Решение уравнений, неравенств, систем с параметром
КУРСОВАЯ РАБОТА
На тему:
Решение уравнений, неравенств, систем с
параметром.
(алгебра и начала анализа)
Исполнитель: Бугров С К.
Руководитель: Рокова
Н.Б.
Москва,
2003
Оглавление
Введение 3
§1. Основные определения 4
§2. Алгоритм решения. 6
II. Неравенства с
параметрами. 18
§1. Основные определения 18
§2. Алгоритм решения. 19
Литература 26
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей
часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в
экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто
бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе
же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики
рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную
работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее
рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический
метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с
параметрами.
В моём реферате
рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я
надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче
школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
§1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k,
x), (1)
где a, b, c, …, k, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0,
c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого
уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых
значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых
значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество
всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у
каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по
одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим
уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются
постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением,
содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d,
…, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение
с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют
решения и каковы они.
Два уравнения,
содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют
смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение
первого уравнения является решением второго и наоборот.
§2. Алгоритм решения.
1.Находим область определения
уравнения.
2. Выражаем a как функцию от
х.
3. В системе координат хОа
строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область
определения данного уравнения.
Находим точки
пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с
пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого
достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.
4. Записываем ответ.
I. Решить уравнение
(1)
Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно
разрешить уравнение относительно а :
или
График функции –
две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется
количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È , то прямая у=а пересекает график уравнения
(1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.
Таким образом, на
этом промежутке уравнение (1) имеет решение .
Если а Î , то прямая у=а пересекает график
уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем
и .
Если а Î , то прямая у=а не пересекает
график уравнения (1), следовательно решений нет.
Ответ:
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È, то ;
Если а Î , то , ;
Если а Î , то решений нет.
II. Найти все значения параметра а,
при которых уравнение имеет
три различных корня.
Решение.
В системе
координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре
возникающих случая, запишем эту функцию в виде
Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох,
равный , и
пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три
указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая
касается графика функции . Поэтому находим производную
Ответ: .
III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
имеет решения.
Решение.
Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство
“полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её
на множители
Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются
две прямые
и
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства
“полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины
полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует
вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих
точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то .
Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования
единственного решения системы
В этом случае уравнение
имеет один корень, откуда находим :
Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а Î (-¥;-3] È(;+¥).
IV. Решить уравнение
Решение.
Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде
Это уравнение равносильно системе
Уравнение перепишем
в виде
.
(*)
Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические
соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются
и, следовательно, уравнение не имеет решений.
Если , то
при графики
функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).
При графики
пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное
решение - .
Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения
(*) будут удовлетворять условиям
Пусть ,
тогда . Система
примет вид
Её решением будет промежуток хÎ (1;5).
Учитывая, что ,
можно заключить, что при исходному
уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).
Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид
Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но
, поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .
Ответ:
если аÎ (-¥;3), то решений нет;
если а=3, то хÎ [3;5);
если aÎ (3;7), то ;
если aÎ [7;+¥), то решений нет.
V. Решить уравнение
, где а -
параметр. (5)
Решение.
1. При любом а
:
2. Если , то ;
если , то .
3. Строим
график функции ,
выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует .
4. По графику
определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких –
не имеет решения.
Ответ:
если , то
если , то ;
если , то решений нет;
если , то , .
VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы
(1)
и
(2)
имеют одинаковое число решений ?
Решение.
С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после преобразований
систему
(3)
Система (2) равносильна системе
(4)
Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых,
второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке
А(1;1) и радиусом
Поскольку ,
а , то , и, следовательно, система
(4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять
решений.
Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если , то таких решений будет
больше, чем четыре.
Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то
система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех решений, если .
Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой
системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и
втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу
семейство прямых.
При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два,
три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая,
заданная уравнением ,
иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с
графиком функции ).
Для решения этого рассмотрим уравнение
,
которое удобнее переписать в виде
Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D
последнего уравнения:
· если , т.е. если , то система (3) имеет два
решения;
· если , то система (3) имеет три
решения;
· если , то система (3) имеет
четыре решения.
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это
четыре. И это имеет место, когда .
Ответ:
§1. Основные определения
Неравенство
¦(a, b, c,
…, k, x)>j(a, b, c, …, k, x),
(1)
где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная
величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0,
c = c0, …, k = k0, при некоторой функции
¦(a, b, c, …, k, x)
и
j(a, b, c, …, k, x
имеют смысл в области действительных чисел,
называется системой допустимых значений параметров.
называется
допустимым значением х, если
¦(a, b, c, …, k, x)
и
j(a, b, c, …, k, x
принимают действительные значения при любой
допустимой системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения
неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением
неравенства (1), если неравенство
¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)
верно при любой системе допустимых значений
параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим
решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров
существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
¦(a, b, c, …, k,
x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)
z(a, b, c, …, k,
x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)
называются равносильными, если они имеют
одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых
значений параметров.
§2. Алгоритм решения.
1. Находим
область определения данного неравенства.
2. Сводим
неравенство к уравнению.
3. Выражаем а
как функцию от х.
4. В системе
координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для
тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
5. Находим
множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6. Исследуем
влияние параметра на результат.
· найдём
абсциссы точек пересечения графиков.
· зададим
прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥
7. Записываем
ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с
параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы
решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
§3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
данное неравенство равносильно системе
неравенств
Если , то
решения исходного неравенства заполняют отрезок .
Ответ: , .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
(*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх
на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2)
задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением
исходной системы будет пересечение заштрихован
ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы
а значения и находятся из системы
Решая эти системы, получаем, что
Ответ:
III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.
Решение.
1.Находим область допустимых значений
–
2.Построим график функции в системе
координат хОу.
· при неравенство решений не
имеет.
· при для решение х удовлетворяет соотношению
, где
Ответ: Решения неравенства существуют при
, где , причем при решения ; при решения .
IV. Решить неравенство
Решение.
1.Находим ОДЗ или линии разрыва
(асимптоты)
2.Найдем уравнения функций, графики
которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :
Разложим числитель на множители.
т. к. то
Разделим обе части равенства на при . Но является решением : левая часть уравнения
равна правой части и равна нулю при .
3. Строим в ПСК хОа графики функций
и нумеруем образовавшиеся области (оси
роли не играют). Получилось девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего
берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
?
|
точка
|
неравенство:
|
вывод
|
1
|
|
|
-
|
2
|
|
|
+
|
3
|
|
|
-
|
4
|
|
|
+
|
5
|
|
|
-
|
6
|
|
|
+
|
7
|
|
|
-
|
8
|
|
|
9
|
|
|
-
|
5. Найдем точки пересечения графиков
6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.
Ответ.
при
при
при
при решений
нет
при
1. Далингер
В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996
г.
2. Далингер В.
А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по
математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
3. Окунев А.
А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”.
Москва 1986 г.
4. Письменский
Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
5. Ястрибинецкий
Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство
“Просвещение”. Москва 1972 г.
6. Г. Корн и
Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая
литература. Москва 1977 г.
7. Амелькин В.
В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996
г.