Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
Основная
часть:
Применение графиков в решении уравнений.
I)Графическое решение квадратного уравнения:
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение
: x2+px+q=0;
Перепишем его так:x2=-px-q.(1)
Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.
График первой зависимости нам известен, это есть
парабола; вторая зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из
уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между
собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на
параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с
абциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения
квадратного уравнения:чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую
у=-рх-q.
Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек
пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не
требуется большой точности.
Примеры:
1.Решить уравнение:4x2-12x+7=0
Представим его в виде x2=3x-7/4.
Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.
Рисунок 1.
Для построения прямой можно взять,
например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках
с абциссами x1=0.8 и x2=2.2 (см. рисунок 1).
2.Решить уравнение : x2-x+1=0.
Запишем уравнение в виде: x2=x-1.
Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1,
увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.
Рисунок 2.
D=(-1)2-4=-3<0,
А поэтому уравнение не имеет корней.
3. Решить уравнение: x2-2x+1=0
Рисунок 3.
Если аккуратно начертить параболу у=х2 и
прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку(прямая касается
параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно
проверить это вычислением).
II) Системы
уравнений.
Графиком
уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной
плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя
переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является
прямая, уравнения у=0.5х2 –2 –парабола, уравнения х2 +у2=4
– окружность, и т.д..
Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и
степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя
переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0,
то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы
выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют
равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а
правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения.
Пример1:решить систему ⌠ x2 +y2 =25 (1)
⌠y=-x2+2x+5 (2)
Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):
Построим в одной системе координат графи)
х2 +у2=25 и у=-х2+2х+5
Координаты любой точки построенной
окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы
являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения
окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и
второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок,
находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2;
-4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно,
система уравнений имеет четыре решения:
х1≈-2,2 ,
у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5;
х3≈2,2 ,
у3≈4,5; х4≈4, у4≈-3.
Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что
второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье –
приближёнными.
III)Тригонометрические
уравнения:
Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически.
Рассмотрим графический способ решения на примере.
Рисунок5.
Пример2:Решить уравнение:tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего.
Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет
2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями)
Применение графиков в решении неравенств.
1)Неравенства с модулем.
Пример1.
Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.
На интеграле(-1;-∞) по определению модуля
имеем |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1,
и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному
неравенству –2х<4,которое
справедливо при х>-2. Таким образом, в множество решений входит
интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному
числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие
этому отрезку, входят в множество решний.
На интеграле (1;+∞) опять получаем линейное
неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл
(1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем
вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и
только они.
Однако тот же самый результат можно получить из
наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7
построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1|
и y=4.
Рисунок 7.
На интеграле (-2;2) график функции y=f(x)
расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)<4 справедливо.
Ответ:(-2;2)
II)Неравенства
с параметрами.
Решение неравенств с одним или несколькими параметрами
представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в
которой параметры отсутствуют.
Например, неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее
параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х +
√1-х>1.
Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по
существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество
неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые
значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого,
так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решить неравенство, содержащее
параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство
имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.
Пример1:
Решить неравенство|х-а|+|х+а|<b,
a<>0.
Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся
геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.
Y=f(x)=|x-a|+|x+a|
u y=b.
Ответ:Если
b<=2|a| , то решений нет,
Если b>2|a|, то x
€(-b/2;b/2).
III) Тригонометрические неравенства:
При решении неравенств с тригонометрическими функциями
существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на
соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция
sin x имеет положительный период 2π. Поэтому
неравенства вида: sin x>a, sin
x>=a,
sin x<a, sin x<=a.
Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины
2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на
этом отрезке решений числа вида 2πп, пЄZ.
Пример 1: Решить
неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)
Сначала решим это неравенство на
отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть – отрезок
[-π/2;3π/2].Здесь уравнение sin
x=-1/2 имеет одно решение
х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если –π/2<=x<= -π/6, то sin x<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не
являются. Если же –π/6<х<=π/2
то sin x>sin(-π/6) = –1/2.
Все эти значения х не являются решениями неравенства.
На оставшемся отрезке [π/2;3π/2] функция sin x
монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6.
Следовательно, если π/2<=x<7π/,
то sin x>sin(7π/6)=-1/2, т.е.
все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є[7π/6;3π/2] имеем
sin x<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются . Таким
образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке
[-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).
В силу периодичности функции sin x с
периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6
+2πn),nЄZ, также являются решениями неравенства. Никакие другие
значения х решениями этого неравенства не являются .
Ответ: -π/6+2πn<x<7π/6+2πn, где nЄZ.
Рисунок 10.