Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
Графическое решение уравнений, неравенств,
систем с параметром.
(алгебра и начала анализа)
Исполнитель: Зырянов Р.Б.
Руководитель: Попова Н.Б.
Екатеринбург 1998
Оглавление
I. Введение
II. Уравнения с параметрами.
§1. Определения.
§2. Алгоритм решения.
§3. Примеры.
III. Неравенства с параметрами.
§1. Определения.
§2. Алгоритм решения.
§3. Примеры.
IV. Список литературы.
V. Приложения.
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей
часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в
экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто
бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе
же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается
только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу,
я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее
рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический
метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с
параметрами.
В моём реферате
рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я
надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче
школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
§1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x),
(1)
где a, b, c, …, k, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0,
c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого
уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых
значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых
значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество
всех допустимых значений х, т.е. аÎА,
bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и
зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в
уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним
неизвестным.
Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются
постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением,
содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b,
c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с
параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения
и каковы они.
Два уравнения,
содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при
одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение
первого уравнения является решением второго и наоборот.
§2. Алгоритм решения.
Находим
область определения уравнения.
Выражаем
a как функцию от х.
В системе
координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения
данного уравнения.
Находим точки
пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график
а=¦(х), то определяем абсциссы точек
пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.
Записываем ответ.
§3.
Примеры
I. Решить уравнение
(1)
Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно
разрешить уравнение относительно а :
или
График функции – две
“склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется
количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È , то
прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки
найдем при решении уравнения относительно х.
Таким образом, на этом
промежутке уравнение (1) имеет решение .
Если а Î , то
прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек
можно найти из уравнений и , получаем
и
.
Если а Î , то
прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.
Ответ:
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È, то
;
Если а Î , то
решений нет.
II. Найти все значения параметра а,
при которых уравнение имеет три различных корня.
Решение.
Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций
, можно заметить,
что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем
положениям графика функции , при которых он имеет
точно три точки пересечения с графиком функции .
В системе координат
хОу построим график функции ). Для этого можно
представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих
случая, запишем эту функцию в виде
Поскольку график функции – это прямая,
имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и
пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три
указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая
касается графика функции . Поэтому находим
производную
Ответ: .
III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
имеет решения.
Решение.
Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт
семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят”
вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим
её на множители
Множеством точек плоскости ,
удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые
и
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства
“полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее
точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”,
которая касается
прямой ), то
рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы”
совпадает с точкой А, то .
Случай касания “полупараболы” с прямой определим
из условия существования единственного решения системы
В этом случае уравнение
имеет один корень, откуда находим :
Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а Î (-¥;-3] È(;+¥).
IV. Решить уравнение
Решение.
Использовав равенство , заданное уравнение
перепишем в виде
Это уравнение равносильно системе
Уравнение перепишем в виде
.
(*)
Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические
соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и,
следовательно, уравнение не имеет решений.
Если , то при графики функций совпадают и,
следовательно, все значения являются решениями
уравнения (*).
При графики пересекаются в одной
точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение
- .
Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения
уравнения (*) будут удовлетворять условиям
Пусть , тогда .
Система примет вид
Её решением будет промежуток хÎ
(1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все
значения х из промежутка [3; 5).
Рассмотрим случай, когда . Система неравенств
примет вид
Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но , поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .
Ответ:
если аÎ (-¥;3), то
решений нет;
если а=3, то хÎ [3;5);
если aÎ (3;7), то ;
если aÎ [7;+¥), то
решений нет.
V. Решить уравнение
, где а - параметр. (5)
Решение.
1. При любом а :
2. Если , то ;
если , то .
3.
Строим график функции , выделяем ту его
часть , которая соответствует . Затем отметим ту
часть графика функции , которая соответствует
.
4. По графику
определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких –
не имеет решения.
Ответ:
если , то
если , то ;
если , то
решений нет;
если , то , .
VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при
которых системы
(1)
(2)
имеют одинаковое число решений ?
Решение.
С учетом того, что имеет смысл только
при , получаем после преобразований систему
(3)
равносильную системе (1).
Система (2) равносильна системе
(4)
Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство
прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром
в точке А(1;1) и радиусом
Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет не
менее четырех решений. При окружность касается
прямой и система (4) имеет пять решений.
Таким образом, если , то система (4)
имеет четыре решения, если , то таких решений
будет больше, чем четыре.
Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то
система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и
больше четырех решений, если .
Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой
системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и
втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство
прямых.
При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь
два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли
прямая, заданная уравнением , иметь общие точки с
гиперболой при (прямая
всегда имеет одну точку пересечения с
графиком функции ).
Для решения этого рассмотрим уравнение
,
которое удобнее переписать в виде
Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D
последнего уравнения:
*
если , т.е. если , то
система (3) имеет два решения;
*
если , то система (3) имеет три решения;
*
если , то система (3) имеет четыре решения.
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это
четыре. И это имеет место, когда .
Ответ:
II. Неравенства с параметрами.
§1. Основные определения
Неравенство
¦(a,
b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k,
x), (1)
где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная
величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0,
c = c0, …, k = k0, при некоторой функции
¦(a,
b, c, …, k, x) и
j(a,
b, c, …, k, x
имеют смысл в области действительных чисел,
называется системой допустимых значений параметров.
называется допустимым значением х, если
¦(a,
b, c, …, k, x) и
j(a,
b, c, …, k, x
принимают действительные значения при любой
допустимой системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью
определения неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением
неравенства (1), если неравенство
¦(a,
b, c, …, k, x0)>j(a, b,
c, …, k, x0)
верно при любой системе допустимых значений
параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим
решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях
параметров существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
¦(a,
b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x)
и (1)
z(a,
b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k,
x) (2)
называются равносильными, если они имеют
одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых
значений параметров.
§2. Алгоритм решения.
1. Находим область
определения данного неравенства.
2. Сводим
неравенство к уравнению.
3. Выражаем а как
функцию от х.
4. В системе
координат хОа строим графики функций а =¦
(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного
неравенства.
5. Находим
множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6. Исследуем
влияние параметра на результат.
·
найдём абсциссы точек пересечения графиков.
·
зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥
7. Записываем
ответ.
Это всего лишь один из
алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат
хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы
координат хОy.
§3.
Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой
неравенств
данное неравенство равносильно системе
неравенств
Если , то решения исходного
неравенства заполняют отрезок .
Ответ: , .
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
(*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость
аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2)
задает окружность радиуса 2
с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение
заштрихован
ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы
а значения и находятся из системы
Решая эти системы, получаем, что
Ответ:
III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.
Решение.
Находим область допустимых значений –
Построим график функции в системе координат хОу.
·
при неравенство решений не имеет.
·
при для решение
х удовлетворяет соотношению , где
Ответ: Решения неравенства существуют при
, где ,
причем при решения ; при
решения .
IV. Решить неравенство
Решение.
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для
чего перейдем к равенству :
Разложим числитель на множители.
т. к. то
Разделим обе части равенства на при . Но является
решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .
3. Строим в ПСК хОа графики функций
и нумеруем образовавшиеся области (оси
роли не играют). Получилось девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для
чего берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
№
|
точка
|
неравенство:
|
вывод
|
1
|
|
|
-
|
2
|
|
|
+
|
3
|
|
|
-
|
4
|
|
|
+
|
5
|
|
|
-
|
6
|
|
+
|
7
|
|
|
-
|
8
|
|
|
+
|
9
|
|
|
-
|
5. Найдем точки пересечения графиков
6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.
Ответ.
при
при
при
при решений
нет
при
Литература
1. Далингер
В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
2. Далингер
В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по
математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
3. Окунев
А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа -
Пресс”. Москва 1986 г.
4. Письменский
Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
5. Ястрибинецкий
Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство
“Просвещение”. Москва 1972 г.
6. Г.
Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая
литература. Москва 1977 г.
7. Амелькин
В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996
г.