Гармонійні функції
ЗМІСТ
Вступ
1. Збіжність
ряду в нормованому просторі
2. Збіжність
ортогонального ряду в гільбертовому просторі
. Ортонормована
система. Ряд Фур’є за ортонормованою системою
. Базиси
в нормованому просторі
5. Тригонометричний
ряд Фур'є в
. Деякі
властивості біортогональних систем
. Біортогональні
системи в деяких бананових просторах
. Деякі
властивості базисів бананових просторів
. Деякі
застосування рядів в бананових просторах
Висновки
Список
використаних джерел
ВСТУП
,
, ,
(0)
Ряд називається ортогональним в евклідовому просторі зі скалярним добутком ,
якщо . Якщо ортогональний ряд є збіжним в евклідовому
просторі до елемента ,
то його коефіцієнти знаходяться за формулою . Система елементів
евклідового простору називається біортогональною
до системи , якщо .
Якщо система є ортогональною, то вона має біортогональну систему і .
Якщо ряд є збіжним в евклідовому просторі до елемента ,
і система має біортогональну систему , то коефіцієнти знаходяться
за формулою .
Метою курсової роботи є вивчення біортогональних систем в банановому
просторі.
1.
Збіжність ряду в нормованому просторі
Нехай - зліченна підмножина нормованого простору. Ряд
(1)
називається збіжним в ,
якщо такий існує елемент , що
(2)
При цьому називається сумою ряду (1) і цей факт записується
так:
.(3)
Теорема 1. Якщо (1) є збіжним в нормованому просторі , то його загальний член прямує до нуля в
Доведення. Справді, .
Теорема 1. Для того, щоб ряд (1) був збіжний в банаховому просторі , необхідно і достатньо, щоб
.(4)
Доведення. Справді, збіжність ряду (1) рівносильна збіжності
послідовності . Але .
Звідси і повноти випливає твердження теореми.
Ряд (1) називається нормально збіжним або абсолютно збіжним в топології
простору , якщо збіжним в є
ряд
.(6)
Теорема
2. Якщо ряд (1) є нормально збіжним в банаховому просторі , то він є збіжним в .
Доведення. Справді, це випливає із теореми 1 і нерівності
.
Приклад 1. Ряд є нормально збіжним в , оскільки
Приклад 2. Оскільки , то ряд є
розбіжним в просторі .
2.
Збіжність ортогонального ряду в гільбертовому просторі
Система елементів евклідового простору називається ортонормованою якщо
Теорема 1. Нехай - ортонормована система гільбертового простору . Для того, щоб ряд
,
.
був збіжним в ,
необхідно і достатньо, щоб .
Доведення. Справді, це випливає із рівностей
і теореми 1 попереднього пункту.
Приклад 1. Ряд , де …,
є збіжним в , оскільки система є
ортонормованою в і ряд є
збіжним в .
3.
Ортонормована система. Ряд Фур’є за ортонормованою системою
В курсі алгебри і геометрії показується, що якщо - -мірний евклідовий простір, - його базис, -
координатори вектора в цьому базисі, то і .
Ми розглядаємо аналог цього твердження для нескінченно вимірних просторів і
числа будемо називати не координаторами вектора , а коефіцієнтами Фур’є. Нехай - евклідовий простір, -
зліченна система елементів простору .
Система називається ортонормованою, якщо
Числа називається коефіцієнтами Фур'є
елемента за ортонормованою системою , а ряд
(1)
рядом Фур'є елемента за
цією системою. Елемент
(2)
називають -им поліномом Фур'є або -ю
частинною сумою ряду Фур'є, а елемент
,
(3)
де - довільні сталі (дійсні, якщо - дійсний, комплексні, якщо - комплексний), називають поліномом порядку за системою .
Відхиленням полінома від елемента називається
число , тобто відхилення - це відстань в між і
.
Теорема 1. Нехай - ортонормована система евклідового (дійсного або
комплексного) простору .
Тоді серед всіх поліномів порядку найменше
відхилення від елемента має
-ий поліном Фур'є елемента .
Доведення. Будемо розглядати тільки дійсний евклідовий простір.
Тоді, використовуючи властивості скалярного добутку і ортонормованість системи ,
маємо
.(4)
Звідси видно, що мінімум правої частини (4) досягається при (під сумою стоїть квадратний тричлен як функція ).
Теорема 2. Якщо - ортонормована система в евклідовому просторі , то при будь-якому і
для кожного виконується
(5)
і справедлива нерівність Бесселя , тобто
Доведення. Справді, (5) випливає із (4), а остання нерівність є
наслідком (5).4
.
(6)
Теорема 3. Якщо ортонормована система в
евклідовому просторі є повною в ,
то для кожного елемента справедлива
рівність Парсеваля (аналог теореми Піфагора)
.(7)
Доведення. Це випливає із (5) та (6), бо
.
Теорема 4. Якщо ортонормована система є повною в евклідовому просторі , то для кожного елемента його ряд Фур'є (1) збігається в до ,
тобто
. (8)
Доведення. Ця теорема випливає із (5) і
попередньої теореми, бо
.
Теорема 5. Якщо -
ортонормована система в евклідовому просторі ,
і для деякого існує послідовність поліномів вигляду (3) така, що виконується (6), то для цього
елемента справедливі рівності (7) і (8).
Доведення. Це випливає із (5) та (6).
Система називається ортогональною, якщо
Вивчення ортогональної системи зводиться
до вивчення ортонормованої системи .
Теорема 6 (Рісса-Фішера). Якщо -
ортонормована система гільбертового простору і
- послідовністиь комплексних (дійсних, якщо дійсний) чисел таких, що , то існує такий елемент , що і
справедлива рівність Парсеваля .
Доведення. Маємо .
Із збіжності ряду (2) і повноти випливає
збіжність в послідовності до
деякого елемента і за теоремою 4 справедлива рівність Парсеваля.
4.
Базиси в нормованому просторі
Система елементів банахового простоу називається
базисом цього простору, якщо кожний елемент єдиним
чином розвивається в збіжний в ряд
.
(1)
Безпосередньо із означення випливає, що кожний базис є повною системою,
але не навпаки. Наприклад, за теоремою Вейєрштрасса система є повною в ,
але не є базисом в цьому просторі, бо не кожна функція, неперервна (і навіть не
кожна нескінченно диференційовна функція )
подається у вигляді суми рівномірно збіжного на ряду
.
Теорема 1. Якщо - ортонормована система гільбертового простору , ряд (1) є збіжним в до ,
то його коефіцієнти знаходяться за формулою .
Доведення. Справді,
,
якщо . Тому, враховуючи, що ряд (1) є збіжним в і скалярний добуток є неперервною функцією, отримуємо
,
звідки випливає потрібний висновок.
Теорема 2. Нехай - ортонормована система гільбертового простору . Тоді наступні умови є еквівалентними: 1) система є повною в просторі ; 2) система є
базисом простору ; 3) для кожного справедлива
рівність Парсеваля .
Доведення. Ця теорема є безпосереднім наслідком теореми 1 і
теорем попереднього пункту.
Приклад 1. Система елементів
…,
є ортонормованою в і
є базисом цього простору. Справді, ортонормованість цієї системи встановлюється
безпосередньою перевіркою. Далі, для елемента маємо Тому
ряд є збіжним. Отже, ряд також є збіжним в до
деякого елемента . Покажемо, що .
Справді,
5. Тригонометричний ряд Фур'є
в
Теорема 1 . Тригонометрична система
(1)
є ортонормованим базисом простору і, отже, кожна функція єдиним чином розвивається в збіжний в тригонометричний ряд Фур'є
,
і при цьому коефіцієнти і знаходяться
за формулами
,
,
,
,
і справедлива рівність Парсеваля
.
Доведення. Множина всіх неперервних функцій таких,
що є скрізь щільною в .
З іншого боку за теоремою Вейєрштрасса кожну таку можна як завгодно точно в , а тому і в наблизити
скінченними лінійними комбінаціями системи (1). Звідси випливає, що
тригонометрична система є повною в .
Оскільки вона є також ортонормованою, то вона і є базисом.
Теорема 2. Тригонометрична система
(2)
є ортонормованим базисом простору і, отже, кожна функція єдиним чином розвивається в збіжний в тригонометричний ряд Фур'є.
,
і при цьому коефіцієнти знаходяться за формулами
,
,
базис ортонормований біортогональний банановий
і справедлива рівність Парсеваля
.
Доведення. Ця теорема є наслідком теореми 1, оскільки можна
вважати, що - парна функція і .
Теорема 1. Тригонометрична система
(3)
є ортонормованим базисом простору і, отже, кожна функція єдиним чином розвивається в збіжний в тригонометричний ряд Фур'є
,
і при цьому коефіцієнти знаходяться за формулами
,
,
і справедлива рівність Парсеваля
.
Доведення. Ця теорема є наслідком теореми 1, оскільки можна
вважати, що - непарна функція і .
Теорема 4. Комплексна тригонометрична система
(4)
є ортонормованою базою простору і, таким чином, кожна функція єдиним чином розвивається в збіжний в комплексний ряд Фур'є
, і при цьому коефіцієнти цього ряду знаходяться за
формулою
і справедлива рівність Парсеваля .
Доведення. Ця теорема є наслідком теореми 1.
Зауваження 1. Довгий час залишалось відкритим питання про поточкову збіжність
ряду Фур'є із .
Це питання розв'язав Карлесон, який довів, що ряд Фур'є кожної функції збігається майже скрізь.
Доведемо тепер твердження, яке використане при доведенні теореми 1.
Теорема 5. Для кожного і
кожного проміжка і кожної східчастої на функції існує
неперервна на функція ,
рівна нулеві поза така, що .
Доведення. Досить провести функції
де - довільний проміжок, який міститься в , бо кожна східчаста на функція
є скінченною лінійною комбінацією таких функцій .
Підберемо так, щоб і
. Безпосередньою перевіркою встановлюємо, що шуканою є
функція
6.
Деякі властивості біортогональних систем
Нехай -послідовність
елементів евклідового простору зі
скалярним добутком . Послідовність елементів
простору називається біортогональною до системи , якщо
(1)
Якщо система має біортогональну систему , то ряд Коли -
будь-який елемент, то ряд
(2)
називається рядом Фур’є елемента за
системою . Ряд (2) може бути збіжним, може бути розбіжним, може
бути збіжним, але його сума може не дорівнювати .
Приклад 1.
Коли послідовність утворює
тотальну множину функціоналів і ряд (2) для деякого елемента збіжний, то є
сумою цього ряду; справді, для маємо:
Теорема 1. Якщо ряд (2) для кожного - збіжний, то ряд
є також збіжний у кожній точці для всякого лінійного функціонала .
Доведення. Покладаючи
,
(3)
маємо , так що збіжність послідовності в кожній точці є
очевидна.
Теорема 2. Якщо норми частинних сум (3) ряду
(4)
в своїй сукупності є обмежені для всякого лінійного
функціонала , то ряд (2) є збіжний для кожного елемента , який є границею будь-якої послідовності лінійних
комбінацій, утворених з членів послідовності .
Доведення. Покладаючи
,
(5)
маємо (див. (3)); а тому що за умовою , де є
незалежне від число, то на підставі теореми (якщо послідовність елементів простору має
таку властивість, що для кожного лінійного функціонала , означеного в ,
маємо , то послідовність норм є обмежена), для кожного маємо .
Отже, на основі теореми (якщо для даної послідовності лінійних операцій, означених в , справедлива нерівність для кожного ,
то послідовність норм є обмежена) існує таке число ,
незалежне від і від ,
що .
А тому що для маємо ,
то прості міркування приводять до висновку, що існує для кожного елемента ,
який задовольняє умови теореми.
Теорема 3. Якщо норми частинних сум (5) ряду (2) в своїй
сукупності є обмежені для кожного ,
то ряд (4) збіжний для кожного функціонала ,
який є границею довільної послідовності лінійних комбінацій, утворених з членів
послідовності .
Доведення аналогічне доведенню теореми 2.
Теорема 4. Якщо виконуються умови попередньої теореми і крім того
послідовність є фундаментальна, то ряд (2) збігається для всякого
елемента .
Доведення. На
підставі (5) для кожного маємо і,
крім того, для а
звідси випливає збіжність ряду (2) для кожного .
7.
Біортогональні системи в деяких бананових просторах
Розгляньмо тепер властивості біортогональних послідовностей в
просторах, які нас особливо цікавлять.
Покладемо
(6)
Припустимо далі, що є
послідовність функцій у просторі ,
де - послідовність функцій в і, крім того, ці послідовності в даних просторах
повні (або замкнені).
Теорема 5. Якщо при заданих умовах ряд
Збігається в середньому з -тим степенем для всякої функції , то ряд
Збігається в середньому з -им степенем для всякої функції .
Доведення. Нехай
для
. (7)
Отже, за умовою ряд для
всякого є збіжний в середньому (тобто за нормою) з -тим степенем. Тим самим на основі теореми 3, ряд
,
де
є збіжний за нормою (тобто, в середньому з -им степенем) для всякого лінійного функціонала , означеного в просторі ,
а так само ряд (7) буде збіжний для всякої функції ,
що треба було довести.
Зокрема, якщо , де найбільше
з чисел і ,
то висновком з попередньої теореми буде така теорема:
Якщо ряд
для кожного збіжний в середньому з -тим
степенем, то він є також збіжний в середньому з -им
степенем для кожної функції .
Тут можна припустити, наприклад, що ,
де є обмежені функції.
Розглянемо тепер випадок, коли при умові (6), є послідовність інтегровних функцій, а є послідовність обмежених функцій у проміжку . Припустимо, крім того, що послідовність є повна в просторі .
Теорема 6. Якщо при цих умовах ряд
є збіжний у середньому для , то ряд
для кожного є
майже всюди обмежений і навпаки.
Доведення аналогічне доведенню теореми 5: розглядають як елементи області , а як
лінійні функціонали; нарешті, беруть на увагу теореми 3 і 4.
Зокрема, коли , то маємо висновки:
.
Якщо ряд (8), де в
середньому збіжний для кожного ,
то він для кожного обмежений і навпаки.
.
Якщо ряд (8), де ,
а повна послідовність у просторі , рівномірно збіжний для кожного , то він у середньому збіжний для кожного і навпаки.
Доведення одержимо так: в першій частині теореми розглядаємо як елементи області , а як
представників функціоналів; а в другій частині розглядаємо
як елементи області , а як
представників лінійних функціоналів, означених у просторі .
8.
Деякі властивості базисів бананових просторів
Послідовність елементів простору називаємо
базисом (це поняття запровадив у загальному випадку Ю.Шаудер), якщо для
кожного елемента існує точно така одна послідовність чисел , що
.
Коли дано базис , то нехай буде
множина послідовностей , для яких ряд є збіжний. Покладаючи , легко довести, що так нормована множина утворює простір типу .
Покладемо далі
для
кожної послідовності .
Так означена операція є
лінійна, бо , а тому що вона перетворює множину на взаємно
одночасно, то обернена операція є
також лінійна.
Нарешті, функціонал:
,
де
також лінійний, бо
і
.
Отже, маємо
для
кожного ,
а тому що цей розклад єдиний, то одержуємо рівність (1), тобто
послідовність є біортогональна.
Зауважимо, що для кожного лінійного функціонала , означеного в просторі ,
ряд збігається до тому,
що для кожного маємо рівність:
.
Невідомо, чи кожний сепарабельний простір типу має базис.
Ця проблема розв'язана тільки в деяких окремих просторах. Так,
наприклад, у просторі , де ,
базисом є ортогональна система Haar'a. В просторі базис
побудував Ю.Шаудер. В просторі ,
де , базис утворює послідовність , де
і
тоді для маємо .
Нарешті, в просторі базисом є ця сама послідовність з приєднанням до неї
елемента , де для
Отже, для елемента маємо
.
9.
Деякі застосування рядів в бананових просторах
Теорема 7. Якщо послідовності ,
і ,
є біортогональні, а рівняння , де для
кожного мають точно один розв'язок , то із збіжності ряду випливає збіжність ряду для кожної послідовності чисел .
Доведення. Як легко бачити, з рівностей: і ,
де , випливає рівність .
Отже, на підставі теореми 7 (Кожна адитивна операція , що задовольняє умову: з і випливає
, є лінійна), операція є лінійна. Тим самим, покладаючи , маємо ,
а тому що за означенням для одержуємо
для всяких дійсних ,
звідки випливає безпосередньо твердження нашої теореми.
Висновок. Якщо і -
ортогональні, нормовані послідовності неперервних функцій і для кожної
неперервної функції існує тільки одна неперервна функція така, що ,
то з рівномірної збіжності ряду випливає
рівномірна збіжність ряду .
Аналогічні висновки одержуємо для інших функціональних просторів.
Теорема 8. Нехай , -
біортогональна послідовність, де -
тотальна послідовність, а послідовність чисел така, що тоді, коли є послідовність коефіцієнтів елемента (тобто для
), то є
послідовність коефіцієнтів елемента .
Коли при цих умовах є
послідовність коефіцієнтів деякого лінійного функціонала (тобто для
), то є
послідовність коефіцієнтів деякого лінійного функціонала .
Доведення. За умовою система рівнянь , де для
кожного має точно один розв'язок. Позначимо його
через .
З рівностей: і
, де ,
випливає очевидно рівність .
Отже, на основі теореми 7 (Кожна адитивна операція , що задовольняє умову: з і випливає
, є лінійна), операція є неперервна.
Зокрема, легко бачити, що:
для всіх (9)
Отже, якщо дано такий лінійний функціонал , що для
, то за формулою (9) маємо , тобто числа є
коефіцієнтами операції , що й треба було довести.
Зауважимо, що при вираз на
основі (9) є границею лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності .
Як застосування цього зауваження легко одержуємо таку теорему.
Теорема 9. Нехай -
ортогональна, нормована і замкнена в просторі послідовність неперервних функцій.
Якщо послідовність множників перетворює всяку послідовність коефіцієнтів обмеженої функції в послідовність
коефіцієнтів обмеженої функції, то вона перетворює одночасно кожну
послідовність коефіцієнтів довільної неперервної функції також у
послідовність коефіцієнтів якоїсь неперервної функції.
Обернена теорема також справедлива.
Нарешті, маємо:
Теорема 10. Нехай - ортогональна, нормована і повна в просторі , де ,
послідовність обмежених функцій.
Якщо послідовність множників перетворює послідовність коефіцієнтів довільної функції в
послідовність коефіцієнтів певної
функції , то вона перетворює також кожну послідовність
коефіцієнтів довільної функції в
послідовність коефіцієнтів певної
функції .
Коли ,
то .
Негармонійні ряди Фур’є. Нехай -
довільна послідовність комплексних чисел. Ряд
називається узагальненим тригонометричним рядом або рядом Діріхле, або
негармонійним рядом Фур’є. Питання про можливість розкладу довільної функції в збіжний в цьому просторі
1
Вперше розглянув Н.Вінер[.
Він довів наступне твердження.
Теорема. Нехай - довільна послідовність різних дійсних чисел таких,
що
,
.
Тоді система є
базисом простору , тобто кожна функція єдиним чином розвивається у збіжний у цьому просторі
().
ВИСНОВКИ
В цій курсовій роботі ми вивчали властивості систем в
нормованих просторах, властивості базисів, властивості біортогональних систем,
а також деякі застосування рядів в нормованих просторах.
Ця курсова робота допомогла мені зрозуміти і усвідомити, який
великий і ще не повністю вивчений мною світ математики.
СПИСОК
ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Антоневич
А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по функциональному
анализу.-Минск:Высшейшая
школа, 1978.-206с.
2. Антоневич
А.Б., Радыно Я.В. Функциональнальный анализ и интегральные уравнения.-Минск:Высшейшая школа, 1978.-206с.
. Ахиезер
Н.И., Глазман Н.М. Теория линейніх операторов в гильбертовом пространстве: В 2т.-Х.:Вища школа, Изд-во. при Харьк. ун-те. 1977.-Т.1.-316с.
. Ахиезер
Н.И., Глазман Н.М. Теория линейніх операторов в гильбертовом пространстве: В 2т.-Х.:Вища школа, Изд-во. при Харьк. ун-те. 1978.-Т.2.-288с.
. Банах
С. Курс функціонального аналізу.-К.: Радянська школа.- 1948.-216с.
. Березанский
Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных.-К.: Наукова думка.- 1988.-800с.
. Березанский
Ю.М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные метододы в бесконечномерном анализе.-К.: Наукова думка.- 1965. -680с.
. Березанский
Ю.М., Ус Г.Ю., Шефтель Е.Г. Функциональный анализ.-К.:Вища школа.-1990.-600с.