Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора
Прежде чем приступить к
рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой
сходимости.
Пусть задана
последовательность случайных величин (далее с. в.) , задано некоторое
распределение с функцией распределения и — произвольная
с. в., имеющая распределение .
Определение.
Говорят,
что последовательность с. в. при сходится
слабо или по распределению
к с. в. и
пишут: , или ,
или ,
если для любого такого,
что функция распределения непрерывна в точке , имеет место сходимость при .
Иначе говоря, слабая
сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во
всех точках непрерывности предельной функции распределения.
Свойство 1.
Если , и
функция распределения непрерывна в точках и , то
и т.д. (продолжить ряд).
Наоборот, если во всех
точках и непрерывности
функции распределения имеет место, например, сходимость , то .
Следующее важное свойство уточняет отношения
между сходимостями.
Свойство 2.
1. Если , то .
2. Если , то .
Свойство 3.
1. Если и ,
то .
2. Если и ,
то .
Несколько содержательных
примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но основной источник слабо
сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для
асимптотического анализа распределений
сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин
предоставляет нам центральная предельная теорема.
Я буду называть следующее
утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901), но сформулирую и докажу
теорему Ляпунова только в
частном случае, т.е. для последовательности независимых и одинаково
распределенных случайных величин.
Центральная предельная
теорема.
Пусть —
независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и
ненулевой дисперсией: . Обозначим через сумму первых случайных величин: .
Доказательство.
Пусть —
последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с
конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через математическое ожидание и через —
дисперсию . Требуется доказать, что
Введем стандартизированные случайные величины — независимые с.в. с
нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть есть их сумма . Требуется доказать, что
Характеристическая функция величины равна
Характеристическую функцию с.в. можно разложить в ряд
Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты , . Получим
Подставим это разложение, взятое в точке , в
равенство и устремим к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:
В пределе получили характеристическую функцию
стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно
сделать вывод о слабой сходимости :
распределений стандартизованных сумм к
стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ.
Пользуясь определением и
свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения любого
нормального закона непрерывна всюду на , утверждение ЦПТ можно
сформулировать любым из следующих способов:
Следствие.
Пусть —
независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и
ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и
равносильны утверждению ЦПТ.
·
Для любых вещественных при имеет место сходимость
·
Для любых вещественных при имеет место сходимость
·
Для любых вещественных при имеет место сходимость
·
Если — произвольная с. в. со стандартным нормальным
распределением, то
Следствием из ЦПТ является предельная теорема
Муавра-Лапласа.
Предельная теорема Муавра
— Лапласа.
Пусть —
событие, которое может произойти в любом из независимых испытаний с одной и той же
вероятностью . Пусть — число
осуществлений события в испытаниях.
Тогда .
Иначе
говоря, для любых вещественных при имеет место сходимость
Доказательство.
По-прежнему есть сумма
независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение
Бернулли с параметром, равным вероятности успеха :
Осталось воспользоваться ЦПТ.
Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ.
Пример 1.
З а д а ч а. Монета
подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба
отличается от вероятности более чем на одну сотую.
Р е ш е н и е. Требуется
найти ,
где , — число выпадений герба, а —
независимые с. в., имеющие одно и то же распределение Бернулли с
параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на и
поделим на корень из дисперсии одного
слагаемого.
Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра
— Лапласа, последовательность
слабо сходится к стандартному нормальному
распределению. Рассмотрим произвольную с. в. , имеющую распределение .
Пример 2.
Прекрасным примером ЦПТ в
экономике может служить ее использование в страховом деле. В большинстве
случаев конкретный вид распределения потерь (размеров отдельных требований о
выплате страховых сумм) не играет существенной роли, поскольку сумма исков,
предъявляемых страховщику (величина суммарного иска), обычно зависит только от
средней величины и дисперсии убытка. Дело в том, что если количество страховых
случаев значительно превышает единицу, то в силу центральной предельной теоремы
распределение суммарного иска является нормальным распределением. Обозначив его
дисперсию как DZ, а математическое ожидание (среднее
значение суммарного иска) как <Z> =
<N><Q>
- где <N>, <Q> -
среднее значение числа страховых случаев и величины страховой выплаты, получаем
следующее выражение для рисковой надбавки Тr:
Тr = [(Т0*a)/(<N>*<Q>)]*(<N>*DQ + <Q>2*DN) 0.5
-
где DQ и DN -дисперсии величины
страховой выплаты и количества страховых случаев.
В
простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их дисперсия
равна нулю), имеем:
Тr = (Т0*a)/N0.5
Эта
формула также дает неплохое приближение, если коэффициент вариации уровня
страховых выплат значительно меньше единицы.
При
включении в страховой полис нескольких независимых рисков ожидаемая величина
страховых выплат в соответствии с теоремой о сложении вероятностей представляет
собой сумму ожидаемых страховых выплат по каждому риску в отдельности, а
рисковая надбавка вычисляется как среднеквадратичная величина всех рисковых
надбавок.