Дискретизация и частотное разрешение

Реферат

Дискретизация и частотное разрешение

Содержание

1. Число параметров или степеней свободы сигнала

2. Комплексный ряд Фурье для дискретизированного сигнала

3. Метод дискретизации Шеннона

4. Метод дискретизации и интеграл Фурье

5. Частотное разрешение сигналов. Приложение к анализу рентгеновских спектров поглощения атома в соединении

Литература

1. Число параметров или степеней свободы сигнала

Рассмотрим математические методы анализа дискретизированных сигналов и связь этих методов.

Рассмотрим теперь следующую задачу: пусть функция времениимеет спектр, не содержащий частот выше предельной верхней границы , а сама функция отлична от нуля на промежутке от 0 до. Возникает вопрос - какое число параметров (или число степеней свободы) требуется для определения такой функции?

Докажем, что имеется только независимых параметров для такой функции, и обсудим различные возможные способы выбора этих параметров, а также некоторые общие свойства таких функций.

 (1)

Прежде всего, следует отметить, что функция не является полностью определенной, если мы ограничиваемся заданием её значений только на интервале .

Существуют два различных способа доопределения функции, не вносящих дополнительной информации в функцию:

A.      Периодическая функция, поведение которой на промежутке от 0 до повторяется за пределами этого промежутка бесконечное число раз:

 (2)

B.      Функция одиночного сообщения, поведение которой удовлетворяет условию:

 (3)

Последний случай был рассмотрен Шенноном в методе дискретизации.

Начнем рассмотрение с первого случая и исследуем периодическую функцию с периодом . Разложение такой периодической функции в ряде Фурье имеет вид:

 (4)

где

 (5)

Будем полагать, что максимум частоты  точно соответствует одной из гармоник :

(6)

Ряд Фурье содержит конечное число слагаемых до целого . Для каждой определенной частоты мы имеем две компоненты и следовательно полное число компонент определяется равенством:

 (7)

включая постоянное слагаемое . Если продолжительность  сигнала достаточно велика, то формула (7) практически сводится к (1). При этом коэффициенты  представляют один из возможных вариантов выбора параметров.

Вместо действительного ряда Фурье (4) можно использовать комплексный ряд Фурье, как в уравнениях (1) и (2):

 (8)

где звездочка снова означает комплексно-сопряженное.

Вместо рядов Фурье, можно воспользоваться методом дискретизации периодической функции. Выберем  эквидистантных точек дискретизации в пределах одного периода , например:

 (9)

где

Введем обозначения для дискретных значений  функции f:

 (10)

в соответствии с условием периодичности (2).

дискретизация частотное разрешение сигнал

Исходную функцию  можно восстановить если известны  её дискретных значений в пределах одного периода . Представим в виде:

 (11)

гдеявляется импульсной функцией времени, центрированной на моменте времени  и повторяющейся с периодичностью . Для такой импульсной функции выберем следующее определение:

Используемая импульсная функция является нулевой для всех других точек дискретизации в пределах одного периода . Такую функцию с ограниченным частотным спектром, не превышающим , можнопостроитьвоспользовавшись тождеством Лагранжа:

 (12)

где .

Эта функция равна  при , когда знаменатель равен нулю. Она осциллирует и обращается в нуль в точках

пока не является кратным .

Для импульсной функциивоспользуемся выражением:

 (13)

Сравнивая теперь выражения (11), (13) и (8) мы получаем:

и следовательно

 (14)

т.е. выражение, которое напрямую связывает коэффициенты Фурье с дискретными значениями . Обратное соотношение получается из (8) и имеет вид:

 (15)

2. Комплексный ряд Фурье для дискретизированного сигнала

В комплексных рядах Фурье имеется  комплексных амплитуд , являющихся сопряженными дляВместе это дает независимых вещественных переменных, и имеющиеся  дискретных точек сигнала обеспечивают такое же числостепеней свободы. Легко получить прямую проверку выражений (14) и (15):

 (16)

поскольку при  мы имеем  слагаемых, дающих в сумме 1, тогда как при  получаем  гармоник с частотами, равномерно распределенными от 0 до , дающих в результате 0.

Вместо дискретизации в точках времени  можно брать точки , добавляя константу времени. Такая процедура даст набор новых дискретных значений , которые можно использовать вместо . Уравнения (14) и (15) будут заменены на:

При этом, между  и  существует набор  линейных соотношений.

3. Метод дискретизации Шеннона

Шеннон использовал метод дискретизации применительно к упомянутому выше доопределению B вида (3) функции одиночного сообщения f (t), которая считается нулевой для . Проблема решается в рамках следующего подхода.

Возьмем периодическую функциюf (t) с большим периодом  и будем считать, что принимает свои значения на интервале от 0 до  и обращается в ноль на интервалеот до .

 (17)

Если  и  являются большими, то соответствующие частоты  и  пренебрежимо малы по сравнению с максимальной частотой , и мы получаем

Полное число точек дискретизации определяется теперь формулой

 (18)

Из этих  дискретных точек,  точек попадают в интервал , а оставшиеся  точек - в интервал . Первый набор точек дает ненулевые дискретные значения:

(19)

Тогда как другие точки дают ноль:

Импульсная функцияуравнения (13) принимает вид

(20)

Устремляя теперь  к бесконечности и, соответственно  к нулю, мы получаем предельное значение для шага дискретизации:

А также имеем бесконечное число дискретных значений  равных нулю. Единственные ненулевые значения соответствуют интервалу

Их число определяется выражением

 (21)

что соответствует формуле (1), в то время как импульсная функцияупрощается и принимает вид

 (22)

поскольку

В результате функция, дискретизированная согласно (11), принимает в данном предельном случае вид:

(23)

Легко доказать, что разложение (23) принимает значение  во всех точках дискретизации. Рассмотрим, например точку с номером :

Слагаемое  в сумме (23) дает вклад , тогда как все остальные слагаемые обращаются в ноль:

Сумма (23) не дает точных нулевых значений , но получаемая функция быстро обращается в ноль на обеих границах, имея малые осцилляции частоты . Такой тип представления функции и рассматривался Шенноном.

4. Метод дискретизации и интеграл Фурье

Функция , доопределенная с помощью условий (3), имеет только  степеней свободы, как это следует из метода дискретизации. Если эта функция анализируется с помощью метода Фурье, то мы вместо рядов приходим к интегралам Фурье. Число членов в Фурье-анализе становится бесконечным, но они снова содержат только  независимых переменных . Этот результат можно проверить, поскольку используемая функцияидентична рассмотренному выше колоколообразному импульсу (26) и имеет спектр:

 (24)

следовательно

 (25)

и

 (26)

Следует отметить, что главные принципы метода дискретизации были разработаны независимо рядом ученых.

5. Частотное разрешение сигналов. Приложение к анализу рентгеновских спектров поглощения атома в соединении

В разделе 2 установлен результат, согласно которому заданная функция времени f (t), существующая на интервале длительности τ, удовлетворяющая условиям f (t) =0 при t<0, t>τ, и имеющая спектр, ограниченный максимальной частотой ω_max, определяется числом независимых параметров или степеней свободы (N_idp), которое, (если не ограничиваться большими τ) находится с помощью выражения:

 (27)

Как мы видели, такой результат следует из представления функции f (t) в виде ряда или интеграла Фурье, а также является следствием применения метода дискретизации сигнала, когда f (t) представляется в виде дискретизированной функции f (t_m), задаваемой в точках t_m с m=1,2,…,N_idp.

При этом шаг дискретизации δt в шкале t составляет δt = τ/N_idp, а частотное разрешение δω в шкале ω, характеризующее число различаемых частот в спектре, определяется выражением:

 (28)

Следует отметить, что число точек дискретизации функции f (t), и как следствие, значения δt и δω, определяются величиной N_idp, а не общим числом экспериментальных точек N, в которых выполнено измерение f (t) поскольку, несмотря на независимый характер всех N измерений, они не являются независимыми для сигналов ограниченных по времени и частоте.

Применительно к теории рентгеновских спектров поглощения (X-rayabsorptionspectra или XAS) представленные результаты могут быть переписаны путем замены переменных: длительность сигнала τ → Δk = (k_max - k_min) - протяженность XAS сигнала в прямом или k-пространстве (k_min,k_max - соответственно нижняя и верхняя границы сигнала), и частота ω → 2R - частота в пространстве межатомных расстояний. В результате такой замены соотношение (27) принимает вид:

 (29)

В представленном соотношении можно выделить величину разрешения δR межатомных расстояний, определяемую в соответствии с (28) как δR=R_max/N_idp, и записать для нее выражение:

 (30)

При проведении структурных исследований с помощью протяженной области рентгеновских спектров поглощения (ExtendedAbsorptionFineStructure или EXAFS), протяженность сигнала χ (k) в шкале k составляет Δk ~ 10-15 Å^-1, что в соответствии с (29) дает величину N_idp ~ 10. При столь большом числе независимых параметров N_idp изучаемого сигнала χ (k) вторым слагаемым (~ 1/N_idp) в (30) можно пренебречь, после чего (30) приобретает вид:

δR = π / (2 Δk) (31)

Полученное оценочное соотношение устанавливает широко распространенный в теории EXAFS предел разрешения двух межатомных расстояний, согласно которому два расстояния R₁ иR₂ от поглощающего центра до атомов окружения, разность которых удовлетворяет неравенству ΔR = |R₂ - R₁| <δR = π/ (2Δk), не могут быть разрешены с помощью Фурье-анализа сигнала χ (k) по имеющемуся интервалу волновых чиселΔk. Оценки с помощью формулы (31) дают для предела разрешения двух межатомных расстояний величину ~ 0.15 Å, если Δk ~ 10 Å^-1. При использовании ограниченных по протяженности интервалов Δk (~ 3, 4 Å^-1), соответствующих околопороговой области спектра, определяемое из (29) число независимых параметров сигнала χ (k) оказывается небольшим N_idp ~ 4, и для оценки δR воспользуемся (30), что дает величину ~ 0.4 Å.

Представленные оценки предела разрешения двух межатомных расстояний с помощью (31) для EXAFS области спектра или с помощью (30) для околопороговой области, приближенно соответствуют критерию, при котором имеет место "визуальное” разрешение Фурье-пиков, обусловленных расстояниями R₁ иR₂. Такое разрешение иллюстрируется на рисунке 1, где показаны результаты Фурье-преобразования по интервалам a) Δk = 10.0 Å^-1 и б) Δk = 3.0 Å^-1 теоретической функции χ (k) вида:

χ (k) = {N₁ sin (2kR₁) + N₂ sin (2kR₂) } exp ( - 2σ²k²) (32)

В выражении (32): N₁ - амплитуда первого слагаемого, рассчитываемого с использованием величины R₁ = 2.0 Å; N₂ - амплитуда второго слагаемого, которое рассчитывается с величиной R₂ = 2.15 Å (обеспечивающей ΔR =│R₂ - R₁│= 0.15 Å) для Фурье-анализа по интервалу Δk = 10.0 Å^-1, и с величиной R₂ = 2.4 Å (обеспечивающей ΔR = 0.4 Å) для Фурье-анализа по интервалу Δk = 3.0 Å^-1. Фактор exp (-2σ²k²) включен для приближения формы сигнала к используемой в теории XAS и соответствует учету теплового движения атомов в гармоническом приближении с характерной для металлов при комнатной температуре величиной параметра Дебая-Валлера (ДВ) σ² = 0.005 Ų. Такой модельный сигнал (32) может быть использован для установления адекватности применения к ним критериев типа (30), (31), имеющих достаточно общий характер.

Рисунок 1. Модули Фурье-образов F (R) функций χ (k), рассчитанных по формуле (32) для ΔR = 0.15 Å - (a) и ΔR = 0.4 Å - (b). Фурье-преобразование χ (k) в случае (a) выполнено по интервалу Δk = 10.0 Å^-1, а в случае (b) - по Δk = 3.0 Å^-1.

Соотношения (30), (31) носят оценочный характер, поскольку в отличие от используемых при их выводе общих положений метода дискретизации и Фурье-анализа, формулируемых для сигналов произвольной формы и удовлетворяющих граничным условиям, а также условиям A или B доопределения функции в разделе 2.1, плохо соответствующим XAS сигналу. На практике предел разрешении двух межатомных расстояний с помощью Фурье-преобразования функции χ (k) по рассмотренным интервалам Δk во многих случаях оказывается гораздо выше оценок, получаемых по формулам (30), (31). Причиной этого может также служить конечность ширины Фурье-пика, соответствующего каждому из расстояний R_i, вследствие чего на ширине результирующего Фурье-пика, отвечающего двум расстояниям R₁ и R₂, может укладываться более одного δR-интервала (минимум две различаемые частоты). В этом случае, несмотря на отсутствие "визуального" разделения Фурье-пиков, обусловленных R₁ и R₂, решение задачи определения близких межатомных расстояний может быть получено путем численного сопоставления, при одинаковых Δk-интервалах, ширины и асимметрии Фурье-пика координирующих атомов в экспериментальной функции χ (k) с соответствующими характеристиками Фурье-пика пробной функции, моделирующей распределение атомов относительно поглощающего центра.

Литература

1. Боккуцци, Д. Обработка сигналов для беспроводной связи / Д. Боккуцци; Пер. с англ. Ю.Л. Цвирко; Под ред.В.И. Борисова. - М.: Техносфера, 2012. - 672 c.

. Воробьев, С.Н. Цифровая обработка сигналов: Учебник для студентов учреждений высшего профессионального образования / С.Н. Воробьев. - М.: ИЦ Академия, 2013. - 320 c.

. Лайонс, Р. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. / Р. Лайонс. - М.: Бином-Пресс, 2013. - 656 c.

. Оппенгейм, А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер; Пер. с англ. С.А. Кулешов; Пер. с англ. С.Ф. Боев. - М.: Техносфера, 2012. - 1048 c.

. Солонина, А.И. Цифровая обработка сигналов и MATLAB: Учебное пособие / А.И. Солонина, Д.М. Клионский, Т.В. Меркучева. - СПб.: БХВ-Петербург, 2013. - 512 c.

. Хименко, В.И. Статистическая акустооптика и обработка сигналов / В.И. Хименко, Д.В. Тигин. - СПб.: СПбГУ, 2012. - 292 c.

. Чан, Т.Т. Высокоскоростная цифровая обработка сигналов и проектирование аналоговых систем / Т.Т. Чан; Пер. с англ. К.В. Юдинцев. - М.: Техносфера, 2013. - 192 c.