Построение математической модели задачи и ее решение в MS Excel

Задание 1

Шарик бросают вертикально вверх с верхней площадки башни со скоростью V1. Ветер, дующий со скоростью V2, относит его в сторону.

Требуется:

·  создать математическую модель движения шарика от начала падения до удара о землю;

·        подготовить компьютерную реализацию математической модели в среде электронных таблиц.

В ходе проведения компьютерных экспериментов определить:

·  как влияет изменение скорости V1 (шаг изменений 1 м/с) на дальность падения L;

·        как влияет изменение высоты Н (шаг изменений 1 м) на время падения t;

·        как влияет высота Н (шаг изменений 1 м) на дальность падения L.

Исходные данные

Решение

Построим модель движения шарика.

) Сначала шарик совершает равнозамедленное движение вверх.

Максимальная высота подъема:

h = V12/(2g)

Время подъема шарика:

t1 = V1/g

) Свободное падение с высоты H+h. Применяя уравнение свободного падения, получаем (H+h) = gt22/2, где t2 - время падения.

Выражая t2, получаем:

t2 = .

) Время шарика в пути

t = t1 + t2 = V1/g +

) Учитываем боковой ветер. Расстояние L, на которое сместится шарик после падения, равно:

L = V2t.

Математическая модель построена.

Строим модель в MS Office Excel (лист Задание1).

) Организуем расположение данных и формул:

математический модель задача excel

Результат вычислений с заданными исходными значениями:

) Проанализируем, как влияет изменение скорости V1 (шаг изменений 1 м/с) на дальность падения L. Результаты анализа представим в графическом виде.

Как видим, зависимость дальности падения от начальной скорости линейная. Достоверность аппроксимации равна 1.

Уравнение зависимости: y = 0,1835x + 2,7024.

Для прогноза значений дальности падения L вне диапазона значений скорости V1 применим полученное уравнение и вычислим L, например при V1 = 29 м/с.

) Проанализируем, как влияет изменение высоты Н (шаг изменений 1 м) на время падения t.

Аппроксимация графика привела к квадратичной зависимости.

Уравнение зависимости: y = -0,0015x2 + 0,1353x + 3,7878

Использование этого уравнения позволяет прогнозировать значения t вне диапазона H.

) Проанализируем, как влияет высота Н (шаг изменений 1 м) на дальность падения L.

Аппроксимация графика привела к квадратичной зависимости.

Уравнение зависимости: y = -0,0008x2 + 0,0751x + 2,1043

Использование уравнения, приведенного на графике, позволяет прогнозировать значения L вне диапазона H.

Задание 2

Дана наклонная плоскость, по которой скатывается шарик:

Угол a начальный 200

Угол a конечный 400

L1 = 3 м

kтр1 = 0,022

kтр2 = 0,3

Угол b начальный 150

Угол b конечный 350

Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

На начальном этапе шарик движется по наклонной плоскости длиной L1, расположенной под углом a. Коэффициент трения при движении шарика по наклонной плоскости описывается величиной kтр1. Затем шарик движется по наклонной плоскости вверх. Коэффициент трения kтр2.

При спуске с наклонной плоскости и отсутствии дополнительных сил ускорение равно a1 = g(sina - kтр1 · cosa), где g - ускорение свободного падения; kтр1 - коэффициент трения. Поскольку начальная скорость шарика равна нулю, скорость шарика v = a1t. Путь, который пройдёт шарик, равен L1 = a1t2/2. Отсюда t = . Значит, скорость шарика в момент прохождения отрезка пути L1 составит v = a1t = .

Далее шарик движется по наклонной плоскости вверх. При подъеме по наклонной плоскости и отсутствии дополнительных сил a2 = g(sinb + kтр2 · cosb), где g - ускорение свободного падения; kтр2 - коэффициент трения. Поскольку у шарика уже есть начальная скорость v, пройденный путь составит: L2 = vt2 + a2t22/2. Нам необходимо найти максимальный пройденный путь. В момент остановки шарика ускорение равно 0. Время подъёма. t2 = v / a2. Тогда пройденный путь равен L2 = vt2 = v2/a2.

Математическая модель построена.

Строим модель в MS Office Excel (лист Задание2).

) Формулы ячеек:

Результат вычислений с начальными значениями:

2) Определим, как влияет изменение значения угла a на скорость движения шарика в момент нахождения его в конце первой наклонной плоскости.

В данном случае зависимость получилась квадратичная (полиномиальная второй степени).

Уравнение зависимости: y = -0,0011x2 + 0,1521x + 1,756

Использование уравнения позволяет прогнозировать значения скорости при других углах a. Например, при a = 450 скорость равна 6,37 м/с.

) Определим, как влияет изменение значения угла b на длину пробега шарика L2.

В данном случае зависимость получилась полиномиальная 3 степени.

Уравнение зависимости: y = -4×10-5x3 + 0,0044x2 - 0,2027x + 5,6974.

Использование уравнения позволяет прогнозировать значения пути при других углах b. Например, при b = 400 скорость равна 6,37 м/с.

Задание 3

Дана электрическая цепь:

Исходные данные:

Е = 12 В; R1 = 12 Ом; R2 = 24 Ом

R3 = 12 Ом; R4 = 16 Ом; R5 = 20 Ом.

Требуется:

·  создать математическую модель цепи;

·        определить, как влияет изменение значения R4 (таблица) на ток, протекающий в цепи, с построением диаграммы и определением уравнения зависимости;

·        спрогнозировать по полученному уравнению величину тока при R4 = 150 Ом;

·        определить, как влияет изменение значения R2 (таблица) на ток, протекающий в цепи, с построением диаграммы и определением уравнения зависимости;

·        спрогнозировать по полученному уравнению величину тока при R2 = 110 Ом;

·        подобрать значение R1, при котором значение протекающего в цепи тока уменьшится на 15 %, и записать его в одну из ячеек;

·        подобрать значение R3, при котором падение напряжения на нём увеличится на 10 %, и записать его в одну из ячеек.

Таблица значений сопротивления (Ом):

Решение

Строим математическую модель цепи.

Резисторы 1, 2 связаны параллельно, для них эквивалентное сопротивление будет

Резисторы 4, 5 связаны параллельно, для них эквивалентное сопротивление будет

Участки 12, 3 и 45 подключены последовательно.

Эквивалентное сопротивление цепи:

Ток в цепи определяется законом Ома:

Математическая модель построена.

Строим модель в MS Office Excel (лист Задание3).

) Формулы:

Расчеты по формулам приводят к следующим результатам:

) Определим, как влияет изменение значения R4 (таблица) на ток, протекающий в цепи. Результаты анализа представим в графическом виде.

Наиболее точное уравнение аппроксимации является полиномом 6 степени: y = 4×10-12x6 - 10-9x5 + 2×10-7x4 - 1×10-5x3 + 0,0006x2 - 0,0155x + 0,5576.

С помощью этого уравнения можно предсказать величину тока при других значениях R4. Ток в цепи убывает с ростом R4, стремясь к определенному пределу.

Предсказываемое программой Excel уравнение аппроксимации нельзя использовать для прогноза значения параметра, сильно выходящего за аппроксимируемый диапазон. Так, попытка спрогнозировать ток в цепи при R4 = 150 Ом приводит к неправильному значению силы тока. В этом случае следует пользоваться расчетной формулой.

) Определим, как влияет изменение значения R2 (таблица) на ток, протекающий в цепи. Результаты анализа представим в графическом виде.

Наиболее точное уравнение аппроксимации является полиномом 6 степени:

y = 3×10-12x6 - 1×10-9x5 + 1×10-7x4 - 1×10-5x3 + 0,0004x2 - 0,011x + 0,5304.

Ток в цепи убывает с ростом R2, стремясь к определенному пределу.

При R2 = 110 Ом это уравнение даёт прогноз -5,30 Ом, что неверно. Следовательно, необходимо пользоваться точными расчетными формулами, поскольку величина 110 Ом выходит за границы диапазона сопротивлений.

) Далее необходимо узнать значение R1, при котором ток в цепи снизится на 15%. Воспользуемся подбором параметра.

Для того, чтобы ток в цепи снизился на 15%, нужно установить сопротивление R1 = 30,26 Ом.

) Определим значение R3, при котором падение напряжения на нём увеличится на 10%.

Падение напряжение на R3 равно произведению общего тока I на R3:

E2 = IR3

Воспользуемся инструментом «Поиск решения».

Список литературы

1. Кашаев С. Офисные решения с использованием Microsoft Excel 2007 и VBA. - СПб.: Питер, 2009. - 352 с.

2.      Леонов В. Функции Excel 2010. - СПб.: Эксмо, 2011. - 560 с.

.        Мачула В. Г. Excel 2007 на практике. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. - 160 с.