|
|
A
|
B
|
C
|
D
|
|
A
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
B
|
-
|
1
|
-1
|
0,1682
|
|
C
|
-
|
-1
|
1
|
-0,1682
|
|
D
|
-
|
0,1682
|
-0,1682
|
1
|
Рисунок 1. Графический пример корреляции двух
некоторых активов X и Y.
При использовании подхода Марковица
предполагается ненасыщаемость (nonsatiation),
т.е. предпочтение более высокой доходности более низкой, и избегание риска (risk-averse).
1.5
Кривые безразличия
Кривые безразличия (indifference
curves) - линии,
отражающие отношение инвестора к риску и доходности.
Рисунок 2. Кривые безразличия инвесторов с
различной степенью избегания риска.
Выпуклость вниз показывает несклонность к риску:
за каждую единицу возрастания риска инвестор требует опережающего роста
доходности (премии за риск). Предпочтения инвестора описывает функция
полезности М. Рубинштейна:
,
где 
-
параметр предпочтения между риском и доходностью.
«Ранее было отмечено: подход Морковица предполагает,
что инвестор избегает риска. Хотя это предположение является вполне резонным,
оно не является необходимым. Вместо этого можно предположить, что инвестор
азартен или нейтрален к риску».
Рисунок 3. График кривых безразличия азартного
инвестора.
Рисунок 4. График кривых безразличия
нейтрального к риску инвестора.
2.
Проблема выбора портфеля
Из набора N
ценных бумаг можно сформировать бесконечное число портфелей. Даже при маленьком
N, например, N=2
число портфелей составленных из разных долей двух активов равно бесконечности.
Оценку всех этих портфелей не нужно делать. Причиной этому теорема об
эффективном множестве Марковица.
2.1 «Теорема об эффективном множестве (efficient
set theorem)
Инвестор выберет свой оптимальный из множества
портфелей, каждый из которых:
1. Обеспечивает максимальную ожидаемую
доходность для некоторого уровня риска.
2. Обеспечивает минимальный риск для
некоторого значения ожидаемой доходности.
Набор портфелей, удовлетворяющих этим условиям,
называется эффективным множеством (efficient
set), или эффективной
границей.
Достижимое множество - это все портфели, которые
могут быть сформированы из N
ценных бумаг». Применив теорему об эффективном множестве к достижимому
множеству, мы получаем эффективное множество или множество эффективных
портфелей. Графически достижимое множество похоже на зонт.
Рисунок 5. Достижимое множество
Точка E
- портфель с минимальным риском. Точка G
- портфель с минимальной доходностью. S
- максимальная доходность, H
- максимальный риск.
Условиям эффективности удовлетворяют портфели,
лежащие на верхней левой границе допустимого множества, т.е. грань между
точками E и S.
Соответственно, эти портфели составляют множество эффективных портфелей (efficient
portfolios)
и каждый инвестор будет выбирать оптимальный для себя портфель.
2.2 Графическое решение задачи выбора
индивидуального оптимального портфеля
Инвестор должен нарисовать свои кривые безразличия
вместе с графиком допустимого или эффективного множества. Точка пересечения его
кривых безразличия с эффективным множеством и будет оптимальным индивидуальным
портфелем.
Рисунок 6. Выбор инвестора с высокой степенью
избегания риска.
Рисунок 7. Выбор инвестора с низкой степенью
избегания риска.
2.3
Математическая модель оптимального портфеля Гарри Марковица
В 1952 году Гарри Марковиц в своей статье
«Выбора портфеля» (Portfolio Selection) описал с помощью статистики,
линейного и нелинейного программирования методы уменьшения риска и увеличения
доходности портфеля. Допущения в теории Марковица
1. «Рынок состоит из конечно числа дробных
ликвидных рисковых активов.
2. Исторические данные о доходностях
активов, необходимые для анализа, открыты для всех инвесторов
. Отсутствуют трансакционные издержки и
налоги.
. Инвестор может сформировать любой
портфель из допустимого множества портфелей.
. Условие «ненасыщаемости» и «избегание
риска»
. Существует безрисковая процентная
ставка, по которой инвестор может дать и взять взаймы».
,
,
где 
-
доля капитала, вложенного в 
-ю ценную бумагу,
- математическое
ожидание доходности -ой ценной бумаги,
- ковариация между
доходностями ценных бумаг и 
.
Марковиц поставил и решил задачу минимизации
риска портфеля при обеспечении заданного уровня его доходности. При этом важным
предварительным результатом Марковица было доказательство выпуклости
эффективного фронта, что обеспечивает единственность решения оптимизационной
задачи.
Математическая формулировка задачи Марковица:
найти вектор распределения капитала по n
ценным бумагам 
, который
минимизирует риск при выполнении ограничений:
Эта задача при наличии только ограничений-равенств
относится к классу классических задач квадратичной оптимизации - одному из
наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых к настоящему
времени разработано большое число достаточно эффективных алгоритмов. В
частности, может быть применен классический метод неопределенных множителей
Лагранжа, который гарантированно приводит к нахождению глобального минимума
ввиду выпуклости риска. При этом позволяются отрицательные значения 
,
что на практике означает короткие продажи. «Short
Sale - продажа «без
покрытия», или «короткая продажа». Продажа ценной бумаги взятой в долг у
брокера. Впоследствии инвестор возвращает долг брокеру, покупая такую же ценную
бумагу на торгах». Такое предположение не всегда допустимо.
Однако наложение дополнительных
ограничений-неравенств, например:
существенно усложняет нахождение решения и,
кроме того, не позволяет строить эффективную границу ввиду большого объема
расчетов. Предложенное Марковицем решение основано на введенном им понятии
угловых портфелей.
Для описания эффективной границы используется
вспомогательная прямая линия. Изменяя наклон этой касательной от минимального
до максимального значения, можно получить описание всей эффективной границы как
совокупность точек касания. На плоскости 
строится
множество прямых линий, описываемых следующим уравнением при различных а:
,
где 
-
некоторое число.
Выразив из последнего выражения 
,
получим: 
Величина 
есть
тангенс угла наклона прямых линий к оси 
,
и кривую безразличия инвестора, выбравшего на эффективной границе точку,
касательную с данной прямой, в качестве оптимального портфеля.
При увеличении а, прямая приближается к
эффективной границе и при минимальном значении касается его. Разложив в и
доли
и доходности, подставив их в a,
и решив задачу
получаем вектор решений как функций от 
:
.
При вариации от 0 до 
вектора
решений описывают все точки касания к эффективной границы.
Из поставленной задачи, точка 
определяет
эффективный портфель с минимальным риском, а 
-
портфель с максимально возможной доходностью и риском.
Марковиц доказал, что функции 
являются
непрерывными кусочно-линейными, т.е. при изменении от
0 до их
производные по могут терпеть
разрыв. Значения , в которых это
происходит хотя бы для одной из , были названы
угловыми (corner),
а соответствующие им портфели - угловыми портфелями (corner
portfolio).
Марковиц установил замечательное свойство угловых портфелей: участок
эффективной границы между смежными угловыми портфелями описывается линейной
комбинацией этих портфелей. Иначе, если 
и
-
смежные угловые точки, то для любого |
<
<
векторы,
вычисляемые как
определяют участок эффективной границы. Без
ограничений-неравенств функции 
- линейные, точка 
является
угловой по определению. Метод нахождения угловых портфелей, названный
Марковицем методом критических линий (critical-line
method),
с последующим поиском оптимального портфеля и эффективной границы очень
востребован сегодня
Рисунок 8. Касательные к эффективной границе
2.4 Портфель Шарпа
Роль теории Марковица увеличилась в конце 50-х
годов после выхода работы Тобина по этой же теме («Предпочтения ликвидности как
поведение по отношению к риску», 1958 г.). Главной темой исследований Тобина
является анализ факторов, толкающих инвестора формировать портфели активов
вместо концентрации их в одной форме. Тобин включил в анализ безрисковые активы
и главной задачей и в теории, и на практике считал оптимальное распределение
средств между безрисковыми и рисковыми вложениями.
Пусть инвестор распределил капитал между
безрисковыми и рисковыми активами в пропорциях: 
-
в безрисковые, 
- в рисковые
активы, тогда ожидаемая доходность портфеля определяется:
где 
-
доходность безрисковой, а 
- ожидаемая
доходность рисковой части портфеля.
Риск портфеля вычисляется:
, (2.10)
где 
-
дисперсия доходности рисковой части портфеля.
Исключив получим
линейную зависимость доходности портфеля сверх определенного значения и риска
портфеля. 
Представим это графически. Если инвестору даны
только один рисковый и один безрисковый актив, то все варианты распределения
инвестиций отображаются отрезком прямой линии. Точка 
-
концентрация всех средств в безрисковом активе при 
,
точка 
-
вложение только в рисковый актив при 
.
Промежуточные варианты лежат во внутренних точкам отрезка, а заимствование
средств (по безрисковой ставке) с их вложением в рисковый актив соответствует
продолжению прямой вправо при 
.
Рисунок 9. Зависимость риск-доходность одного
безрискового и одного рискового актива
Вид прямой останется прежним, если допустить,
что рисковым активом является какой-то портфель рисковых ценных бумаг. На
рисунке представлена эффективная граница совокупности рисковых ценных бумаг, из
точек которого инвестор выбирает индивидуальный оптимальный портфель в
соответствии со своей толерантностью к риску и без учета возможности
безрискового инвестирования.
Разберем точки А и С на этом эффективной границе
по Марковицу, но с учетом возможности безрискового вложения. Пусть оптимальному
портфелю инвестора, состоящему только из рисковых активов, соответствовала
точка А. Перераспределение средств в пользу безрискового актива, но с
сохранением структуры рисковой части вызовет, как и ранее, перемещение
местоположения портфеля влево по отрезку АR.
Но сама точка А и отрезок АR
не представляют более эффективные портфели, т.к. можно составить портфель с
таким же риском, но более доходный, используя комбинацию безрискового актива и
рисковой части, имеющей структуру портфеля С (на рисунке портфель A'
предпочтительнее А, поскольку 
при одинаковом 
).
Рисунок 10. Изменение эффективной границы при
добавлении безрискового актива
Это относится ко всем портфелям, представленным
на эффективном фронте по Марковицу ниже и левее точки С, и таким образом, эта
часть эффективной границы заменяется отрезком RC.
При возможности заимствования инвестор по тем же причинам предпочтет
продолжение отрезка RC
вправо от точки С. В результате эффективная граница будет выглядеть прямой,
включающей единственную точку С из эффективного фронта Марковица.
Точка С показывает касательный портфель (tangent
portfolio) и имеет важное значение в построениях Тобина. Эта точка - точка
касания эффективной границы Марковица с прямой, проведенной из точки
безрисковой доходности R.
Эта касательная имеет самый большой угол наклона к оси абсцисс среди всех
прямых, проведенных из точки R
к эффективной границе Марковица. Т.е. эти инвесторы, более осторожные, чем
инвесторы выбравшие точку С в качестве оптимальной по Марковицу. Они сформируют
свой оптимальный портфель из безрискового актива и рисковой части, причем
структура рисковой составляющей будет аналогична структуре касательного
портфеля. Это и есть отличие от вывода Марковица, т.к. инвесторы с разной
склонностью к риску формируют рисковую часть портфеля равномерно по структуре.
Инвестор при создании оптимального портфеля действует в два этапа:
1. Находит структуру касательного портфеля.
2. Распределяет инвестиции между
касательным портфелем и безрисковым активом согласно индивидуальной склонности
к риску.
Обособленное решение задач оптимизации рисковой
части портфеля и портфеля в целом называется теоремой о разделении (separation
theorem).
2.5 Модель CAРM
и ее обобщение
В 1964 году, ученик Марковица, У. Шарп
предложил, упрощенный и более практичный вариант математического аппарата,
называющуюся однофакторную модель (single-index
model).
В однофакторной модели Шарп облегчил метод выбора оптимального портфеля,
который сводил задачу квадратичной оптимизации к линейной. В простейших
случаях, для небольших размерностей, эта задача могла быть решена практически
"вручную". Такое упрощение сделало методы портфельной оптимизации
применимыми на практике. К 70-м гг. развитие программирования, а также
совершенствование статистической техники оценивания показателей
"альфа" и "бета" отдельных ценных бумаг и индекса
доходности рынка в целом привело к появлению первых пакетов программ для
решения задач управления портфелем ценных бумаг.
Шарп желал упростить получение исходных данных
(прежде всего, ковариаций между доходностями ценных бумаг), необходимых для
решения задачи оптимизации портфеля по Марковицу. Для этого была использована
однофакторная модель зависимости доходности долгосрочной рисковой ценной бумаги
от фактора - средневзвешенной по капитализации рыночных активов доходности
рынка:
,
где 
-
число всех активов на рынке,
- соответственно
доля в общей капитализации рынка и доходность -ой
ценной бумаги.
Однофакторная модель доходности i -ой ценной бумаги строится как
линейная регрессионная зависимость, получаемая по методу наименьших квадратов:
,
где 
-
коэффициент смещения регрессионной модели, отражающий активную доходность -
дополнительную доходность данной ценной бумаги относительно 
-
и степень интереса инвесторов к ней,
- коэффициент
чувствительности вариации доходности актива относительно вариации доходности
среднерыночного портфеля,
- погрешность
регрессионной модели, отражающая влияние всех других факторов.
Регрессия строится в предположении о зависимости
доходностей всех ценных бумаг только от одного фактора - 
и,
следовательно, взаимной некоррелированности ошибок ,
а из алгоритма метода наименьших квадратов следует, что
,
где 
-
СКО соответственно доходностей -ой ценной бумаги и
среднерыночного портфеля,
- коэффициент
корреляции между доходностью -ой ценной бумаги и
доходностью среднерыночного портфеля.
Если известны коэффициенты 
для
всех рисковых фондовых активов (а к выводу о необходимости их оценки ввиду
наглядности практика фондового рынка пришла довольно быстро), то ковариации
доходностей ценных бумаг и их дисперсии рассчитываются через 
:
,
Эти правила легко обобщаются на случай портфеля,
состоящего из 
рисковых ценных
бумаг, представленных в нем долями :
,
где 
,
Риск портфеля определяется:
,
где 
.
Первое слагаемое в 
описывает
рыночный (систематический, недиверсифицируемый) риск, а второе - собственный
риск портфеля, который может быть уменьшен за счет диверсификации как показано
на рисунке
Рисунок 11. Изменение риска портфеля при
диверсификации.
С 1964 г. появляются работы Шарпа, Линтнера,
Моссина в теории ценообразования рискованных активов в условиях рыночного
равновесия (Capital
Asset
Pricing
Model). Эта теория исходит из предпосылок
Марковица (см. выше), дополненных следующими:
. Для всех инвесторов период вложения
одинаков.
. Безрисковая процентная ставка
одинакова для всех инвесторов.
. Информация свободно и незамедлительно
доступна для всех инвесторов.
. Инвесторы имеют однородные ожидания (homogeneous
expectations),
т.е. они одинаково оценивают ожидаемые доходности, среднеквадратические
отклонения и ковариации доходностей ценных бумаг.
ЦМРК описывает совершенный рынок (perfect
market).
Важное следствие теоремы о разделении часто включают в эти предпосылки: в
состоянии равновесия каждый вид ценных бумаг имеет ненулевую долю в касательном
портфеле, а структура касательного портфеля повторяет структуру рыночного
портфеля в соответствии с долями активов. Т.е. если касательный портфель одного
инвестора не включает какую-то бумагу, то это значит, что ее стараются продать
все (т.к. инвесторы покупают одинаковые по структуре рисковые составляющие
своих портфелей). В этом случае рыночный курс этой бумаги под давлением
избыточного предложения будет падать, а ожидаемая доходность расти до
равновесной, а доля в касательном портфеле - отличной от нуля. Противоположные
события будут происходить при попытке инвесторов (всех одновременно) увеличить
долю какой-то бумаги в рисковой части вложений.
Из последнего утверждения и используя можно
записать выражение для ожидаемой доходности финансовых средств любого инвестора
в состоянии равновесия рынка:
,
где, как и ранее, 
-
доходность и риск рыночного (касательного) портфеля, 
-
доходность безрисковых активов.
Формула описывает эффективную границу Тобина и
называется уравнением рынка капитала (Capital
Market
Line
- CML).
Величина
равна тангенсу угла наклона CML
к оси ординат и отражает увеличение доходности при увеличении риска на единицу,
т.е. предельную доходность риска вложений рынка при наличии рисковых и
безрисковых активов.
Т.к. CML
касается эффективной границы Марковица в точке 
,
то можно выразить тангенс наклона касательной через выражение, описывающее
границу Марковица. Это выражение получено имеет вид:
,
где 
относятся
к любой из ценных бумаг портфеля, 
-
коэффициент корреляции доходности этой ценной бумаги и портфеля в целом.
Приравнивая правые части двух последних
выражений, можно получить выражение для ожидаемой доходности любой ценной
бумаги в оптимальном портфеле:
которое называется уравнением линии рынка ценных
бумаг (Security
Market
Line
- SML)
и с учетом 
может быть
переписано с использованием коэффициента 
:
называется премией
за недиверсифицированный риск держания рыночного портфеля, соответственно
разность 
-
премия за риск держания отдельного рискового актива, а бета отражает вклад
каждой ценной бумаги в риск рыночного портфеля.
Формулы CML
и SML показывают, что
эти линии на плоскости 
совпадают только
при 
.
При 
линия
SML проходит выше, а
при 
-
ниже линии CML. Активы с
большим риском должны обеспечивать пропорционально большую доходность. Если
портфель эффективен, то связь между ожидаемой доходностью каждой акции и ее
предельным вкладом в портфельный риск должна быть прямолинейной. И обратно:
если прямолинейной связи нет, то портфель не
является эффективным.
Рисунок 12. Рыночная линия (CML)
и рыночная линия ценных бумаг (SML)
Уравнение SML,
определяет факт недооценки или переоценки актива по ее доходности в сравнение
ее действительного курса и курса в соответствии с равновесной ценой риска 
.
Если ожидаемая в конце будущего периода цена акции равна 
.
То приравнивая выражения доходности по уравнению SML,
получим:
Заключение
Из проделанной работы можно вывести итог:
Я высветил основные способы управления
портфелем. Рассмотрел труды Г. Марковица, Дж. Тобина и У. Шарпа. Изучил их
методы решения задачи выбора портфеля. Данная работа является собственным
исследованием, не привнося, конечно, ничего нового в науку. Надеюсь, в будущем
я смогу развить свои умения и привнести пользу в теорию инвестиционного
портфеля
Список использованной литературы
1. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж.
ИНВЕСТИЦИИ:Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 2004. - XII,
1028 с.
. Боди Зви, Мертон Роберт. Финансы.:
Пер. с англ: Уч. пос. - М.:Издательский дом «Вильямс», 2012. -592 с.: ил. -
Парал. тит. англ.
. Ю., Гапенски Л. Финансовый
менеджмент: Полный курс: В 2-х т. / Пер. с англ. под ред. В.В. Ковалева. СПб.:
Экономическая школа, 1997. Т.1. ХХХ+497 с.
. Первозванский А.А., Первозванская
Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. - М.:Инфра-М, 2014 г. - 192 с.
. Инвестиции: учеб. /А.Ю. Андрианов,
С.В. Валдайцев, П.В. Воробьев [и др.]; отв. ред. В.В. Ковалев, В.В. Иванов,
В.А. Лялин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2009.
- 584 с.
6. Rubinstein M.E.
A comparative statics analysis of risk premiums // Journal of Business, 1973.
Vol. 46. P. 605-615.
. Markowitz H. M. Portfolio
selection//Journ. Finance. 1952. March.