Использование метода логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик для синтеза регуляторов манипулятора с гибким стержнем

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

"САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ГАГАРИНА Ю.А. "

Институт Физико-технический

Кафедра Прикладная математика и системный анализ

Направление 27.03.03 - Системный анализ и управление

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Использование метода логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик для синтеза регуляторов манипулятора с гибким стержнем

Аннотация

Пояснительная записка к выпускной квалификационной работе содержит 72 листа формата А4, 52 рисунка. Использовано 17 литературных источников.

Ключевые слова:

МАНИПУЛЯТОР, ГИБКИЙ СТЕРЖЕНЬ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА, ФАЗОВАЯ ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА, ЧАСТОТНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА.

В данной работе разработана математическая модель манипулятора как совокупности дискретных элементов с сосредоточенными по пространству параметрами (абсолютно жесткий вал, датчики первичной информации, усилители, двигатели) и элемента с распределенными по пространству параметрами (вязкоупругий стержень) динамически связанные через границы раздела и в этом смысле являющиеся дискретно-континуальными (распределенными). С использованием широко применяемого инженерами метода логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик сформировано корректирующее устройство для регулятора системы управления плоским движением манипулятора. Исследована применимость частотных показателей устойчивости и качества регулирования по логарифмическим амплитудным и фазовым частотным характеристикам к системе управления плоским движением манипулятора с вязкоупругим стержнем.

Abstract

Explanatory note to the final qualifying work contains 72 A4 pages, 52 figures. Used 17 of the literary source.:MANIPULATOR, A FLEXIBLE ROD, THE MATHEMATICAL MODEL, THE LOGARITHMIC AMPLITUDE-FREQUENCY CHARACTERISTICS, PHASE FREQUENCY CHARACTERISTICS, FREQUENCY OF PERFORMANCE.this work the mathematical model of the manipulator as a set of discrete elements with lumped according to the space parameters (a perfectly rigid shaft, the primary information gauges, amplifiers, engines) and an element distributed in space parameters (viscoelastic rod) dynamically linked across boundaries and in this sense is a discrete-continuous (distributed). Using widely used by engineers method of logarithmic amplitude and phase frequency characteristics of the generated corrective device for the controller of the control system of the plane motion of the manipulator. Investigated applicability the frequency stability and the quality of regulation on a logarithmic amplitude and phase frequency characteristics to a control system of the plane motion of manipulator with viscoelastic core.

Реферат

Работа состоит из 4 глав, введения, заключения и списка использованной литературы. Работа снабжена 40 рисунками. Имеется 1 таблица.

Во введении обосновывается актуальность темы и рассматриваются методы исследования.

В первой главе приведена постановка задачи исследования, задаются параметры манипулятора и вязкоупругого стержня.

Вторая глава посвящена выводу размерных и безразмерных уравнений движения манипулятора. Получены передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы управления манипулятора с вязкоупругим стержнем.

В третьей главе представлены результаты формирования различных корректирующих устройств системы управления манипулятора по методу логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик. Корректирующие устройства выбиралось таким образом, чтобы получить различные значения основных частотных характеристик, по которым можно судить о качестве регулирования.

В четвертой главе анализируются частотные характеристики, полученные в третьей главе. Показаны пределы их применимости для оценки качества регулирования.

В заключении сформулированы основные выводы по результатам исследования.

В списке использованной литературы указано 17 наименований литературных источников, использованных при написании ВКР.

Текстовая часть ВКР выполнена в текстовом редакторе Microsoft Office Word 2010.

Содержание

Введение

1. Постановка задачи исследования

1.1 Исходные данные для проектирования манипулятора

1.2 Конструктивные параметры манипулятора

2. Вывод уравнений движения манипулятора с упругим стержнем и закрепленным на его конце твердым телом

2.1 Система автоматического управления манипулятором

2.2 Механическая схема манипулятора и основные обозначения и упрощения

2.3 Размерная математическая модель системы управления манипулятором

2.4 Безразмерная математическая модель системы управления манипулятором

2.5 Решение уравнения движения гибкого стержня

2.6 Передаточная функция замкнутой системы регулирования манипулятора

2.7 Вывод передаточной функции разомкнутой системы регулирования манипулятора

3. Синтез регулятора для системы управления манипулятором по методу ЛАЧХ

4. Исследование соответствия переходных процессов в манипуляторе и известных частотных показателей качества

Заключение

Список использованных источников

Введение

Важнейшей проблемой создания современных технических систем и выбора режимов их эксплуатации является проблема построения и анализа динамических моделей этих систем. Многие технические системы состоят из дискретных элементов с сосредоточенными по пространству параметрами (абсолютно жесткие тела, датчики первичной информации, двигатели, усилители) и элементы с распределенными по пространству параметрами (оболочки, упругие стержни, потоки жидкости и газа) динамически связанные через границы раздела и в этом смысле являются распределенными или дискретно-континуальными (ДКС). Системы дифференциальных уравнений движения ДКС, содержащие обыкновенные дифференциальные уравнения и связанные с ними через граничные условия уравнения с частными производными, начальные условия и условия связи, для краткости называют комбинированными динамическими системами (КДС) [1]. На рисунке ниже приведена структурная схема комбинированной динамической системы (КДС).

Рис. 1.1

На структурной схеме ОДУ - система обыкновенных дифференциальных уравнений. УЧП - система уравнений с частными производными, граничными условиями (ГУ) при заданных условиях связи (УС) и начальных условиях (НУ). x (t) - сосредоточенное, а u (z,t) и v (z,t) - распределенные возмущения; y (t) - сосредоточенная и w (z,t) - распределенная реакции комбинированной динамической системы; z - вектор пространственных координат.

При управлении движением облегченных быстродействующих манипуляционных роботов, ракет, больших космических конструкций, необходимо изначально учитывать деформации их конструктивных элементов. Сложности, связанные с управлением ориентацией космических аппаратов (КА), не имеющих абсолютно жесткой конструкции, впервые проявились в начале 60-х годов, когда, после выведения на орбиту сравнительно небольшого американского спутника "Эксплоурер-Г, он очень быстро потерял устойчивость вследствие непредвиденного эффекта рассеяния энергии закрутки из-за, наличия упругости четырех штыревых антенн. С тех пор и до настоящего времени к этой сложной проблеме привлечено пристальное внимание многих ведущих специалистов (математиков, механиков, инженеров) почти всех стран мира [2].

Как правило в математических моделях деформируемых управляемых объектов уравнения с частными производными движения упругих элементов конструкций заменяются конечномерными аппроксимациями, построенными на матричных конечно-элементных моделях, либо на усеченных разложениях по собственным формам [3]. Разработанное на основе такой приближенной модели деформируемого объекта управляющее устройство может вызвать возбуждение неучтенных форм колебаний и дестабилизировать систему автоматического управления. Этот эффект наблюдаемый, например, в больших космических конструкциях, авторы работы [3] назвали излишним управлением. В работах [4], [5], [6] предложен оригинальный подход к формированию математических моделей комбинированных систем позволяющий учесть весь бесконечный спектр частот и форм колебаний континуальных элементов.

КДС моделируют динамические процессы в облегченных быстродействующих манипуляционных роботах, в больших космических конструкциях, в упругих ракетах, в поплавковых гироскопических приборах и акселерометрах и многих других технических системах.

Задачам управления твердыми телами с вязкоупругими стержнями посвящено большое количество работ [8] - [14]. В этих работах используются такие методы синтеза регуляторов для систем управления как методы параметрического синтеза использующие минимизацию некоторых функционалов. В [12] показано, что система уравнений, моделирующая движение космического аппарата в режиме стабилизации, распадается на три сравнительно независимых канала управления, каждый из которых может исследоваться самостоятельно. В работе [10] также рассматривается один из каналов стабилизации космического аппарата. В [8, 9, 10] математическая модель космического аппарата с упругими стержнями представлена в виде частотных характеристик и, поэтому, для синтеза регулятора можно использовать хорошо разработанные частотные методы и в частности метод логарифмических частотных характеристик [15]. Этот метод достаточно прост, знаком и используется многими инженерами в реальных проектах, позволяет наглядно судить об устойчивости и качестве регулирования систем автоматического управления. В сложных случаях взаимозависимых каналов управления метод позволяет определять начальные значения параметров регуляторов для запуска различных методов оптимизации процессов регулирования. В настоящей работе показана простота и эффективность использования метода логарифмических частотных характеристик для разработки регуляторов манипулятора с упругим стержнем.

Суть метода логарифмических частотных характеристик заключается в следующем [15]. Логарифмические частотные характеристики (л. ч. х.) включают в себя построенные отдельно на одной плоскости логарифмическую амплитудную характеристику (л. а. х.) и логарифмическую фазовую характеристику (л. ф. х.). Для построения л. а. х. находится L (ω) =20lg|W (jω) |=20lg (A (ω)), где W (jω) - частотная характеристика разомкнутой системы управления. Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один Бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 Бела - в 100 раз, 3 Бела - в 1000 раз и т.д.

Децибел равен одной десятой части Бела. Если бы А (ω) было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части должен был бы стоять множитель 10. Так как А (ω) представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, напряжений, токов, углов и т.п.), то увеличение этого отношения в десять раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в сто раз, что соответствует двум Белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части стоит множитель 20.

Необходимость логарифмировать модуль частотной передаточной функции приводит к тому, что, строго говоря, л. а. х. может быть построена только для тех звеньев, у которых передаточная функция представляет собой безразмерную величину. Это возможно при одинаковых размерностях входной и выходной величин звена. В дальнейшем изложении будет подразумеваться именно этот случай.

Однако л. а. х, может условно строиться и для тех звеньев, у которых передаточная функция имеет какую-либо размерность. В этом случае некоторая исходная величина, соответствующая размерности передаточной функции, принимается за единицу (например, 1 с^-1, 1 рад и т.п.) и под значением А (ω) понимается отношение модуля частотной передаточной функции к этой исходной единице.

Это же замечание относится и к угловой частоте ω, которая имеет размерность [с^-1] и которую приходится логарифмировать в соответствии с изложенным выше.

Для построения логарифмических амплитудных характеристик и логарифмических фазовых характеристик. используется специальная сетка (рис. 1.2).

Рис. 1.2

По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т.е. наносятся отметки, соответствующие lgω, а около отметок пишется само значение частоты ω в рад/с.

По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дБ). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дБ, что соответствует значению модуля А (ω) = 1, так как логарифм единицы равен нулю.

Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка ω = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg 0 =-∞. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход л. а. х. Для построения л. ф. х. используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Первой операцией процесса синтеза является построение желаемой ЛАХ. Это построение выполняется на основе требований, которые предъявляются к проектируемой системе управления.

К системам управления обычно в идеале предъявляются следующие требования [15]:

·        устойчивость;

·        нулевая ошибка в установившемся режиме;

·        быстрый и плавный (в идеале - монотонный) переходный процесс;

·        подавление шумов;

·        робастность (нечувствительность к изменению параметров исходной модели системы).

Устойчивость и робастность обеспечивается определенным видом среднечастотного участка ЛАХ. Этот участок расположен слева и справа от частоты среза ω_ср разомкнутой системы управления. На этом участке ЛАХ на частоте среза ω_ср пересекает ось частот, ф. ч. х. на частоте среза желательно иметь от - 150^◦ до - 140^◦, наклон среднечастотного участка ЛАХ должен быть

дб на декаду и на концах требуется обеспечить запасы по амплитуде не менее 12 дб. Низкочастотный и высокочастотный участки ЛАХ должны, по возможности, совпадать с ЛАХ исходной системы, управление которой осуществляется, что приводит к упрощению регулятора системы автоматического управления.

манипулятор амплитудная фазовая частотна логарифмическая

Нулевая ошибка в установившемся режиме обеспечивается введением в регулятор интегрирующего звена.

Скорость переходного процесса обеспечивается выбором частоты среза ω_ср разомкнутой системы управления. Чем больше частота среза, тем время переходного процесса меньше. Плавность переходного процесса зависит от вида среднечастотного участка ЛАХ.

Подавление шумов зависит от частоты среза разомкнутой системы управления. Чем меньше частота среза, тем сильнее происходит подавление шумов. Этот пункт противоречит пункту о скорости переходного процесса. В реальности проектировщик принимает компромиссное решение.

Вторым пунктом синтеза является построение ЛАХ исходной системы.

ЛАХ корректирующего устройства регулятора получается в результате вычитания из ЛАХ желаемой ЛАХ исходной системы.

Завершением процесса синтеза является построение переходного процесса.

1. Постановка задачи исследования

Цель работы - исследовать возможности применения метода логарифмических частотных характеристик для синтеза регулятора системы управления манипулятором с упругим стержнем в качестве рабочего органа.

Цель работы достигается решением следующих задач:

·        формирование математической модели манипулятора с упругим стержнем и грузом, закрепленным на его конце, в безразмерной форме;

·        исследование возможностей метода логарифмических частотных характеристик для синтеза корректирующего устройства регулятора для манипулятора с упругим стержнем и грузом, закрепленным на его конце;

·        исследование адекватность частотных показателей устойчивости и качества регулирования по логарифмическим амплитудным и фазовым частотным характеристикам применительно к системе управления плоским движением манипулятора с вязкоупругим стержнем и грузом, закрепленным на его конце.

1.1 Исходные данные для проектирования манипулятора

Разработать корректирующее устройство для манипулятора добиваясь максимального качества переходных процессов.

Размерная частота среза скорректированной системы управления не должна превышать допустимой для электро-механических систем ≈ (100 - 150) 1/с.

Коэффициент безразмерного внутреннего демпфирования по Фойгту: 4.8E-3.

Безразмерный коэффициент демпфирования серводвигателя k0=0.015.

1.2 Конструктивные параметры манипулятора

Материал стержня - сталь;

Длина стержня - 2 м;

Внешний радиус - 0.004;

Толщина стенки - 0.00049;

Материал вала - титан;

Длина вала - 0.5;

Внешний радиус - 0.022;

Внутренний радиус - 0.01;

Материал груза (форма цилиндр.) - сталь;

Радиус груза - 0.01.

2. Вывод уравнений движения манипулятора с упругим стержнем и закрепленным на его конце твердым телом

2.1 Система автоматического управления манипулятором

Упрощенная схема системы автоматического управления манипулятором изображена на рис.

Рис. 2.1

Основными элементами системы являются следующие. Абсолютно жесткий вал 1, в который одним концом заделан упругий стержень 2. На другом конце стержня расположен захват с рабочим органом манипулятора 3 (например, телевизионная камера). Угол поворота вала 1 измеряется датчиком углового положения 4, например, сельсином. Сигнал датчика угла α₁ (t) поступает на сумматор 5 системы управления манипулятором. Туда же поступает сигнал α₀ (t), задающий программу разворота манипулятора, например, для слежения за каким то объектом. В сумматоре производится вычитание сигналов α₁ (t) и α₀ (t). Задача системы управления манипулятором заключается в обнулении этой разности сигналов. Далее разностный сигнал усиливается 6, преобразуется корректирующим устройством 7, усиливается по мощности 8 и поступает на исполнительный двигатель системы управления 9, который разворачивает вал 1 в соответствии с программным сигналом α₀ (t).

2.2 Механическая схема манипулятора и основные обозначения и упрощения

Для составления уравнений движения манипулятора ниже приведена механическая схема манипулятора с обозначением систем Декартовых координат, связанных с основными механическими объектами манипулятора (рис. 2.4).

Схема составлена с введением некоторых упрощающих предположений.

Рассматриваем задачу об управлении плоским угловым движением манипулятора.

Внутреннее трение в гибком стержне длиной s учитываем по теории Фойгта [16].

В классической механике со времен Ньютона используется модель вязкой жесткости, в которой касательные напряжения пропорциональны скорости деформации сдвига

где η - коэффициент вязкости.

Если рассмотреть сплошную среду, обладающую свойствами вязкой жидкости и упругости, то получим модели вязкоупругости, которые были предложены Фойгтом, Максвеллом и Кельвином в связи с изучением свойств густых растворов и упругих тел.

В дальнейшем оказалось, что модели вязкоупругости пригодны для описания полимерных материалов, имеющих широкое распространение в современной технике.

Рис. 2.2 Модель Максвелла

Модель Максвелла представляет последовательное соединение элемента упругости и элемента вязкости (последний иллюстрируется в виде движения - поршня с зазором внутри цилиндра с вязкой жидкостью.

Модель Фойгта может быть использована для описания микропроцессов в материале, в частности внутреннего трения при переменных напряжениях.

Рис. 2.3 Модель Фойгта

Механическая схема манипулятора:

Рис. 2.4

Обозначим y* (z*,t*) - упругое смещение стержня от оси z*, изменяющееся от 0 в точке О₁ жесткой заделки гибкого стержня в абсолютно жестком вале 1 до = y* (s,t*) на втором конце стержня О₂.

Деформации стержня считаем малыми (иначе манипулятор не смог бы выполнять свои функции).

Учитывая малость деформации стержня, можем записать полярный угол a^* (t^*) выходной точки О₂ гибкого стержня в виде:

,

где s - длина стержня. Причем |y* (s,t*) |=|y₁* (t*) |<<s и |y* (z*,t*) |<<s для z*Î [0, s].

Момент инерции абсолютно жесткого вала 1 обозначим J₀*.

Массу и момент инерции абсолютно жесткого рабочего органа манипулятора 2 обозначим m₂* и J₂* (О₂ - центр массы m₂*).

Управляющий момент, приложенный к валу 1, со стороны исполнительного двигателя обозначим

,

где a₀* - программный угол разворота манипулятора; a₁^{* -} угол поворота вала 1; П - оператор корректирующего устройства; р^* - суммарный коэффициент усиления всех элементов системы управления манипулятором начиная от измерителя углового положения вала 4 и заканчивая исполнительным двигателем 9; k₀^* - коэффициент демпфирования исполнительного двигателя 9; Через L₁^*, L₂^*, N₂^* обозначим моменты сил (L₁^*, L₂^*) и силу (N₂^*) реакции стержня, приложенные к абсолютно жестким телам, соответственно с индексом 1 к валу, а с индексом 2 к исполнительному органу.

2.3 Размерная математическая модель системы управления манипулятором

Дифференциальные уравнения движения системы управления манипулятором запишем, следуя механике Ньютона-Эйлера [1]. Уравнение углового движения абсолютно жесткого вала относительно неподвижной системы координат О₁x*y*z*:

 (2.1)

Уравнение углового движения исполнительного органа манипулятора относительно неподвижной системы координат О₂x*y*z*:

 (2.2)

Уравнение линейного перемещения исполнительного органа

 (2.3)

Уравнение изгиба тонкого стержня 3 запишем, следуя [1] в виде:

 (2.4)

где a₀^* (t^*) - программный угол разворота манипулятора, a^* (t^*) - угол поворота конца стержня и, соответственно, исполнительного органа манипулятора (выходная функция), r - погонная плотность стержня, Е - модуль упругости Юнга материала стержня, J - экваториальный момент инерции поперечного сечения стержня, h - коэффициент внутреннего трения стержня по Фойгту.

Для решения уравнения (2.4) с частными производными необходимо задать граничные условия (значения для изгиба стержня на обоих его концах)

, (2.5)

начальные условия, т.е. условия, накладываемые на углы разворота жестких тел (вала и исполнительного органа) и прогиб стержня в начальный момент времени

, (2.6)

Уравнения (2.1) - (2.3) это обыкновенные дифференциальные уравнения, моделирующие движение абсолютно твердых вала и исполнительного органа манипулятора, а уравнение (2.4) это уравнение с частными производными, моделирующее процессы при изгибе стержня. Для того, чтобы манипулятор превратился в единый объект необходимо увязать между собой абсолютно жесткие тела и гибкий стержень. Взаимодействие между твердыми телами и стержнем происходит через силу N₂^* и моменты сил L₁^*, L₂^*, передаваемые от вала к исполнительному органу через гибкий стержень и наоборот. Запишем уравнения связи [1]:

 (2.7)

.

Уравнения (2.1) - (2.7) моделируют плоское движение манипулятора с учетом гибкости стержня. И являются уравнениями комбинированной системы автоматического регулирования [1].

2.4 Безразмерная математическая модель системы управления манипулятором

Полученные выше уравнения движения манипулятора являются размерными, т.е. коэффициенты уравнений имеют определенную физическую размерность и их нельзя сравнивать между собой с целью выяснения, какие из них являются существенными для моделирования процессов в манипуляторы, а какие несущественны и могут быть, например, отброшены для снижения трудностей при решении этих уравнений.

Существует специальная наука - “Теория подобия и размерности" [17], которая предписывает, как привести размерные дифференциальные уравнения к безразмерному виду, чтобы можно было сравнивать в уравнениях отдельные члены уравнений и, кроме того, как строить физические модели для проверки правильности принятых решений об отбрасывании некоторых несущественных членов дифференциальных уравнений.

Согласно “Теории подобия и размерности" необходимо выбрать в системе, математическое моделирование которой производится, некоторые, характерные именно для этой системы, параметры, определяющие протекание в системе процессов.

Известно [16], что в гибких стержнях характерные процессы определяются такими параметрами стержней и их материала:

E - модуль упругости материала;

J - момент инерции поперечного сечения стержня;

s - длина стержня;

ρ - плотность материала стержня.

Их этих параметров можно составить комбинацию, имеющую размерность времени . Эта комбинация представляет собой характерное время протекающих в стержнях процессов,

С помощью T можно все процессы в стержне согласовать по времени, введя безразмерное время t = t*/T.

Для приведения различных параметров в дифференциальных уравнениях, имеющих размерность длины, необходимо ввести единые масштабы измерения длин элементов манипулятора. В качестве такой единой линейки выберем самый главный размер, от которого зависит возможность выполнения манипулятором своих рабочих функций. Это будет d - характерный прогиб стержня.

Имея единый масштаб длины можно ввести безразмерные переменные:

y₁= y₁*/δ, y_{1 -} безразмерное упругое перемещение конца стержня;

y=y^*/d, y - безразмерный прогиб стержня;

z=z^*/s, z - безразмерная координата поперечного сечения стержня.

 ,

Здесь a₀, a₁, a₂, J₀, J₁, J₂, m₂, k₀, L₁, L₂, N₂, g - безразмерные значения соответствующих размерных переменных и параметров.

Теперь можно представить уравнения движения манипулятора в безразмерной форме. Окончательно можно записать:

Обыкновенные дифференциальные уравнения движения абсолютно твердых вала и исполнительного органа.

 (2.8)

 (2.9)

Дифференциальное уравнение с частными производными, моделирующее процессы изгиба стержня.

 (2.10)

Граничные условия.

 (2.11)

Начальные условия.

 (2.12)

Уравнения связи абсолютно твердых вала и исполнительного органа через гибкий стержень.

 (2.13)

Проведем прямое интегральное преобразование Лапласа и получим уравнения системы управления манипулятором в изображениях

, (2.14)

, (2.15)

 (2.16)

 (2.17)

 (2.18)

 (2.19)

Здесь a₀ (l), a₁ (l), a₂ (l), y₁ (l), y (z,l) L₁ (l), L₂ (l), N₂ (l) - изображения соответствующих оригиналов; A (l) и B (l) - многочлены; П (l) - рациональная дробь; l - произвольный комплексный параметр. Выберем характерный прогиб d стержня, используя методы теории упругости. Согласно этой теории [1] в стержне будут отсутствовать пластические деформации, если его характерный прогиб d удовлетворяет условию ; поэтому принимаем , где d - характерный диаметральный размер поперечного сечения стержня в направлении изгиба.

2.5 Решение уравнения движения гибкого стержня

Следуя [1] общее решение линейного обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения (2.17) представим в виде суммы

, (2.20)

где y^H - частное решение неоднородного уравнения (2.17); y⁰ - общее решение однородного уравнения

 (2.21)

Введем в рассмотрение функции А.Н. Крылова

 (2.22)

Функции А.Н. Крылова линейно независимы и являются решениями однородного уравнения (2.21), так как при подстановке их в это уравнение оно обращается в тождество. Следовательно,

, (2.23)

где А, В, С, D - произвольные не зависящие от z величины (постоянные интегрирования).

Частное решение неоднородного уравнения (2.17), согласно виду правой части, будем искать в форме

 (2.24)

Здесь Е и М - подлежащие определению коэффициенты.

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Подставим (2.24) в (2.17)

и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, найдем

 (2.25)

Подставляя (2.23) и (2.24) с учетом (2.25) в (2.20), запишем общее решение неоднородного уравнения (2.17) в виде

 (2.26)

Продифференцируем (2.27) по z один раз

 (2.27)

Постоянные интегрирования А, В, С, D определяем согласно (2.26) и (2.27) из граничных условий (2.18)

 (2.28)

y¢ (0,l) =kB+a₁ (l) =0 Þ B= - a₁ (l) /k (2.29)

 (2.30)

Решая систему алгебраических линейных неоднородных уравнений (2.30) по формулам Крамера, получим

 (2.31)

Вводя (2.26) в (2.19), определим

 (2.32)

Подставляя (2.28), (2.29), (2.31) в (2.32) и учитывая тождество

, ,

получим изображение реакций гибкого стержня:

 (2.33)

где

 (2.34)

Введем (2.33) в (2.16)

 (2.35)

Здесь обозначено:

 (2.36)

Из (2.35) следует:

 (2.37)

Выражения (2.34) - (2.37) - математическая модель манипулятора с динамической моделью стержня, где весь бесконечный спектр собственных частот и форм колебаний стержня учитывается через переменные коэффициенты  (), которые являются функциями комплексной переменной .

2.6 Передаточная функция замкнутой системы регулирования манипулятора

Согласно (2.37)  т.е. Ф (λ) есть отношение выходной величины манипулятора к входной величине и в теории автоматического управления [15] называется передаточной функцией замкнутой системы регулирования манипулятора. Элементы , формирующие Q (λ) и D (λ), являются сложными функциями от l и согласно (2.36) содержат не только l с целыми степенями, но и трансцендентные функции m_{ij (}i,j =1,2,3) от

Следовательно, Q (l) и D (l) представляются в форме квазимногочленов с переменными коэффициентами [1]

, (2.38)

а передаточная функция манипулятора  является квазирациональной дробью. Степени m и n квазимногочленов определяются ОДУ в изображениях (2.16), а зависимость переменных коэффициентов от l в квазимногочленах определяется УЧП в изображениях (2.17), а также ГУ (2.18) и УС (2.19) в изображениях.

Далее передаточную функцию Ф (λ) будем представлять в форме квазирациональной дроби

 (2.39)

2.7 Вывод передаточной функции разомкнутой системы регулирования манипулятора

Построим структурную схему рассматриваемой системы управления применительно к задаче синтеза данной линейной стационарной системы по типовым логарифмическим частотным характеристикам [15]. Полагая суммарный коэффициент усиления всех элементов системы управления манипулятором начиная от измерителя углового положения вала 4 и заканчивая исполнительным двигателем 9 обратных связей равными нулю, т.е. p=0, из приведенной в (2.39) формулы Ф (λ) передаточной функции замкнутой системы регулирования манипулятора получаем

 (2.40)

Тогда структурная схема системы замкнутой системы регулирования манипулятора представляется в виде

Рис. 2.5

Из этой структурной схемы следует передаточная функция разомкнутой системы регулирования манипулятора

 (2.41)

и передаточная функция замкнутой системы регулирования

 (2.42)

В следующих главах ВКР передаточная функция разомкнутой системы используется для выбора параметров корректирующих устройств по методу логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик. А передаточная функция замкнутой системы регулирования используется для построения переходных процессов в системе при  в форме функции Хевисайда, с использованием интеграла Фурье

 (2.43)

3. Синтез регулятора для системы управления манипулятором по методу ЛАЧХ

В разделе 1.2 заданы размерные параметры манипулятора. Для приведения этих параметров к безразмерному виду в соответствии с формулами раздела 2.4 была составлена расчетная схема в Excel. Соответствующий лист Excel приведен на рис.3.1.

Рис. 3.1

Введем безразмерные параметры системы управления манипулятором в специальную программу (см. рис. 3.2).

Рис. 3.2

Построим логарифмическую амплитудную характеристику (ЛАХ) и фазовую частотную характеристику (ФЧХ) исходной разомкнутой системы управления и получим результат, приведенный на рисунке ниже. Красным цветом на рис. 3.3 показан средний участок желаемой ЛАХ построенный в соответствии с рекомендациями [15].

Рис.3.3

На графике видим четыре резких излома ЛАХ на частотах ω= (2.75, 7.45, 17.7, 20.7). Конечно, изломы создаются внутренними свойствами стержня манипулятора. Но нам для синтеза регулятора, условно, можно считать, что эти изломы создают два колебательных звена и два дифференцирующих звена 2-го рода.

Наша задача попасть на желаемую ЛАХ на частоте 1.5 пройти по желаемой ЛАХ до частоты 60.2 с наклоном ЛАХ - 20 дб/дк. Тогда система управления будет иметь запасы по амплитуде 18 дб и, соответственно, будет достаточно хорошо демпфирована.

Наиболее неприятным на исходной ЛАХ является первый излом. Как видно, нижняя точка излома - 40 Дб, т.е. ЛАХ пересекает ось частот с наклоном более - 40 дб/дк и система управления неустойчива.

Поэтому, первым делом, скомпенсируем первый излом колебательным звеном с постоянной времени 1/2.75=0.3635 и подберем коэффициент демпфирования звена так, что бы компенсировать излом. После нескольких итераций подбора коэффициентов демпфирования звеньев начиная с ξ=0.01 получим ЛАХ разомкнутой системы изображенную ниже. Коэффициент демпфирования при этом ξ=0.009.

Рис.3.4

Далее скомпенсируем второй излом дифференцирующим звеном второго порядка с постоянной времени 1/7.45=0.1342 и подберем коэффициент демпфирования звена так, что бы компенсировать излом. Наилучший результат достигнут при коэффициенте демпфирования ξ=0.02.

Рис.3.5

Так же скомпенсируем третий и четвертый изломы, добавив колебательное звено с постоянной времени 1/17.7=0.05397 с и коэффициентом демпфирования равным 0.05 и дифференцирующее звено второго порядка с постоянной времени 1/20.7=0.04876 c и коэффициентом демпфирования равным 0.5, соответственно.

Рис.3.6

Теперь нужно попасть на желаемую ЛАХ при заданной частоте среза, равной 9.75. Для этого введем в регулятор дифференцирующее звено с постоянной времени 2 с и апериодическое звено с постоянной времени 0.016 с. Постоянную времени звена подберем итерациями так, чтобы попасть на желаемую ЛАХ.

Получится результат изображенный на рисунке ниже.

Рис.3.7

В соответствии с [15] будем использовать для оценки качества регулирования следующие частотные характеристики: запас по фазе и амплитуде (определяются по ЛАФЧХ), показатель колебательности (определяется по амлитудно частотной характеристике (АЧХ) замкнутой системы управления манипулятором), первое максимальное значение вещественной частотной характеристики (ВЧХ) и полосу существенных частот (определяются по ВЧХ).

Амлитудно частотная характеристика (АЧХ) замкнутой системы управления манипулятором приведена на рис.3.6.

Рис.3.8

Вещественную частотную характеристика: и переходный процесс в манипуляторе.

Рис.3.9

Переходный процесс по углу поворота вала манипулятора:

Рис.3.10

Переходный процесс по углу поворота исполнительного устройства манипулятора:

Рис.3.11

Правда качество переходного процесса не очень хорошее. Видно, как на начальном этапе конец стержня совершает сильные колебания.

Исследуем устойчивость замкнутой системы управления манупулятором.

В программе для проверки устойчивости используется частотный критерий Михайлова.

Этот критерий заключается в следующем [1]. Для устойчивости замкнутой системы автоматического управления достаточно, чтобы при монотонном возрастании частоты от нуля до ¥ вектор характеристического многочлена замкнутой системы D (iω) =U (ω) +iV (ω), ½D (iω) ½>0 повернулся бы на комплексной плоскости (U, iV) от положительной действительной полуоси U против часовой стрелки на угол nπ/2, где n - степень характеристического многочлена замкнутой системы D (s). В [1] доказано, что для комбинированных динамических систем число n может быть и не целым, а, например, иметь не целые добавки из ряда {0.25, 0.5, 0.75}.

Построим график частотного годографа Михайлова. Зададим диапазон частот для построения графика: 0.01 - 10¹¹.

Рис.3.12

Из графика видно, что годографа Михайлова при изменении частоты повернулся против часовой стрелки на угол 11π/2. Поэтому для устойчивости исследуемой системы регулирования необходимо, чтобы степень многочлена D (s) была бы равна 11. Это и должны мы проверить.

Нам надо найти такое число n, при котором предел =const. Так как установить ω=∞ на вычислительной машине невозможно мы воспользуемся следующей методикой.

Вычислим значения  для n=10.75, n=11 и n=11.25 при изменении частоты, например, в пределах 10-10¹¹ и сравним соответствующие графики.

Для n=10.75:

Рис.3.13

Для n=11:

Рис.3.14

Для n=11.25:

Рис.3.15

Как видно из рисунков при n=10.75 график возрастает, а при n=11 и n=11.25 графики убывают. Оценим это возрастание и убывание. Для этого вычислим относительное изменение  на графиках.

Для n=11≈ 3.36 % и для n=11.25 ≈ 35.18 %. Это свидетельствует о том, что в случае n=11 мы имеем приближение к предельному постоянному значению. Поэтому можно сделать вывод, что исследуемая система управления манипулятором устойчива.

Для исследования зависимости качества регулирования манипулятора с упругим стержнем от частотных показателей качества ухудшать эти показатели. Для этого будем уменьшим постоянную времени дифференцирующего звена Tp+1. Сначала примем Т= 1.5.

Построим ЛАХ

Согласно рисунку частота среза разомкнутой системы автоматического регулирования манипулятора 9.75, запас по фазе 80 гр. Запас по амплитуде справа бесконечность и слева бесконечность.

АЧХ замкнутой системы:

Рис.3.17

Из рисунка следует, что показатель колебательности 2.7.

ВЧХ:

Рис.3.18

Согласно рисунку Pмах= 1, а величина существенных частот 7.64.

Построим переходный процесс по углу поворота вала.

Рис.3.19

Время переходного процесса 9.17, перерегулирование 1.0.

Переходный процесс по углу поворота исполнительного устройства манипулятора

Рис.3.20

Уменьшим постоянную времени дифференцирующего звена до 1.

Рис.3.21

Мы видим, что частота среза разомкнутой системы автоматического регулирования манипулятора составляет 5.3, а запас по фазе 75 гр. Запас по амплитуде справа бесконечность и слева бесконечность.

Рис.3.22

Показатель колебательности составляет 1.

Рис.3.23

На рисунке видно Pмах =1, а величина существенных частот 7.56.

Переходный процесс по углу поворот вала манипулятора

Рис.3.24

Время переходного процесса ≈ 4, перерегулирование 1.0.

Переходный процесс по углу поворота исполнительного устройства манипулятора:

Рис.3.25

Уменьшим постоянную времени дифференцирующего звена до 0.5.

Рис.3.26

Частота среза разомкнутой системы автоматического регулирования манипулятора составляет 2.99, а запас по фазе 56 гр. Запас по амплитуде справа бесконечность и слева бесконечность.

Рис.3.27

Как показано на рисунке показатель колебательности составляет 1.2.

Рис.3.28

Исходя из рисунка видно, что Pмах 1, а величина существенных частот 7.49

Переходный процесс по углу поворот вала манипулятора:

Рис.3.29

Время переходного процесса ≈ 3, перерегулирование ≈1.2.

Переходный процесс по углу поворота исполнительного устройства манипулятора:

Рис.3.30

Уменьшим постоянную времени дифференцирующего звена до 0.25.

Рис.3.31

Частота среза разомкнутой системы автоматического регулирования манипулятора составляет 2.31, а запас по фазе 36 гр. Запас по амплитуде справа и слева бесконечность.

Рис.3.32

Как показано на рисунке показатель колебательности составляет 2.1.

Рис.3.33

Исходя из рисунка видно, что Pмах 1.35, а величина существенных частот 7.46

Переходный процесс по углу поворот вала манипулятора:

Рис.3.34

Время переходного процесса ≈ 6, перерегулирование 1.5.

Переходный процесс по углу поворота исполнительного устройства манипулятора:

Рис.3.35

Уменьшим постоянную времени дифференцирующего звена до 0.125.

Рис.3.36

Частота среза разомкнутой системы автоматического регулирования манипулятора составляет 2.25, а запас по фазе 13 гр. Запас по амплитуде слева и справа бесконечность.

Рис.3.37

Как показано на рисунке показатель колебательности составляет 4.6.

Рис.3.38

Исходя из рисунка видно, что Pмах 2.5, а величина существенных частот 7.44

Переходный процесс по углу поворот вала манипулятора:

Рис.3.39

Время переходного процесса 12, перерегулирование 1.7.

Переходный процесс по углу поворота исполнительного устройства манипулятора:

Рис.3.40

4. Исследование соответствия переходных процессов в манипуляторе и известных частотных показателей качества

Одним из важнейших свойств метода логарифмических и фазовых частотных характеристик, что особенно привлекает инженеров, является возможность судить о качестве переходных процессов в системах автоматического регулирования по частотным характеристикам получаемым из передаточных функций разомкнутых и замкнутых систем. Это позволяет корректировать систему автоматического регулирования, наглядно добиваясь при коррекции необходимых частотных характеристик.

Простейшей из частотных оценок качества переходного процесса является запас устойчивости. Он определяет только степень близости замкнутой системы к границе устойчивости по виду частотных характеристик ее разомкнутой цепи.

На рис.4.1 показано, как находить запас по амплитуде ΔLm и запас по фазе Δφ по логарифмическим частотным характеристикам.

Рис. 4.1

Считается [15], что для получения удовлетворительных переходных процессов необходимо иметь запас по фазе более 40 град. и запас по амплитуде от 12 до 18 дб.

Длительность переходного процесса и перерегулирование можно приближенно оценить по виду вещественной частотной характеристики замкнутой системы Р (ω). В [15] выведены следующие оценки.

В переходном процессе получится перерегулирование σ > 18%, если Р (ω) имеет "горб" (рис.4.2, А). При отсутствии "горба" (рис.4.2, Б) будет σ < 18%. Процесс окажется наверняка монотонным (σ = 0), если монотонно убывает по абсолютному значению (рис.4.2, В).

Рис.4.2

Длительность переходного процесса t_п оценивается приблизительно по величине интервала существенных частот ω_{сч (}рис.4.2), причем

Важно отметить, что время t_п обратно пропорционально величине ω_сч, т.е. чем более растянута частотная характеристика, тем короче переходный процесс. Физически это связано с тем, что, чем более высокие частоты "пропускает" система, тем она менее инерционна в своих реакциях на внешние воздействия.

Это же свойство позволяет связать время t_п с частотой среза ω_c (рис.3.1) характеристики разомкнутой цепи. Длительность переходного процесса t_п тем меньше, чем больше частота среза ω_c. Зависимость между величинами σ, t_п, ω_c и Р_max представлена графиком на рис.4.3 [15].

Рис.4.3

Кроме того, свойство частотных характеристик таково, что начальная их часть влияет в основном на очертание конца переходного процесса, причем Р (0) соответствует установившемуся значению параметра регулирования. Основное же влияние на качество переходного процесса оказывает форма средней части частотной характеристики.

В связи с этим логарифмическую частотную характеристику разомкнутой цепи системы Lm (ω) делят на три области (рис.4.4), причем область низких частот в основном определяет точность в установившемся режиме (в частности, астатизм и установившуюся ошибку на рабочей частоте системы регулирования). Область средних частот в основном определяет качество переходного процесса. В частности, частота среза ω_c, как уже говорилось, определяет полосу пропускания сигналов и длительность переходного процесса.

Рис. 4.4

Наклон Lm (ω) вблизи частоты среза ω_c характеризует колебательность переходного процесса. Так, наклон - 20 дБ/дек при ω = ω_c, соответствующий свойствам апериодического звена систем автоматического регулирования, обеспечивает наименьшую колебательность переходного процесса в замкнутой системе.

Следующей обобщенной частотной характеристикой является показатель колебательности, определяемый как максимальное значение амплитудной частотной характеристики замкнутой системы. В известной литературе приводятся оптимальные значения показателя колебательности 1.1-1.2.

Все написанное выше доказано для систем автоматического регулирования с сосредоточенными параметрами. В данной ВКР рассматривается система автоматического регулирования с вязкоупругим стержнем, который представляет собой звено с распределенными параметрами.

В этом разделе ВКР рассмотрим какие суждения из приведенных выше могут применяться для систем автоматического управления, содержащих звенья с распределенными параметрами.

Для этого сведем в таблицу все частотные характеристики и параметры переходных процессов из раздела 3. При этом следует учитывать, что в системе управления манипулятором мы не имеем информации об угловом перемещении захвата на конце стержня и поэтому мы управляем только движением вала.

Еще следует учитывать при определении частотных характеристик то, что вязкоупругий стержень приводит к появлению на АЧХ замкнутой системы пика на собственной частоте колебаний стержня. Для примера приведем здесь рис.3.6 из предыдущего раздела:

Рис.4.5

Как видно из рисунка на АЧХ замкнутой системы на частоте примерно 7.6 наблюдается резкий пик величиной примерно 1.7 Однако этот пик обусловлен стержнем. Без учета этого пика показатель колебательности системы управления манипулятором будет 1, что говорит об апериодическом переходном процессе движения вала манипулятора, на который конечно будет наложен колебательный процесс, определяемый колебаниями вязкоупругого стержня. Это и демонстрируется на рис.3.8 предыдущего раздела.

Ниже приведена сводная таблица частотных характеристик и параметров переходного процесса, полученная по результатам, приведенным в разделе 3:

Таблица 1

Анализируя данные, приведенные в таблице можно сделать следующие выводы.

Для того, что бы система регулирования манипулятора с вязкоупругим стержнем имела приемлемые показатели переходного процесса необходимо:

. Иметь запасы по фазе в разомкнутой системе более 60 град.

. Показатель колебательности амплитудной частотной характеристики замкнутой системы не должен превышать 1.

. Величина P_max вещественной частотной характеристики не должна превышать 1.

. Явной зависимости времени переходного процесс от величин ω_ср и ω_сп не наблюдается.

Заключение

СФОРМУЛИРУЕМ ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЕ:

. Разработаны размерная и безразмерная математические модели системы управления манипулятора с рабочим инструментом в виде вязкоупругого стержня.

. Сформирована структурная схема системы управления плоским движением манипулятора с вязкоупругим стержнем. Получены передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем управления манипулятором.

. Методом логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик получены корректирующие устройства для системы управления плоским движением манипулятора с вязкоупругим стержнем, для разных значений частотных показателей качества управления.

. Показано, что для системы управления манипулятора с рабочим инструментом в виде вязкоупругого стержня для получения приемлемых показателей переходных процессов требуются более высокие частотные показатели качеств по сравнению с системами с сосредоточенными параметрами.

Список использованных источников

1.       Гарнихина М.Ю. Оптимальное управление поворотом твердого тела с наследственно вязкоупругим стержнем / М.Ю. Гарнихина, Е.П. Кубышкин. - Изв. РАН. МТТ. 2006. № 5. С.29-41.

2.       Андрейченко Д.К. К теории стабилизации спутников с упругими стержнями / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко. - Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. №6. С.150-163.

.        Андрейченко Д.К. Об устойчивости предельных циклов в системах стабилизации спутников с упругими стержнями / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко. - Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 5. С.137-149.

.        Андрейченко Д.К. Выбор параметров систем и динамический анализ газореактивных систем стабилизации с упругими стержнями / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, М.С. Комарова. - Изв. РАН. Теория и системы управления. 2012. № 4. С.101-114.

.        Ефремов М.С. Алгоритм активной стабилизации космического аппарата с вязкоупругими элементами в условиях неопределенности / М.С. Ефремов, А.Е. Поляков, В.В. Стрыгин. - Прикладная математика и механика. Т.70. Вып.5.2006. С.801-812.

.        Мануйлов Ю.С. Синтез и исследование оптимального регулятора угловой стабилизации космического аппарата наблюдения нежесткой конструкции / Е.А. Новиков, А.Н. Кравцов. - Авиакосмическое приборостроение. 2011. № 1. С.16-25.

.        Злочевский С.И. О стабилизации спутника с гибкими стержнями. I / С.И. Злочевский, Е.П. Кубышкин. - Космич. исслед. 1989. Т.27. Вып.5.

.        Злочевский С.И. О стабилизации спутника с гибкими стержнями. II / С.И. Злочевский, Е.П. Кубышкин. - Космич. исслед. 1991. Т.29. Вып.6.

.        Бессекерский В.А., Попов Е.Н. Теория систем автоматического управления / В.А. Бессекерский, Е.П. Попов - Изд.4-е, перераб. и доп. - СПб, Изд-во “Профессия”, 2003. - 752 с.

.        Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: Учебное пособие / И.А. Биргер, Р.Р. Мавлютов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1986. - 560 с.

.        Седов Л.И., Методы подобия и размерности в механике/ Л.И. Седов - М.: Наука, 1977. - 440 с.