Операции с матрицами

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    67,53 Кб
  • Опубликовано:
    2017-03-20
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Операции с матрицами

1. В декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин пирамиды ABCD. Постройте чертеж и решите следующие задачи:

а) докажите, что система векторов  линейно независима;

б) постройте вектор , где M и N - середины ребер AD и BC соответственно, найдите его координаты и его разложение по базису ;

в) найдите длину ребра AB;

г) вычислите величину угла между ребрами AB и AC;

д) напишите уравнение прямой АВ;

е) составьте уравнение плоскости АВС;

ж) напишите уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость АВС.

A (1,-1,0), B (2,3,1),C (-1,1,1),D (4,-3,5).

Решение

а) Найдем координаты векторов:


Найдем смешанное произведение


Значит, векторы линейно независимы и образуют базис.

б) Координаты точек


Пусть имеет в базисе  координаты . Тогда:


Подставим координаты:

.

Составим и решим систему уравнений


Решаем систему методом Крамера. Основной определитель системы:

∆ = 1 (2 10-2 (-2)) - 4 ( (-2) 10-2 3) +2 ( (-2) (-2) - 2 3) = 124

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

-2

-2

3

4

2

-2

-3

2

10


Найдем определитель полученной матрицы.

1 = (-1) 1 + 1a1111 + (-1) 2 + 1a2121 + (-1) 3 + 1a3131 =

= (-2) (2 10-2 (-2)) - 4 ( (-2) 10-2 3) + (-3) ( (-2) (-2) - 2 3) = 62

 

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

1-23



4

4

-2

2

-3

10


Найдем определитель полученной матрицы.

2 = (-1) 1 + 1a1111 + (-1) 2 + 1a2121 + (-1) 3 + 1a3131 = 1 (4 10- (-3) (-2)) - 4 ( (-2) 10- (-3) 3) +2 ( (-2) (-2) - 4 3) = 62 ,

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

1

-2

-2

4

2

4

2

2

-3


Найдем определитель полученной матрицы.

3 = (-1) 1 + 1a1111 + (-1) 2 + 1a2121 + (-1) 3 + 1a3131 =

= 1 (2 (-3) - 2 4) - 4 ( (-2) (-3) - 2 (-2)) +2 ( (-2) 4-2 (-2)) = - 62

 

Выпишем отдельно найденные переменные Х - новые координаты  

  

в) длина ребра AB;


г) величина угла между ребрами AB и AC

Координаты векторов:


д) напишите уравнение прямой АВ

 - прямая АВ

е) составьте уравнение плоскости АВС;

Составим определитель


Раскрываем определитель по первой строке.

Уравнение плоскости АВС:

ж) уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость АВС

Нормальный вектор плоскости АВС  является направляющим вектором прямой

Уравнение прямой

 - высота DH

. Для матриц А и В выполните следующие операции

А) .

Б) .

В) .

Г) .

Д) ,

где n - любое натуральное число.

.

Решение

Б) .


Главный определитель

∆=23 (139- (-2027)) - (-15 (-1339- (-2022))) +24 (-1327-122) =3360

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

где Aij - алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица

Найдем алгебраические дополнения матрицы AT.

 ∆1,1= (139-27 (-20)) =579

1,2=- (-1339-22 (-20)) =67

 ∆1,3= (-1327-221) =-373

2,1=- (-1539-2724) =1233

 ∆2,2= (2339-2224) =369

2,3=- (2327-22 (-15)) =-951

3,1= (-15 (-20) - 124) =276

3,2=- (23 (-20) - (-1324)) =148

3,3= (231- (-13 (-15))) =-172

Обратная матрица.

Для матриц А и В найдем обратные

Главный определитель ∆=1 (62-0 (-1)) - 4 (-22-03) +7 (-2 (-1) - 63) =-84

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A-1.

Транспонированная матрица.

Найдем алгебраические дополнения матрицы AT.

1,1= (62- (-10)) =12 ∆1,2=- (-22-30) =4

1,3= (-2 (-1) - 36) =-16

2,1=- (42- (-17)) =-15 ∆2,2= (12-37) =-19

2,3=- (1 (-1) - 34) =13

3,1= (40-67) =-42 ∆3,2=- (10- (-27)) =-14

операция матрица пирамида ребро

3,3= (16- (-24)) =14

Обратная матрица.


Главный определитель

∆=2 (19- (-34)) - (-3 (-29- (-33))) +5 (-24-13) =-40

Обратная матрица будет иметь следующий вид:


где Aij - алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица.


1,1= (19-4 (-3)) =21 ∆1,2=- (-29-3 (-3)) =9

1,3= (-24-31) =-11

2,1=- (-39-45) =47 ∆2,2= (29-35) =3

2,3=- (24-3 (-3)) =-17

3,1= (-3 (-3) - 15) =4 ∆3,2=- (2 (-3) - (-25)) =-4

3,3= (21- (-2 (-3))) =-4

Обратная матрица.

В) .

Г) .

Д) ,

где n - любое натуральное число.

Пусть


. Решить матричное уравнение .

.

Решение

Домножим слева на обратную матрицу к А

Главный определитель матрицы А ∆=1 (62-0 (-1)) - 4 (-22-03) +7 (-2 (-1) - 63) =-84

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

где Aij - алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица.

Найдем алгебраические дополнения матрицы AT.

1,1= (62- (-10)) =12 ∆1,2=- (-22-30) =4

1,3= (-2 (-1) - 36) =-16

2,1=- (42- (-17)) =-15 ∆2,2= (12-37) =-19

2,3=- (1 (-1) - 34) =13

3,1= (40-67) =-42 ∆3,2=- (10- (-27)) =-14

3,3= (16- (-24)) =14

Обратная матрица.


. Решить систему линейных уравнений матричным методом и методом Крамера:

.

Решение

Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.

Определитель: ∆ = 2 (2 (-1) - 1 (-1)) - 1 (1 (-1) - 1 1) + (-1) (1 (-1) - 2 1) = 3

Заменим 1-ый столбец матрицы на вектор результата.

111



-4

2

-1

-4

1

-1


Найдем определитель полученной матрицы.

1 = (-1) 1 + 1a1111 + (-1) 2 + 1a2121 + (-1) 3 + 1a3131 =

= 1 (2 (-1) - 1 (-1)) - (-4) (1 (-1) - 1 1) + (-4) (1 (-1) - 2 1) = 3

Заменим 2-ый столбец матрицы на вектор результата В.

211



1

-4

-1

-1

-4

-1


Найдем определитель полученной матрицы.

2 = (-1) 1 + 1a1111 + (-1) 2 + 1a2121 + (-1) 3 + 1a3131 =

=2 ( (-4) (-1) - (-4) (-1)) - 1 (1 (-1) - (-4) 1) + (-1) (1 (-1) - (-4) 1) = - 6

 

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

2

1

1

2

-4

-1

1

-4


Найдем определитель полученной матрицы.

3 = (-1) 1 + 1a1111 + (-1) 2 + 1a2121 + (-1) 3 + 1a3131 =

=2 (2 (-4) - 1 (-4)) - 1 (1 (-4) - 1 1) + (-1) (1 (-4) - 2 1) = 3

 

Решение системы:  

Проверка:

+1 (-2) +11 = 1 11+2 (-2) - 11 = - 4 -11+1 (-2) - 11 = - 4

. Исследовать и решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

.

 


Решение

)

Работаем со столбцом №1 Добавим 3-ю строку к 2-й:

3

-4

1

-2

-1

2

-1

0

0

2

-2

-2


Умножим 1-ю строку на (k = 1/3 = 1/3) и добавим к 2-й:

3

-4

1

-2

0

2/3

-2/3

-2/3

0

2

-2

-2


Работаем со столбцом №2 Умножим 2-ю строку на (k = - 2/2/3 = - 3) и добавим к 3-й:

3

-4

1

-2

0

2/3

-2/3

-2/3

0

0

0

0


Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

1

-4/3

1/3

-2/3

0

1

-1

-1

0

0

0


Теперь исходную систему можно записать как:

x= - 2/3 - ( - 4/3y + 1/3z) = - 2/3 +4/3y - 1/3z y = - 1 - ( - z) = - 1+z

-ая строка является линейной комбинацией других строк.

Необходимо переменную z принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.

Общее решение

)

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

3

-4

1

-2

-1

2

-1

0

2

-2

0

-4


Для удобства вычислений поменяем строки местами:

3-41-2




2

-2

0

-4

-1

2

-1

0


Работаем со столбцом №1 Умножим 2-ю строку на (k = 1/2 = 1/2) и добавим к 3-й:

3

-4

1

-2

2

-2


-4

0

1

-1

-2


Умножим 1-ю строку на (k = - 2/3 = - 2/3) и добавим к 2-й:

3

-4

1

-2

0

2/3

-2/3

-8/3

0

1

-1

-2


Работаем со столбцом №2 Умножим 2-ю строку на (k = - 1/2/3 = - 3/2) и добавим к 3-й:

3

-4

1

-2

0

2/3

-2/3

-8/3

0

0

0

2


Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

1

1/3

-2/3

0

1

-1

-4

0

0

0

2


Ранг основной матрицы системы равен r (A) =2.

Ранг расширенной матрицы равен r=3 (в основной матрице системы имеется нулевая строка). Таким образом, система не имеет решения.

3)

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

3

-4

1

-2

-1

2

-1

0

2

-2

0

-2


Для удобства вычислений поменяем строки местами:

3-41-2




2

-2

0

-2

-1

2

-1

0


Работаем со столбцом №1 Умножим 2-ю строку на (k = 1/2 = 1/2) и добавим к 3-й:

3

-4

1

-2

2

-2


-2

0

1

-1

-1


Умножим 1-ю строку на (k = - 2/3 = - 2/3) и добавим к 2-й:

3

-4

1

-2

0

2/3

-2/3

-2/3

0

1

-1

-1


Работаем со столбцом №2 Умножим 2-ю строку на (k = - 1/2/3 = - 3/2) и добавим к 3-й:

3

-4

1

-2

0

2/3

-2/3

-2/3

0

0

0


Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

1

-4/3

1/3

-2/3

0

1

-1

-1

0

0

0

0


Теперь исходную систему можно записать как:

x= - 2/3 - ( - 4/3y + 1/3z) y = - 1 - ( - z)

Необходимо переменную z принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.

Общее решение

Похожие работы на - Операции с матрицами

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!