимости ряда:

(это справедливо в силу сходимости ряда, являющегося разложением числа e, т.е.

Но в таком случае и г_n(х) имеет пределом 0, что и доказывает наше утверждение.

Это предложение приложимо к тригонометрическим функциям sin х и cos х в промежутке [-1,1 ], ибо производные их, соответственно равные   sin (х +), cos (х +), будут в нем по абсолютной величине ограничены единицей.

Все они имеют разложение при любом значении х.

Коэффициенты Тейлора для этих функций будут вычисляться

следующим образом. Если f(x) = sin х, то

f^(k) (х) = sin (х +  ), так что

f (0) = 0, f^(2m) (0) = sin mπ = 0,

f^(2m-1) (0) = sin (mπ -  )= (-1)^m-1 , (m=1, 2, 3…)

Аналогично, при f(x) = cos x:

f^(k) (х) = cos (х +  ),  f (0) = 1, f^(2m) (0) = (-1)^m,

f^(2m-1) (0) = 0 , (m=1, 2, 3…)

Таким образом (если взять n = 2m+l)

Таким образом функции sin x и cos x можно определить как суммы соответствующих рядов Тейлора.

Пусть теперь f(x) = arctg х. Значения всех последовательных производных при х=0 будут находиться из равенства:

, т.е. f'(=1.

Возведя обе части в n-степень, получим

fⁿ⁺¹ (0) = -n(n-1) f^n-1.

, f''(=0. Ясно, что всегда f ^(2m) (0) = 0.

Что касается производных нечетного порядка, то для них из (4):

f^(2m+1) = - (2m-1)·2m· f^(2m-1)

f '(0) = 1, f^(2m+1) (0) = (-1)^m (2m)!

Так что разложение функции f(x) = arctg x представится в виде:

Для функции f(x) = tg x закон образования коэффициентов в формуле Тейлора сложен. Тем не менее, несколько первых членов ее написать нетрудно. Так как, например,

то f(0)= 0 , = 1,  = 0,  , .

Так что

2.4 Аксиоматическое определение тригонометрических функций

В настоящем параграфе будет дано аксиоматическое определение тригонометрических функций, как функций, обладающих некоторыми, точно описанными характеристическими свойствами, на основании которых могут быть установлены все прочие свойства этих функций.

Аналитическим косинусом С(х) и аналитическим синусом S(x) называются функции:

I.       Определенные для всех действительных значений х;

II.      Удовлетворяющие функциональному уравнению:

С (х-у) = С(х) С (у) +S(x) S(y)

(иными словами, равенство (С_х-у) выполняется тождественно при всех значениях х и у);

III.     Положительные в интервале 0<х<λ, где λ - некоторое положительное число:

С(х) > 0 и S(x)> 0 при 0<х< λ;

IV.     В граничных точках интервала (0, λ.) имеет место следующее равенство:

V.     

С(0) = S(λ) = 1.

Сформулированное определение не дает ответа на вопрос, существует ли хотя бы одна система функций С(х) и S(x), удовлетворяющая всем условиям; чтобы убедиться в существовании функций С(х) и S(x), достаточно построить хотя бы один конкретный пример такой системы функций. Осуществить требуемое построение

можно различными способами. В самом деле, при λ =  всем перечисленным условиям удовлетворяют функции cos х и sin х. При произвольном данном λ >0, условиям I - IV удовлетворяют функции

Не касаясь вопроса о существовании функций С(х) и S(x), установим свойства этих функций, вытекающие из основных условий I - IV, т.е. будут установлены свойства функций С(х) и S(x) в предположении, что они существуют.

1. Имеют место следующие равенства граничных значений,

S(0) = С(λ) = 0.

Доказательство: положив в основном тождестве II: х = у = 0, получим

С(0) = С²(0) + S²(0), откуда в силу IV, 1= 1 + S²(0) = 0 и S(0) = 0.

Положив в II: х = у = λ., получим

С(0) = С²(λ) + S²(λ), откуда 1= 1 + С²(λ) и С(λ) = 0.

2.  Имеет место тождество:

C²(x) + S²(x) = l.

Доказательство: достаточно положить в основном тождестве II: х = у, и принять во внимание условие IV. Следствие: Функции С(х) и S(x) ограничены.

| S(x) | ≤ 1, | С(х) | ≤ 1

3.  Имеет место следующие тождества, выражающие функции С(х) и S(x) одна через другую:

С(λ -х) = S(x), S(λ -х) = С(х).

Доказательство: заменив в основном соотношении II х на λ, а у на х, получим:

С(λ -х) = С(λ) С(х) + S(λ) S(x) = S(x).

Заменив в полученном равенстве х на λ -у, получим

С(у) = S(λ -y)

4. Для функции S(x) имеет место формула сложения:

5.      

S(x+y) = S(x) С (у) + S(y) С(х).

Доказательство: воспользовавшись доказанным свойством 3, получим:

S(x+y) = С [λ - (х+у)] = С [(λ - х) - у)]=

= С (λ - х) С (у) + S(λ - х) S(y) = S(x) С (у) + S(y) С(х).

6.  Функция С(х) - четная, а функция S(x) - нечетная.

Доказательство: положив в основном соотношении II х = 0, получим:

С(-у) = С(0) С(у) + S(0) S(y) = С(у).

Положив в формуле S (х+у) у = -х, получим:

= S(x-x) = S(x) С(-х) + С(х) S(-x) = С(х) [S(x) + S(-x)] + 0.

Возможны два случая:

Случай а) С(х) ≠ 0, тогда S(x) + S(-x) = 0 или S(x) = - S(-x).

Случай b) С(х) = 0. Пусть у - произвольное число, взятое в интервале 0< у < λ; приняв во внимание, что С(-х) = С(х) = 0, получим:

С(х+у) = С[х-(-у)] = С(х) С(-у) + S(x) S(-y) = S(x) S(-y)                    (1)

и C(y+x) = С [y+(-x>] = C(y) C(-x) + S(y) S(-x) = S(y) S(-x)              (2)

Так как по условию III С(у) > 0, S(y) > 0, то в силу предыдущего,

S(y) = - S(-y). Приравняв выражения (1) и (2), получим:

S(x) S(-y) = S(y) S(-x) или -S(x) S(y) = S(y) S(-x).

Так как S(y)≠0, то и случае b) имеем: S(x)= - S(-x). Функция S (х) - нечетная.

. Имеют место теоремы сложения, выражающиеся следующими формулами:

С(х-у) = С(х) С(у) + S(x) S(y);

С(х+у) = С(х) С (у) - S(x) S(y);

S(x+y) = S(x) C(y) + S(y) C(x);(x-y) = S(x) C(y) - S(y) C(x).

В самом деле, первая формула имеет место по условию, третья доказана, вторая и четвертая вытекают из первой и третьей и из доказанных свойств четности и нечетности заменой у на -y.

7. Имеют место тождества:

                              S(2x) = 2 S(x) С(х); С(2х) = С² (х) - S² (х). (С)

Доказательство: формулы (А) преобразования произведения в суммы получаются из теорем сложения (пункт 6) путем надлежащего почленного сложения и вычитания соответствующих тождеств. Формулы (В) преобразования сумм в произведения получаются непосредственно из теорем сложения. Так, например:

Формулы (С) двойного аргумента получаются из формул С(х+у) и S(x+y)    при х = у.

. Имеют место формулы деления аргумента пополам:

Для доказательства достаточно воспользоваться тождествами:

(второе тождество получается из формулы (С) заменой х на ).

9.  имеют место формулы приведения:

С(х+ λ) = - S(x); S(x+ λ) = С(х);         [х + λ]

С(х+ 2 λ) = - С(х); S(x+ 2 λ) = - S(x);    [х + 2 λ]

С(х+ З λ) = S(x); S(x+ З λ) = - С(х);      [х + З λ]

С(х+ 4 λ) = С(х); S(x+ 4 λ) = S(x);        [х + 4 λ]

Доказательство: вычислим значения функции С(х) и S(x) в точках λ,2 λ, З λ, 4 λ.

Имеем:

С(λ) = О, S(λ) = 1;

С(2 λ) = С²(λ) - S²(λ) = -1, S(2 λ) = О,

С(З λ) = С(λ) С(2 λ) - S(λ) S(2 λ) = О,

S(3 λ) = S(λ) С(2 λ) + С(λ) S(2 λ) = -1,

И, наконец:

С(4 λ) = С²(2 λ) - S²(2 λ) = 1, S(4 λ) = 2 S(2 λ) С(2 λ) = 0.

Для доказательства формул достаточно воспользоваться теоремами сложения. Так, например:

С(х+ λ) = С(х) С(λ) - S(x) S(λ) = - S(x).

Следствие: функции С(х) и S(x) - периодические.

В самом деле, тождества [х + 4 λ] показывают, что число 4 λ является периодом для каждой из этих функций.

10. В интервале (0, 2 λ) функция С(х) убывает, а в интервале (2 λ, 4 λ) возрастает.

Доказательство: имеем

Пусть 0 <  <  < 2 λ; тогда  0 << λ и 0 << 2 λ.

Значение функции S(x) в точках     и     положительны (следствие пред. пункта), следовательно:

С(х₂) < C()

Т.е. С(х) убывает в интервале (0, 2 λ).

Пусть 2 λ ≤  <  < 4 λ; тогда   0 << λ и 2 λ << 4 λ.

В этом случае < 0, а поэтому

C() < С(х₂),

Т.е. С(х) убывает в интервале (2 λ, 4 λ).

Тем же методом доказывается следующее утверждение:

В интервале (-λ, λ), функция S(x) возрастает, а в интервале (λ, З λ) убывает. В частности заметим, что в интервале (0, λ) функция С(х) убывает, a S(x) возрастает.

. Функции С(х) и S(х) непрерывны на интервале (-∞; +∞)

Докажем предварительно следующую лемму.

Лемма: Функция С(х) непрерывна в точке х = 0.

Доказательство: так как С(0) = 1, то для доказательства леммы надо установить, что:

Достаточно рассмотреть правый предел lim С(х), считая, что х > 0, так как если этот правый предел существует, то, в силу свойства четности функции С(х):

С(х) = С(-х),

существует и имеет то же численное значение также и левый предел С(х) в точке 0.

Так как в интервале (0, λ) функция С(х) монотонна (убывает) и ограниченна, то правый предел функции С(х) существует.

А следовательно, существует предел (двусторонний) С(х) в точке х = 0; обозначим этот предел через 1:

Для вычисления 1 достаточно найти предел числовой последовательности значений функции С(х) по какой-либо частной последовательности {х_n} значений аргумента, сходящейся к нулю: lim х_n = 0. В качестве такой частной последовательности возьмем последовательность:

x₀= λ,  x₁=  , x₂ =  , … , x_n=  , …

Применив последовательно формулу деления аргумента пополам, найдем:

С(х₀) = 0, C(x₁) =  ,С(х₂)=  , C(х₃) =  ,

и вообще (применив метод полной индукции):        

С(х_n) =   (n радикалов).

Вычислим предел последовательности {s_n}, которая определяется рекуррентной формулой s_n =  , и начальным значением s =  :

s₁=, s₂=,..., s_n=,...

эта последовательность возрастает. Покажем, что последовательность {s_n} ограничена. Имеем:

s₁< 2,  s₂= <2,

применим метод полной индукции. Допустим, что  < 2, тогда получим также:

s_n= <2.

Так как последовательность {s_n} возрастает и ограничена, то lim s_n = 2. Вычислим предел последовательности {С(х_n)} значений функции С(х). Имеем:

lim C(x_n) = lim  =1.

Таким образом, имеем:

т.е. функция С(х) непрерывна в точке 0, ч.т.д.

Следствие: Функция S(x) непрерывна в точке х = 0.

В самом деле,

Значение функции S(x) в точке х = 0 также равно 0:

Теорема: Функции С(х) и S(x) непрерывны в каждой точке х. Доказательство: требуется доказать, что

Докажем первое равенство. Имеем:

C(x+h) = С(х) C(h) - S(x) S(h)

Второе равенство доказывается тем же методом, ч.т.д.

12. На сегменте [0, 2 λ] функция С(х) убывает от 1 до -1; На сегменте [2 λ, 4 λ] возрастает от -1 до1.

Доказательство: во-первых, в данном интервале (0, 2 λ) функция С(х) убывает (см. пункт 11).

во-вторых, С(0) = 1, С(2 λ) = -1.

в-третьих, пусть k - произвольное число, взятое при условии -1< k <1; будучи непрерывной в интервале (0, 2λ), функция С(х) имеет значение, равное k в некоторой точке ζ (единственной в силу монотонности):

С(ζ) = k,где   0< ζ <2λ, ч.т.д.

Аналогично доказываются следующие утверждения: На сегменте [2 λ, 4 λ] возрастает от -1 до 1;

На сегменте [-λ, λ] функция S(x) возрастает от -1 до 1; На сегменте

[λ, З λ] убывает от 1 до -1.

13. Число 4 λ есть наименьший положительный период для функций С(х) и S(x).

Доказательство: как известно, число 4λ есть период функций С(х) и S(x) (см. пункт 9, следствие). Если число 1 является периодом функции С(х), то: С(1) = С(0) = 1.

Значение, равное 1, функция С(х) имеет в точках: О, ±4 λ, ±8 λ,..., 4к λ,... Из этих возможных значений для 1 наименьшим положительным числом является число 4 λ.

Аналогично, для функции S(x): S (λ +1) = S(λ) = 1.

Последнее равенство справедливо при 1 = 4к λ, из этих чисел наименьшее положительное есть число 4 λ.

Мы изучили свойства косинуса и синуса, оставив в стороне две другие тригонометрические функции. Функция аналитический тангенс Т(х) определяется формулой

Изучение её свойств не представляет затруднений и может быть выполнено обычными способами на основании определения и известных свойств синуса и косинуса. Это же замечание относится и к котангенсу

2.5 Тригонометрические функции как решения линейного

дифференциального уравнения

Тригонометрические функции могут быть определены как частные решения некоторого линейного дифференциального уравнения второго порядка, при этом их свойства могут быть установлены на основании общих теорем теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим следующее линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

Согласно общим теоремам теории дифференциальных уравнений, существуют два частные решения Y₁(x) и Y₂(х) этого уравнения, удовлетворяющие следующим начальным условиям:

Y₁ (0) = 1,  (0) = 0, Y₂ (0) = 0,  (0) = 1.

Функции Y₁(x) и Y₂(х) линейно независимы, так как начальное значение вронскиана отлично от нуля.

А поэтому общее решение нашего уравнения может быть представлено в виде:

Y = C₁ Y₁ (x) + C₂Y₂(x).

Функции Y₁(x) и Y₂(х) непрерывны в интервале (-∞, +∞).

Следовательно, эти функции удовлетворяют первому характеристическому условию I, присущему аналитическому косинусу и синусу. Дифференциальное уравнение (3) может быть заменено системой линейных уравнений:

с постоянными коэффициентами. Существует единственное решение этой системы:

у = у(х), z = z(x), удовлетворяющее начальному условию:

у(0) = 0, z (0) = 1.

Функция у(х) (в силу способа составления системы (4)) удовлетворяет дифференциальному уравнению (3) и начальным условиям:

у(0) = 0, у' (0) = z (0) = 1.

Следовательно:      у (х) = Y₂ (х).

Функция z(x) также удовлетворяет уравнению (3):

и начальным условиям:

z(0)=l,z'(0) = -y(0) = 0,

а потому:

z (x) = Y₁ (x).                                                                                         (5)

Итак, в силу системы (4) имеем:

  (х) = Y₁ (х),  (x) = -Y₂(x).

Умножив первое уравнение (4) на у, а второе на z и сложив, получим:

откуда:

у² (х) + z² (х) = const.

Положив у = Y₂ (х), z = Y₁ (х), получим:

 (x) +  (x) = const;

Но при х=0 значение левой части равно 1. Cледовательно имеет место

тождество:

 (x) +  (x) = l.(6)

Следствие. Функции Y₁ (х) и Y₂ (х) ограничены.

Пусть ξ - произвольное действительное число. Функция: у(х) = Y₁(х - ξ), (при данном ξ) удовлетворяет уравнению (3). В самом деле:

у" (х) = - Y" (х - ξ), а потому 

у" (х) + у (х) =  (x + ξ) +   (х- ξ) = 0.

Следовательно, функция у(х) при некоторых значениях C₁ и С₂ содержится в общем решении (у):

   (х - ξ) = C₁ Y₁ (х) + С₂ Y₂ (х). (7)

Продифференцировав:

   (х - ξ) = - Y₂ (х - ξ) = - C₁ Y₂ (ξ) + С₂ Y₁ (ξ).

И положив х = ξ , получим:

C₁ Y₁ (ξ) + С₂ Y₂(ξ) = 1;

C₁ Y₂ (ξ)  + C₂ Y₁(ξ) = 0.

Откуда (приняв во внимание (6)) получим:

C₁ = Y₁(ξ), С₂ = Y₂ (ξ).

Равенство (7) примет следующий вид:

Y₁(х - ξ) = Y₁ (х) Y₁(ξ)+ Y₂ (х) Y₂ (ξ).

Последнее равенство есть тождество, так как х и ξ - произвольные действительные числа.

Следствие: для функций Y₁(x) и Y₂(x) удовлетворяется условие II, которым обладают аналитические синус и косинус.

Теорема: существуют положительные значения аргумента х, при которых функция Y₁(x) обращается в нуль.

Доказательство: предположим противное, что Y₁(x) ≠ 0 при произвольном значении х>0. Тогда Y₁(x) >0 в интервале (0, +∞). В самом деле, если бы существовало значение x₁, при котором Y₁(x) <0, то (в силу непрерывности) в промежутке, ограниченном точками х = 0 и х = x₁ существовала бы точка ξ (по крайней мере одна), в которой Y₁(ξ) = 0 (ибо Y₁(x₁) < 0, a Y₁(0) = 1> 0), что противоречит предположению.

Так как  (x) = Y₁(x) >0, то функция Y₂ (х) возрастает. Следовательно,      Y₂(x) >0 при х >0, ибо Y₂ (0) = 0 и Y₂ (0) < Y₂ (х). Так как Y₂ (х) - возрастающая положительная и ограниченная в интервале (0, +∞) функция, то существует конечный предел:

Из тождества  = - Y₂(x) и неравенства Y₂(x) >0 следует, что <0, и значит Y₁(x) убывающая функция. Будучи убывающей и положительной (а потому ограниченной), функция Y₁(x) имеет конечный предел в бесконечности:

Y₁(x +1) - Y₁(x);

Эта разность в бесконечности имеет предел, равный 0:

Но, с другой стороны, применив теорему Лагранжа:

(где х <  < х+1), получим:

Следовательно, предположение, что функция Y₂(x) отлична нуля при всех положительных значениях аргумента, привело к противоречию, откуда следует справедливость теоремы. Ч.т.д.

Обозначим через λ наименьший положительный корень функции Y₁(x) (наименьший положительный корень существует, так как множество точек, в которых непрерывная функция Y₁(x) обращается в нуль, замкнуто), тогда Y₁(λ) = 0 и Y₁(x) >0 при 0 < х < λ. В интервале (0, λ) функция Y₂(x) возрастает (как имеющая положительную производную), а потому Y₂(x) >0. Это значение есть предел возрастающей положительной в интервале (0, λ) функции:

Положив х =  в тождестве (6), получим Y₂() =1. Итак, имеем:

Y₁(0) = Y₂() =1, и в интервале (0, ) функции Y₁(x) и Y₂(x) положительны.

Следовательно, эти функции удовлетворяют характеристическим условиям III - IV. Функции и Y₂(x), как удовлетворяющие условиям I - IV, суть аналитический косинус и аналитический синус:

Y₁(x) = C_λ(x) , Y₂(x) = S_λ(x)

Покажем, что λ=  . Рассмотрим параметрические уравнения окружности: 

х = C_λ(t) , у = S_λ(t),  где 0 < t < 4 λ.

Вычислим длину дуги σ с началом в точке А(1,0), соответствующей значению параметра t = 0, и с концом в точке М(х,у), соответствующей произвольному значению параметра t. Имеем:

Следовательно, C_λ(t) и S_λ(t) суть абсцисса и ордината конца дуги длины t единичной окружности, отложенной от точки А, а потому:

C_λ(t) = cos t, S_λ(t) = sin t.

При t = λ имеем σ = λ =   .

2.6 Определение тригонометрических функций при помощи

обращения интегралов

Мы начинаем с определения arctg x равенством

Это уравнение однозначно определяет значение у, соответствующего каждому действительному значению х. Так как подинтегральная функция - четная, то у является нечетной функцией от х. Далее, так как у непрерывна и строго возрастает, то, существует обратная функция х = х (у), также непрерывная и строго возрастающая. Мы полагаем:

x = x(y) = tg y.

Если мы определим π уравнением:

то х (у) определена для   <y<.

Теперь мы полагаем

где имеется в виду положительное значение корня. Таким образом,

cos у и sin у определены для  <y<. Когда у → , х→∞, и,

следовательно, cos у → 0 и sin у→ -1. Мы определяем   равенствами

Тогда cos у и sin у определены для  <y≤, a  для  <y<. Наконец, мы определяем tg у, cos у и sin у для значений у вне интервала (, ) с помощью уравнений:

которые последовательно распространяют наши определения на интервалы

(, ), (, ),,..., (, ), (, ),...

Функция tg у тогда определена для всех значений у, кроме (k + )п, где k - целое число. Эти значения определением не охватываются; но tg у стремится к +∞ или к - ∞, когда у стремится к одному из этих значений, соответственно, слева или справа. С другой стороны, cos у и sin у определены и непрерывны для всех значений у.

Мы начали с определения acrtg x и tg y и затем определили cos у и sin у через tg у. Мы могли бы выбрать arcsin х и sin.y в качестве наших основных функций. В этом случае мы должны были бы определить arcsin х в интервале (-1,1) равенством

где берется положительное значение корня; sin у - как обратную функцию; π - с помощью равенства

a cos у и tg у - соотношениями

Дальнейшее развитие теории зависит от формул сложения. Заметим, в первую очередь, что:

(1 + x²) (1 + у²) = (1 - xy)² + (x + y)²,

и, следовательно,

Это приводит к соотношению

arctg х + arctg у = arctg z.

Но так как эти функции многозначны, то необходимо более внимательное рассмотрение.

Положим

так что

Таким образом, t и u изменяются в одном направлении. Когда t возрастает от - до  и возрастает от    до ∞ , а когда t возрастает от    до ∞ , и возрастает  от - до  . Кроме того, u = 0 когда t = x₁, и u = -x₁, когда t = 0.

Предположим теперь, что х₂ имеет такое значение, что интервал (-x₁, x₂) значений u  не содержит точку u =    , в которой t обращается в бесконечность. Если x₁> 0, то х₂ должно быть меньше  , а если x₁< 0, то x₂ должно быть больше . В этих учловиях t монотонно возрастает или убывает от 0 до когда u возрастает или убывает от -x₁ до x₂. Так как

то мы имеем

Если мы теперь положим  , то мы имеем

y = y₁ + y₂ и

что и является формулой сложения для тангенса.

Эта формула пока доказана только при некоторых ограничениях на значения переменных, а именно, в предположении, что x₂ <  , если х₁ > 0 и x₂ > , если

х₁ < 0. Когда х₁ > 0 и x₂→  слева, то х→ +∞ и у→ . Наши предположения сводятся, таким образом, к тому, что у₁, у₂ и у₁+у₂ должны лежать в интервале (, ).

Эти ограничения, однако, не нужны.

Ограничения на у₁+у₂ возникло из нашего предположения, что интервал  не содержит  . Допустим, что это условие нарушено, например, предположим для определенности, что х₁ > 0 и x₂ >  . Тогда, при u возрастающем от  - х₁ до x₂, t возрастает от 0 до ∞, затем меняет знак и возрастает от -∞ до х. Таким образом, мы имеем:

Следовательно,

arctg х = arctg х₁ + arctg x₂ - π.

И, по (9)

Аналогично мы можем поступить в случае х₁ < 0. Следовательно, (10) имеет место, если только у₁ и у₂ лежат в интервале (, ).

Наконец, так как каждая часть уравнения (10) является, по (9), периодической функцией от y₁ или у₂, то (10) справедливо без всяких ограничений, за исключением того, что ни y₁, ни у ₂ ни y₁+y₂ не должно быть нечетным кратным , так как в этих случаях (10) теряет смысл.

Из соотношений (10) и (8) мы заключаем, что

Для определения знака положим у₂ = 0. Уравнение сводится к следующему: cos y₁ = ± cos y₁ так что при у₂ = 0 следует брать положительный знак. Так как обе части меняют знак, когда у₂ увеличивается на π, то формула имеет место с положительным знаком для всех у₂ кратных π. Далее, обе части уравнения являются непрерывными функциями от у₂, так что перемена знака может произойти только в том случае, когда обе части обращаются в нуль, т. е. при значениях …, y₁,  y₁,  y₁ ,…, каждое из которых является единственным в любом интервале длины π . Так как мы видели, что в каждом таком интервале существует значение у₂. Для которого знак положителен, то он должен быть всегда положительным. Следовательно,

и соответствующая формула для sin (y₁+y₂) доказывается аналогично.

2.7 Тригонометрические функции как решение системы

функциональных уравнений

Будем исходить из следующей системы функциональных уравнений:

Дополним эту систему соотношениями:

Предположим, что функции S(x) и С(х), удовлетворяющие соотношениям (11) - (12) cуществуют.

Теорема. Любое нетривиальное решение системы обладает следующими свойствами:

1)  S(0) = 0, С(0) = 1.

2)   |S(x)|≤ l, |С(х) | ≤ 1.

3)  S(-x) = -S(x), С(-х) = С(х).

4)  Справедливы формулы сложения: С(х+у) = С(х) С(у) - S(x) S(y) и

S (х+у) = S(x) С (у) + S(y) С(х),

Доказательство:

) полагая х = у = 0 в соотношениях (11), будем иметь: S(0) = 0, С(0) = С²(0), откуда следует, что С(0) = 0 или С(0) = 1. Очевидно при С(0) = 0, S(x) = 0, С(х) = 0. поэтому будем рассматривать систему уравнений (11) при С(0) = 1 и S(0) = 0.

) полагая х = у в равенстве (11), получим:

S²(x) + С²(х) = 1                                                                 (13)

Из соотношения (13) получаем:

|S(x)|≤ l, |С(х) | ≤ 1.                                                               (14)

Далее, полагая х = а в равенстве (13), получим: S²(a) + С²(а) = 1. но S(a) = 1. Следовательно,

С(а) = 0.                                                                            (15)

) полагая х = 0 в равенстве (11), получим: S(-y) = S(0) С(у) - С(0) S(y).

Отсюда следует, что

S(-y) = - S(y)                                                                        (16)

Полагая х = 0 в равенстве (11), получим: С(-у) = С(0) С(у) + S(0) S(y), то есть

С(-у) = С (у)                                                                        (17)

) Теперь легко вывести формулы сложения для функции S(x) и С(х). Действительно, заменяя у через -у в соотношениях (11), используя четность и нечетность С(х) и S(x) (16) - (17) получим:

S(x + у) = S(x)C(y) + C(x)S(y)                                                   (18)

C(x + y) = C(x)C(y)-S(x)S(y)                                                     (19)

Что и требовалось доказать.

Из соотношений (18) и (19) вытекают также при у = а следующие формулы:

S(x+a) = С(х)                                                                        (20)

С(х+а) = - S(x)                                                                      (21)

Эти формулы вместе с (18) и (19) позволяют выразить значение функции S(x) и С(х) для любого действительного значения х через значения этих функций для значения х, принадлежащего интервалу (0, а), в частности, будем иметь:

S(2a+x) = С(х+а) = - S(x)                                                       (22)

С(2а+х) = - S(x+a) = - С(х)                                                    (23)

Как следствие, выводим следующие формулы:

Эти формулы вытекают из соотношений (11) или формул сложения. Из (19) и (24) приходим к формулам двойного аргумента для рассматриваемых, функций:

S(2x) = S(x)C(x) + C(x)S(x) = 2 S(x) C(x)                        (28)

Наконец, установим следующие формулы:

Теорема: функции С(х) и S(x) являются периодическими и число 4а - есть наименьший положительный период этих функций.

Доказательство: применяя доказанные выше формулы (22) - (23):

S(x+4a) = S[2a+(2a+x)] = - S(2a+x) = S(x)

Итак, при всяком х имеем: S(4a+x) = S(x). Т.е. Т=4а является периодом функции согласно определению. Докажем, что при всяком х имеет место равенство:

S(x+k) = S(x)                                                                    (30)

Число к не может быть равно числу а, 2а, За. В самом деле, если k=2а, то S(2a+x) = S(x). Но S(2a+x) = - S(x). Отсюда: S(x) = - S(x). Или S(x) = 0. это противоречит условию (12). Если k=3а, то S(3a+x) = S(x), но из (20) - (21):

S(x+3a) = S[a+(2a+x)] = С(2а+х) = - С(-х) = - С(х)

Или

S(x) = - С(х)

Чего не может быть, так как в этом случае из (11) следует, что S(x) = 0. Если k=а, то S(x+a) = S(x). С другой стороны, S(x+a) = С(х) или S(x) = С(х), чего не может быть.

Положим х = 0 в равенстве (30). Тогда получим: S(k) = S(0).

Число к не может принадлежать интервалу (0, а), так как в противном случае мы пришли бы в противоречие с условием (12).

Число k не может принадлежать интервалу (а, 2а), так как в противном случае число 2а-к принадлежало бы интервалу (0, а) и мы имели бы, согласно (16) - (17) и (22) - (26):

S(2a-k) = ...=- S(-k) = S(k) = 0, что противоречит условию (12).

Число к не может принадлежать интервалу (2а, 4а), так как в противном случае число 4а-к принадлежало бы интервалу (0, 2а) и мы имели бы:

S(4a-k) = S[4a+(-k)] = S(-k) = - S(k) = 0

Что противоречит только что доказанному. Итак, число 4а является наименьшим положительным периодом для функции S(x).

Для функции С(х) доказывается аналогично. Поэтому число 4а - также является наименьшим положительным периодом для функции С(х). Ч.т.д.

Теорема: функция С(х) положительна в интервале (0,а).

Доказательство: если 0 < х < а, то 0 < а-х < а. Допустим, что С(х) < 0, тогда S(a-x) < 0, а это противоречит условию (12). Итак, С(х) > 0, если 0 < х < а. ч.т.д.

Теорема: функция S(x) возрастает, а функция С(х) убывает на сегменте [0, а].

Доказательство: пусть числа x₁ и х₂ принадлежат сегменту [0, а] и x₁>x₂. тогда будем иметь:

Следовательно,

Вместе с тем имеем (27):

Таким образом, S(x₁) - S(x₂) > 0, S(x₁) > S(x₂), т.е. S(x) возрастает. Далее, в силу (25):

Таким образом, C(x₁) - C(x₂) < 0, C(x₁) < C(x₂)., т.е. C(x) убывает. Ч.т.д. Теорема: при любом натуральном n имеют место равенства:

 , (число радикалов равно n-1),          (31)

, (число радикалов равно n-1).            (32)

Доказательство: применим метод математической индукции.

Действительно:

Допустим, что равенство (31) справедливо при n=k. Имеем:

 , (число радикалов равно k-1), Имеем делее:

Следовательно,

(число радикалов равно k)

Итак, равенство (31) справедливо и при n=k+l. Так как это равенство верно и при n=1, то, следовательно, оно верно при любом натуральном n.

Аналогично доказывается и (32).

Теорема: если n - натуральное число, то =1.

Теорема: если n - натуральное число, то= 0.

Теорема: =1.

Доказательство:  существует в силу монотонности и ограниченности функции С(х) в интервале (0,а). Известно, для того, чтобы найти , достаточно найти по какой-либо последовательности, сходящейся к нулю. Имеем:

Итак, =1.

Теорема: функции S(x) и С(х) непрерывны.

Доказательство: 1) для функции С(х). используя (25), имеем:

Вместе с тем, в силу (14):

Тогда   

Это значит, что С(х) - непрерывная.

) случай с S(x) доказывается аналогично.

Теорема: если число х принадлежит интервалу (0,а), то S(x) <  .

Далее, на основании (20) - (29), можно доказать, что С(х) и S(x) совпадают с тригонометрическими функциями cos х и sin х соответственно и вывести общее решение системы функциональных уравнений.

Определение: решения системы функциональных уравнений (11) называются тригонометрическими синусом и косинусом и обозначаются соответственно:

S(x) = sin ( ) ,  C(x) = cos ( .

Заключение тригонометрия функция учебник школьный

В своем историческом развитии тригонометрия прошла следующие этапы:

1)      Тригонометрия была вызвана к жизни в раннюю пору разумной деятельности людей необходимостью производить измерения углов.

2)      Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Непосредственным результатом этого было то, что стало возможным решать плоские треугольники, главным образом, с целью определения расстояний до удалённых или недоступных объектов.

3)      В интересах практической астрономии и географических исследований были получены аналогичные результаты для треугольников на сферических поверхностях. С тех пор плоская и сферическая тригонометрии развивались как неотъемлемые части единой науки.

4)      Измерительный характер задач тригонометрии при массовом их повторении приводил к настоятельной необходимости табулировать значения вводимых тригонометрических функций.

5)      По мере оформления представлений о тригонометрических функциях они превращались в самостоятельные объекты исследований. Т.е. собственно в функции, объекты, обладающие самостоятельным значением и своими особыми свойствами.

6)      В начале XVI в. были установлены взаимные интерпретации между решениями определённого класса неприводимых алгебраических уравнений и задачами о делении угла, тем самым было положено начало установлению связей между алгеброй и тригонометрией.

7)      В XVIII в. тригонометрические функции были включены в систему математического анализа в качестве одного из классов аналитических функций.

В данной работе были рассмотрены различные способы построения теории тригонометрических функций: при помощи степенных рядов, линейного дифференциального уравнения, обращения интегралов, с помощью системы функциональных уравнений. Аксиоматическая теория является их обобщением. С её точки зрения различные способы определения тригонометрических функций есть лишь различные её интерпретации. Исторически эта теория является завершающим этапом в развитии теории тригонометрических функций.

В школе при введении теории тригонометрических функций применяется традиционный способ. Тригонометрический материал впервые появляется в курсе планиметрии (8 кл.), во второй раз тригонометрия предстает как часть алгебры (9 кл.), и в третий раз - в системе начал анализа (10-11 кл.). И, прежде всего, это обусловлено тем, что именно так, как вводятся элементы тригонометрии в средней школе, сформировалась эта наука в своём историческом развитии.

Литература

1.  Глейзер Г. И. История математики в средней школе / Пособие для учителей. М.: Просвящение. 1961 г.

2.  Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей (том 1) / Ф. Клейн. М.- Л. 1987 г.

3.       Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии / Г. П. Матвиевская. Ташкент. 1990 г.

4.       Рыбников К. А. Возникновение и развитие математической науки / К. А. Рыбников. М.: Просвящение. 1987 г.

5.       Энциклопедия элементарной математики. - М., 1952 г, т.2.

6.  Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М., 1969 г., том 2.

7.  Бохан К. А. и др. Курс математического анализа. - М., 1972, т.2.

8.       Новоселов С. И. Специальный курс тригонометрии. - М.. 1967.

9.  Харди Г. Г. Курс чистой математики. - М., 1949 г.

10. ал-Фараби. Математические трактаты. Алма-Ата: Наука, 1972.

11.     А. Г. Мордкович Алгебра и начала анализа 10-11 кл., 2001.

12.     М. И. Башмаков Алгебра и начала анализа 10-11 кл., 2001.