Гармонійні функції

ЗМІСТ

Вступ

1.       Збіжність ряду в нормованому просторі

2.      Збіжність ортогонального ряду в гільбертовому просторі

.        Ортонормована система. Ряд Фур’є за ортонормованою системою

.        Базиси в нормованому просторі

5.      Тригонометричний ряд Фур'є в

.        Деякі властивості біортогональних систем

.        Біортогональні системи в деяких бананових просторах

.        Деякі властивості базисів бананових просторів

.        Деякі застосування рядів в бананових просторах

Висновки

Список використаних джерел

ВСТУП

, , , (0)

Ряд називається ортогональним в евклідовому просторі  зі скалярним добутком , якщо . Якщо ортогональний ряд є збіжним в евклідовому просторі  до елемента , то його коефіцієнти  знаходяться за формулою . Система  елементів евклідового простору  називається біортогональною до системи , якщо . Якщо система  є ортогональною, то вона має біортогональну систему  і . Якщо ряд  є збіжним в евклідовому просторі  до елемента , і система  має біортогональну систему , то коефіцієнти  знаходяться за формулою .

Метою курсової роботи є вивчення біортогональних систем в банановому просторі.

1. Збіжність ряду в нормованому просторі

Нехай - зліченна підмножина нормованого простору. Ряд

(1)

називається збіжним в , якщо такий існує елемент , що

 (2)

При цьому  називається сумою ряду (1) і цей факт записується так:

.(3)

Теорема 1. Якщо (1) є збіжним в нормованому просторі , то його загальний член прямує до нуля в  

Доведення. Справді, .

Теорема 1. Для того, щоб ряд (1) був збіжний в банаховому просторі , необхідно і достатньо, щоб

.(4)

Доведення. Справді, збіжність ряду (1) рівносильна збіжності послідовності  . Але . Звідси і повноти  випливає твердження теореми.

Ряд (1) називається нормально збіжним або абсолютно збіжним в топології простору , якщо збіжним в є ряд

.(6)

Теорема 2. Якщо ряд (1) є нормально збіжним в банаховому просторі , то він є збіжним в .

Доведення. Справді, це випливає із теореми 1 і нерівності

.

Приклад 1. Ряд  є нормально збіжним в , оскільки

Приклад 2. Оскільки  , то ряд  є розбіжним в просторі .

2. Збіжність ортогонального ряду в гільбертовому просторі

Система  елементів евклідового простору  називається ортонормованою якщо

Теорема 1. Нехай  - ортонормована система гільбертового простору . Для того, щоб ряд

, .

був збіжним в , необхідно і достатньо, щоб .

Доведення. Справді, це випливає із рівностей

і теореми 1 попереднього пункту.

Приклад 1. Ряд , де   …, є збіжним в , оскільки система  є ортонормованою в  і ряд  є збіжним в .

3. Ортонормована система. Ряд Фур’є за ортонормованою системою

В курсі алгебри і геометрії показується, що якщо - -мірний евклідовий простір,  - його базис,  - координатори вектора  в цьому базисі, то  і . Ми розглядаємо аналог цього твердження для нескінченно вимірних просторів і числа  будемо називати не координаторами вектора , а коефіцієнтами Фур’є. Нехай - евклідовий простір,  - зліченна система елементів простору . Система  називається ортонормованою, якщо

Числа  називається коефіцієнтами Фур'є елемента  за ортонормованою системою , а ряд

(1)

рядом Фур'є елемента  за цією системою. Елемент

 (2)

називають -им поліномом Фур'є або -ю частинною сумою ряду Фур'є, а елемент

, (3)

де  - довільні сталі (дійсні, якщо  - дійсний, комплексні, якщо  - комплексний), називають поліномом порядку  за системою . Відхиленням полінома  від елемента  називається число , тобто відхилення - це відстань в  між  і .

Теорема 1. Нехай  - ортонормована система евклідового (дійсного або комплексного) простору . Тоді серед всіх поліномів порядку  найменше відхилення від елемента  має -ий поліном Фур'є елемента .

Доведення. Будемо розглядати тільки дійсний евклідовий простір. Тоді, використовуючи властивості скалярного добутку і ортонормованість системи , маємо

.(4)

Звідси видно, що мінімум правої частини (4) досягається при   (під сумою стоїть квадратний тричлен як функція ).

Теорема 2. Якщо  - ортонормована система в евклідовому просторі , то при будь-якому  і для кожного  виконується

 (5)

і справедлива нерівність Бесселя , тобто

Доведення. Справді, (5) випливає із (4), а остання нерівність є наслідком (5).4

. (6)

Теорема 3. Якщо ортонормована система  в евклідовому просторі  є повною в , то для кожного елемента  справедлива рівність Парсеваля (аналог теореми Піфагора)

.(7)

Доведення. Це випливає із (5) та (6), бо

.

Теорема 4. Якщо ортонормована система  є повною в евклідовому просторі , то для кожного елемента  його ряд Фур'є (1) збігається в  до , тобто

. (8)

Доведення. Ця теорема випливає із (5) і попередньої теореми, бо

.

Теорема 5. Якщо  - ортонормована система в евклідовому просторі , і для деякого  існує послідовність поліномів  вигляду (3) така, що виконується (6), то для цього елемента  справедливі рівності (7) і (8).

Доведення. Це випливає із (5) та (6).

Система  називається ортогональною, якщо

Вивчення ортогональної системи  зводиться до вивчення ортонормованої системи .

Теорема 6 (Рісса-Фішера). Якщо  - ортонормована система гільбертового простору  і  - послідовністиь комплексних (дійсних, якщо  дійсний) чисел таких, що , то існує такий елемент , що  і справедлива рівність Парсеваля .

Доведення. Маємо . Із збіжності ряду (2) і повноти  випливає збіжність в  послідовності  до деякого елемента  і за теоремою 4 справедлива рівність Парсеваля.

4. Базиси в нормованому просторі

Система елементів  банахового простоу  називається базисом цього простору, якщо кожний елемент  єдиним чином розвивається в збіжний в ряд

. (1)

Безпосередньо із означення випливає, що кожний базис є повною системою, але не навпаки. Наприклад, за теоремою Вейєрштрасса система  є повною в , але не є базисом в цьому просторі, бо не кожна функція, неперервна (і навіть не кожна нескінченно диференційовна функція ) подається у вигляді суми рівномірно збіжного на  ряду

.

Теорема 1. Якщо  - ортонормована система гільбертового простору , ряд (1) є збіжним в до , то його коефіцієнти  знаходяться за формулою .

Доведення. Справді,

,

якщо . Тому, враховуючи, що ряд (1) є збіжним в  і скалярний добуток є неперервною функцією, отримуємо

,

звідки випливає потрібний висновок.

Теорема 2. Нехай  - ортонормована система гільбертового простору . Тоді наступні умови є еквівалентними: 1) система  є повною в просторі ; 2) система  є базисом простору ; 3) для кожного  справедлива рівність Парсеваля .

Доведення. Ця теорема є безпосереднім наслідком теореми 1 і теорем попереднього пункту.

Приклад 1. Система елементів

  …,

є ортонормованою в  і є базисом цього простору. Справді, ортонормованість цієї системи встановлюється безпосередньою перевіркою. Далі, для елемента  маємо  Тому ряд є збіжним. Отже, ряд  також є збіжним в  до деякого елемента . Покажемо, що . Справді,

5. Тригонометричний ряд Фур'є в

Теорема 1 . Тригонометрична система

 (1)

є ортонормованим базисом простору  і, отже, кожна функція  єдиним чином розвивається в збіжний в  тригонометричний ряд Фур'є

,

і при цьому коефіцієнти  і  знаходяться за формулами

, ,

, ,

і справедлива рівність Парсеваля

.

Доведення. Множина всіх неперервних функцій  таких, що  є скрізь щільною в . З іншого боку за теоремою Вейєрштрасса кожну таку  можна як завгодно точно в , а тому і в  наблизити скінченними лінійними комбінаціями системи (1). Звідси випливає, що тригонометрична система є повною в . Оскільки вона є також ортонормованою, то вона і є базисом.

Теорема 2. Тригонометрична система

 (2)

є ортонормованим базисом простору  і, отже, кожна функція  єдиним чином розвивається в збіжний в  тригонометричний ряд Фур'є.

,

і при цьому коефіцієнти  знаходяться за формулами

, ,

базис ортонормований біортогональний банановий

і справедлива рівність Парсеваля

.

Доведення. Ця теорема є наслідком теореми 1, оскільки можна вважати, що  - парна функція і .

Теорема 1. Тригонометрична система

 (3)

є ортонормованим базисом простору  і, отже, кожна функція  єдиним чином розвивається в збіжний в  тригонометричний ряд Фур'є

,

і при цьому коефіцієнти  знаходяться за формулами

, ,

і справедлива рівність Парсеваля

.

Доведення. Ця теорема є наслідком теореми 1, оскільки можна вважати, що  - непарна функція і .

Теорема 4. Комплексна тригонометрична система

 (4)

є ортонормованою базою простору  і, таким чином, кожна функція  єдиним чином розвивається в збіжний в  комплексний ряд Фур'є , і при цьому коефіцієнти цього ряду знаходяться за формулою

і справедлива рівність Парсеваля .

Доведення. Ця теорема є наслідком теореми 1.

Зауваження 1. Довгий час залишалось відкритим питання про поточкову збіжність ряду Фур'є із . Це питання розв'язав Карлесон, який довів, що ряд Фур'є кожної функції  збігається майже скрізь.

Доведемо тепер твердження, яке використане при доведенні теореми 1.

Теорема 5. Для кожного  і кожного проміжка  і кожної східчастої на  функції  існує неперервна на  функція , рівна нулеві поза  така, що .

Доведення. Досить провести функції

де - довільний проміжок, який міститься в , бо кожна східчаста на  функція є скінченною лінійною комбінацією таких функцій . Підберемо  так, щоб  і . Безпосередньою перевіркою встановлюємо, що шуканою є функція

6. Деякі властивості біортогональних систем

Нехай -послідовність елементів евклідового простору  зі скалярним добутком . Послідовність  елементів простору  називається біортогональною до системи , якщо

(1)

Якщо система має біортогональну систему , то ряд Коли - будь-який елемент, то ряд

(2)

називається рядом Фур’є елемента  за системою . Ряд (2) може бути збіжним, може бути розбіжним, може бути збіжним, але його сума може не дорівнювати .

Приклад 1.

Коли послідовність  утворює тотальну множину функціоналів і ряд (2) для деякого елемента  збіжний, то  є сумою цього ряду; справді, для маємо:

Теорема 1. Якщо ряд (2) для кожного  - збіжний, то ряд

є також збіжний у кожній точці  для всякого лінійного функціонала .

Доведення. Покладаючи

, (3)

маємо , так що збіжність послідовності  в кожній точці  є очевидна.

Теорема 2. Якщо норми частинних сум (3) ряду

(4)

в своїй сукупності є обмежені для всякого лінійного функціонала , то ряд (2) є збіжний для кожного елемента , який є границею будь-якої послідовності лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності .

Доведення. Покладаючи

, (5)

маємо  (див. (3)); а тому що за умовою , де є незалежне від  число, то на підставі теореми (якщо послідовність  елементів простору  має таку властивість, що для кожного лінійного функціонала , означеного в , маємо , то послідовність норм  є обмежена), для кожного  маємо . Отже, на основі теореми (якщо для даної послідовності  лінійних операцій, означених в , справедлива нерівність  для кожного , то послідовність норм  є обмежена) існує таке число , незалежне від  і від , що .

А тому що для  маємо , то прості міркування приводять до висновку, що існує  для кожного елемента , який задовольняє умови теореми.

Теорема 3. Якщо норми частинних сум (5) ряду (2) в своїй сукупності є обмежені для кожного , то ряд (4) збіжний для кожного функціонала , який є границею довільної послідовності лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності .

Доведення аналогічне доведенню теореми 2.

Теорема 4. Якщо виконуються умови попередньої теореми і крім того послідовність  є фундаментальна, то ряд (2) збігається для всякого елемента .

Доведення. На підставі (5) для кожного  маємо  і, крім того,  для  а звідси випливає збіжність ряду (2) для кожного .

7. Біортогональні системи в деяких бананових просторах

Розгляньмо тепер властивості біортогональних послідовностей в просторах, які нас особливо цікавлять.

Покладемо

(6)

Припустимо далі, що  є послідовність функцій у просторі , де  - послідовність функцій в  і, крім того, ці послідовності в даних просторах повні (або замкнені).

Теорема 5. Якщо при заданих умовах ряд

Збігається в середньому з -тим степенем для всякої функції , то ряд

Збігається в середньому з -им степенем для всякої функції .

Доведення. Нехай

 для . (7)

Отже, за умовою ряд  для всякого  є збіжний в середньому (тобто за нормою) з -тим степенем. Тим самим на основі теореми 3, ряд

, де

є збіжний за нормою (тобто, в середньому з -им степенем) для всякого лінійного функціонала , означеного в просторі , а так само ряд (7) буде збіжний для всякої функції , що треба було довести.

Зокрема, якщо , де найбільше з чисел  і , то висновком з попередньої теореми буде така теорема:

Якщо ряд

для кожного  збіжний в середньому з -тим степенем, то він є також збіжний в середньому з -им степенем для кожної функції .

Тут можна припустити, наприклад, що , де  є обмежені функції.

Розглянемо тепер випадок, коли при умові (6),  є послідовність інтегровних функцій, а  є послідовність обмежених функцій у проміжку . Припустимо, крім того, що послідовність  є повна в просторі .

Теорема 6. Якщо при цих умовах ряд

є збіжний у середньому для , то ряд

для кожного  є майже всюди обмежений і навпаки.

Доведення аналогічне доведенню теореми 5:  розглядають як елементи області , а  як лінійні функціонали; нарешті, беруть на увагу теореми 3 і 4.

Зокрема, коли , то маємо висновки:

. Якщо ряд (8), де  в середньому збіжний для кожного , то він для кожного  обмежений і навпаки.

. Якщо ряд (8), де , а  повна послідовність у просторі , рівномірно збіжний для кожного , то він у середньому збіжний для кожного  і навпаки.

Доведення одержимо так: в першій частині теореми  розглядаємо як елементи області , а  як представників функціоналів; а в другій частині  розглядаємо як елементи області , а  як представників лінійних функціоналів, означених у просторі .

8. Деякі властивості базисів бананових просторів

Послідовність  елементів простору  називаємо базисом (це поняття запровадив у загальному випадку Ю.Шаудер), якщо для кожного елемента  існує точно така одна послідовність чисел , що

.

Коли дано базис , то нехай  буде множина послідовностей , для яких ряд  є збіжний. Покладаючи , легко довести, що так нормована множина  утворює простір типу .

Покладемо далі

для кожної послідовності .

Так означена операція  є лінійна, бо , а тому що вона перетворює множину  на  взаємно одночасно, то обернена операція  є також лінійна.

Нарешті, функціонал:

, де

також лінійний, бо

 і .

Отже, маємо

 для кожного ,

а тому що цей розклад єдиний, то одержуємо рівність (1), тобто послідовність  є біортогональна.

Зауважимо, що для кожного лінійного функціонала , означеного в просторі , ряд  збігається до  тому, що для кожного  маємо рівність:

.

Невідомо, чи кожний сепарабельний простір типу  має базис.

Ця проблема розв'язана тільки в деяких окремих просторах. Так, наприклад, у просторі , де , базисом є ортогональна система Haar'a. В просторі  базис побудував Ю.Шаудер. В просторі , де , базис утворює послідовність , де

і

тоді для  маємо . Нарешті, в просторі  базисом є ця сама послідовність з приєднанням до неї елемента , де  для  Отже, для елемента  маємо .

9. Деякі застосування рядів в бананових просторах

Теорема 7. Якщо послідовності ,  і ,  є біортогональні, а рівняння , де  для кожного  мають точно один розв'язок , то із збіжності ряду  випливає збіжність ряду  для кожної послідовності чисел .

Доведення. Як легко бачити, з рівностей:  і , де , випливає рівність . Отже, на підставі теореми 7 (Кожна адитивна операція , що задовольняє умову: з  і  випливає , є лінійна), операція  є лінійна. Тим самим, покладаючи , маємо , а тому що за означенням  для  одержуємо  для всяких дійсних , звідки випливає безпосередньо твердження нашої теореми.

Висновок. Якщо  і  - ортогональні, нормовані послідовності неперервних функцій і для кожної неперервної функції  існує тільки одна неперервна функція  така, що , то з рівномірної збіжності ряду  випливає рівномірна збіжність ряду .

Аналогічні висновки одержуємо для інших функціональних просторів.

Теорема 8. Нехай ,  - біортогональна послідовність, де  - тотальна послідовність, а послідовність чисел  така, що тоді, коли  є послідовність коефіцієнтів елемента  (тобто  для ), то  є послідовність коефіцієнтів елемента .

Коли при цих умовах  є послідовність коефіцієнтів деякого лінійного функціонала  (тобто  для ), то  є послідовність коефіцієнтів деякого лінійного функціонала .

Доведення. За умовою система рівнянь , де  для кожного  має точно один розв'язок. Позначимо його через .

З рівностей: і , де , випливає очевидно рівність . Отже, на основі теореми 7 (Кожна адитивна операція , що задовольняє умову: з  і  випливає , є лінійна), операція  є неперервна.

Зокрема, легко бачити, що:

 для всіх  (9)

Отже, якщо дано такий лінійний функціонал , що  для , то за формулою (9) маємо , тобто числа  є коефіцієнтами операції , що й треба було довести.

Зауважимо, що при  вираз  на основі (9) є границею лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності .

Як застосування цього зауваження легко одержуємо таку теорему.

Теорема 9. Нехай  - ортогональна, нормована і замкнена в просторі  послідовність неперервних функцій.

Якщо послідовність множників  перетворює всяку послідовність  коефіцієнтів обмеженої функції в послідовність коефіцієнтів  обмеженої функції, то вона перетворює одночасно кожну послідовність  коефіцієнтів довільної неперервної функції також у послідовність  коефіцієнтів якоїсь неперервної функції.

Обернена теорема також справедлива.

Нарешті, маємо:

Теорема 10. Нехай  - ортогональна, нормована і повна в просторі , де , послідовність обмежених функцій.

Якщо послідовність множників  перетворює послідовність коефіцієнтів  довільної функції  в послідовність коефіцієнтів  певної функції , то вона перетворює також кожну послідовність коефіцієнтів  довільної функції  в послідовність коефіцієнтів  певної функції .

Коли , то .

Негармонійні ряди Фур’є. Нехай - довільна послідовність комплексних чисел. Ряд

називається узагальненим тригонометричним рядом або рядом Діріхле, або негармонійним рядом Фур’є. Питання про можливість розкладу довільної функції в збіжний в цьому просторі

1

Вперше розглянув Н.Вінер[. Він довів наступне твердження.

Теорема. Нехай - довільна послідовність різних дійсних чисел таких, що

, .

Тоді система  є базисом простору , тобто кожна функція  єдиним чином розвивається у збіжний у цьому просторі ().

ВИСНОВКИ

В цій курсовій роботі ми вивчали властивості систем в нормованих просторах, властивості базисів, властивості біортогональних систем, а також деякі застосування рядів в нормованих просторах.

Ця курсова робота допомогла мені зрозуміти і усвідомити, який великий і ще не повністю вивчений мною світ математики.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.  Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по функциональному анализу.-Минск:Высшейшая школа, 1978.-206с.

2.      Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональнальный анализ и интегральные уравнения.-Минск:Высшейшая школа, 1978.-206с.

.        Ахиезер Н.И., Глазман Н.М. Теория линейніх операторов в гильбертовом пространстве: В 2т.-Х.:Вища школа, Изд-во. при Харьк. ун-те. 1977.-Т.1.-316с.

.        Ахиезер Н.И., Глазман Н.М. Теория линейніх операторов в гильбертовом пространстве: В 2т.-Х.:Вища школа, Изд-во. при Харьк. ун-те. 1978.-Т.2.-288с.

.        Банах С. Курс функціонального аналізу.-К.: Радянська школа.- 1948.-216с.

.        Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных.-К.: Наукова думка.- 1988.-800с.

.        Березанский Ю.М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные метододы в бесконечномерном анализе.-К.: Наукова думка.- 1965. -680с.

.        Березанский Ю.М., Ус Г.Ю., Шефтель Е.Г. Функциональный анализ.-К.:Вища школа.-1990.-600с.