Диэлектрическая проницаемость изотропных сред

Диэлектрическая проницаемость изотропных сред

Реферат по теме:

Диэлектрическая проницаемость изотропных сред

1. Краткие сведения о дипольных моментах атомов и молекул

Атомы и молекулы делятся на:

полярные - в свободном состоянии и без внешнего воздействия обладают дипольным моментом;

неполярные - дипольный момент равен нулю.

О каждой молекуле вещества известно заранее, является она полярной или нет.

Если молекулы тела - полярные, то во внешнем поле (или без него) у тела в целом возникает дипольный момент за счет дипольных моментов молекул.

Если молекулы - неполярные, то дипольный момент может возникать под воздействием внешнего поля.

Возникшие дипольные моменты могут выстраиваться вдоль некоторого направления. Механизм такого построения молекул должен быть изучен дополнительно.

1.1 Неполярные молекулы

Физически очевидно, что благодаря полю, молекула приобретает дипольный момент . В чем состоит механизм возникновения дипольного момента? Рассмотрим сначала модель классического осциллятора для всей составляющей тело совокупности зарядов. С точки зрения классической физики, составляющие тело заряды колеблются около положения равновесия . В положении равновесия радиус-вектор дипольного момента тела есть:

 (1)

для неполярных молекул.

Колебания около положения равновесия описываются радиус-вектором

 (2)

где  - отклонение от положения равновесия.

В (2) вектором  описываются малые колебания молекулы (гармонического типа) около положения равновесия.

 (3)

где  - собственные частоты гармонических колебаний.

Если на каждую частоту со стороны приложенного внешнего поля  действует сила, в правую часть уравнения (3) надо добавить эту силу, деленную на массу частицы. Тогда колебания становятся вынужденными

 (4)

При  каждая частица сдвигается из положения равновесия. Тогда стационарным решением () уравнения (4) является

 (5)

Итого произошел сдвиг в новое положение равновесия под действием внешней электростатической силы, связанной с полем  Можно теперь рассчитать новый дипольный момент тела

 (6)

Обозначим всю совокупность констант буквой  и обозначим через нее диэлектрическую восприимчивость тела в целом.

 (7)

Формулы (7) получены в определенных предположениях. Перечислим их. Частица около положения равновесия совершает лишь малые колебания. Поэтому при наложении поля  происходит только сдвиг положения равновесия. В квантовой теории поляризуемость представляется в виде

 (8)

где  - частота перехода с орбиты на орбиту;  - сила осциллятора, учитывающая эффект перекрытия волновых функций и его влияние на вероятность перехода. По размерности и входящим в них характерным величинам классическая и квантовая формулы совпадают. Итак, в квазиклассической (полуквантовой) теории надо говорить уже не столько о колебаниях, сколько о деформации электронных орбит (областей локализации волновых функций молекул) под действием поля .

Если же возникшие колебания нелинейны или амплитуды их велики, то в теории будут фигурировать члены высших степеней по . Таким образом, в этом случае в системе возникнут ангармонические колебания. При учете внутренних ангармонизмов системы она реагирует на внешнее поле нелинейно (при пренебрежении ангармонизмами эта реакция линейна).

Пусть поле  является сильным. Тогда система войдет в ангармонический режим в любом случае. Отметим, что система линейна в области слабых полей и нелинейна в области сильных. При вхождении в область сильного поля  система всегда становится нелинейной. Рассчитаем явно величину коэффициента поляризации  в этом случае. Сделаем это, исключая из классической формулы для  (7) все признаки приближения слабого поля, в котором она была получена.

Рассмотрим поляризуемость одной молекулы вещества, исключив  по гармоническим движениям.

 (9)

где  - размер молекулы.

Заметим, что

 - потенциальная энергия молекулы (10)

 - линейная скорость молекулы

 - кинетическая энергия молекулы (11)

Итоговая оценка  выглядит для молекулы так

 (12)

По теореме вириала, которая требует не линейности приближения, а лишь однородности функций  и

 (13)

Итого поляризуемость молекулы есть

 (14)

Отметим общие свойства поляризуемостей различных сред

Отметим, что в правом столбце получилась одна общая закономерность для поляризуемости этих сред.

2. Диэлектрическая проницаемость разреженного газа малой плотности

Пренебрежем в первом приближении взаимодействием между молекулами. Будем считать, что каждая молекула реагирует на поле независимо от других. Ее дипольный момент дается формулой

 (15)

Пусть в единице среды содержится  таких молекул. В силу отсутствия взаимодействия между ними вектор поляризации среды есть:

 (16)

Рассчитаем электрическую индукцию среды

Итак

 (17)

Получили, что диэлектрическая проницаемость линейно зависит от плотности  и не зависит от температуры .

Измеряя  при различных температурах и плотностях, можно проверять, насколько она близка к модели идеального газа неполярных молекул. Для этого достаточно сравнить ее диэлектрическую проницаемость с формулой

 (18)

Полярные молекулы являются качественно иной системой по сравнению с рассмотренной ранее. Независимо от наличия электрического поля они обладают дипольным моментом (Рис. 1).

 (19)

У газа из полярных молекул, как целого в общем случае, существует дипольный момент, который, однако, ориентирован хаотически. Если поле , то из микроскопической электродинамики известна формула для момента сил, действующих на молекулу.

 (20)

Величина  для каждой из молекул равна нулю () при одинаковой или противоположной ориентации молекул газа и поля. Эти два положения взаимной ориентации молекулы и поля  есть две точки равновесия молекулы, обладающей моментом во внешнем поле. Устойчива из этих точек лишь одна, когда дипольный момент ориентирован по полю (это положение, в котором потенциальная энергия достигает устойчивого минимума). Если существуют малые отклонения от устойчивого положения равновесия, то при малых отклонениях диполь испытывает малые колебания

Рис. 2 - Малые отклонения дипольной молекулы (на угол ) от устойчивого положения равновесия (положение 1).

При противоположном положении равновесия жесткая потеря устойчивости, при которой диполь будет стремиться занять положение по полю (Рис. 3).

Рис. 3

Все эти результаты можно изложить на энергетическом языке. Действительно, дипольный момент  во внешнем поле обладает энергией

 (21)

Формула (21) выводится в микроскопической электродинамике (§8). При антипараллельном положении  и  энергия  та же самая по модулю, но имеет знак «плюс».

Значит в антипараллельном положении изучаемая система неустойчива и стремится занять положение, соответствующее минимуму потенциальной энергии. В действительности, упорядочение произойдет лишь тогда, когда в системе молекул есть соударения, обеспечивающие релаксацию системы к положению равновесия.

Допустим, соударений нет. Тогда в положении равновесия «2» молекула будет болтаться и поворачиваться во внешнем поле . Если же в газе есть соударения, система перерабатывает энергию разупорядочения в тепло.

Итого исчезают все колебания больших амплитуд, разупорядочивающие молекулы. Соударения перерабатывают энергию движения дипольного момента молекулы в тепловую энергию и способствует установлению равновесия при его ориентации по полю . Одновременно соударения являются и разупорядочивающим фактором. После столкновения конфигурация близка к равновесной (Рис. 2) или равновесная снова разупорядочивается. Как это не парадоксально, соударения обеспечивают переработку в тепло колебаний больших амплитуд (способствуют упорядочению) и разупорядочивают упорядоченные по полю молекулы. Одна из этих функций столкновения работает, когда молекула далека от состояния устойчивого равновесия (1), другая - когда она близка к устойчивому равновесию (1). Очевидно, в результате этих процессов у газа в целом возникает индуцированный дипольный момент, средняя величина которого определяется балансом дипольных моментов молекул вдоль выделенного направления  (Рис. 4).

Рис. 4 - Возникший у газа дипольный момент  ориентирован под углом  к внешнему приложенному полю

Для расчета дипольного момента  спроектируем его на направление поля . При этом считаем дипольные моменты молекул одинаковыми .

Величина (модуль) возникшего дипольного момента есть среднее число молекул, ориентированных под углом  к полю. Величина угла  должна даваться статистической теорией.

 (22)

 (23)

Статистический баланс достигается в системе за счет одновременно действующих тенденций к упорядочению и разупорядочению. Так как число молекул конечно, статистическое среднее есть математическое ожидание. Частота  в пределе большого числа молекул превращается в вероятность ориентации молекулы под углом .

 (24)

С учетом (24) формула (23) принимает вид:

 (25)

Суммирование в (23) велось по всем частицам. Среднее в (25), отмеченное чертой сверху берется по ансамблю частиц. При этом обязательно предполагается, что система равновесна или близка к состоянию термодинамического равновесия.

Будем считать, что система молекул является классической. Тогда вероятность ориентации молекул задается формулой Больцмана и считается по правилам статистической физики.

 (26)

где  - статистическая сумма;  - вероятность ориентации молекулы под углом .

Вероятность ориентации в телесном угле  есть

 (27)

где  - температура среды;  - потенциальная энергия.

 (28)

Рассчитаем сначала величину статистической суммы , а затем среднее значение .

Сделаем замену переменной . Тогда

Окончательный результат для  принял вид:

 (29)

Рассчитаем теперь величину .

(введена переменная )

Окончательно получаем

Найдем среднее значение

 (30)

Подставляя (29), (30) в (26) получим выражение для дипольного момента

 (31)

Резюме и комментарии.

) Система полярных молекул, находящаяся во внешнем поле  нелинейна. Действительно, связь между поляризацией  и полем  нелинейна. Поляризация единицы объема дается полученной выше формулой

Подчеркнем еще раз, что система полярных молекул с отличным от нуля дипольным моментом образует единую электродинамическую нелинейную систему.

2) Выясним, чему равна поляризация  при абсолютном нуле температуры .

Отметим, что приведенные здесь расчеты выполнены в рамках классической статистики, а переход к  в рамках неквантовой физики формально незаконен. Попытаемся угадать, какой из классических результатов надо уточнить в рамках квантовой теории при ? Ясно, что второй член (31) при , . Отсюда следует, что

 (32)

Из физических соображений ясно, что при  все молекулы упорядочиваются вдоль поля, так как исчезает разупорядочивающий фактор - столкновения. Упорядочивающий фактор - поле  - при  продолжает существовать. Из приведенных рассуждений становится ясно, что этот упорядочивающий фактор и связанный с ним конечный результат сохраняются и в квантовой теории. Отметим, что полное упорядочение достигается именно в нелинейной системе при определенном значении термодинамического параметра - температуры  (). Поэтому возникает подозрение, что линейная система, в принципе, не способна к полному упорядочению, а сложная нелинейная система способна.

) Слабые поля.

Параметр слабости прямопропорционален  - характерной потенциальной энергии взаимодействия с внешнем полем, в то время как  характеризует кинетическую энергию движения молекул системы.

Поле  можно считать слабым, если потенциальная энергия много меньше кинетической. То есть

 (33)

Видим, что в формуле (33)  - это аргумент .

Разложим  в ряд при , пользуясь стандартным справочником Двайта

Получаем для  результат

 (34)

где  - поляризуемость газа полярных молекул в слабом поле.

 (35)

Качественно, диэлектрическая проницаемость газа полярных молекул линейно зависит от плотности и убывает с ростом температуры. Отметим, что диэлектрическая проницаемость газа неполярных молекул не зависит от температуры  (см. (17)). В макроскопическом эксперименте до сих пор нами выяснялись макроскопические свойства сред. Заметим, что этот же эксперимент позволяет выяснить и микроскопические свойства молекул. Действительно, Если диэлектрическая проницаемость газа не зависит от , то молекулы не имеют дипольного момента ().

4. Плотный газ из неполярных молекул

Основная цель этого пункта - познакомится с концепцией эффективного поля, которая широко используется в самых разных областях физики в различных вариантах и проследить за происхождением этой концепции как можно более детально. Эффекты взаимодействия между частицами в многочастичных системах являются доминирующими и, во многом, определяют их свойства. В плотных системах (плотные газы, жидкости) взаимодействия существенным образом влияют на характер реакции этих систем на внешнее поле. Когда рассматривается сложная макроскопическая система, чисто динамический подход к ней невозможен. Поэтому, значительную роль в физике макроскопических сред играют, так называемые, макроскопические соображения. Как же можно подойти к решению задачи, если с помощью известных физических идей «в лоб» решить ее не удается? Надо

) сформулировать идею;

) построить модель;

) сравнить предсказания модели с экспериментом.

Если построенная модель противоречит эксперименту, ее приходится отбросить как неправильную. Если же модель согласуется с экспериментом, то это значит, что она правильно отображает какие-то существенные черты реальности. Нами уже был построен один такой пример - кинетическая теория вещества. Действительно, в случае кинетической теории заранее не были известны свойства зацепляющихся кинетических уравнений, но была найдена адекватная эксперименту модель (предельная модель ), которая заранее не была строго обоснована. Такой конструктивный подход к теории и позволяет добиваться в ней существенного прогресса.

Рассмотрим аналогичный пример построения модели в случае плотных газов. Использовать для этих систем кинетическую теорию нельзя, так как учет сильных взаимодействий в кинетике представляет собой нерешенную до настоящего времени проблему. Поэтому постараемся догадаться о свойствах плотных газовых систем.

Рис. 5 - Молекула плотного вещества (точка на рисунке) в центре вспомогательной сферической поверхности

Проведем следующие построения. Рассмотрим отдельную молекулу и окружим ее некоторой сферической поверхностью (Рис. 5).

Построенная поверхность выглядит как вакуумная полость, в которой находится частица. Если теперь убрать частицу из полости, получится диэлектрический шар с , помещенный в диэлектрическую среду (плотное вещество) с  (Рис. 6).

Для построения электрического поля в полости используем выражение для потенциала сферы, находящейся в диэлектрике (10.31) внутри нее

Рис. 6 - Поле  в среде с вырезанной в ней полостью с

 (36)

Назовем потенциал  потенциалом локального поля. Отклонение напряженности поля  от поля  в среде может быть связано с влиянием поля других частиц (вернее их полостей-лакун).

Рассчитаем напряженность локального поля

 (37)

Отметим, что , то есть локальное поле в полости больше поля вне полости.

В данном случае совершена внешне некорректная операция - перенесены методы макрофизики (электродинамики сплошных сред) на изучение микроскопических явлений. Тем не менее, глядя на результат (37), видим, что поле в полости превосходит поле в среде. Пусть среда состоит из полярных молекул, обладающих дипольным моментом . Из качественных соображений ясно, что одна молекула, установив свой дипольный момент по полю , усиливает это поле и заставляет так же установить свой дипольный момент другую молекулу. Превышение локального поля над полем в среде качественно соответствует эффекту сонаправленности моментов молекул. То есть полученный результат вполне можно объяснить качественными физическими соображениями.

Проверим теперь, как скажется на поле в среде то, что молекула, помещенная в полость, может приобрести дипольный момент пропорциональный локальному полю.

 (38)

Рассчитаем поляризацию единицы объема

 (39)

где  - плотность числа частиц в единице объема.

За полученным результатом (39) стоят теперь два физических фактора:

) непосредственное воздействие поля  на молекулу вещества, в результате которого она приобретает момент ;

) междипольная корреляция в среде, приводящая к локальному возрастанию поля.

Рассчитаем полную электрическую индукцию поля в среде

 (40)

Коэффициент пропорциональности между  и  дает диэлектрическую проницаемость среды

 (41)

Получили уравнение для . Его решение есть

 (42)

Второй корень (соответствующий знаку «минус» перед радикалом) является нефизическим, так как дает значение . Последнее хорошо видно из эквивалентного (42) выражения

Меньшее единицы (и даже отрицательное) выражение диэлектрической проницаемости  противоречит экспериментальному факту , возведенному в исходную посылку теории.

Формула (42) носит название формулы Онсагера для диэлектрической проницаемости среды и хорошо согласуется с экспериментом. Это вовсе не означает, что в жидкости физически можно выделить вакуумные полости и перенести на них законы микроскопической электродинамики. В данном случае получить точную формулу помог правильно угаданный дополнительный упорядочивающий фактор.

Этот результат вовсе не означает отмену естественной взаимосвязи между микроскопической и макроскопической теориями. Естественная последовательность состоит в том, что микроскопическая теория должна предшествовать макроскопической и давать такой же результат. Успех, которого удалось добиться в рамках модели локального поля означает, что дополнительные упорядочивающие факторы действующие в системах высокой плотности, можно учесть в рамках этой модели. Для жидкостей, как оказалось, ответ можно правильно угадать с помощью привлечения макроскопических моделей. Для кристаллов же вырезание локальной полости и расчет локального поля оказываются недостаточными.

Эвристические модели, подобные построенной, имеют смысл лишь при их сопоставлении с экспериментом. Если в (42) перейти к пределу малой плотности, то получится диэлектрическая проницаемость разреженного газа из неполярных молекул.

Действительно, при

 (43)

что следует непосредственно из формулы Онсагера (42).

Это и естественно, так как в этом пределе приобретенным молекулой дипольным моментом можно пренебречь (), что видно из (38), (39).

Так как в среде линейный размер можно оценить через ее плотность по формуле , то оба предельных случая можно записать так:

)  - разреженный газ малой плотности

 (44)

)  - плотный газ или жидкость (близкий к полной упаковке)

 (45)

В таком виде эти соотношения получаются, так как поляризуемость молекулы  - кубу ее линейного размера.

5. Модель системы со спонтанной поляризацией

Используем эвристическую модель локального поля для того, чтобы понять, как в плотной конденсированной среде может возникнуть спонтанная поляризация при отсутствии внешнего электрического поля.

Вернемся к модели газа из полярных молекул. Для этого газа при  поляризация

 (46)

Это предельное выражение для модуля вектора поляризации не содержит явно электрического поля . Это можно понять только так, что сколь угодно слабое поле приводит к полному упорядочению молекул системы. Фактор разупорядочения (столкновения молекул) при  отсутствует. Слова «сколь угодно слабое» можно рассматривать и как отсутствие в предельном случае  реального поля. Это явление в газе, состоящем из полярных молекул, условно будем считать спонтанной поляризацией. Термин «спонтанная поляризация» является условным, так как в нем предполагается сам факт наличия упорядочивающего поля . Если такое поле, в принципе есть, то можно получить формулу для поляризуемости типа (34). Понятие «спонтанной поляризации» естественно возникло как математический предел некоторого выражения, а не как образ физической реальности.

Возможно, однако, и другое понимание ситуации. Пусть упорядочение имеет место при конечной температуре (соответствующая модель будет построена ниже). Тогда можно назвать его «спонтанной поляризацией» в физическом, а не в математическом смысле этого слова. Представим себе, что удалось получить такой результат, проанализировать его, а после этого поставить вопрос: как могут подобные явления возникнуть при конечных температурах? Сразу подчеркнем, что поиск ответа на этот вопрос может идти лишь в плотных хорошо коррелированных системах.

Почему же поиск ответа на поставленный вопрос разумен и разумна сама гипотеза о спонтанной поляризации сред? Все это разумно потому, что из опыта известно, что в плотных хорошо коррелированных системах возникает дополнительный фактор упорядочения, связанный с междипольным взаимодействием. Начнем поиск механизма, связанного с междипольной корреляцией. Подчеркнем, что ответ на вопрос ищется здесь по аналогии на основании уже накопленных знаний.

Поставим следующую задачу.

Задача. Изучить явление спонтанной поляризации с учетом междипольных корреляций.

Какую эвристическую математическую модель необходимо привлечь для изучения этого явления?

Можно привлечь модель локального поля, но рассчитывать его как поле в вакуумной полости не стоит. И вот почему. Представим, что молекулы, обладающие дипольным моментом, имеют несферическую форму, причем (рассматривается плотная среда) их размеры сравнимы с расстоянием между частицами (Рис. 7).

Рис. 7

В результате теплового движения несферические молекулы конечного размера будут толкать друг друга. При таком расталкивании должны возникать анизотропные деформации среды. В вакуумной модели с молекулой внутри сферической полсти (пузыря) их не было и, в принципе, учет их не был нужен. Деформации же сами по себе являются фактором упорядочения, так как приводят к дополнительным анизотропным силам, действующим на несферические молекулы. Отсюда следует, что модель с вырезанием вакуумной полости внутри среды не учитывает важный фактор упорядочения, возникающий при расталкивании молекул. Действительно, из пункта 4 следует, что разность между локальным полем и полем в среде есть

 (47)

Дипольный момент молекулы и поляризация среды есть тогда

Подставляя поле  из (47) получим выражение для поляризации через разность локального поля и поля в среде

 (48)

За счет того, что упорядочение при деформации не учитывается, нельзя претендовать на конкретный коэффициент  в формуле (48). Однако, в модели локального поля можно ожидать качественного воспроизведения величины этой разности (расталкивание молекул и деформации также приводят к росту локального поля)

 (49)

где коэффициент  учитывает вместе и междипольные корреляции и деформации.

Итого оба этих фактора приводят к общей закономерности с одним коэффициентом. Почему? Деформация связана с дипольным моментом, а дипольный момент определяет величину корреляции в модели локального поля. Поэтому разнородные физические явления и параметризуются одним физическим полем. Направление по расчету локального поля весьма сильно развито, например, в физике твердого тела, где получены существенные результаты.

Итак, из вполне определенных физических соображений следует, что в плотной деформированной среде явление упорядочения дипольных молекул управляется взаимодействием с полем среды вида

 (50)

где .

Теперь возникает вопрос о знаке параметра . Он определен так, что знак его неясен. Обойти сложность по расчету  может та методическая идея, которая далее будет использована и полезна для решения задач электростатики вообще. Дело в том, что электрическая индукция  в ряде ситуаций может выступать как важная характеристика зарядов тела.

Из уравнения

 (51)

следует, что вектор  является функционалом свободных зарядов . Это несомненно было бы так, если бы вся электростатика сводилась бы только к этому уравнению.

Но кроме него есть и другие уравнения

 (52)

Однако, есть частный высокосимметричный случай, когда уравнения (51) достаточно. Это, в том числе и случаи плоской, сферической и цилиндрической симметрий.

Вся система в этих симметричных ситуациях может быть описана одним уравнением (51). Вспомним, что незаряженный шар, помещенный в плоскопараллельную среду с полем  (пункт 10.2) менял поле в этой среде.

В противоположность этому, рассмотрим случай, когда между обкладками плоского конденсатора помещена плоскопараллельная пластина (Рис. 8).

Рис. 8 - Плоскопараллельная металлическая пластина (заштрихованная область на рисунке) помещена между обкладками плоского конденсатора. На внутренних обкладках конденсатора возникает отличная от нуля поверхностная плотность зарядов . Ось «» выделенное направление в пространстве.  - направление и величина поля в среде

Если между плоскопараллельными пластинами конденсатора внести тело, не меняющее их симметрию, то качественно в рассматриваемой области пространства не изменится и поле, и уравнения его описывающие. Вдоль выделенного на рисунке 8 осью  направления поле вне конденсатора качественно не меняется, несмотря на появление на внутренних обкладках поверхностных плотностей зарядов величины . Меняется лишь электрическая индукция , поэтому можно выписать -компоненту электрической индукции в пластине

 (53)

Итого, величина  создается свободными (уравнение (51)) и связанными (уравнение (53)) зарядами. Из соображений симметрии очевидно, что поле вне помещенной в конденсатор пластины равно . Граничные условия на границе пластины даются формулой (6.222)

 (54)

Так как вне пластины свободных зарядов нет, а формулой (53) они уже учтены, то граничные условия на границе пластины перепишутся как

 (55)

Если поле  было первоначально включено, то при его выключении из (55) следуют равенства

 (56)

что характерно для электростатики пассивных систем. Однако есть и другой вариант решения задачи. Пусть исчезают свободные заряды, создающие электрическую индукцию (51). Тогда при

 (57)

Так что из (53) немедленно следует

 (58)

 (59)

Таким образом, при отсутствии свободных зарядов реализуется пространственная конфигурация, для которой возникает спонтанное поле . Появление этого поля в конденсаторе означает появление на его обкладках связанных зарядов. Происхождение зарядов на обкладках, в конечном счете не так уж и важно. Важно другое - чтобы заряды на поверхности тел создавали электрическое поле полностью скоррелированное с направлением возникшей поляризации.

Согласно модели, которая сейчас строится, энергетика поляризации системы будет определяться локальным полем

 (60)

В случае отключения внешнего поля остается спонтанная поляризация () и деформации тела. Итого, нами введена энергетическая характеристика, склонной к спонтанной поляризации и деформациям системы. Конкретизируем поставленную выше задачу. Пусть конденсированная система полярных молекул изучается в приближении самосогласованного поля.

Тогда далее модель строится аналогично модели идеального газа полярных молекул (пункт 3).

Предполагается, что

) все молекулы находятся в одночастичном состоянии;

) распределение одночастичных молекул по состояниям дается классической статистикой Больцмана;

) учет взаимодействий в системе осуществляется выражением для потенциальной энергии

 (61)

Весь этот перечень предположений учитывает три эффекта:

) взаимодействие с полем внешнего источника;

) электростатические дипольные корреляции;

) деформации.

В газе вместо (61) имела бы место более простая формула для энергии

 (62)

Но так как в выражение для энергии поставлено локальное поле , то в рамках строящейся простой модели учтены взаимодействия, существующие в конденсированной среде.

Далее можно распространить формулы (пункт 3) на эту модель, заменив в ней .

Согласно (50)

Согласно (55) в рассматриваемой симметричной системе . Поляризация такой системы дается формулой (31), где  замещено на

 (63)

 (64)

Попробуем выяснить, какие значения может принимать неизвестный пока параметр модели .

Из (48) следует, что

 (65)

.

Но в этой модели учитывались лишь только электростатические корреляции и не были учтены деформации среды. А для системы полярных молекул, имеющих форму, отличную от шаровой,  может быть большим. Причем знак  может не быть положительным, так как деформации среды могут изменить и знак.

Поинтересуемся возможностью спонтанной поляризации в рассматриваемой системе. Тогда  и

 (66)

Если модель допускает такое решение, она допускает и спонтанную поляризацию. Чтобы исследовать этот вопрос математически, введем новую переменную

 (67)

Домножим на левую и правую части выражения (66). Получим

 (68)

Введем обозначение

 (69)

и исследуем отдельно вопрос о знаке. Получим

Это выражение переписывается просто как

 (71)

Пусть , то есть уравнение имеет вид:

 (72)

Поведение этой функции при любых значениях аргумента  целиком определяется первым членом правой части. При больших значениях  это очевидно, при малых  проверяется разложением в ряд. Замечаем, что левая часть равенства (72) всегда положительна, а правая всегда отрицательна. Значит при  это уравнение решения не имеет.

Пусть , то есть уравнение имеет вид:

 (73)

Исследуем (73) подробнее. Заметим, что в асимптотических по  областях функция в правой части имеет вид:

 (74)

Тогда функциональное уравнение (73) можно переписать в виде:

 (75)

Вид (75) вместе с асимптотиками (74) допускает графическое решение (Рис. 9).

Как видно из рисунка прямая линия в левой части уравнения (75) и кривая в его правой части пересекаются лишь в единственной точке, которая существует при . Поэтому построенная модель допускает спонтанную поляризацию лишь для значений температуры, меньших критического значения

 (76)

То есть критическая температура  определяется значением числа , которое в свою очередь зависит от эффектов дипольной корреляции и поляризации, а так же числом молекул  в единице объема тела и дипольным моментом .

Рис. 9 - Графическое решение функционального уравнения (11.75)

атом молекула газ плотность

Видно, что нетривиальный корень это уравнение имеет лишь при .

Такая система, склонная к спонтанной поляризации при низкой температуре называется сегнетоэлектриком.

Фаза системы при  носит название парафазы, при  - сегнетофазы.

Выясним свойства модели при  - в окрестности точки фазового перехода из парафазы в сегнетофазу. Вблизи точки фазового перехода справедливо неравенство для температуры

 (80)

Разложим функцию  в ряд по  (). Результат имеет вид:

 (81)

Подставим результат (81) в (75). Получим

 (82)

Откуда и следует нетривиальное решение, изображенное на рисунке 9 - точка

 (83)

Подставляя в (83) , получим выражение для поляризации

 (84)

Поляризация  есть возникшая при фазовом переходе в сегнетофазу вблизи точки фазового перехода спонтанная поляризация. Этот же результат извлекается и из феноменологической теории Л.Д. Ландау.

Выясним в построенной модели физику сегнетоэлектрического перехода. В парафазе  рассчитаем поляризуемость (откуда следует и диэлектрическая восприимчивость) сегнетоэлектрика вблизи точки фазового перехода. Спонтанной поляризации в парафазе нет, но есть наведенное поле (индуцированная) поляризация. Разложим (64) в ряд по  и получим

 (85)

где поле и поляризация считаются слабыми.

Получили выражение для индуцированной поляризации в парафазе

 (86)

Итого получили выражение для поляризации в парафазе

 (87)

где  - коэффициент поляризуемости по отношению к внешнему полю . То поляризуемость вблизи точки фазового перехода при  () возрастает по закону Кюри-Вейсса

 (88)

Этот результат, очевидно, нельзя продолжать в саму точку фазового перехода . Для расчета  при  необходим учет следующих членов разложения.

Итак, мы рассмотрели явление сегнетоэлектричества в рамках демонстрационной модели. Полученные результаты ни в коем случае не надо воспринимать как теорию сегнетоэлектричества. Отметим только, что выражение для  можно получить и из соображений размерности. Реальные же функциональные зависимости в теории могут быть намного более сложными.

Отметим, что полагая  можно сделать модель универсальной. Пока же она носит эвристический и демонстративный характер. Заметим, что в точной теории должен быть существенным ее кристаллический аспект (нами не учитывается тензорный характер деформаций и как следствие - поляризуемости). Отметим так же существенное ограничение по температурам - в области слишком малых температур  модель, очевидно, отказывает, ввиду неприменимости при них классической статистики Больцмана.

Литература

1.      Тюрин Ю.И., Чернов И.П., Крючков Ю.Ю. Физика. Ч. 3. Оптика. Квантовая физика: учебное пособие для технических университетов. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 2014. - 738 с.

.        Савельев И.В. Курс общей физики: в 5 кн.: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Кн. 5: учебное пособие для втузов. - М.: АСТ: Астрель, 2006. - 368 с.: ил.

.        Суханов А.Д., Голубева О.Н. Лекции по квантовой физике: учебное пособие. - М.: Высш. шк., 2006. - 300 с.: ил.

.        Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: учебное пособие для втузов. - 4-е изд., испр. - М.: Высш. шк., 2012. - 718 с.

.        Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. - Изд. 9-е, перераб. и доп. - М.: Издательский центр «Академия», 2014. - 560 с.

.        Фейнман Ричард Ф., Лейтон Роберт Б., Сэндс Метью. Феймановские лекции по физике. Вып. 8, 9. Квантовая механика. Пер. с англ./ под ред. Я.А. Смородинского. Изд. 3-е, испр. - М.: Едиториал УРСС, 2014. - 528 с.

.        Сивухин Д.В. Общий курс физики: учебное пособие для вузов. В 5 т. Т V Атомная и ядерная физика. - 3-е изд., стер. - М., 2006. - 784 с.

.        Джанколли Д. Физика. - М.: Мир, 1989. - 342 с.

.        Физический практикум: в 3 ч.: учебное пособие для вузов Ч. 3: Оптика. Атомная и ядерная физика. / В. В. Ларионов, В. И. Веретельник, Ю. И. Тюрин, И. П. Чернов. - Томск, 2005. - 217 с.

.        Ботаки А.А., Ульянов В.Л., Ларионов В.В., Поздеева Э.В. Основы физики: учебное пособие. - Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - 103 с.