Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(окончание)
14. Группы правильных многогранников.
Хорошо известно (по крайней мере со времен Евклида),
что в пространстве существует ровно 5 правильных многогранников . Это -
тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Названия этих
многогранников происходят от латинских числительных, указывающих количество
граней этих фигур. В переводе это 4-, 6-,8-,12-, и 20- гранники. Некоторые
авторы причисляют к числу правильных многогранников еще и диэдр - многогранник
с 2 гранями, которые являются правильными n-угольниками.
Эта фигура удовлетворяет всем условиям, которые задают правильный многогранник,
за исключением того, что его объем равен 0. Опишем кратко группу -симметрий каждого из этих
многогранников.
1. Диэдр.
Пусть диэдр реализован в виде правильного n- угольника
в плоскости p и l -
прямая, перпендикулярная p , проходящая
через его центр симметрии. Группа симметрий диэдра содержит повороты на углы,
кратные 2p/n вокруг
l. Кроме того, если m -любая
ось симметрии многоугольника, то поворот вокруг этой оси на 180° переводит диэдр в себя и действует на
многоугольник так же как отражение относительно этой оси в плоскости
многоугольника. Таким образом, группа симметрии диэдра на многоугольнике
совпадает с диэдральной группой , но все ее элементы в
рассматриваемом случае реализуются вращениями. Эта группа обозначается и называется пространственной
диэдральной.(заметим, что ).
2. Тетраэдр.
Тетраэдр
имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Это единственный правильный многогранник не
имеющий центра симметрии . Повороты, переводящие тетраэдр в себя это, прежде всего,
вращения на углы, кратные 2p/3 вокруг 4
осей, проходящих через вершину и центр противоположной грани (ось L на рисунке 1). Кроме того тетраэдр само совмещается при
поворотах на угол 180° вокруг осей,
соединяющих середины противоположных ребер (ось M на
рисунке 1). Таким образом группа тетраэдра T содержит
12 элементов.
3. Октаэдр и
куб.
Эти два многогранника двойственны в следующем смысле: центры
граней куба являются вершинами октаэдра и наоборот - центры граней октаэдра
суть вершины куба (рис. 2, 3) Куб
имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, а октаэдр соответственно 8,12 и
6.Перечислим повороты, которые переводят куб в себя. Прежде всего это вращения
на углы кратные p/2 вокруг трех осей,
проходящих через центры противоположных граней (ось L).
Затем это вращения на углы кратные 2p/3
вокруг 4-х осей, проходящих через противоположные вершины (ось N). Наконец имеется еще 6 поворотов на углы p вокруг осей, проходящих через середины
противоположных ребер (ось M).Добавляя тождественное
преобразование мы получаем группу октаэдра W (она
же группа куба) из 24 элементов.
4. Икосаэдр и
додекаэдр.
Эти два многогранника находятся в такой же двойственности, как куб и октаэдр -
центры граней одного из них являются вершинами другого и поэтому их группы
симметрий
совпадают. Икосаэдр
имеет 20 граней, 30 ребер и 12 вершин, а додекаэдр соответственно 12, 30 и 20. Группа
икосаэдра содержит повороты на углы кратные 2p/3
вокруг 10 осей, проходящих через центры противоположных граней, повороты на
углы кратные 2p/5 вокруг 6 осей,
проходящих через противоположные вершины и, наконец, повороты на p вокруг 15 осей, проходящих через середины
противоположных ребер. Вся группа икосаэдра P содержит
60 элементов.
Замечание 1.
По теореме 12 полные группы симметрии многогранников
(включающие и перемещения с определителем (-1) ) содержат ровно вдвое больше
элементов, чем группы - симметрий. Это группы, ,
содержащие соответственно 4n, 24, 48 и 120 элементов-
поворотов и зеркальных поворотов.
Замечание 2.
Группы правильных многогранников можно задавать
соответствующим набором кватернионов. Напомним, что поворот на угол a вокруг оси, заданной единичным вектором задается кватернионом q
= cosa/2 +nsina/2. Приведем (без
обоснования ) описание групп T, W и P с
помощью кватернионов.
Группа T.
Выберем оси координат так, чтобы они проходили через
середины противоположных ребер тетраэдра (эти прямые попарно ортогональны).
Рассмотрим 16 единичных кватернионов вида , а
также 8 кватернионов Оказывается, что произведение
любых двух кватернионов указанного вида снова будет кватернионом такого же
вида. Всего мы имеем 24 кватерниона. Если рассмотреть повороты, заданные этими
кватернионами, то учитывая, что q и (-q)
задают одинаковые вращения, получаем группу вращений из 12 элементов.
Оказывается, что это в точности группа T.
Группа W.
Здесь естественно выбрать оси, параллельные ребрам куба. К
рассмотренным выше 24 кватернионам добавим еще 24 вида ,
где s и t какая то пара
(различных) единиц 1, i, j, k. Всего получаем 48
кватернионов, которые задают группу вращений пространства из 24 элементов.
Оказывается, что это в точности группа W. Отметим, что,
по построению - подгруппа. Это включение
возникает потому, что тетраэдр можно вписать в куб - две пары противоположных
вершин параллельных граней куба являются вершинами тетраэдра и каждый поворот,
входящий в группу T переводит куб в себя, то есть
содержится в группе W.
Группа P.
В качестве координатных осей выберем диагонали трех смежных
граней додекаэдра. Рассмотрим 24 кватерниона из первого примера. Присоединим к
ним еще 96 единичных кватернионов, которые получаются следующим образом.
Рассмотрим 4 числа , , , .
Заметим, что Пусть -
четная перестановка индексов 1, 2, 3, 4 . Рассмотрим числа Их действительно 96, поскольку . Всего получается 120 кватернионов,
задающих группу P из 60 элементов.
15.Классификация
конечных групп вращений в пространстве.
Теорема 16.
Доказательство.
Мы докажем только, что всякая такая группа содержит столько
же элементов, что и одна из групп указанных в списке. Остающуюся (чисто геометрическую!) часть рассуждений мы оставляем читателю.
Пусть G состоит из N
элементов. Каждый элемент , отличный от
тождественного представляет собой вращение вокруг некоторой оси, проходящей
через начало координат О. Назовем полюсами точки пересечения этих осей со
сферой радиуса 1 с центром О. Пусть - множество всех
полюсов. Если s -вращение вокруг оси l,
проходящей через полюс x , то s(x) = x.
Если g(x) = y , то , то
есть - вращение с полюсом y.
Значит, G - группа преобразований множества X. Пусть орбиты G на X. Число полюсов в орбите согласно теореме 10 равно , где -
порядок стабилизатора орбиты. Значит, .
Заметим, что . По лемме Бернсайда .Отсюда получаем: . Если N=1, то . Пусть N>1.
Тогда правая часть последнего равенства - число a
между 1 и 2 (1£a<2). Поэтому k>1.
Но, поскольку , каждое слагаемое слева не
меньше 1/2. Поэтому, 4 или больше слагаемых слева быть не может. Итак, k =2 или k =3. Если k
=2 , то или ,
откуда . Два полюса (на одной оси!) порядка N соответствуют случаю
группы . Пусть теперь k = 3.
Соотношение принимает вид: .
Пусть . Если , то
сумма слева меньше 1, что невозможно. Значит, и
равенство принимает вид: .
Если , то сумма не больше 1/2, что невозможно.
Итак, или =3. Если , то . Это случай группы . Пусть, наконец, .
Имеем: , откуда . Для находим
N = 12, что соответствует случаю группы T. Для получаем N = 24 - случай группы W, Наконец
при - N = 60 и мы
приходим к группе P.
16.Пространственные
группы, содержащие зеркальные отражения.
Пусть S конечная
группа перемещений в пространстве содержащая преобразования с определителем (-1).
По теореме 12 такая группа содержит 2n элементов , причем первые n ее
элементов имеют определитель 1 и составляют подгруппу G=G(S)
, а последние n имеют определитель (-1) и
получаются из элементов подгруппы путем их умножения на любой фиксированный
элемент g с определителем (-1): Напомним, что буквой Z была
обозначена симметрия относительно начала координат (зеркальный поворот на p). Это перемещение перестановочно с любым
другим и .
Теорема 17.
Пусть S конечная
группа перемещений в пространстве и . Если G(S) = {},
то S = {}.
Доказательство.
Теорема очевидна, так как det(Z) = -1.
Замечание.
Группа S в этом
случае обозначается
Теорема 18.
Пусть S конечная
группа перемещений в пространстве и . Если G(S) = {}, то множество является группой -
преобразований . Обратно, если Г любая группа вращений из 2n элементов,
содержащая G, то, домножая все элементы из Г-G на Z, получаем группу перемещений S, для которой G(S) = G.
Доказательство.
Надо проверить, что и . Если , то
эти условия выполнены поскольку G - группа
преобразований. Если ,то ни один из элементов не входит в G и
потому это множество совпадает с множеством { }. Поэтому
.
Аналогично, поскольку ни один из элементов не
входит в G, все произведения и
потому .
Таким же образом убеждаемся, что и, значит, .
Обратное утверждение теоремы проверяется точно таким же образом.
Замечание.
Стандартное обозначение для S
в этом случае - .
Следствие.
Конечная группа перемещений пространства, содержащая
зеркальные вращения совпадает с одной из групп ( в
скобках указаны их порядки):
(2n), (4n), (24), (48), (120);
Замечание 1.
Полные группы симметрий правильных многогранников получаются
по способу, указанному в теореме 17, если этот многогранник имеет центр
симметрии. В противном случае используется конструкция теоремы 18.
Следовательно, это следующие группы:
, , , , .
Замечание 2.
Назовем флагом многогранника тройку (D, R, v), где D-
некоторая его грань, R - одно из ребер, ограничивающих
эту грань и v - вершина, лежащая на этом ребре. Многогранник
называется правильным (это одно из возможных определений ), если для любых двух
его флагов и существует
перемещение, переводящее многогранник в себя и отображающее первый флаг во
второй. Поскольку перемещение оставляющее флаг неподвижным очевидно является
тождественным, мы видим, что порядок группы G правильного
многогранника совпадает с количеством его флагов. Таким образом, =2Гr,
где Г - количество его граней, r -
количество ребер, ограничивающих некоторую грань, 2 - количество вершин на
ребре.