Аналоги теореми порівняння Колмогорова та їх застосування

Аналоги теореми порівняння Колмогорова та їх застосування

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара

Механіко-математичний факультет

Кафедра математичного аналізу і теорії функцій

ДИПЛОМНА РОБОТА

ПЕРШОГО (БАКАЛАВРСЬКОГО) РІВНЯ ВИЩОЇ ОСВІТИ

Аналоги теореми порівняння Колмогорова та їх застосування

РЕФЕРАТ

Дипломна робота освітньо- кваліфікаційного рівня бакалавр :30 с., 13 рис., 10 джерел.

Об’єктом дослідження є ідеальні сплайни Ейлера та їх аналоги.

Мета: отримання аналогів теореми порівняння Колмогорова.

Методи дослідження: класичні методи математичного та функціонального аналізу.

Одержані теореми порівняння для  є новими.

Результати дослідження можуть бути застосовані при дослідженні екстремальних задачфункціонального аналізу та теорії наближення.

Ключові слова: ТЕОРЕМА ПОРІВНЯННЯ КОЛМОГОРОВА, СПЛАЙНИ ЕЙЛЕРА, НЕСИМЕТРИЧНІ СПЛАЙНИ.

SUMMARY

The graduation paper consists of 30 pages, 13 pictures, and 10 references.object of research isideal Euler splines and their analogues.objective of research is proofof Kolmogorov’s comparison theorem analogues.methods are classic methods of math and functional analysis.theorems for the classof functions  are new.results can be used for research of extremal problems of Functional Analysis and Approximation Theory.words: Kolmogorov`s comparison theorem, Euler splines, nonsymmetrical splines.

ВСТУП

Теоремами порівняння називають твердження, які дають оцінку тій чи іншій характеристиці функції із деякого класу через відповідну характеристику деякої фіксованої функції. Останню функцію можна вважати еталонною або стандартною для даного класу; її також називають функцією порівняння для даного класу.

Першу теорему такого типу довів А. М. Колмогоров. Він показав, що ідеальні ейлеровісплайни є функціями порівняння для функцій з класу .

Як сам результат, так і метод його доведення зіграли велику роль. Завдяки теоремі порівняння були виведені точні нерівності для норм похідних типу відомої нерівності Колмогорова. Згодом використання ідей, пов’язаних із теоремами порівняння, дало можливість отримати ряд нових точних результатів, які з’ясовують екстремальні властивості функцій.

З огляду на вищевказане, тема роботи актуальна.

ОСНОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ

множина усіх дійсних чисел.множина усіх натуральних чисел.

- множина неперервних на усій осі функцій.

- ідеальний сплайн Ейлера, порядку r.

- простір вимірних і суттєво обмежених функцій f: RRз нормою .

, - простір функцій f:RR таких, що похідна локальноабсолютнонеперервнаі .

.

,

,

Для  та X=C(R) або ,=.

- клас усіх функцій f, які мають r-1 похідну,- локально абсолютно неперервнаі, .

РОЗДІЛ 1. ВІДОМІ РЕЗУЛЬТАТИ

Введемо поняття функції порівняння.

Скажемо, що є функцією порівняння для функції f, якщо  різниця -[f(t+)+c] на кожному проміжку монотонності або не змінює знак, або змінює один раз, до того ж з «+» на «-» там, де  спадає, і з «-» на «+» там, де  зростає. Зрозуміло, що якщо функція  є функцією порівняння для функції f(t), то функція  є функцією порівняння для функції f(t) .

Функції порівняння відомі для багатьох класів (див. наприкл.[1], [3], [6], [7], [9], [10] та інші). В наступних підрозділах ми наводимо деякі з відомих результатів стосовно цієї тематики.

.1 Теорема порівняння, симетричний випадок

Нехай  (r=1,2,….)- множина заданих і r-1 раз неперервно диференційованих на усій осі функцій f(t) таких, що  і .

Покладемо

У якості функцій порівняння будуть виступати ідеальні сплайни Ейлера (див. [1], c. 64).

Для покладемо де - ідеальний сплайн Ейлера, тобто - та періодична первісна функції sign (sin (t)) (див. рис.1,2).

Тоді.

рис.1

рис. 2

Теорема порівняння у цьому випадку має вигляд (див. [2], с. 119) :

Теорема А.Нехай . Якщо функція  і числоλ вибрано так, що , то функція  є функцією порівняння для функції .

Існує аналогічне формулювання цієї теореми.

Теорема B.Нехай і при деякому . Якщо такі, що f(ξ)=, тоді .

.2 Несиметричний випадок

Існує певне коло задач аналізу, в якому замість «симетричного» класу  доводиться розглядати його «несиметричний» аналог. Далі буде наведений «несиметричний» аналог теореми порівняння (див. [2], с. 127).

Для чисел  позначимо,

де та - відповідно додатна та від’ємна частини функції f(t), а через позначимо клас функцій, таких, що

.

Екстремальною функцією у цьому класі буде несиметричний ідеальний сплайн Ейлера , який визначається наступним чином:

де число γ=γ(α,β) обрали так, щоб виконувалось рівняння

звідси γ=

Продовжимо її періодично на усю вісь.- первісна із нульовим середнім на періоді від функції, тоді (див. рис. 3,4).

рис. 3

рис. 4

У несиметричному випадку справедлива наступна теорема порівняння (див. :

ТеоремаC.Нехай ; і число λ обрали так, що для всіх

Тоді функція  є функцією порівняння для функції .

Введемо класи

.

.

Нехай  Визначимо T:=.Визначимо функцію  наступним чином (див. [4], с. 2). На відрізку [0;T] покладемо

(див. рис.5)

Продовжимо функцію  на відрізок [T;2T]рівнянням

а потім періодично із періодом  на усю вісь.

Через ,де будемо позначати сплайн Ейлера порядку r (тобто - ту періодичну первісну функції sgn(sin(t))із середнім значенням нуль на періоді) (функції  вперше розглядав Родов[8]).

рис.5

Для , і покладемо

(t):=.

Відзначимо, що функція  є - періодичною (див. [4], с. 3)

ТеоремаD.Нехай  і . Нехай виконується одна із умов.

Числа , , λ і  такі, що

,

рис. 6

Числа , , λ і  такі, що

,

рис. 7

рис. 8

Числа , , λ і  такі, що

,

Тоді функція  є функцією порівняння для функції .

рис. 9

рис. 10

Зауваження. Попередня теорема демонструє, що при відповідному підборі параметрів , ; , ; функція  буде функцією порівняння для функції f для класів  відповідно.

РОЗДІЛ 2. ФУНКЦІя  ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

.1 Означення екстремальної функції

У даній роботі розглядається клас , на якому ми задамо несиметричний сплайн.

- клас усіх функцій f, які мають r-1 похідну,- локально абсолютно неперервнаі, .

Нехай побудуємо функцію.

Нехай , - довільне, , .

(див. рис. 11)

рис. 11

Продовжимо функцію  періодично на всю вісь з періодом T=.

(2.3.1)

Розглянемо , що є первісною  з нульовим середнім на періоді. Тоді в силу (2.3.1) , є також періодичною. Аналогічно для будь- якого r, - це первісна функції з нульовим середнім на періоді.

.2 Деякі властивості екстремального сплайна

Відзначимо основні властивості.

З означення  Оскільки

,звідси випливає, що

 має два нулі на періоді і при r строго монотонна між точками локального екстремуму.

Лема. Нехай f належить простору .

Тоді :.

Доведення. В силу означення , , ,при. Тоді , таке, що

РОЗДІЛ 3.ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ

Теорема. Якщо f(R),  і  таке, що

для будь- якого , то функція є функцією порівняння для функції f(t).

Доведення.Скористаємось методом математичної індукції.

Далі для скорочення записів будемо писати  замість .

Базис: Нехай r=1.

Доведемо, що якщо f і

то функція  є функцією порівняння для функції f(t).

Позначимо .

, ( і (

Нехай функції , на якому функціязмінює знак з «-» на «+».

Нехай (, -проміжок строгої монотонності .

Оскільки на (, і(R), тоотримаємо

Оскільки на (, і (R), тоотримаємо .

Тоді (), отже (.

.

Отримали протиріччяз (3.2), отже є функцією порівняння для f у випадку r=1.

Індуктивне припущення. Нехай твердження справедливе при r=k-1, тобто, якщо і виконується

то функція є функцією порівняння для функції f(t).

Доведемо твердження при r=k. Нехай  і

Доведемо, що функція  є функцією порівняння для функції f(t).

Для цього спочатку доведемо, що

Припустимо супротивне. Нехай (3.3) не виконується. Це можливо у наступних 3 випадках:

випадок:

випадок:

випадок: 0

Розглянемо 3 випадок, інші випадки розглядаються аналогічно.

Без зменшення загальності можемо вважати, що

(3.4)

Оскільки замість  ми можемо розглянути функцію , де -  число, будемо вважати, що

Нехай - найближчі ліворуч та праворуч від  нулі функції , функція  зростає на ( і спадає на (.

В силу (3.1)

⇒(:0). Будемо вважати, що

Розглянемо функцію

, тоді g,

.

і в силу (3.4)

Тобто, для g усі умови індуктивного припущення виконуються.

 розглянемо функцію h(t)h(t)=g(t+.В силу означення h для неї також виконуються умови з індуктивного припущення. Дійсно,h

крім того, h()=g(, враховуючи (3.6) можемо обрати  настільки малим, щоб виконувалось h(тоді різниця змінює знак з «-» на «+»,отже не є функцією порівняння для функції h, що суперечить індуктивному припущенню.Таким чином ми довели (3.3).

Повернемось до доведення індуктивного припущення.

Нехай r=k і f, така, що виконується (3.1). Тоді справедливі нерівності (3.3).

Розглянемо різницю .

Припустимо супротивне, що не є функцією порівняння для функції f,

Можемо вважати, що на проміжку зростання,є зміни знаку функції з «-» на «+».

Нехай , - проміжок зростанняі

Розглянемо (t)=(1-f(t)-(t), де  вибрано так, щоб

(

В силу (3.1)

 (див. рис. 12).

рис. 12

Тоді існують точки А, В, С:

і

(див. рис. 13).

рис. 13

можемо вважати, що дві з 3 точок  лежать на (, така, що зростає на ( і спадає на (. Але тоді функція  змінює знак з «-» на «+» на проміжку зростання ( функції , отже  не є функцією порівняння для функції (1-f, що суперечить індуктивному припущенню. Теорема доведена.

ВИСНОВКИ

теорема колмогоров функція екстремальний

Дипломна робота присвячена отриманню аналогів теореми порівняння Колмогорова для класу функцій, що задаються обмеженнями на несиметричні норми старших похідних.

У першому розділі буларозглянута теорема порівняння Колмогорова для різних класів.

У третьому розділі була доведена теорема порівняння для класу

(-).

ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

[1] Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближений- М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1984, 352 с., с. 64.

[2] Корнейчук Н. П Точные константы в теории приближения- М.: Наука . Гл. ред. физ.- мат. лит., 1987.-424 с., с. 94, с. 104, с. 119.

[3] Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. Главная редакция физико- математической литературы изд- ва «Наука», М., 1976, с. 113.

[4] В. Ф. Бабенко, О. В. Коваленко Теоремы сравнения производных и некоторые их приложения. Вісник ДНУ, 2012,Том 1, №1, 1-9ISSN 9128- 0912.

[5]В. Ф. Бабенко, Н. П. Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов Неравенства для производных и их приложения, Киев, Наукова думка, 2003, с. 66, с. 69.

[6]Колмогоров А. Н. о неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале .// В кн. А. Н. Колмогоров, избранные труды, Математика и механика, М. Наука, 1985, с. 252- 263.

[7] Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов.- Киев. Наук.думка 1992, -304 с.

[8] Родов А. М. Зависимость между верхними гранями производных функций действительного переменного // Изв. АН СССР. Сер. Мат.- 1946. 10. с.- 257-270.

[9] Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г. Аппроксимация с ограничениями - Киев: Наукова думка, 1982,- 250 с.

[10] Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Inequalities for norms of intermediate derivatives of periodic functions and their applications// Ibid.- N 3.- P. 251- 376.