Метод фазовой плоскости
Содержание
1.
Основные понятия и определения
.
Элементы фазового портрета
.
Анализ фазовых траекторий в окрестности особых точек
.
Построение фазовых траекторий в большом удалении от особых точек
.
Исследование системы с переменной структурой
.
Построение временного процесса по фазовой траектории
Литература
1. Основные понятия и определения
Метод фазовой плоскости впервые был применен для
исследования нелинейных систем французским ученым Анри Пуанкаре. Основное
преимущество этого метода - точность и наглядность анализа движений нелинейной
системы. Метод является качественным, т.е. он позволяет получать качественные
выводы о свойствах нелинейной системы. Основной недостаток этого метода
заключается в том, что он обладает большой эффективностью лишь при исследовании
систем второго порядка. Иногда удаётся провести исследование систем третьего
порядка. При более высоком порядке системы метод теряет наглядность и
применяется редко.
Уравнения исследуемой системы обычно берутся в
виде
. (1)
Метод фазовой плоскости заключается
в исследовании характера свободных движений нелинейных динамических систем типа
(1) путем построения их фазовых траекторий на фазовой плоскости.
Как известно, свободные движения
динамических систем вызываются ненулевыми начальными условиями. Обозначим - вектор
начальных условий. Это означает, что
,
где
.
Фазовое пространство (пространство
состояний), в общем случае, - это линейное n-мерное пространство, координатами
которого являются компоненты вектора состояний, т. е. переменные состояния исследуемой
системы. При пространство
вырождается в плоскость, которая называется фазовой плоскостью. Она показана на
рис. 1.
Если взять моменты времени: …, причем и
, то каждому моменту времени … будут
соответствовать значения переменных состояния: . Каждая пара этих значений … определяет
некоторую точку на фазовой плоскости. Эти точки, соответствующие , показаны
на рис. 1.
Рис. 1
Соединяя точки, соответствующие
различным моментам времени, получим кривую, каждая точка которой соответствует
определенному состоянию системы в соответствующий момент времени.
Полученная линия называется
траекторией системы или фазовой траекторией.
Каждая фазовая траектория данной
системы определяется некоторыми начальными условиями. Задавая различные
начальные условия, получим различные фазовые траектории одной и той же системы.
Совокупность фазовых траекторий и
других элементов фазовой плоскости, отражающих свойства нелинейной системы,
называется фазовым портретом системы.
Фазовый портрет позволяет без
дополнительных выкладок сделать выводы о таких свойствах системы, как:
количество положений равновесия
системы,
характер движений системы в
окрестности каждого положения равновесия,
устойчивость положений равновесия,
наличие или отсутствие периодических
движений системы,
наличие или отсутствие областей с
различным характером фазовых траекторий и т. д.
2. Элементы фазового портрета
Изображающая точка - это точка
фазовой плоскости, соответствующая состоянию системы в некоторый момент времени
.
След изображающей точки на фазовой
плоскости при изменении от до есть
фазовая траектория.
Точка, соответствующая определенным
начальным условиям или моменту времени , называется начальной. Каждая
начальная точка определяет соответствующую фазовую траекторию.
Фазовая скорость - это вектор ,
определяющий направление движения изображающей точки в каждый момент времени.
Фазовая скорость всегда
направлена по касательной к фазовой траектории в точке, соответствующей моменту
времени . Фазовая
скорость является функцией переменных состояния системы. Величина (модуль)
фазовой скорости . Вектор
фазовой скорости показан на
рис. 2.
Рис. 2
Особая точка - это точка фазовой
плоскости, в которой фазовая скорость равна нулю. Это означает, что фазовая
траектория, попав (например, при ) в особую точку, из неё не
«выходит». Каждая особая точка на фазовой плоскости соответствует некоторому
положению равновесия исследуемой динамической системы. Если начальная точка
совпадает с особой точкой, то вся соответствующая этой начальной точке
траектория располагается в этой особой точке.
Уравнения особых точек. Из
определения особых точек следует, что их уравнения получаются из уравнений
системы (1), если в них положить т.е. уравнения особых точек этой
системы имеют вид
(2)
Эта нелинейная алгебраическая
система чаще всего может быть разрешена только лишь численными методами.
Пусть , где , решения системы уравнений (2).
Тогда точки на фазовой
плоскости являются особыми точками нелинейной системы, описываемой уравнениями
(1); - число
особых точек этой системы.
Пример 1. Пусть уравнения нелинейной
системы имеют вид
Найти особые точки.
Решение. Полагая здесь получим
уравнения (2) особых точек заданной нелинейной системы:
Одно из решений этой системы
очевидно имеет вид
.
Далее из первого уравнения получаем . Подставляя
во второе уравнение, найдем
или
.
Отсюда находим
Следовательно, особые точки
исследуемой системы это точки:
Эти точки показаны на рис. 3.
Рис. 3
Типы фазовых траекторий. Существуют
замкнутые и разомкнутые фазовые траектории. Разомкнутые фазовые траектории,
начинаясь в начальной точке, уходят либо в бесконечность, либо к некоторой
особой точке, либо к замкнутой траектории, как показано на рис. 4.
Разомкнутые траектории соответствуют
непериодическим движениям. Замкнутые траектории соответствуют периодическим
(циклическим) движениям системы. Поэтому они называются циклами. Периодическое
движение системы совершается в том случае, когда начальные условия оказываются
на кривой цикла, как показано на рис. 5.
В зависимости от характера фазовых
траекторий, начинающихся в окрестности цикла, последние различают следующим
образом:
непредельный цикл.
Рис. 4
Среди предельных циклов различают:
предельные устойчивые,
предельные полуустойчивые,
предельные неустойчивые.
Рис. 5
Непредельным циклом называется цикл
такой, что начинающиеся в его окрестности фазовые траектории, остаются в этой
окрестности, не уходя от цикла и не приближаясь к нему.
Предельным циклом называется цикл
такой, что фазовые траектории, начинающиеся в его окрестности, либо
приближаются к нему с ростом времени в положительном направлении, либо
удаляются от него. При изменении знака времени характер поведения фазовых
траекторий в окрестности предельного цикла меняется на противоположный.
Предельный цикл называется
устойчивым, если фазовые траектории, начинающиеся в любой точке его достаточно
малой окрестности, приближаются к нему с ростом времени (рис. 6,а).
Неустойчивым предельным циклом
называется такой, что найдется хотя бы одна фазовая траектория, начинающаяся в
его окрестности, которая удаляется от него (рис. 6,б).
Если нелинейная система имеет
несколько циклов, вложенных друг в друга, то устойчивые и неустойчивые циклы
чередуются.
Некоторые динамические системы имеют
полуустойчивые циклы, т. е. такие, что траектории, начинающиеся с одной стороны
цикла, приближаются к нему, а с другой не приближаются и не уходят от него, как
показано на рис. 6,в.
Если дифференциальные уравнения системы (1)
удовлетворяют условиям существования и единственности решения задачи Коши, то
фазовые траектории не пересекаются ни при каких конечных значениях времени.
Изоклины. Особые направления,
сепаратриссы. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых угол
наклона касательной к фазовой траектории один и тот же (рис. 7, рис. 8). Для
получения уравнения изоклин разделим второе уравнение (1) на первое и приравняем
это отношение некоторому числу , т.е.
(3)
Равенство (3) является уравнением
изоклины, соответствующей наклону касательных под углом .
Ранее изоклины использовались для
приближенного построения фазовых портретов нелинейных систем (см. [26. С. 17]).
В настоящее время фазовые портреты нелинейных систем второго порядка гораздо
удобнее строить с помощью ЭВМ путем решения дифференциальных уравнений
приближенными численными методами, например, методом Рунге-Кутта. Для этой цели
существуют специальные программы.
На фазовом портрете динамической
системы могут быть так называемые особые направления. Особое направление - это
прямая, во всех её точках которой касательные к фазовой траектории совпадают с
фазовой траекторией.
Особые направления обычно
наблюдаются на фазовых портретах линейных систем и связаны с наличием
вещественных корней характеристического уравнения соответствующей системы.
|
|
Рис.
7
|
Рис.
8
|
Кроме того, на фазовом портрете могут быть
сепаратрисы. Сепаратрисы - это линии, разделяющие области фазового портрета с
различным характером фазовых траекторий. Обычно сепаратрисы, как и особые
направления, либо начинаются и заканчиваются в окрестностях особых точек, либо
начинаются в окрестности особой точки и уходят в бесконечность, как для примера
показано на рис. 8.
На этом рисунке начало координат является особой
точкой, а наклонные прямые, проведённые через него, - сепаратрисами и особыми
направлениями одновременно.
Особый вид фазового портрета. Очень часто
уравнения нелинейной системы имеют вид
, (4)
т.е. переменная является
производной по времени от . В этом
случае удобно обозначить через , а через . Тогда
уравнения (4) запишутся следующим образом:
, (5)
При этом изоклины определяются
уравнением
. (6)
В рассматриваемом случае фазовые
траектории обладают рядом специфических свойств. Пусть . Тогда,
согласно (6),
.
Это означает, что все фазовые
траектории пересекают ось абсцисс под углом , как
показано на рис. 9.
Кроме того, из уравнений (5)
следует, что все особые точки данной системы могут располагаться только на оси , а
изображающая точка может двигаться при только по часовой стрелке, что
также показано на рис. 9.
Рис. 9
3. Анализ фазовых траекторий в
окрестности особых точек
Тип особой точки (определение
которого является задачей данного параграфа) определяется характером фазовых
траекторий, начинающихся в её малой окрестности. Для решения этой задачи можно
воспользоваться известной теоремой Ляпунова, в которой утверждается, что если
корни характеристического уравнения системы первого приближения, построенной в
особой точке, не имеют нулевых вещественных частей, то характер движений
нелинейной системы в малой окрестности этой точки определяется (совпадает с)
характером движений линейной системы первого приближения. Это утверждение,
очевидно, справедливо и в отношении фазовых траекторий, начинающихся в малой
окрестности особой точки. Таким образом, тип особой точки фазового портрета
нелинейной системы и соответственно характер фазовых траекторий, начинающихся в
её окрестности, можно установить (по крайней мере, в указанном выше случае) с
помощью уравнений первого приближения.
Построение уравнений первого
приближения. Рассмотрим нелинейную систему, которая описывается уравнениями
, (7)
Уравнения первого приближения данной
системы имеют вид
(8)
причём коэффициенты матрицы []
вычисляются в особой точке по формулам
, . (9)
Здесь при , где -
координаты особой точки; z-вектор отклонений переменных состояния от координат
особой точки, т.е. .
Если фазовый портрет имеет несколько
особых точек, то уравнение (8) строится по формулам (9) для каждой особой
точки.
Пример 2. Нелинейная система
как показано выше, имеет особые
точки , . Найти
уравнения первого приближения в окрестности точки .
Решение. По формулам (9) при , находим
; ;
; .
Следовательно, согласно (8) и (9),
уравнения первого приближения рассматриваемой системы в окрестности особой
точки имеют вид
.
Возвращаясь к задаче определения
типов особых точек, запишем характеристическое уравнение системы первого
приближения (8) следующим образом:
. (10)
Его корни
. (11)
Характер корней , как
известно, зависит от знака дискриминанта уравнения (10). Поэтому рассмотрим
плоскость параметров и (рис. 10) и
построим на ней линию . Эта линия
вместе с координатными осями разбивает плоскость параметров и на 5
областей, в каждой из которых корни (11) имеют различный характер.
Рассмотрим характер фазовых траекторий для каждой из этих областей.
Рис. 10
Характер траекторий в окрестности
особой точки в этом случае показан на рис. 11. Фазовый портрет имеет два особых
направления, соответствующих различным вещественным корням . Данная
особая точка называется устойчивый узел.
Область 2. Здесь , а корни -
комплексные, причем , поэтому
моды системы равны , т.е. имеют
затухающий колебательный характер. Траектории показаны на рис.12. Данная особая
точка называется фокус. Это устойчивый фокус, так как траектории сходятся к
особой точке при .
Граница областей 1 и 2. Здесь а корни причём . Так как
оба корня равны друг другу, то фазовый портрет имеет лишь одно особое
направление. Фазовый портрет для этого случая приведен на рис. 13. Особая точка
называется устойчивый узел, как и в области 1.
Граница областей 2 и 3. Здесь , поэтому
корни чисто
мнимые. Моды системы равны , где . Им соответствуют гармонические
незатухающие колебания.
|
|
Рис.
11
|
Рис.
12
|
Траектория, как известно, называется цикл.
Размеры цикла зависят от начальных условий. Чем больше начальные условия, тем
больше амплитуда. Фазовый портрет для этого случая приведен на рис. 14. Особая
точка называется центр.
|
|
Рис.
13
|
Рис.
14
|
Область 3. Здесь , а корни
комплексные, т.е.
, причем . Поэтому
фазовые траектории представляют собой расходящиеся спирали.
Фазовый портрет для этого случая
приведен на рис. 15. Особая точка - неустойчивый фокус, так как траектории
удаляются от особой точки.
Область 4. Здесь , а корни - различные
вещественные, причем . Так как
имеются два различных вещественных корня, то на фазовом портрете имеются два
особых направления. Фазовый портрет показан на рис. 16. Особая точка называется
неустойчивый узел.
|
|
Рис.
15
|
Рис.
16
|
Граница областей 3 и 4. Здесь , а корни одинаковые,
причем .
Следовательно, фазовый портрет имеет одно особое направление. Он приведен на
рис. 17. Особая точка - неустойчивый узел.
|
Рис.
17
|
Области 5. Здесь , а корни вещественные,
различные; один из них положительный, другой - отрицательный.
Фазовые траектории показаны на рис.
18. В области 5а модуль положительного корня больше, а в области 5б больше
модуль отрицательного корня. Поэтому в этих областях соответствующие
сепаратрисы (особые направления) имеют разные наклоны. Особая точка называется
седло. Это всегда неустойчивая особая точка.
|
|
а
|
б
|
Рис.
18
|
|
|
|
Граница областей 5а и 5б. На рис. 10
эта граница обозначена а/б. Здесь , корни вещественные, равны по
модулю и противоположны по знаку. Поэтому особые направления проходят под
углами . Фазовый
портрет приведен на рис. 19. Особая точка тоже седло.
Рис. 19
фазовый плоскость
траектория метод
Граница областей 4 - 5а. Здесь , один
корень равен нулю, а второй равен и больше нуля. Поэтому фазовый
портрет имеет вид, показанный на рис. 20. Особые точки занимают всю ось и названия
не имеют.
Граница областей 1 и 5в. Здесь , один
корень равен нулю, а второй равен и меньше нуля. Поэтому фазовый
портрет линейной системы имеет вид, показанный на рис. 21. Особые точки также
занимают всю ось и названия
не имеют.
|
|
Рис.
20
|
Рис.
21
|
Отметим, что указанные здесь виды
особых точек и характер фазовых траекторий в их окрестностях имеют место в
линейных системах вида
По отношению к нелинейной системе
типа (1), для которой уравнение является уравнением первого
приближения в окрестности некоторой особой точки, утверждать, что указанный вид
фазовых траекторий и тип особой точки также имеет место, можно, как отмечалось
выше, только в том случае, когда . Другими словами, если только
характеристическое уравнение системы первого приближения, построенной в этой
точке, имеет все корни с не нулевыми вещественными частями. Если же у этого
уравнения имеются корни с нулевыми вещественными частями, то нельзя сделать
какой-либо вывод о характере фазовых траекторий в окрестности данной особой
точки нелинейной системы.
Таким образом, фазовые траектории в
малых окрестностях особых точек чаще всего можно построить (изобразить) на
основе корней или коэффициентов характеристических уравнений
соответствующих систем первого приближения.
4. Построение фазовых траекторий в
большом удалении от особых точек
Для построения фазовых траекторий на
большом удалении от особых точек (в большом) был разработан ряд
графоаналитических методов. К ним относятся метод изоклин, дельта-метод, метод
стыковки (припасовывания) и т. д. В настоящее время для этой цели целесообразно
использовать либо метод стыковки, либо численные методы приближенного решения
нелинейных дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ. Поэтому ограничимся здесь
рассмотрением лишь метода припасовывания, так как он может с успехом
применяться для аналитического исследования различных нелинейных систем второго
порядка. Метод припасовывания. Этот метод может быть применен, если нелинейные
уравнения содержат кусочно-линейные функции. При этом точки излома
характеристик нелинейных элементов отображаются в линии переключения на фазовой
плоскости. Эти линии делят фазовую плоскость на области, в которых уравнения
нелинейной системы оказываются линейными, и есть возможность проинтегрировать
уравнения фазовых траекторий.
Далее, припасовывая (или стыкуя)
друг к другу фазовые траектории из разных областей, получают фазовый портрет
системы.
Последовательность построения
фазового портрета методом припасовывания следующая.
. Записать дифференциальные
уравнения системы в изображениях.
. Перейти к уравнениям в оригиналах.
. Ввести фазовую переменную и перейти к
уравнениям в переменных состояния , исключив время , т.е. найти
выражение для , не
раскрывая нелинейности.
. Проинтегрировать дифференциальные
уравнения фазовых траекторий, и получить алгебраические уравнения фазовых
траекторий для каждой
i-ой области. Здесь - постоянные
интегрирования.
. Произвести припасовывание
(стыкование) фазовых траекторий путем выбора постоянных интегрирования . При этом
начальные условия для последующего участка фазовой траектории будут равны
координатам точки пересечения фазовой траектории предыдущего участка и линии
переключения. Для аналитического определения этих координат можно решать
систему уравнений
,
. (12)
Здесь - уравнение фазовой траектории
предыдущего участка; - уравнение
линии переключения, к которой «подошла» фазовая траектория.
Пример 3. Рассмотрим построение
методом припасовывания фазового портрета системы, показанной на рис. 22.
Характеристика нелинейного элемента этой системы показана на этом же рисунке.
Рис. 22
Решение. В соответствии с указанной
выше последовательностью построения фазового портрета запишем по структурной
схеме уравнения элементов системы. Получим
где - зона нечувствительности, - заданное
число.
Переходя к оригиналам, найдем
, .
Исключив отсюда промежуточную
переменную и вводя
обозначение , найдем,
что уравнения системы имеют вид
, (13)
а нелинейность описывается
выражениями
(14)
Разделим второе уравнение системы
(13) на первое. В результате получим, что уравнения фазовых траекторий для
каждой из областей фазовой плоскости, образованных точками разрыва нелинейной
характеристики (14),
определяются выражением:
(15)
Эти области обозначены на рис. 23
римскими цифрами I, II и III, причем на рисунке .
Рис. 23
Интегрируя уравнения фазовых
траекторий (15) для областей I и III, найдем
(16)
где - постоянная интегрирования. Причём
для первой области в этом равенстве необходимо брать знак «+», а для третьей
области - знак «-». Аналогично для области II будем иметь
.
Перейдем к построению фазового
портрета. Для этого зададим начальную точку , как показано на рис. 23. Ее
координаты . Так как
начальная точка лежит в третьей области, то, согласно (16), уравнение фазовой
траектории имеет вид
(17)
где неизвестная постоянная определяет
соответствующую фазовую траекторию. Поскольку искомая фазовая траектория
проходит через точку , то ее
координаты удовлетворяют уравнению (17). Поэтому, подставляя и в (17),
получим
.
Отсюда находим постоянную интегрирования
.
Подставляя это значение в равенство
(17) вместо , получим
(18)
уравнение фазовой траектории,
выходящей при из точки .
Для построения собственно траектории
задаемся рядом значений , и
вычисляем по (18) соответствующие значения . По полученным точкам строим
фазовую траекторию. Когда эта фазовая траектория пересекается с линией
переключения (на рис. 23 это происходит в точке ), сменяются уравнения фазовой
траектории. В данном случае, после переключения, мы попадаем в область II, где
уравнение фазовых траекторий имеет вид
.
Для определения постоянной найдем
сначала координаты точки пересечения фазовой траектории из
предыдущей области с линией переключения , решив систему (12). Это будет
показанная на рис. 23 точка с координатами .
Следовательно , а
уравнение фазовой траектории в области II - . Это прямая параллельная оси
абсцисс. Проведя ее до пересечения со второй линией переключения , найдем
координаты точки пересечения . После переключения изображающая
точка попадает в область I, где уравнения фазовых траекторий, согласно(16),
определяются выражением
,
где - новая постоянная интегрирования.
Подставляя в это уравнение координаты точки , получим
равенство для определения постоянной
интегрирования .
Следовательно, уравнение рассматриваемой фазовой траектории в области I имеет
вид
.
С помощью этого уравнения можно
построить фазовую траекторию в области I (между точками и на рис.
23), а затем продолжить её во второй и в третьей областях. Легко убедиться, что
в данном случае продолжение рассматриваемой траектории пройдёт через начальную
точку , т. е.
данная траектория является замкнутой кривой. Повторяя описанные действия для
других значений координат начальных точек, получим другие фазовые траектории. В
итоге получим фазовый портрет рассматриваемой системы, показанный на рис. 23.
Аналогично строятся фазовые портреты
для нелинейных систем с другими видами кусочно-линейных характеристик. На рис.
24 и рис. 25 приведены некоторые типы релейных характеристик, близких к
приведенной на рис. 23, и фазовые портреты системы, приведенной на рис. 22, с
этими нелинейностями.
Рис. 24
Как видно, в случае знаковой нелинейности, в
которой отсутствует зона нечувствительности (рис. 24), на фазовом портрете
отсутствует область, в которой фазовые траектории идут параллельно оси абсцисс.
Однако траектории и в этом случае являются замкнутыми непредельными циклами.
Следовательно, в замкнутой системе и в этом случае наблюдаются периодические
колебания, амплитуда которых зависит от начальных условий системы.
|
|
Рис.
25
|
В то же время, если вместо однозначной
нелинейности включить в систему релейную двухзначную нелинейность с
гистерезисом, фазовые характеристики становятся разомкнутыми, спиралевидными и
расходящимися (рис. 25). Это свидетельствует о том, что при такой нелинейности
в рассматриваемой системе возникают колебания с увеличивающейся амплитудой.
5. Исследование системы с переменной
структурой
Системами с переменной структурой называют
системы с переключающими элементами, которые коммутируют линейные элементы. В
этом случае для построения фазовых портретов удобно применять метод
припасовывания с использованием информации о фазовых траекториях, доставляемой
корнями характеристических уравнений систем, соответствующих каждому положению
переключающего элемента.
Для примера рассмотрим систему с переменной
структурой (СПС) [25], схема которой приведена на рис. 26.
В данной системе переключающий элемент
описывается следующим выражением:
Уравнения линейной части системы
(согласно структурной схеме) имеют вид
, . (19)
Деление фазовой плоскости данной
системы линиями переключения при показано на рис. 27,а. Цифрами +1 и
-1 обозначены области фазовой плоскости, в которых функция принимает
соответствующие значения.
Рис. 26
Выясним характер фазовых траекторий
в этих областях фазовой плоскости.
Пусть . В этом случае рассматриваемая
система (согласно (19) описывается уравнением
. (20)
Следовательно, её характеристическое
уравнение
.
Его корни , поэтому в
соответствии с результатами, приведенными в § 3, особая точка является
«седлом», а фазовый портрет системы (20) имеет вид, приведенный на рис. 27,б.
а) б)
Рис. 27
Пусть . В этом случае из (19) получаем
, .
В этом случае корни
характеристического уравнения . Аналогично устанавливаем, что
особая точка является
«центром», а фазовые траектории - вложенными друг в друга окружностями с
центром в начале координат, как показано на рис. 28,а.
Применяя метод стыкования
траекторий, соответствующих различным начальным условиям, получим фазовый
портрет системы с переменной структурой. Одна из траекторий этой системы
приведена на рис. 28,б. Как видно, в результате «сшивания отрезков» траекторий
неустойчивых систем получаются траектории, соответствующие нелинейной системе с
устойчивым положением равновесия.
В рассматриваемом случае, т.е. при , фазовые
траектории при любых начальных условиях соответствуют затухающим колебательным
движениям системы. При этом отрезки траекторий, соответствующих различным
значениям функции , чередуются
друг с другом по мере увеличения времени .
а б
Рис. 28
Характер фазовых траекторий
исследуемой СПС существенно изменяется при уменьшении коэффициента k, когда он
становится меньше единицы. В этом случае возникает так называемый «скользящий
режим». На рис. 29,а представлена фазовая траектория СПС при возникновении
скользящего режима. В этом режиме переключающий элемент колеблется с очень
высокой частотой, а изображающая точка как бы скользит по линии переключения,
постепенно смещаясь к началу координат.
Скользящий режим возникает в
нелинейных системах всякий раз, когда фазовые траектории с обеих сторон
подходят к линии переключения (Л.П., см. рис. 29,б). В этом случае изображающая
точка после попадания на линию переключения не может уйти с неё и двигается
вдоль этой линии. Направление движения ее (к особой точке или от нее) зависит
от свойств линейной части рассматриваемой нелинейной системы.
а б
Рис. 29
В скользящем режиме система
оказывается нечувствительной к внешним воздействиям и к изменениям параметров
самой системы, пока сохраняется скользящий режим. Характер её движения в этом
режиме полностью определяется уравнением линии переключения. Однако в
скользящем режиме переключающий элемент совершает высокочастотные колебания,
что приводит к его износу.
6. Построение временного процесса по
фазовой траектории
В ряде случаев возникает
необходимость построения временной зависимости изменения переменных состояния
нелинейной системы по её фазовой траектории. Эту зависимость можно получить
приближенно с помощью метода вписанных треугольников [25].
Для вывода основных соотношений
этого метода рассмотрим отрезок фазовой траектории, показанный на рис. 30.
Предположим, уравнения соответствующей нелинейной системы имеют вид
, .
Задача заключается в том, чтобы
оценить время перехода изображающей точки из точки М1 в близкую к ней точку
М2, т.е. необходимо оценить интервал . Оценить этот интервал точно по
фазовой траектории сложно. Для его приближенной оценки проведем из точек М1 и
М2 (рис. 30), а затем и из середины отрезка , перпендикуляры к оси абсцисс.
Точки и на оси соединим
прямыми линиями с серединой отрезка фазовой траектории. В результате
образуется равнобедренный треугольник с углом при вершине.
Рис. 30
Так как изменение ординаты при
переходе из М1 в М2 невелико, то её значение можно принять постоянным и равным
значению в середине отрезка , т.е.
,
где - приращение времени. Это равенство
можно представить следующим образом:
Из этой пропорции и свойств
равнобедренных треугольников выводим
.
На этом равенстве и основан метод
вписанных треугольников, который заключается в следующем. Пусть задана точка ,
соответствующая времени . Тогда для
построения зависимостей и необходимо
выполнить следующие действия:
задаемся малым значением угла (например, );
строим (рис. 31) равнобедренный
треугольник с углом в вершине,
лежащей на фазовой траектории. Боковое ребро этого треугольника должно пройти
через точку , а
биссектриса должна быть перпендикулярна к оси . В результате получим точку ;
строим следующий треугольник с тем
же углом . Вершина
этого треугольника также лежит на фазовой траектории, биссектриса перпендикулярна
к оси х, а левое ребро проходит через точку (рис. 31). В результате получим
точку .
Продолжая этот процесс, получим
серию точек, соответствующих определенным моментам времени и координатам:
, ,.
При этом , , , а . По
полученным точкам строятся процессы и (рис. 32).
Рис. 31 Рис.
32
В этом методе возникает некоторая
сложность при переходе траектории через ось абсцисс. Поэтому после пересечения
оси абсцисс следующую точку на фазовой траектории выбирают так, чтобы время
перехода в эту точку из предыдущей было равно .
Литература
1. Бубнов,
В.А. Линейная алгебра: компьютерный практикум / В.А. Бубнов, Г.С. Толстова,
О.Е. Клемешева. - М.: ЛБЗ, 2012. - 168 c.
2. Бурмистрова,
Е.Б. Линейная алгебра, дифференциальное исчисление функций одной переменной:
Учебник для студ. высш. учеб. заведений / Е.Б. Бурмистрова, С.Г. Лобанов. - М.:
ИЦ Академия, 2010. - 336 c.
. Гомонов,
С.А. Математика. Линейная алгебра: Учебно-справочное пособие / С.А. Гомонов. -
М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 144 c.
. Горлач,
Б.А. Линейная алгебра: Учебное пособие / Б.А. Горлач. - СПб.: Лань, 2012. - 480
c.
. Демидович,
Б.П. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х т.Т. 1. Линейная алгебра и
основы математического анализа: Учебное пособие для втузов / Б.П. Демидович. -
М.: Альянс, 2011. - 480 c.
. Епихин,
В.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Теория и решение задач:
Учебное пособие / В.Е. Епихин, С.С. Граськин. - М.: КноРус, 2013. - 608 c.
. Ильин,
В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник / В.А. Ильин, Г.Д.
Ким. - М.: Проспект, 2012. - 400 c.
. Канатников,
А.Н. Линейная алгебра: Учебник для вузов / А.Н. Канатников, А.П. Крищенко; Под
ред. В.С. Зарубин. - М.: МГТУ им. Баумана, 2006. - 336 c.
. Кожухов,
И.Б. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х т.Т. 1. Векторная алгебра и
аналитическая геометрия. Определители и матрицы системы линейных уравнений.
Линейная алгебра. Основы общей алгебры: Учебное пособие для втузов / И.Б.
Кожухов. - М.: Физматлит, 2009. - 288 c.
. Кочетков,
Е.С. Линейная алгебра: Учебное пособие / Е.С. Кочетков, А.В. Осокин. - М.:
Форум, 2012. - 416 c.
. Лунгу,
К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс: С контрольными работами:
линейная алгебра; аналитическая геометрия; основы математического анализа;
комплексные числа / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. -
М.: Айрис-пресс, 2011. - 576 c.
. Михалев,
А.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие для студ. учреждений
высш. проф. образования / А.А. Михалев, И.Х. Сабитов. - М.: ИЦ Академия, 2013.
- 256 c.
. Просветов,
Г.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Задачи и решения:
Учебно-практическое пособие / Г.И. Просветов. - М.: Альфа-Пресс, 2009. - 208 c.
. Рудык,
Б.М. Линейная алгебра: Учебное пособие / Б.М. Рудык. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. -
318 c.
. Скрыдлова,
Е.В. Линейная алгебра: Учебное пособие / Е.В. Скрыдлова, О.О. Белова. - Рн/Д:
Феникс, 2012. - 142 c.
. Шевцов,
Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учебное пособие / Г.С.
Шевцов. - М.: Магистр, 2013. - 528 c.