Потрійний інтеграл

Потрійний інтеграл

ПОТРІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ

1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості

Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла.

Нехай функція  визначена в обмеженій замкненій області . Розіб'ємо область  сіткою поверхонь на  частин , які не мають спільних внутрішніх точок і об'єми яких дорівнюють . У кожній частині  візьмемо довільну точку  і утворимо суму

,(1)

яка називається інтегральною сумою для функції  за областю . Нехай  – найбільший з діаметрів областей .

Якщо інтегральна сума (1) при  має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області  на частини , ні від вибору в них точок , то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним із таких символів:

 або .

Таким чином, за означенням

,(2)

де  – функція, інтегровна в області ;  – область інтегрування;  і – змінні інтегрування;  (або ) – елемент об'єму.

Якщо по тілу  розподілено масу з об'ємною густиною  в точці , то маса  цього тіла знаходиться за формулою

. (3)

Формула (3) аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійного інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області . Якщо всюди в області покласти , то з формули (2) випливає формула для обчислення об'єму  тіла :

.(4)

Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.

Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція  неперервна в обмеженій замкненій області , то вона в цій області інтегрована.

Властивості потрійних інтегралів.

1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:

.

Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків:

.

3. Якщо в області інтегрування , то

.

4. Якщо функції  та  визначені в одній і тій самій області  і , то

.

5. (Адитивність потрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування  функції  розбити на частини  і , які не мають спільних внутрішніх точок, то

.

6. (Оцінка потрійного інтеграла.) Якщо функція  неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то

,

де  і  відповідно найменше і найбільше значення функції  в області .

7. (Середнє значення функції.) Якщо функція  неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то в цій області існує така точка , що

.

Величина

називається середнім значенням функції  в області .

2. Обчислення потрійного інтеграла

Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній окремо.

Нехай область  обмежена знизу і зверху поверхнями  і , а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі . Позначимо проекцію області  на площину  через  (рис. 1) і вважатимемо, що функції  і  неперервні в .

Рисунок 1 – Область

Якщо при цьому область  є правильною, то область  називається правильною у напрямі осі . Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку  паралельно осі , перетинає межу області  у точках  і . Точку  назвемо точкою входу в область , а точку  – точкою виходу з області , а їхні аплікати позначимо відповідно через  і . Тоді ,  і для будь-якої неперервної в області  функції  має місце формула

.(5)

Зміст формули (5) такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл  за змінною , вважаючи  та  сталими. Нижньою межею цього інтеграла є апліката точки  входу , а верхньою – апліката точки виходу . Внаслідок інтегрування отримаємо функцію  від змінних  та .

Якщо область , наприклад, обмежена кривими  і  , де  і  – неперервні функції, тобто

, то, переходячи від подвійного інтеграла  до повторного (п. 1.3), отримаємо формулу

,(6)

яка зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні  і  у правій частині формули (6) за певних умов можна міняти місцями.

Якщо, наприклад, область  правильна в напрямі осі :

,

де  – неперервні функції, то

.

Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед:

,

то

. (7)

У цьому разі інтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область  правильна у напрямі всіх трьох координатних осей .

3. Заміна змінних в потрійному інтегралі

Заміну змінної в потрійному інтегралі виконують за таким правилом: якщо обмежена замкнена область  взаємно однозначно відображується на область  за допомогою неперервно диференційовних функцій , , , якобіан  в області  не дорівнює нулю:

і  – неперервна в , то справедлива формула

. (8)

На практиці найуживанішими є циліндричні та сферичні координати. При переході від прямокутних координат  до циліндричних  (рис.4, а), пов'язаних з співвідношеннями

;

,

якобіан перетворення

.

З формули (8) отримуємо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:

.(9)

Назва «циліндричні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня  є циліндром, прямолінійні твірні якого паралельні осі .

(рис. 4, б), які пов'язані з  формулами

Рисунок 4 – Координати: а) циліндричні; б) сферичні

;

,

якобіан перетворення

.

З формули (8) знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:

. (10)

Назва «сферичні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня  є сферою. При обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних координатах область , як правило, не будують, а межі інтегрування знаходять безпосередньо за областю , користуючись геометричним змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь  та , які обмежують область , записують у нових координатах.

Зокрема, якщо область  обмежена циліндричною поверхнею  та площинами , то всі межі інтегрування в циліндричній системі координат сталі:

і не змінюються при зміні порядку інтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у випадку, коли  – куля:  або кульове кільце. Наприклад, якщо  – кульове кільце з внутрішньою сферою , то рівняння цієї сфери в сферичних координатах має вигляд

або

,

звідки . Аналогічно  – рівняння зовнішньої сфери, тому

.

У випадку, коли  – куля , у цій формулі слід покласти . Інших будь-яких загальних рекомендацій, коли необхідно переходити до тієї чи іншої системи координат, дати неможливо. Це залежить і від області інтегрування, і від підінтегральної функції. Іноді потрібно написати інтеграл у різних системах координат і лише після цього вирішити, в якій з них обчислення буде найпростішим.

Приклад

1. Обчислити інтеграл , якщо область  обмежена поверхнями  і .

Розв’язання

Область  є конусом (рис. 5).

Рисунок 5 – Область

Рівняння конічної поверхні, яка обмежує область , можна записати у вигляді , а саму область  подати таким чином: , де  – круг радіуса  з центром . Тому даний потрійний інтеграл можна звести до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів у прямокутних координатах:

.

Проте зручніше перейти до циліндричних координат . Тоді прообраз круга  є прямокутник , прообраз конічної поверхні – плоска поверхня , а прообраз області  – область . Якобіан переходу до циліндричних координат дорівнює , підінтегральна функція в циліндричних координатах дорівнює. Зводячи потрійний інтеграл за областю  до послідовного обчислення трьох визначних інтегралів, отримаємо

Зазначимо, що розставлення меж інтегрування в циліндричних координатах, як правило, виконують, розглядаючи не область , а зміну циліндричних координат в області . Наочно видно, що в області  змінна  змінюється від  до , при кожному значенні  змінна  змінюється від  до , а для кожної точки  області  змінна  змінюється в області  від  (значення  в області ) до  (значення  на конічній поверхні).

4. Деякі застосування потрійного інтеграла

інтеграл потрійний обчислення змінний

1. Обчислення об'ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою

областю , що має об'єм , то згідно з формулою (4)

.(11)

Застосування у механіці. Нехай  – обмежена замкнена область простору , яку займає деяке матеріальне тіло з густиною , де  – неперервна функція в області , тоді:

а)маса цього тіла

;(12)

б)моменти інерції  тіла відносно координатних осей  відповідно дорівнюють

. (13)

Моменти інерції  тіла відносно координатних площин  обчислюються за формулами

.(14)

Момент інерції тіла відносно початку координат

(15)

в) статичні моменти тіла відносно координатних площин  обчислюються за формулами

;(16)

г) координати  центра маси тіла визначаються за формулами

. (17)

Доведення формули (11), як уже зазначалося, випливає з означення потрійного інтеграла:

.