Методы решения уравнений в странах древнего мира
Методы решения уравнений в странах древнего мира.
История алгебры уходит своими корнями в древние
времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и
Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и
народов.
В Древнем Египте и Вавилоне
использовался метод ложного положения («фальфивое правило»)
Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду ах
+ Ь == с, в котором а, Ь, с — целые числа. По правилам
арифметических действий ах = с — b,
Если Ь
> с, то с — b число отрицательное. Отрицательные числа были
египтянам и многим другим более поздним народам неизвестны (равноправно с
положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом
веке).
Для решения задач, которые мы
теперь решаем уравнениями первой степени, был изобретен метод ложного
положения.
В папирусе Ахмеса 15 задач
решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал
автор.
Египтяне имели особый знак для
обозначения неизвестного числа, который до недавнего прошлого читали «хау» и
переводили словом «куча» («куча» или «неизвестное количество» единиц). Теперь
читают немного менее неточно: «ага».
bqt задача № 24 сборника Ахмеса:
«Куча. Ее седьмая часть
('подразумевается: «дают в сумме») 19. Найти кучу».
Запись задачи нашими знаками:
Решение Ахмеса может быть
представлено в наших символах в следующих четырех столбцах:
Во
многих задачах в начале или в конце встречаются слова: «Делай как делается»,
другими словами: «Делай, как люди делают».
Смысл решения Ахмеса легко
понять.
Делается предположение, что.
куча есть 7; тогда ее часть есть 1. Это записано
в первом столбце.
Во
втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение
предположения дает 16. Автор, в уме очевидно, прикидывает, что дальше
удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19. Он
записывает 16, ставит перед числом две точки для обозначения удвоения
первоначального предположения и отмечает значком (у нас — звездочкой)
результат; для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить
-на 2 с некоторым добавлением, так как для получения точного результата, 19,
не хватает еще 19—16=3. Ахмес находит от
8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на предположение
умножить нельзя. Но от 8 есть 2, от восьми 1. Ахмес видит, что и первоначального
результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Отметив и значками,
Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на
Умножение числа 7 на смешанное число Ахмес
заменяет умножением смешанного числа на 7. В третьем
столбце выписаны: часть искомой кучи есть , удвоенное это число: и учетверенное: .
Сумма этих трех чисел, равная числу , есть произведение
первоначального предположения 7 на .
Итак,
куча равна .
В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая
полученное значение для кучи и его части . В сумме получается 19, и решение заканчивается
обычным для автора заключением: «Будет хорошо».
Способ решения, примененный
Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода
решаются уравнения вида ах == b. Его применяли как египтяне, так и вавилоняне.
У разных народов применялся
метод двух ложных положений. Арабами этот метод был механизирован и получил
ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в
«Арифметику» Магницкого. Магницкий называет способ решения «фальшивым
правилом» и пишет о части своей книги, излагающей этот метод:
Зело бо хитра есть сия часть,
Яко можеши ею все класть (вычислить. — И. Д.)
Не
токмо что есть во гражданстве,
Но и
высших наук в пространстве,
Яже
числятся в сфере неба,
Якоже мудрым
есть потреба.
Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть арифметики
весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадобится в
житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые встают перед
«мудрыми».
Магницкий пользуется «фальшивым
правилом» в форме, какую ему придали арабы, называя его «арифметикой двух
ошибок» или «методой весов».
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость
решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была
вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных
участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием
астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет
до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать,
что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например,
полные квадратные уравнения:
Правило
решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу
с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого
правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи
с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким
образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень
развития алгебры в Вавилоне, • в клинописных текстах отсутствуют понятие
отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения ,
В
«Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней
содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и
решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений
Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его
задач.
«Найти два числа, зная, что их
сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим
образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если
бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом,
одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое
же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение
Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12,
другое 8. Решение х = —2 для Диофанта не существует, так как греческая
математика знала только положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в
качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения
Ясно, что, выбирая в качестве
неизвестного полу разность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается
свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).
Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на уравнения встречаются
уже в астрономическом трактате «Ариабхаттаим», составленном в 449 г. индийским
математиком и астрономом Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье.
В Алгебраическом трактате
ал-Хорезми даётся классификация линейных и квадратных уравнений.
Индий учёные знали решения
неопределённых уравнений в целых числах (в том числе и в отрицательных, чего
сам Диофант избегал).
Формула решений квадратного уравнения.
Греческий математик Герон (I или II век нашего летоисчисления) вывел формулу
для решения квадратного равнения ax2 + bx = c умножением
всех членов на а и
прибавлением к обеим половинам уравнения :
В индии пришли к более простому способу вывода,
который встречается в школьных учебниках: они умножали на 4a и к
обеим половинам по b2. Это даёт:
Индийские математики часто давали задачи в стихах.
Задача о лотосе.
Над озером тихим, с полмеры над водой,
Был виден лотоса цвет.
Он рос одиноко, и ветер волной
Нагнул его в сторону – и уж нет
Цветка над водой.
В двух мерах от места, где рос.
Сколько озера здесь вода глубока?
Тебе предложу я вопрос.
Ответ:
Из истории решения системы
уравнений, содержащей одно уравнение второй степени и одно линейное
В древневавилонских текстах,
написанных в III—II тысячелетиях до н. э., содержится немало задач,
решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения
второй степени. Вот одна из них.
.
«Площади двух своих квадратов я сложил: .Сторона
второго квадрата равна стороны первого и еще
5».
Соответствующая система уравнений в современной записи
имеет вид:
Для
решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у в
квадрат и согласно формуле квадрата суммы, которая ему, видимо, была известна,
получает:
Подставляя
это значение у в первое из системы уравнений (1), автор приходит к
квадратному уравнению:
Решая
это уравнение по правилу, применяемому нами в настоящее время, автор находит х,
после чего определяет у. Итак, хотя вавилоняне и не имели алгебраической
символики, они решали задачи алгебраическим методом.
Диофант, который не имел
обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора
неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного
уравнения. Вот один пример из его «Арифметики».
Задача 21. «Найти два числа,
зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов — 208».
Эту задачу мы решили бы путем
составления системы уравнений:
Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину разности
искомых чисел, получает (в современных обозначениях):
Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из
другого (все это Диофант производит устно), получаем
x = 2 + 10; у = 10 —2.
Далее,
х2
+ у2 = (г +
lO)2 + (10 — г)2
== 2z2 + 200.
Таким образом,
2z2 + 200 = 208,
откуда
z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 — 2 = 8.
Диофантовы уравнения.
Задача Диофанта №80 (Из II книги
его «Арифметики»)
Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из
них с другим искомым числом дала полный квадрат,
Решение Диофанта
Пусть первое число (I) будет s.
Чтобы квадрат его •при прибавлении второго числа дал квадрат, второе число
должно быть 2s + 1, так как в таком случае выполняется требование
задачи: квадрат первого числа. сложенный со вторым, дает
s2 + 2s + 1, то есть полный квадрат (s + 1)2.
Квадрат
второго числа, сложенный с первым, должен также дать квадрат, то есть число (2s
+ I)2 + s, равное
4s2
+ 5s + 1 == t2
Положим,
что t = 2s — 2; тогда t2 = 4s2 — 8s +
4. Это выражение должно равняться
4s2 + 5s + 1. Итак,
должно быть:
4s2 — 8s
+ 4 == 4s2
+ 5s + l откуда s=
Значит, задаче удовлетворяют числа:
.
Проверка;
Почему Диофант делает
предположение, что t==2s—2, он не объясняет. Во всех своих задачах (в дошедших
до нас шести книгах его их
189) он делает то или другое
предположение, не давая никакого обоснования.
Вообще содержание 6 книг таково:
В «Арифметике» 189 задач, каждая снабжена одним или
несколькими решениями. Задачи ставятся в общем виде, затем берутся конкретные
значения входящих в нее величин и даются решения.
Задачи книги I в большинстве определенные. В ней имеются и
такие, которые решаются с помощью систем двух уравнений с двумя неизвестными,
эквивалентных квадратному уравнению. Для его разрешимости Диофант выдвигает
условие, чтобы дискриминант был полным квадратом. Так, задача 30— найти таких
два числа, чтобы их разность и произведение были заданными числами,— приводится
к системе
х — у = а, х = b.
Диофант выдвигает «условие формирования»:
требуется, чтобы учетверенное произведение чисел, сложенное с квадратом
разности их, было квадратом, т. е. 4b + а2 = с2.
В книге II решаются задачи, связанные с неопределенными
уравнениями и системами таких уравнений с 2, 3, 4, 5, 6 неизвестными степени не
выше второй.
Диофант применяет различные приемы. Пусть необходимо решить
неопределенное уравнение второй степени с двумя неизвестными f2 (х, у) ==0. Если у него есть рациональное
решение (x0, y0), то Диофант вводит подстановку
x = x0 + t,
y = y0 + kt,
в которой k рационально. После этого основное
уравнение преобразуется в квадратное относительно t, у которого свободный член f2 ( x0, у0) = 0. Из уравнения получается t1 == 0 (это значение Диофант
отбрасывает), t2 — рациональное число. Тогда
подстановка дает рациональные х и у.
В случае, когда задача
приводилась к уравнению у2 = ax2 + bx
+ с, очевидно
рациональное решение x0 = О,y0=±C. Подстановка Диофанта выглядит так:
x = t,
y = kt ± c
Другим методом при решении задач книги
II Диофант пользовался, когда они приводили к уравнению у2 ==
= a2x2 + bx + с. Он делал
подстановку
x= t,
y = at + k,
после чего х и у
выражались рационально через параметр k:
Диофант, по существу, применял теорему, состоящую в том,; что
если неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, то таких
решений будет бесчисленное множество, причем значения х и у
могут быть представлены в виде рациональных функций некоторого параметра»
В книге II есть задачи, решаемые с
помощью «двойного неравенства», т. е. системы
ах + b
= и2,
сх + d == v2.
Диофант рассматривает случай а = с, но впоследствии пишет, что метод
можно применить и при а : с = т2, Когда а == с, Диофант почленным вычитанием одного равенства
из другого получает и2 —и2 = b — d. Затем разность b — d раскладывается на множители b — d = п1 и приравнивает и + v = I, и — v = п, после чего находит
и = (I +
п)/2,
v = (I - n)/2, х - (l2 + п2}/4a - {b + d)/2a.
Если задача сводится к системе из двух
или трех уравнений второй степени, то Диофант находит такие рациональные
выражения неизвестных через одно неизвестное и параметры, при которых все
уравнения, кроме одного, обращаются в тождества. Из оставшегося уравнения он
выражает основное неизвестное через параметры, а затем находит и другие
неизвестные.
Методы, разработанные в книге II,
Диофант применяет к более трудным задачам книги III, связанным с системами
трех, четырех и большего числа уравнений степени не выше второй. Он, кроме
того, до формального решения задач проводит исследования и находит условия,
которым должны удовлетворять параметры, чтобы решения существовали.
В книге IV встречаются определенные и
неопределенные уравнения третьей и более высоких степеней. Здесь дело обстоит
значительно сложнее, потому что, вообще говоря, неизвестные невозможно выразить
как рациональные функции одного параметра. Но, как и раньше, если известны
одна или две рациональные точки кубической кривой fз (х, у) == 0, то можно найти и другие точки. Диофант
при решении задач книги IV применяет новые методы»
При решении задач Диофант дважды рассматривает уравнение
Пелля ax2 + 1 = у2.
Задачи книги VI касаются прямоугольных треугольников с
рациональными сторонами. К условию х2 + у2
== z2 в них добавляются еще условия
относительно площадей, периметров, сторон треугольников.
В книге VI доказывается, что если уравнение ax2 + b == у2 имеет хотя бы одно рациональное решение, то их
будет бесчисленное множество. Для решения задач книги VI Диофант применяет все
употребляемые им способы.
Кстати, в одном из древних
рукописных сборников задач в стихах
жизнь Диофанта описывается в виде
следующей алгебраиче-юй загадки, представляющей надгробную надпись на его
могиле
Прах Диофанта гробница покоит;
дивись ей—и камень
Мудрым искусством его скажет
усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни
он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с
пушком на щеках.
Только минула седьмая, с
подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына
дождался мудрец;
Только полжизни отцовской
возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней
могилой своей.
Дважды два года родитель
оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни
печальной своей.
Задача-загадка
сводится к составлению и решению уравнения:
откуда х = 84 = вот сколько лет жил
Диофант.
Неопределённое уравнение x2 + y2 = z2
Такое неопределённое уравнение
исследовали пиффагорийцы, целые решения которого поэтому называют
«пифагоровыми тройками», они нашли бесконечно много таких троек, имеющих вид:
Кубические уравнения
Более систематическое
исследование задач, эквивалентных кубическим уравнениям, относится только к
эпохе эллинизма. Архимед в сочинении «О шаре и цилиндре» (книга II,
предложение 4) свел задачу о рассечении шара плоскостью на два сегмента,
объемы которых имели бы заданное отношение т : п (т > п), к
нахождению высоты х большего сегмента из пропорции
(1)
где а — радиус шара.
Архимед обобщает задачу: рассечь
заданный отрезок а на две части х и а—х так, чтобы
(а — х) : с = S : х2,
(2)
где с и S — заданные отрезок
и площадь.
Заметив, что при такой общей
постановке задача не всегда разрешима (имеются в виду только положительные
действительные решения), Архимед приступает к ее исследованию с тем, чтобы
наложить ограничения на с и S. Он говорит, что изложит полное решение задачи «в
конце», однако соответствующее место не сохранилось. Жившие на столетие позже
Архимеда греческие геометры Диокл и Дионисодор уже не знали его. Они
предложили собственные, гораздо более сложные решения, но никто из них не сумел
провести анализ общего случая.
Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное место.
Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:
Параболы
(3)
и гиперболы
(4)
(здесь положено S = pb). Оба уравнения легко получить из
пропорции (2). Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции
(2) к кубическому уравнению
x2(a-x) =
Sc (5)
которое он выражает словесно как соотношение между
объемами. Ясно, что уравнение (5) может иметь положительные корни, если
Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х2
(а — х).
Оставим пока в стороне вопрос о методе
экстремумов Архимеда, мы вернемся к этому, когда будем говорить об
инфинитезимальных методах древних. Скажем только, что Архимед полностью
исследовал условия существования положительных вещественных корней уравнения
(5), а именно:
1)
если Sc < 43/27, то на участке (0, а) имеются два таких
корня;
2) если Sc = 4aз/27, то
имеется один корень (как сказали бы мы,— двукратный);
3)
если Sc > 4aз/27, то корня нет.
Здесь 4а3/27 есть максимум х2 (а — х),
достигаемый при х = 2а/3. В конце письма, предпосланного книге «О
коноидах и сфероидах» (греки называли сфероидами эллипсоиды вращения,
прямоугольными коноидами — параболоиды вращения, а тупоугольными коноидами —
полости двуполостных гиперболоидов вращения), Архимед пишет, что с помощью
доказанных в книге теорем можно решить ряд задач, как, например: от данного
сфероида или коноида отсечь сегмент плоскостью, проведенной параллельно
заданной, так, чтобы отсеченный сегмент был равен данному конусу, цилиндру или
шару. Перечисленные задачи, так же как и задачи о делении шара, сводятся к
кубическим уравнениям, причем в случае тупоугольного коноида уравнение будет
иметь вид
x2(a + x)=Sc
Из текста Архимеда можно заключить,
что он проанализировал и решил это уравнение. Таким образом, Архимед рассмотрел
кубические уравнения вида х3 + ax + b = 0
при различных значениях a и b и дал метод их решения. Однако
исследование кубических уравнений оставалось для греков трудной задачей, с
которой, в ее общем виде никто, кроме Архимеда, не мог справиться. Решение
отдельных задач, эквивалентных кубическим уравнениям, греческие математики
получали с помощью нового геометрического аппарата конических сечений. Этот метод
впоследствии восприняли математики стран ислама, которые сделали попытку провести
полный анализ всех уравнений третьей степени.
Но еще до этого, и притом греческими математиками, был сделан
новый решительный шаг в развитии алгебры: геометрическая оболочка была
сброшена, и началось построение буквенной алгебры на основе арифметики. Это
произошло в первые века нашей эры.
Литература:
1.
«История
математики в древности» Э. Кольман.
2.
«Решение уравнений
в целых числах» Гельфонд.
3.
«В мире уравнений»
В.А.Никифоровский.
4.
«История
математики в школе» Г.И.Глейзер.
5.
«Рассказы о старой
и новой алгебре» И.Депман.
6.
«Пифагор: рассказы
о математике» Чистаков.
7.
«Краткий очерк истории
математики» Стройк Д.Я.
8.
«Очерки по истории
математики» Болгарский Б.В.
9.
«История
математики» (энциклопедия) под редакцией Юшкевича.
10.
«Энциклопедический
словарь юного математика» под редакцией Гнеденко.