Характеристики и модели устройств обработки аналоговых сигналов

Характеристики и модели устройств обработки аналоговых сигналов

Реферат

Характеристики и модели устройств обработки аналоговых сигналов

Устройства обработки аналоговых сигналов занимает важное место в электронике. Это объясняется тем, что большинство первичных физических сигналов являются аналоговыми по своей природе, а большинство исполнительных устройств в объектах управления радиосистем управляются электрическим током. Сложные системы управления, основой которых являются цифровые вычислительные устройства, сопрягаются с объектами управления с помощью аналоговых, цифро-аналоговых и аналого-цифровых устройств.

Структура устройств обработки радиосигналов определяется алгоритмами обработки сигнала и, как правило, включает частотно-временную селекцию сигнала, его усиление и выполнение требуемых математических и (или) логических операций над ним или его компонентами. К примеру, при обнаружении сигнала на фоне аддитивного гауссова шума необходимо вычислять корреляционный интеграл: выполнить операцию умножения принимаемого сигнала y(t) на копию обнаруживаемого сигнала s(t), затем - операцию интегрирования и сравнивать результат с порогом z₀ (рис. 1).

Рис. 1. Корреляционный обнаружитель сигнала

Таким образом, в данном случае устройство обработки помимо усиления и частотной селекции сигнала должно выполнять над ним перечисленные линейные операции: умножение, интегрирование и логическую операцию сравнения результата интегрирования с порогом. Линейные операции над сигналами (суммирование, умножение, дифференцирование, интегрирование, их задержка на требуемое время и т.д.) относятся к наиболее распространенным. Помимо линейных операций в устройствах обработки над сигналом часто выполняются и нелинейные операции: ограничение, логарифмирование, выпрямление квантование и т.д. В связи с этим необходимо рассмотреть устройства, с помощью которых реализуются соответствующие операции над сигналом, их математические модели и характеристики.

Линейные устройства и их характеристики. Под линейными устройствами обработки сигналов понимают такие устройства, в которых над сигналом выполняются разного рода линейные операции и преобразования. Это, прежде всего различные линейные фильтры, усилители слабых сигналов, преобразователи частоты, устройства задержки сигналов, фазовращатели и т.д. Для линейных устройств с постоянными параметрами справедливы принципы суперпозиции и стационарности. Для описания таких устройств используется ряд различных характеристик и параметров.

Импульсная и переходная характеристики. Линейность и стационарность устройства позволяют легко найти его реакцию на любой входной сигнал, зная реакцию всего лишь на один сигнал - δ-функцию. Эта реакция, определяемая при нулевых начальных условиях, называется импульсной характеристикой устройства и обозначается g(t).

Любой сигнал x(t) можно представить в виде свертки самого себя с δ-функцией

                                          (1)

Линейное устройство преобразует относительно переменной t все функции, входящие в это выражение. Входной сигнал x (t) превращается в выходной y(t), а дельта-функция δ (t-τ) - в импульсную характеристику g (t-τ). Следовательно, выходной сигнал линейного устройства с постоянными параметрами можно определить как свертку выходного сигнала и импульсной характеристики устройства:

                                           (2)

Физически формирование сигнала на выходе линейного устройства можно пояснить следующим образом: бесконечно малый элемент сигнала длительностью dτ порождает на выходе отклик, представляющий собой импульсную характеристику g (t-τ), умноженную на x(τ) dτ. Для нахождения выходного сигнала в момент времени t необходимо просуммировать отклики указанных бесконечно малых элементов, что приводит к указанной выше формуле свертки. Соотношение (2) в теории сигналов называют также интегралом Дюамеля.

Переходной характеристикой называют реакцию устройства на входной сигнал в виде единичного скачка. Обозначают переходную характеристику h(t). Переходная характеристика (как и импульсная характеристика) определяется при нулевых начальных условиях.

Поскольку дельта-функция является производной от единичного скачка, импульсная и переходная характеристики связаны друг с другом операциями дифференцирования и интегрирования:

Для физически реализуемого устройства импульсная и переходная характеристики должны быть равны нулю при t < 0, поскольку реакция в физически реализуемом устройстве не может возникнуть раньше появления входного сигнала.

Комплексный коэффициент передачи. Выходной сигнал линейного устройства представляет собой свертку входного сигнала и импульсной характеристики. Преобразование Фурье от свертки дает произведение двух комплексных функций:

                                                  (3)

 - преобразование Фурье для импульсной характеристики устройства.

Функцию  называют комплексным коэффициентом передачи устройства, а ее модуль и фазу - соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками устройства. Комплексное число  показывает, как изменяется при прохождении через линейное устройство гармонический сигнал с частотой ω: АЧХ показывает, во сколько раз изменится амплитуда синусоиды с частотой ω, а ФЧХ  - какой она получит фазовый сдвиг.

Мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, и она зависит от его фазы. Поэтому коэффициент передачи по мощности равен квадрату модуля комплексного коэффициента передачи, то есть квадрату АЧХ:

                               (4)

Фазовая и групповая задержка. Сигнал на выходе линейного устройства обычно задерживается по времени относительно сигнала на ее входе. Различают два вида задержки: фазовую и групповую. Под фазовой задержкой подразумевают задержку гармонического на частоте ω, а под групповой - задержку огибающей узкополосного сигнала со средней частотой ω_o.

Величина фазовой задержки определяется частотой ω и фазовым сдвигом  (ФЧХ), гармонического сигнала на выходе линейного устройства:

                                               (5)

Групповая задержка равна производной ФЧХ устройства на частоте ω_o, взятой с обратным знаком:

                                      (6)

Математические модели линейных устройств

Математические модели линейных устройств строятся для решения различных задач, связанных с проектированием или исследованиями работы указанных устройств. Эти модели устанавливают связь между входным x(t) и выходным y (t сигналами линейного устройства и могут представляться в нескольких эквивалентных формах: дифференциальное уравнение, передаточная функция, пространство состояний. Выбор вида модели, вообще говоря, определяется существом задачи исследования или проектирования, для решения которой строится модель и предпочтениями исследователя.

Дифференциальное уравнение и передаточная функция. Связь между входным x(t) и выходным y(t) сигналами в линейном устройстве с сосредоточенными параметрами можно выразить в виде линейного дифференциального уравнения (ДУ)

               (7)

где x(t) - входной сигнал, y(t) - выходной сигнал, a_i и b_j; - постоянные коэффициенты. Таким образом, линейное устройство с сосредоточенными параметрами может быть представлено векторами (наборами) коэффициентов

и .

Для физически реализуемых устройств необходимо выполнение условия , поскольку максимальный порядок производной входного сигнала не должен превышать максимальный порядок производной входного сигнала. Число n называют порядком линейного устройства.

Если входной сигнал x(t)=0, то однородное дифференциальное уравнение

                               (8)

описывает собственные (свободные) колебания устройства, и с точностью до постоянного множителя определяет импульсную характеристику линейного устройства. Если задать конкретный вид входного сигнала x(t), то решение дифференциального уравнения (8) даст выходной сигнал линейного устройства.

Как под входным x(t), так и под выходным y(t) сигналами линейного устройства можно подразумевать различные физические процессы. Например, если в качестве линейного устройства рассматривать линейную электрическую цепь с сосредоточенными параметрами, то в качестве x(t) можно рассматривать либо ток, либо напряжение. Это же относится и к y(t). Следовательно, можно построить четыре варианта дифференциального уравнения (7) описывающего исследуемое устройство: x(t) - напряжение, y(t) - напряжение; x(t) - напряжение, y(t) - ток и т.д.

                                (9)

Функцию H(s) называют также передаточной функцией и функцией передачи.

Если в формуле (9) переменную s заменить на j,получим выражение для комплексного коэффициента передачи:

а из комплексного коэффициента передачи с помощью обратного преобразования Фурье можно получить импульсную характеристику линейной системы

.

Импульсную реакцию можно найти и непосредственно из передаточной функции (9), применив к ней обратное преобразование Лапласа.

В качестве математической модели линейной системы можно рассматривать и интеграл Дюамеля (2).

Пример 1. Проиллюстрируем рассмотренные способы построения математических моделей линейных динамических устройств на примере электрической цепи, показанной на рис. 1. На вход цепи подается напряжение x(t). Предположим, что ток через индуктивность при включении источника напряжения i(0)=i_L(0)=0, а напряжение на конденсаторе y(0)=V_C(0) = 0 В. В качестве реакции устройства будем рассматривать напряжение на конденсаторе в произвольные моменты времени. Для верификации моделей будем использовать переходную характеристику h(t), т.е. ее реакцию на единичный скачок напряжения x(t)=u₀(t). Построим математические модели рассматриваемого линейного устройства рассмотренными выше способами.

Построим математическую модель в форме операторного коэффициента передачи (9). Для этого воспользуемся операторным методом анализа, заменим в цепи (рис. П1) реактивные компоненты их операторными импедансами:  и представим цепь в форме комплексных сопротивлений (рис. П2).

Операторный коэффициент передачи этой цепи

радиосигнал алгоритм операторный цепь

      (П1)

Из описания устройства в форме (П1.1) нетрудно получить его описание в форме дифференциального уравнения. Это удобно сделать, воспользовавшись правилами операционного исчисления. Из выражения (П1.1) имеем

откуда следует что

                 (П2)

По правилам операционного исчисления умножение изображения на s^k соответствует k - кратному дифференцированию оригинала, то из (П1.2) получаем следующее дифференциальное уравнение:

                 (П3)

Из выражений (П1), (П3) найдем векторы = [RC, 1] и = [LC, RC, 1].

1. В устройствах обработки сигналов над сигналом, как правило, выполняется ряд линейных и нелинейных операций: усиление и частотно-временная селекция. В связи с этим необходимо рассмотреть математические модели, характеристики и принципы построения узлов, с помощью которых реализуются соответствующие операции над сигналами.

2. Линейные инерционные устройства преобразования сигналов можно описывать несколькими способами: импульсной реакцией, переходной характеристикой, передаточной функцией, комплексным коэффициентом передачи, дифференциальным уравнением. Выбор способа описания зависит от вида решаемой задачи проектирования, потому необходимо уметь переходить от одного способа описания к другому.

Список литературы

1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов. 2-е изд. - СПб.: Питер, 2006. - 751 с.: ил.

2. Акимов П.С. и др. Сигналы и их обработка в информационных системах. Учеб. Пособие для вузов/ П.С. Акимов, А.И. Сенин, В.И. Соленов. - М.: Радио и связь, 1994. - 256 с.: ил.

Введение в математическое моделирование.: учеб. пособие для студ. вузов / В.Н. Ашихмин [и др.]. - М.: Логос, 2005. - 439 с.: ил.

. Моделирование динамических систем: аспекты мониторига и обработки сигналов / Нац. АН Украины; под ред. В.В. Васильева. - Киев: Изд-во НАН Украины, 2002. - 343 с.