Решение экономических задач математическими методами с использованием Mathcad и MS Excel
Министерство образования и науки
Российской Федерации
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ"
Факультет экономики и управления
Кафедра математических методов и
моделей в экономике
ОТЧЕТ
по учебной-вычислительной практике
на базе кафедры математических
методов и моделей в экономике
ГОУ ОГУ 080116.65.9011.06 П
Руководители от кафедры:
доцент, заведующий кафедры ММиМЭ А.Г. Реннер
ассистент кафедры ММиМЭ Р.М. Шаяхметова
ассистент кафедры ММиМЭ Т.А. Зеленина
Исполнитель
Студент группы 09 ММЭ Д.А. Евдокимов
Оренбург 2011
Содержание
1. Задание практики
1.1. Задача на минимизацию целевой функции
1.2 Задача на максимизацию целевой функции
2. Работа в средах Mathcad и Excel
2.1 Построение графиков функций
2.1.1 Построение графиков функций в Excel
2.1.2 Построение графиков функций в Mathcad
2.2 Работа с матрицами в среде Mathcad
2.3 Решение нелинейных уравнений и их систем в Mathcad
2.3.1 Решение нелинейных уравнений
1. Задание
практики
Задание 1: Построить графики функций (используя MathCAD и Excel):
, 
, 
, 
.
Задание 2: Даны матрицы:
а) найти их собственные числа и вектора;
б) определить их число обусловленности по
определению и используя оценку числа обусловленности;
в) решить системы с произвольными
векторами свободных коэффициентов;
г) определить вектора невязки;
д) произвести QR и LU-разложения.
Задание 3: Найти корни уравнения
х6+4х5-0,4х4-5х3-0,5х2+7х+1,79=0
а) геометрически определить начальное
приближение решения;
б) найти корни, используя встроенную
функцию: root, polyroots;
в) найти решение с разной степенью точности (103,105,107).
Задание 4: Решить систему нелинейных уравнений
а) геометрически определить начальное
приближение решения;
б) решить систему, используя встроенную
функцию Find;
в) найти вектор невязки.
Задание 5: Построить математическую модель и решить
задачу математического программирования в средах MathCad и Excel.
Для изготовления сухих смесей видов A, B и C используются дробилка,
сушилка, гранулятор и смеситель. Затраты времени на обработку одного вида смеси
для каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одной единицы
каждого вида смеси указаны в таблице. Требуется определить объём и вид смеси,
при которой прибыль максимальна.
|
Тип
оборудования
|
Затраты времени
|
Фонд времени
|
|
А
|
B
|
C
|
|
|
Дробильное
|
8
|
9
|
10
|
200
|
|
Сушильное
|
2
|
3
|
5
|
150
|
|
Смеситель
|
6
|
1
|
5
|
300
|
|
Гранулятор
|
1
|
1
|
1
|
250
|
|
Прибыль
|
20
|
15
|
10
|
|
Задание 6: Построить математическую модель
транспортной задачи и решить её в средах Excel и Mathcad:
|
Поставщики
|
Потребители
|
Запасы
|
|
B1
|
B2
|
B3
|
B4
|
|
|
A1
|
4
|
1
|
9
|
4
|
120
|
|
A2
|
1
|
3
|
6
|
2
|
80
|
|
A3
|
2
|
7
|
5
|
2
|
70
|
|
Потребности
|
90
|
50
|
80
|
50
|
270
|
Задание 7: Построить математическую модель задачи о
назначениях и решить её.
1.1.
Задача на минимизацию целевой функции
Фирма получила заказы на разработку пяти программных
продуктов.
Для выполнения этих заказов решено привлечь пятерых наиболее
опытных программистов. Каждый из них должен написать одну программу. В
следующей таблице приведены оценки времени в днях, необходимого программистам
для выполнения каждой из этих работ. Эти оценки даны самими программистами и у
фирмы нет основания им не доверять.
Как распределить работы между программистами, чтоб общее
количество человеко-дней затраченное на выполнения всех пяти заказов было
минимальным?
|
Программа 1
|
Программа 2
|
Программа 3
|
Программа 4
|
Программа 5
|
|
1 программист
|
46
|
59
|
24
|
62
|
67
|
|
2 программист
|
47
|
56
|
32
|
55
|
80
|
|
3 программист
|
44
|
54
|
19
|
61
|
60
|
|
4 программист
|
47
|
59
|
2
|
64
|
73
|
|
5 программист
|
43
|
65
|
20
|
60
|
75
|
1.2 Задача на
максимизацию целевой функции
Фирма по производству мужских головных уборов рассматривает
возможность освоения новых рынков сбыта в пяти городах. Возможности сбыта
невелики, так что в каждый город достаточно направить одного торгового
представителя фирмы для заключения с магазинами договоров о поставках.
В следующей таблице указаны объемы спроса в млн руб.
|
Города
|
Москва
|
С. - Петербург
|
Новгород
|
Самара
|
Ростов
|
|
Объем спроса
|
9.0
|
5.3
|
4.0
|
3.2
|
6.0
|
Фирма располагает данными о профессиональных возможностях
своих сотрудников. В следующей таблице содержаться оценки степени освоения
рынка, которую может обеспечить соответствующий торговый представитель фирмы.
|
Представители
|
П1
|
П2
|
П3
|
П4
|
П5
|
П6
|
|
Оценка степени
освоения рынка
|
0.7
|
0.65
|
0.5
|
0.85
|
0.4
|
0.53
|
Так, представитель П1 может освоить 70% от объема спроса в
любом городе. Например, если направить его в Москву, то доход фирмы на этом
рынке составит 6.3 млн. руб.
Как распределить торговых агентов по городам, чтобы фирма
получила максимальный доход?
Задание 8: Решить систему дифференциальных уравнений
на отрезке [0,2] с начальным условием:
Задание 9: Провести исследование социально-экономической
системы.
Модель сосуществования двух фирм, производящих два типа
товаров, имеет вид
где
u = u (t) - доход первой фирмы в
момент времени t,
v = v (t) - доход второй фирмы в
момент времени t,
- эффективность
производства товара i-ой фирмой,
- эффективность сбыта i-ой
фирмой j-oro
товара, ij=1,2.
- доход
первой фирмы в начальный момент времени,
ν0 - доход второй фирмы в начальный момент времени.
Предположения модели:
весь капитал, вырученный от продажи товара, фирмы вкладывают
в производство;
в случае неограниченности потребления товаров доходы обеих
фирм растут с постоянными скоростями, определяемыми эффективностью производства
товаров;
в условиях ограниченности спроса они вступают между собой в
конкурентную борьбу;
каждая из фирм способна в равной степени производить любой
тип товара, но может отдавать предпочтение одному из них.
Необходимо установить изменение со временем доходов обеих
фирм при условии, что начальные значения этих величин известны.
Меняя входные параметры системы, добиться
следующих вариантов эволюции системы:
разорение первой фирмы при любых начальных
условиях,
разорение второй фирмы при любых начальных
условиях,
разорение любой из фирм в зависимости от
начальных условий,
сосуществование обеих фирм
математическая модель программирование вектор
Провести расчеты, выбирая в качестве начальных состояний
конечные значения функций состояния, соответствующие режиму сосуществования
обоих фирм.
2. Работа в
средах Mathcad и Excel
2.1
Построение графиков функций
2.1.1
Построение графиков функций в Excel
Задание 1.
Даны функции одной переменной: , . Для последней функции задан интервал, в
котором изменяется х: [1; 4]. Необходимо построить графики этих функций в среде
Excel.
Наиболее важными точками функции являются x=0, 
, 
(точки пересечения с осью абсцисс, x=0 также является точкой перегиба), x=1, x=-1 (точки экстремума). Исходя из этого,
график функции будем строить на промежутке [-2; 2,5]. Построим значения функции
на этом промежутке с шагом 0,1. Получим
таблицу.
|
-2
|
2
|
|
-1,9
|
1,159
|
|
-1,8
|
0,432
|
|
…
|
…
|
|
2,3
|
-5,267
|
|
2,4
|
-6,624
|
|
2,5
|
-8,125
|
По полученной таблице построим график функции, используя
возможности Excel.
Для функции интервал, на котором мы будем строить
график функции, уже задан. Действия по построению графика функции аналогичны
предыдущему пункту.
Получим график функции:
Рассмотрим построение графиков функций двух переменных в Excel.
Даны функции двух переменных:
, .
Построим их с помощью таблицы подстановки. Для функции выберем интервалы изменения каждой
переменной [0; 1] с шагом 0,1. Введём значение 1 в ячейки А1 и А2. В ячейку А3
введём функцию, в качестве аргумента х используя значение в ячейке А1, а в
качестве аргумента у - значение в ячейке А2. Затем с помощью таблицы
подстановки (Данные - > Таблица подстановки) построим таблицу значений
функции в данной области.
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,61
|
0
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
1
|
|
0
|
0
|
0,75
|
1,5
|
2,25
|
3
|
3,75
|
4,5
|
5,25
|
6
|
6,75
|
7,5
|
|
0,1
|
0,75
|
1,061
|
1,677
|
2,372
|
3,092
|
3,824
|
4,562
|
5,303
|
6,047
|
6,792
|
7,537
|
|
0,2
|
1,5
|
1,677
|
2,121
|
2,704
|
3,354
|
4,039
|
4,743
|
5,46
|
6,185
|
6,915
|
7,649
|
|
0,3
|
2,25
|
2,372
|
2,704
|
3,182
|
3,75
|
4,373
|
5,031
|
5,712
|
6,408
|
7,115
|
7,83
|
|
0,4
|
3
|
3,092
|
3,354
|
3,75
|
4,243
|
4,802
|
5,408
|
6,047
|
6,708
|
7,387
|
8,078
|
|
0,5
|
3,75
|
3,824
|
4,039
|
4,373
|
4,802
|
5,303
|
5,858
|
6,452
|
7,075
|
7,722
|
8,385
|
|
0,6
|
4,5
|
4,562
|
4,743
|
5,031
|
5,408
|
5,858
|
6,364
|
6,915
|
7,5
|
8,112
|
8,746
|
|
0,7
|
5,25
|
5,303
|
5,46
|
5,712
|
6,047
|
6,452
|
6,915
|
7,425
|
7,973
|
8,551
|
9,155
|
|
0,8
|
6
|
6,047
|
6,185
|
6,408
|
6,708
|
7,5
|
7,973
|
8,485
|
9,031
|
9,605
|
|
0,9
|
6,75
|
6,792
|
6,915
|
7,115
|
7,387
|
7,722
|
8,112
|
8,551
|
9,031
|
9,546
|
10,09
|
|
1
|
7,5
|
7,537
|
7,649
|
7,83
|
8,078
|
8,385
|
8,746
|
9,155
|
9,605
|
10,09
|
10,61
|
Затем построим поверхность, используя возможности Excel.
Аналогично строим график функции .
2.1.2
Построение графиков функций в Mathcad
Введём функцию в Mathcad. Выберем пункт меню Insert - > Graph - > X-Y Plot.
Введём нужные обозначения. Получим график функции. При необходимости уточним
границы интервала, на котором строится график.
Аналогично построим график функции на интервале [1; 4].
2.2 Работа с
матрицами в среде Mathcad
Введём матрицы. Найдём их собственные числа и собственные
вектора с помощью операторов eigenvals и eigenvecs. Оценим минимальные значения чисел
обусловленности (они не могут быть меньше соотношения максимального и
минимального собственных чисел).
Найдём числа обусловленности по определению. Для этого
необходимо предварительно найти обратные матрицы.
Используем эвклидовы нормы.
Найдём числа обусловленности, используя для этого специальную
функцию conde (использующую эвклидовы нормы).
По полученным значениям делаем вывод, что матрица А1 является
плохо обусловленной, а матрица А2 - хорошо обусловленной.
Введём произвольный столбец свободных
членов. Решим СЛАУ с помощью оператора lsolve, используя в качестве матриц А
матрицы А1 и А2. Затем найдём невязку для каждого из решений.
Среди элементов вектора nev1 имеются
ненулевые, следовательно, решение является приближённым.
Найдём решения СЛАУ, используя обращение
матриц А1 и А2.
, 
Построим QR и LU-разложения матриц А1 и А2
(для удобства представления в отчёте, результаты LU-разложения были
предварительно экспортированы в Excel).
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
285
|
0,15
|
0
|
1,2
|
450
|
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
75
|
7,2
|
2,1
|
2,68
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0,16
|
-0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
315
|
105
|
-66
|
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0,05
|
0,52
|
0,23
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-22
|
-9,8
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
3,2
|
-0,1
|
-0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0,03
|
Результаты LU-разложения матрицы А1.
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-5,4
|
0,96
|
1,28
|
1,92
|
0,32
|
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
-0,2
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
8,17
|
1,83
|
2,58
|
0,7
|
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
-0,2
|
0,22
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
13
|
0,52
|
1,84
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
-0,4
|
0,32
|
0,04
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
6,56
|
1,1
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
-0,06
|
0,09
|
0,141
|
0,168
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
4,32
|
Результаты LU-разложения матрицы А2.
2.3
Решение нелинейных уравнений и их систем в Mathcad
2.3.1
Решение нелинейных уравнений
Введём функцию y (x) =х6+4х5-0,4х4-5х3-0,5х2+7х+1,79.
Построим её график. Заметим, что график пересекает ось х в двух точках. Для
относительно малых промежутков, в которых содержатся эти точки, построим
графики функции. Получим следующие графики.
Найдём корни с помощью функции root. В качестве начального приближения возьмём х=-5. Обозначим 
. Будем искать корни уравнения,
последовательно исключая их (после нахождения очередного корня делим уравнение
на (x-xi), где xi - i-тый корень уравнения). Получим следующие результаты:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Используя функцию polyroots, получаем:
