Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла
Применение квадратурной
формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла
Введение
Данная задача заключается в решении определенного
интеграла по квадратурной формуле Чебышева. Как известно, вычисление
определенного интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции,
ограниченной кривыми x = 0, y = a, y = b и y = f(x).
При вычислении определенного интеграла можно
воспользоваться известной всем, формуле Ньютона – Лейбница, при условии f(x)
непрерывна на отрезке [a, b], а также определена ее первообразная F(x). Но во
многих случаях первообразная получается очень сложной для вычисления, да и
функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает
приближенное и в первую очередь численное интегрирование, задача которого
заключается в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или
вычисленным значениям подынтегральной функции f(x) в некоторых точках (узлах)
отрезка [a, b].
Механическая квадратура — численное значение
однократного интеграла, и формулы численного интегрирования соответственно
называют квадратурными.
Меняя подынтегральную функцию каким-либо
интерполяционным многочленом, получаем квадратурные формулы, где x k —
выбранные узлы интерполяции; A k — коэффициенты, зависящие только от выбора
узлов, но не от вида функции (k = 0, 1, 2,........,n); R — остаточный член, или
погрешность квадратурной формулы, отбросив который получим погрешность
усечения. Далее, при расчете к погрешности усечения добавляются другие
погрешности округления.
Разбив отрезок интегрирования [a, b] на n равных
частей получим следующее: x i = x o + i .. h; (i = 0, 1, 2,......,n) x o = a; x
n = b; h= (b-a)/n. Вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах: y i =
f(x i); (i = 0, 1, 2,......,n).
Для выведения формул численного интегрирования
воспользуемся интерполяционным полиномом Лагранжа.
Пусть для функции y = f(x) известны в n + 1 точках X0,
X1, X2, Xn промежутка [a,b] соответствующие определения f(xi)=yi (i=0,1,2..n).
По заданным значениям Yi строим полином Лагранжа, заменяя f(x) полиномом Ln(x),
где Rn(f) — ошибка квадратурной формулы. Воспользовавшись выражением для Ln(x),
получим приближенную квадратурную формулу.
Однако заметим, следующее: коэффициенты Ai при данном
расположении узлов не зависит от выбора функции f(x); для полинома степени n
последняя формула точная.
Считая, что y = xK (k = 0, 1, 2..,n), получим линейную
систему из n + 1 уравнений, где (k = 0, 1,..,n), из которой можно определить
коэффициенты А0, А1,..,АN. Определитель системы есть определитель Вандермонда/
Но также необходимо заметить, что при применении
данного метода фактически построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним.
Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С. М.
Никольским.
Применяя метод трапеций и средних прямоугольников,
интеграл будет численно равняться сумме площадей прямоугольных трапеций, где
основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумме площадей
прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина
(точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания
прямоугольника, график функции должен пересекать в середине.
Определим общую формулу Симпсона (параболическая
формула) по следующим условиям: пусть n = 2m есть четное число и yi = f(xi) (i
= 0, 1, 2...n) - значения функции y = f(x) для равноотстоящих точек а = x0, x1,
... ,xn=b с шагом h. Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку
[x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения s 1 =y 1 +y 2 +
... +y 2m-1 s 2 =y 2 +y 4 + ... +y 2m получим обобщенную формулу Симпсона и
остаточный член формулы Симпсона в общем виде, где x k I (x 2к-2 ,x 2к).
Рассмотрим квадратурную формулу Чебышева: пусть дана
функция f(x) в виде многочлена f(x)=a o +a 1 x+...+a n x n. Проинтегрировав,
преобразовав и подставив значения многочлена в узлах:
f(x 1)=a 0 +a 1 x 1
+a 2 x 12 +a 3 x 13 +...+a n x 1n
f(x 2)=a 0 +a 1 x 2
+a 2 x 22 +a 3 x 23 +...+a n x 2n
f(x 3)=a 0 +a 1 x 3
+a 2 x 32 +a 3 x 33 +...+a n x 3n
f(x n)=a 0 +a 1 x n
+a 2 x n2 +a 3 x n3 +...+a n x nn
получим формулу Чебышева.
Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены ниже в
таблице:
|
n
Похожие работы на - Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла
|