Математические методы обработки результатов физических измерений

Математические методы обработки результатов физических измерений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ,

МОЛОДЁЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ

ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Коляда Ю.Е., Федун В.И.

Утверждено

на заседании кафедры физики

Протокол № 2 от 13.09.2011г.

Мариуполь, 2011

Методическое руководство к выполнению лабораторных работ по физике «Математические методы обработки результатов физических измерений». Составили - Ю.Е.Коляда, В.И.Федун.-Мариуполь: ПГТУ, 2011 - 24 c.

В методическом руководстве изложены основные принципы математической обработки результатов измерений физических величин, которые необходимы при выполнении лабораторных работ по физическому практикуму. Приведены основные понятия теории вероятностей и математической статистики, позволяющие освоить необходимые элементы теории ошибок. В доступной форме сформулированы принципы получения точечных и интервальных оценок истинных значений измеряемых величин. Однако, математический аппарат, предлагаемый для обработки результатов измерений, приведен без особых упрощений и вполне может быть использован при выполнении реальных инженерных задач.

Составители:

докт. физ.-мат. наук, профессор    Коляда Ю.Е.,

ст.преподаватель Федун В.И.

Рецензент:

канд. физ.-мат. наук, доцент   Цветкова Е.В.

Ответственный за выпуск:

зав. кафедрой физики    Коляда Ю.Е.

Оглавление

Введение

1.     Точечная оценка измеряемой величины

2.       Интервальная оценка измеряемой величины

3.       Вычисление абсолютной ошибки при прямых измерениях

4.       Вычисления абсолютной ошибки при косвенных измерениях

.        Статистическое распределение ошибок. Распределение Гаусса

.        Подготовка и проведение измерений

7.       Представление результатов измерений

8.     Правила округления численного результата

9.       Примеры

.        Графики

Литература

Введение

Основной задачей физического эксперимента является измерение численных значений наблюдаемых величин. Измерением называется операция сравнения исследуемой величины с эталоном или с единицей измерения данной величины. В физике в системе СИ только семь величин имеют эталоны: единица массы - килограмм, [кг]; единица длины - метр, [м]; единица времени - секунда, [с]; единица силы тока - ампер, [А]; абсолютная температура - градус по шкале Кельвина, [Т]; количество вещества - моль, [моль]; сила света - кандела, [кд]. Остальные величины выражаются через основные.

Все проводимые измерения делятся на две группы: прямые и косвенные.

При прямом измерении производится непосредственное определение значения искомой величины по показаниям измерительного прибора.

Косвенное измерение базируется на измерении нескольких прямых величин с последующим вычислением искомой величины по соответствующим формулам. Например, объём параллелепипеда определяют путём измерения трёх его рёбер, электрическое сопротивление - по измерениям силы тока и напряжения и т.д. Во всех этих случаях искомое значение неизвестной измеряемой величины получается путем расчетов.

Целью любых измерений является определение истинного значения искомой величины, что на практике не достижимо в связи с существованием ошибок, погрешностей. Предвидеть и предусмотреть все погрешности невозможно.

Погрешности при измерении физических величин подразделяются на грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки, или промахи, могут возникнуть в результате неправильной записи показания прибора, смещения нулевой точки или по причине неправильной установки прибора. Грубые погрешности вызваны постоянными факторами и многократно повторяются в одних и тех же измерений.

Систематические погрешности скрыты в неточности самого прибора и неучтенных факторах при разработке метода измерений. Обычно величина систематической погрешности прибора указывается в его техническом паспорте. Что же касается метода измерений, то здесь все зависит от квалификации экспериментатора. Суммарная систематическая погрешность будет всегда искажать результат в одну сторону. Но знак этой погрешности неизвестен. На эту погрешность нельзя внести поправку, она всегда включена в окончательный результат измерений.

Следует отметить, что многие грубые и систематические ошибки могут быть устранены при детальном анализе результатов измерений и контрольной проверке измерительной техники.

Случайные погрешности возникают в результате проявления многих случайных, неконтролируемых факторов. Они обусловлены ошибкой измерительных приборов, несовершенством органов чувств, психофизическим состоянием исследователя. Случайные ошибки, как правило, не повторяются при повторении измерений.

1. Точечная оценка измеряемой величины

Существование ошибок приводит к необходимости повторения n однородных измерений, в результате чего получается совокупность значений х1,х2,…хn (выборочная совокупность или выборка). Возникает вопрос - какую измеренную величину взять в качестве истинного значения? Из курса теории вероятностей и математической статистики следует, что при достаточно большом, но конечном, количестве измерений, в качестве оценки истинного значения можно использовать точечную оценку, выраженную в виде одного числа. В этом случае в качестве оценки истинного значения можно принять его выборочное среднее (среднее арифметическое наблюдаемых величин), которое определяется по формуле

, (1)

где n - число измерений, - результат i - того измерения.

. Интервальная оценка измеряемой величины

математический обработка физический измерение

Однако при небольшом количестве измерений из-за наличия ошибок точечная оценка может давать значительные отклонения от истинного значения измеряемой величины. Поэтому проведение измерений сопряжено с оценкой ошибок, погрешностей.

В этом случае применяется интервальная оценка измеряемой величины. Интервальная оценка позволяет установить точность и надёжность при конечном числе измерений.

Суть интервальной оценки измеряемой величины состоит в том, чтобы указать интервал значений (доверительный интервал), который с заданной надёжностью (доверительной вероятностью), покрывал искомую измеряемую величину. Т.е. искомая величина задаётся не числом - точкой на числовой оси, а интервалом - двумя числами . Здесь введена новая величина - случайная абсолютная ошибка, а  - точечная оценка неизвестной измеряемой величины х, полученная, как результат среднего по формуле (1). Другими словами, доверитель-ным интервалом называется интервал , который с заданной доверительной вероятностью, или надёжностью, покрывает неизвестную измеряемую величину. Тогда также справедливо определение: надёжностью (доверительной вероятностью) оценки измеряемой величины по  называют вероятность , с которой выполняется неравенство . Т.е.

 (2).

Это соотношение утверждает следующее: вероятность того, что интервал заключает в себе неизвестную измеряемую величину х, равна γ. А искомая неизвестная измеряемая величина может быть определена следующим образом:

 (3).

Т.е. абсолютная ошибка характеризует отклонение вычисленного среднего значения измеряемой величины от её истинного значения и определяет точность измерений. Следует напомнить, что при этом имеется в виду только случайная ошибка при прямых измерениях.

. Вычисление абсолютной ошибки при прямых измерениях

Как было сказано выше, в результате повторения n однородных измерений получается совокупность значений х1,х2,,…хn (выборочная совокупность или выборка). Данные значения позволяют по формуле (1) получить среднее арифметическое измеряемой величины  или выборочную среднюю. Можно ввести абсолютную ошибку каждого измерения, или отклонения, как  и найти её среднее. Но среднее арифметическое этих ошибок при большом количестве измерений стремится к нулю. Во избежание этого вводится такая величина, как выборочное среднее квадратичное отклонение (корень квадратный из среднего арифметического квадратов отклонений от выборочного среднего наблюдаемых величин), равное

 (4).

Если же число измерений меньше 30, то вводится исправленное среднее квадратичное отклонение

 (5).

С учётом вышесказанного случайная абсолютная ошибка определяется из соотношения

 (6),

где величина  - называется коэффициентом Стьюдента. Для определения коэффициента Стьюдента необходимо указать величину доверительной вероятности γ и количество измерений п. Искомый коэффициент определяется из таблицы, приведенной ниже.

Таблица коэффициентов Стьюдента и Лапласа

Таким образом, смысл понятий доверительный интервал и доверительная вероятность состоит в следующем: пусть = 0,955, тогда можно утверждать, что при достаточно большом количестве измерений в 95,5% случаев истинное значение измеряемой величины х заключено в интервале , и лишь в 4,5% случаев выходит за пределы указанного интервала.

Чтобы окончательно установить границы доверительного интервала необходимо расширить его с учетом абсолютной систематической погрешности Δxсист. Для этого необходимо знать среднее квадратическое отклонение прибора , которое, как правило, можно найти в паспорте, а в простейших случаях - принять равным половине цены деления младшего разряда шкалы.

Тогда Δxсист определяется из соотношения

 (7).

Здесь введен коэффициент - коэффициент Лапласа, который также определяется из приведенной таблицы при значении

Обычно (хотя, не очень строго) можно положить, что суммарная погрешность определяется как корень квадратный из суммы квадратов случайной и систематической погрешностей:

 (8).

Для оценки величины абсолютной погрешности по отношению к самой измеряемой величине вводится относительная ошибка, равная

 (9).

4. Вычисление абсолютной ошибки при косвенных измерениях

Пусть у - косвенно измеряемая величина является функцией нескольких переменных непосредственно измеряемых величин a,b,...c, т.е.

 (10).

Среднее значение  можно найти путём подстановки в формулу (10) в качестве аргументов усредненных значений непосредственно измеренных величин :

 (11).

Тогда абсолютная погрешность Δy определяется по формуле

 (12),

где  - частная производная функции у по переменной a. Частная производная - это производная, которая вычисляется от функции у по аргументу a, в предположении, что все остальные аргументы считаются постоянными. В этой формуле частные производные рассчитываются при подстановке в неё средних арифметических значений всех аргументов - полученных как результат прямых измерений, а - абсолютные ошибки этих же величин. Затем вычисляется относительная погрешность косвенно измеряемой величины

. Статистическое распределение ошибок. Распределение Гаусса

В курсе теории вероятностей и математической статистики показано, что случайные ошибки подчинены определённым закономерностям.

В частности, допустим, что сделано n повторных измерений одной и той же величины. Если они выполнены одним и тем же методом, в одинаковых условиях и с одинаковой степенью тщательности, то такие измерения называются равноточными. Пусть минимальный интервал значений измеряемой величины, через который ведутся отсчеты (цена деления прибора), будет h, а среднее арифметическое всех результатов измерений - . Обозначим через ki число тех результатов, которые отклонились от среднего на величину Δx= ih. Отложив по оси абсцисс величину абсолютных погрешностей Δx, а по оси ординат значения k, получим ступенчатый график, называемый гистограммой, рис.1.

Если устремить число измерений к бесконечности, а интервал h - к нулю, то гистограмма переходит в пределе в непрерывную кривую, которая является кривой распределения погрешностей и называется графиком функции Гаусса. Несколько кривых Гаусса для разных значений параметра σ изображены на рис.2. Как видно из представленных графиков параметр σ определяет ширину распределения.

Распределение Гаусса ещё называют нормальным распределением, которое описывается формулой (14).

 (14).

Следует отметить, что , где Sn - выборочное среднее квадратичное отклонение, определяемое соотношением (4). Квадрат параметра σ называется дисперсией и характеризует рассеяние измерений.

. Подготовка и проведение измерений

Перед проведением измерений необходимо:

) ознакомиться с принципом работы измерительного прибора, правилами его эксплуатации и диапазоном измеряемых величин;

) установить класс точности прибора (приведенную погрешность) - это выраженная в процентах относительная погрешность при измерении им наибольшего значения измеряемой величины, указанной на шкале. Тогда абсолютная систематическая погрешность оказывается одинаковой на всей шкале прибора. Например, пусть имеется амперметр класса 1,5 со шкалой 20 А. При измерении им любого значения тока абсолютная систематическая погрешность будет равна 0,015· 20 = 0,3 А. Нетрудно видеть, что при измерениях в конце шкалы относительная погрешность оказывается меньше, приближаясь к приведенной. Класс точности обычно указывается на шкале прибора соответствующей цифрой. Если на шкале такого обозначения нет, то данный прибор внеклассный, и его приведенная погрешность более 4%;

) в случае отсутствия класса точности среднее квадратичное отклонение прибора можно принять равным половине цены деления младшего разряда шкалы;

) проверить установку нуля прибора.

При проведении измерений следует:

) выполнить требуемое количество однородных измерений, что приведёт к формированию выборочной совокупности наблюдаемых величин х1,х2,…хn ;

) результаты всех измерений (показания приборов) обязательно должны быть записаны в рабочем журнале без каких-либо пересчётов на множитель шкалы или систему единиц;

) в рабочем журнале также необходимо записать множитель и цену деления шкалы прибора.

. Представление результатов измерений

При прямых (непосредственных) измерениях после многократного измерения величины необходимо:

. Вычислить среднее арифметическое n измерений (выборочную среднюю) по формуле:

.

. Определить абсолютную ошибку каждого измерения , рассчитать сумму их квадратов и по формуле

найти исправленную среднеквадратическую погрешность.

. По заданной доверительной вероятности и числу измерений n по таблице находится коэффициент Стьюдента tγ,n. Аналогично определяется коэффициент Лапласа tn.

. Вычислить случайную абсолютную погрешность результатов измерений по формуле:

,

и, если необходимо, найти суммарную абсолютную погрешность, используя соотношение

.

. Оценить относительную погрешность результата измерений по формуле

.

6. Окончательный результат записать в виде

, δ = ... при γ = …

При косвенных измерениях:

1. Каждая прямая измеряемая величина, входящая в качестве независимой переменной в формулу

обрабатывается по п.п. 1-6 прямых измерений. При этом для всех величин задают одно и то же значение доверительной вероятности .

. Определить среднее арифметическое  косвенно измеряемой величины путем подстановки в функцию средних аргументов: .

. Вычислить частные производные функции при подстановке в них средних арифметических значений всех аргументов .

. Вычислить абсолютную погрешность косвенно измеряемой величины по формуле:

 .

. Определить относительную погрешность величины у по формуле

.

. Окончательный результат записывается в виде

, δ = ... при γ =….

8. Правила округления численного результата

В результате измерений, а также при проведении математических операций получаются приближенные значения искомых величин. При записи приближенного числа следует учитывать, что цифры, составляющие его, могут быть верными, сомнительными и неверными. Цифра верна, если абсолютная погрешность числа меньше одной единицы разряда этой цифры (слева от неё все цифры верные). Сомнительной называют цифру, стоящую справа от верной, а цифры справа сомнительной неверные. Их необходимо отбросить не только в результате, но и в исходных данных. Например, у известного достаточно точно числа π=3,14159…, но определенного с абсолютной ошибкой 0,002, число 4 будет верным, следующее за ним (число 1) - сомнительным, а остальные неверными, тогда правильная запись π=3,141±0,002.

Возможны варианты, когда в расчетах имеет место число с неопределенной абсолютной погрешностью. В этом случае погрешность определяется как половина последнего разряда вводимого в расчет числа. Например универсальная газовая постоянная R=8,31Дж/моль К должна иметь вид R=(8,310 ± 0,005) Дж/моль К.

Округления производятся лишь в окончательном результате, а все предварительные расчеты - с одним-двумя лишними порядками. Если разброс измеренных значений соизмерим с половиной последнего разряда, то в среднем арифметическом можно оставить число порядков тем же. При этом неверные числа отбрасываются без округления сомнительного числа. Например, при ряде чисел 3, 2, 1, 3, 2 среднее 2,2 нельзя округлить до 2, а в ряде 2.3, 2.2, 2.1, 2.3, 2.2 у среднего 2,22 можно оставить тот же порядок, записав его как 2.2 по причине того, что относительная погрешность первого ряда на порядок выше погрешности второго ряда и это очевидно даже без расчетов.

С учетом выше перечисленных правил при расчетах как прямых, так и косвенных измерений необходимо:

1. Выполнить предварительную запись окончательного результата измерения в виде  при этом вынести за общую скобку одинаковые порядки среднего и погрешности, т.е. множитель вида 10k, где k - целое число. Числа в скобках переписать в десятичном виде с использованием запятой, убрав тем самым оставшиеся порядковые множители.

. Округлить число, соответствующее погрешности, оставив не более 2-х значащих цифр. При этом руководствоваться следующими правилами: при малых относительных погрешностях ( δ<5%) - две, при больших - одна значащая цифра. Причем последняя цифра округляется обычно до нуля или пяти.

. По правилам округления округлить в скобках число, соответствующее среднему значению: при этом учесть, что числовое значение результата измерений должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности.

. Окончательно записать  с учетом выполненных округлений. Общий порядок и единицы измерения величины приводят за скобками. Указать значение относительной погрешности и доверительной вероятности.

. Примеры

Примеры округления и записи окончательных результатов

Пример 1. Обработка результатов прямых измерений.

Вычисления.

1. Вычисляем  среднее значение высоты

. Заполняем ячейки второй и третьей строк таблицы.

. Вычисляем исправленную среднеквадратическую погрешность

(м).

4. Для  заданной доверительной вероятности  и количестве измерений  по таблице определяем коэффициенты Стьюдента  и Лапласа .

. Вычисляем случайную составляющую погрешности:

. Вычисляем  абсолютную систематическую погрешность прибора. Для этого определяем среднеквадратическое отклонение прибора, которое равно половине цены деления

Находим систематическую ошибку прибора по формуле

=10,005=0,005 (м)

. Вычисляем полную погрешность:

= (м).

В данном примере , поэтому без вычисления можно было считать, что .

. Вычисляем относительную погрешность:

. Или .

После округления по правилам, результат измерения высоты записываем в виде: ,  при γ =0,683.

Пример 2. Обработка результатов косвенных измерений.

Цель: измеряя время t падения тела с высоты h, определить ускорение свободного падения для широты Мариуполя.

Функциональная зависимость

.

При прямых измерениях (см. Пример 1) получены:

высота падения ,

время падения .

Вычисляем арифметическое среднее ускорения свободного падения

м/с2 .

Находим производные  ; .

Прежде чем рассчитывать абсолютную погрешность косвенной величины произведем преобразования:

.

Оно определяется средним арифметическим косвенного измерения и относительными ошибками величин, входящими в измерение.)

Производим вычисления: м/с2.

Записываем предварительный результат g=(9,792±0,409) м/с2

Вычисляем относительную погрешность

Производим округление по правилам и записываем окончательный результат g = (9,79±0,41)м/с2, =4% при γ = 0,683.

. Графики

Более наглядными, чем таблицы, являются графики зависимостей исследуемых физических величин. Графики дают визуальное представление о связи между величинами, что крайне важно при интерпретации полученных данных, так как графическая информация легко воспринимается, вызывает больше доверия, обладает значительной ёмкостью. На основе графика легче сделать вывод о соответствии теоретических представлений данным эксперимента. Ниже изложены рекомендации по построению графиков.

Выбор бумаги. Графики строят только на бумаге, имеющей координатную сетку. Это может быть обычная миллиметровка с линейным масштабом по осям или логарифмическая бумага.

Распределение осей. Графики, за редким исключением, строят в прямоугольной системе координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают аргумент, независимую физическую величину, а по вертикальной оси (оси ординат) - функцию, зависимую физическую величину.

Выбор масштабов. Обычно график строят на основании таблицы экспериментальных данных, откуда легко установить интервалы, в которых изменяются аргумент и функция. Их наименьшее и наибольшее значения задают значения масштабов, откладываемых вдоль осей. Не следует стремиться поместить на осях точку (0,0), используемую как начало отсчета на математических графиках. Для экспериментальных графиков масштабы по обеим осям выбирают независимо друг от друга и, как правило, соотносят с погрешностью измерения аргумента и функции: желательно, чтобы цена наименьшего деления каждой шкалы примерно равнялась соответствующей погрешности.

Масштабная шкала должна легко читаться, а для этого необходимо выбрать удобную для восприятия цену деления шкалы: одной клетке должно соответствовать кратное 10 количество единиц откладываемой физической величины: 10n, 2·10n или 5·10n , где n - любое целое число, положительное или отрицательное. Так, числа 2; 0,5; 100; 0,02 - подходят, а числа 3; 7; 0,15 - не подходят для этой цели.

При необходимости масштаб по одной и той же оси для положительных и отрицательных значений откладываемой величины может быть выбран разным, но только в том случае, если эти значения отличаются не менее чем на порядок, т.е. в 10 раз и более. Примером может служить вольтамперная характеристика диода, когда прямой и обратный токи отличаются не менее, чем в тысячу раз: прямой ток составляет миллиамперы, обратный - микроамперы.

Нанесение шкал. Стрелки, задающие положительное направление, на координатных осях обычно не указывают, если выбрано принятое положительное направление осей: снизу - вверх и слева - направо. Оси подписывают: ось абсцисс - справа внизу, ось ординат - слева вверху. Против каждой оси указывают название или символ откладываемой по оси величины, а через запятую - единицы ее измерения, причем все единицы измерения приводят в русском написании в системе СИ. Числовой масштаб выбирают в виде равноотстоящих по значению «круглых чисел», например: 2; 4; 6; 8 … или 1,82; 1,84; 1,86 … Десятичный множитель масштаба, как в таблицах, относится к единицам измерения, например, вместо 1000; 2000; 3000 … получится 1; 2; 3 … с общим множителем 103 , указанным перед единицей измерения.

Масштабные риски проставляют по осям на одинаковом расстоянии друг от друга, чтобы они выходили на поле графика. По оси абсцисс цифры числового масштаба пишут под рисками, по оси ординат - слева от рисок.

Нанесение точек. Экспериментальные точки аккуратно наносят на поле графика карандашом. Их всегда проставляют так, чтобы они были отчетливо различимы. Если в одних осях строят различные зависимости, полученные, например, при измененных условиях эксперимента или на разных этапах работы, то точки таких зависимостей должны отличаться друг от друга. Их следует отмечать разными значками (квадратами, кружками, крестиками и т.п.) или наносить карандашами разного цвета.

Расчетные точки, полученные путем вычислений, размещают на поле графика равномерно. В отличие от экспериментальных, они должны слиться с теоретической кривой после ее построения. Расчетные точки, как и экспериментальные, наносят карандашом - при ошибке неверно поставленную точку легче стереть.

Выносные координатные линии при нанесении точек не используют, так как для этих целей существует сетка миллиметровки, а лишние линии засоряют график, делая его неудобным для восприятия и работы с ним.

Проведение кривых. Экспериментальные точки с помощью карандаша соединяют плавной кривой, чтобы они в среднем были одинаково расположены по обе стороны от проведенной кривой. Если известно математическое описание наблюдаемой зависимости, то теоретическая кривая проводится точно так же. Нет смысла стремиться провести кривую через каждую экспериментальную точку - ведь кривая является только интерпретацией результатов измерений, известных из эксперимента с погрешностью. По сути, есть только экспериментальные точки, а кривая - произвольное, не обязательно верное, домысливание эксперимента. Представим, что все экспериментальные точки соединены и на графике получилась ломаная линия. Она не имеет ничего общего с истинной физической зависимостью! Это следует из того, что форма полученной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измерений.

Напротив, теоретическую зависимость строят на графике таким образом, чтобы она плавно проходила по всем расчетным точкам. Это требование очевидно, так как теоретические значения координат точек могут быть вычислены сколь угодно точно.

Правильно построенная кривая должна заполнять все поле графика, что будет свидетельством правильного выбора масштабов по каждой из осей. Если же значительная часть поля оказывается незаполненной, то необходимо заново выбрать масштабы и перестроить зависимость.

Отображение погрешностей измерений на графике. Результаты измерений, на основании которых строят экспериментальные зависимости, содержат погрешности. Чтобы указать их значения на графике, используют два основных способа.

Первый упоминался при обсуждении вопроса выбора масштабов. Он состоит в выборе цены деления масштабной шкалы графика, которая должна равняться погрешности откладываемой по данной оси величины. В таком случае точность измерений не требует дополнительных пояснений.

Если достичь соответствия погрешности и цены деления не удается, используют второй способ, заключающийся в прямом отображении погрешностей на поле графика. А именно, вокруг проставленной экспериментальной точки строят два отрезка, параллельные осям абсцисс и ординат. В выбранном масштабе длина каждого отрезка должна равняться удвоенной погрешности величины, откладываемой по параллельной оси. Центр отрезка должен приходиться на экспериментальную точку. Вокруг точки образуются как бы ”усы”, задающие область возможных значений измеряемой величины. Погрешности становятся зримыми, хотя “усы” могут невольно засорить поле графика. Отметим, что указанный способ чаще всего применяют тогда, когда погрешности меняются от измерения к измерению.

Завершение работы. График нумеруют, ему дают название, кратко отражающее содержание построенной зависимости. Все графические символы, использованные при построении, поясняют в подписи к графику, которую располагают под графиком или на не занятой кривой части поля.

Литература

1.     Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - Москва, «Высшая школа».-2000.-479с.

2.       Гутер Р.С., Овчинский Б.В.Элементы численного анализа и математической обработки результатов опытов.-Москва, «Наука».-1970.-432с.

.        Кондрашев А.П., Шестопалов Е.В. Основы физического эксперимента и математическая обработка результатов измерений.-М.,Атомиздат,-1977,200с.