Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу
Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное
многообразие, плотное в E. "e "xÎE
$u: ║x-u║<e
Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы
один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства
существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного
подпространства.
Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $zeÎE\L
║ze║=1 r(ze,L)>1-e
Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная
последовательность сходиться.
Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное
пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном
нормированном пространстве.
Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в
норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный
элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова
пространства.
Определение: L плотное в E, если "xÎE
$uÎL:
║x-u║<e
Теорема:
Чтобы L было плотно в H ó ортогональное дополнение к L состояло только из
нулевого элемента.
Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое
счетное плотное в нем множество.
Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к
элементам данного пространства.
Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy
Определение: Непрерывный оператор – AxàAx0 при xà x0
Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов
Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A
– непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.
Определение: Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с: ║Ax║≤c
Теорема:
A – ограниченный ó "xÎX
║Ax║≤c║x║
Теорема: Для того чтобы А был непрерывен ó чтобы он была
ограничен
Теорема: {An} равномерно ограничена è {An}-
ограничена.
Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║à0, nà¥, обозначают AnàA
Определение: Слабая сходимость - "xÎX ║(An-A)x║Yà0, nà¥
Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость ó {An}
сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема: Банаха-Штенгауза AnàA nॠслабо è 1) {║An║}- ограничена 2) AnàA, x’ÌX, x’=x
Теорема: Хана Банаха. A:D(A)àY,
D(A)ÌX è $ A’:XàY
1) A’x=Ax, xÎD(A) 2)
║A’║=║A║
Определение: Равномерная ограниченность - $a "x:
║x(t)║≤a
Определение: Равностепенная непрерывность "t1,t2 $d: ║x(t1)-x(t2)║<e
Теорема: L(X,Y) полное, если Y – полное.
Определение: Ядро – {xÎX |
Ax=0}
Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X*:=L(X,E)
Определение: Сопряженный оператор A*: Y*àX*
Теорема: Банаха A:XàY
и X,Y- полные нормированные пространства.
Тогда $ A-1
и ограничен.
Определение: Оператор А – обратимый
Определение:
Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим,
2) R(A)=Y, 3) A-1-ограничен.
Теорема: A-1 $ и ограничен ó $m>0 "xÎX
║Ax║≥m║x║
Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом
пространстве. Пусть f:XàY
– линейный ограниченный функционал è $! yÎH "xÎH f(x)=(x,y)
Определение: MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности
можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.
Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная
последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.
Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно ó "e>0 $
конечная e-сеть
Теорема:
Арцела. MÌC[a,b] компактно
ó все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно
непрерывны.
Определение: s(X,Y) – подпространство компактных операторов
Теорема: Шаудера. AÎs(X,Y) ó A*Îs(X*,Y*)
Линейные
нормированные пространства
1.
Пространства векторов
сферическая
норма
кубическая норма
ромбическая
норма
p>1
2.
Пространства последовательностей
p>1
или пространство
ограниченных последовательностей
пространство последовательностей, сходящихся к нулю
пространство сходящихся последовательностей
3.
Пространства функций
пространство непрерывных на функций
пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций
£p[a,b] пространство
функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)
- пополнение £p[a,b]
(Гильбертово)
Неравенство Гёльдера p,q>0
Неравенство Минковского