Математическая теория захватывания

Математическая теория захватывания

Введение и краткое резюме

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания".  Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает"  автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать   случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m, который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов,    с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.

Уравнение, которое нас будет интересовать:

При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение

Рассмотрим случай, когда   m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:

Начальные условия  выберем так:

F₂ - степенной ряд по b₁ b₂, m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):

Сравнивая коэффициенты при    b₁ b₂, m  получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).

Решая задачи Коши, получим:

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы

Введем обозначения  ; для остальных функций аналогично.

Тогда (6) запишется в виде:

Если в этой системе можно b₁ b₂  представить в виде функции  m так, чтобы b₁ b₂, m исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых  m служит неравенство 0 Якобиана.

В нашем случае:

Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых  m и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.

§ 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + x ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x  и x^'.

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде   функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и  x, то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.

; аналогичным образом можно показать, что   (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по  m.

будем искать в виде:    (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим:

Начальные условия для А_о , В_о, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим

Для В^'_о и В_о аналогично. Для остальных  же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

(14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

(15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

S₁, S₂ - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). a₁, a₂ - характеристические показатели.

Если все     , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого  приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения: 

=0 (16)  Полагаем  ;

Тогда определитель будет:

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком R_e (a),  или что все равно ÷ l÷ . Если ÷ l÷ < 1 имеет место устойчивость ÷ l÷  = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ÷ l÷> 1 имеет место неустойчивость.

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р²; q < р²; В первом случае  l-комплексные; ½l² ½=q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.

Случай второй - l - действительные:  ; (21) устойчивость соответствует  p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19)  (12).

(22)

Если принять во внимание (15)

(22a)

(23)

Мы видим, что при достаточно малом m и w¹n; n ' Z вопрос об устойчивости решается величиной  q  и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.

В нашем случае b имеет вид:

     (23a)

§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда l=ml_о; w² = 1+ a_о m, (24) (a_о , m - расстройка , реальный физический резонанс наступает при a_о ¹ 0).

 (25)

При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

 (27);

Начальные условия возьмем как и раньше:

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая  коэффициенты при b₁ b₂, m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F.   Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).

 (29)

Запишем условия периодичности для (27):

Делим на m:

   ( 30a )

Необходимым условием существования периодического решения является:

Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :

(31)

Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).

D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить  b_1, b₂, в виде рядов по степеням m. Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.

(33)

P,Q-определяются формулами (31) (32).

§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).

Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:

Из формул (22)     (34) , тогда  D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:

 (36)

;

Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить  D в виде функции  P, Q и a_о.

Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

 ;  (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m)

1)  p² - q < 0 

2)  p² - q > 0 

В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0.

Во втором случае  (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а  D > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0,   D > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола.

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Р_о sin w₁ t.

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:

  (39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:

(40)

S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения  .

Далее, вводя обозначения:

Получим дифференциальное уравнение для х:

   (41)

А: (случай далекий от резонанса).

Для него применяем результаты § 1, полагая.

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:

Если w > 1, т.е. w_о > w₁, то разность фаз равна 0, если  w < 1, то разность фаз равна p. В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0). 

(42).

Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.

В:  (область резонанса , § 3, 4).

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t    (P, Q - const).

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.

Или преобразовав их, получим следующее:

Полагая Р = R sin j; Q = R cos j. Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения,  в близости  к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :

Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0,   D > 0. Считаем b и D через формулы (35-37).

(46)

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**).  В заключение выпишем формулы для вычисления a_о, соответствующего    ширине захватывания для рассматриваемого случая.

a₀ - является общим корнем уравнений

2)

Сама ширина Dw, отсчитанная от одной границы захватывания  до другой выражается следующим образом: Dw = a_о w²_о (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:

а) l²_о << 1;   Dw = w_о Р_о/V^о_g.

б) для очень сильных сигналов   ( V^о_g - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).

Список литературы

1. Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

2. Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

3. Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.