Асимптота
МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,
МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА
РЕФЕРАТ
по дисциплине: Высшая
математика
на тему: Асимптоты
(определение, виды, правила нахождения)
Выполнила:
студентка 1 курса
Экономического факультета
(вечернее отделение)
Козлова М.А.
Проверил: Рошаль
А.С.
Москва 2002 год
2
Содержание
Введение
3
2. Нахождение асимптоты 4
2.1 Геометрический смысл
асимптоты 5
2.2 Общий метод нахождения
асимптоты 6
3. Виды 8
3.1 Горизонтальная
асимптота
8
3.2 Вертикальная
асимптота 9
3.3 Наклонная
асимптота
10
Использованная литература 12
3
Введение
Асимптота, так называемая прямая или кривая линия,
которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает
ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.
Понятие асимптоты играет важную роль в математическом
анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы,
конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).
4
2. Нахождение
асимптоты
Пусть функция f (x) определена
для всех x >
а (соответственно для всех
x < а). Если
существуют такие числа k и l,
что f(x) - kx - l = 0 при х ® + ¥
(соответственно при х ® - ¥),
то прямая
y = kx + l
называется асимптотой графика функции f (x) при x ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥).
Существование асимптоты графика функции означает, что при
х ® + ¥
(или х ® - ¥)
функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной
функции на бесконечно малую.
x- 3x - 2
Найдём, например, асимптоту графика функции y = x +1
Разделив числитель на знаменатель по
правилу деления многочленов,
2 2
получим y = x - 4 + x + 1 Так
как x + 1 = 0 при х ®
± ¥,
то прямая y = x-4
является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,
так и при х ® - ¥.
5
2.1
Геометрический смысл асимптоты
Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось
Ох, АВ – асимптота,
q - угол между
асимптотой и положительным направлением оси Ох, q
¹,
MP – перпендикуляр, опущенный из
точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой
ММ с асимптотой АВ (рис.1).
Тогда ММ = f
(x), QM = kx + l, MQ = MM - QM = f (x) – (kx +l),
MP = MQ cos q. Таким образом, MP
отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,
то и lim MP = 0, и
наоборот. х ® + ¥
х ® + ¥
Отсюда следует, что асимптота может быть определена как
прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится
к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится,
оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ®
+ ¥
или, соответственно, х ® - ¥).
6
2.2 Общий
метод отыскания асимптоты
Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть
способ определения коэффициентов k и l
в уравнении y = kx + l.
Будем рассматривать для определённости лишь случай х ® + ¥ (при х ®
- ¥
рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет
асимптоту y = kx + l при х ® + ¥. Тогда, по определению,
f (x) = kx + l + 0
Разделим обе части равенства f (x) = kx +
l + 0 на х и перейдём к пределу при х ®
+ ¥.
Тогда
lim = k.
х ® + ¥
Используя найденное значение k, получим
из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу
l = lim (f (x) – kx).
х ® + ¥
Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие
числа k и l, что выполняется
условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является
х ® + ¥
асимптотой графика функции f (x).
В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем
х ® +
¥
lim
[f
(x) - (kx + l)] = 0,
х ® + ¥
то есть прямая y = kx + l действительно
удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim
(f (x) – kx)
х
® +
¥ х ® + ¥
сводят задачу отыскания асимптот y = kx +
l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если
существует
представление функции f в виде f (x) = kx
+ l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim
(f (x) – kx)
х ® + ¥ х ® + ¥
Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.
Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,
найденную нами выше другим способом:
7
то есть мы, как и следовало
ожидать, получили тоже уравнение асимптоты
y = x – 4, как
при х ® + ¥, так и при х ® - ¥.
В виде y = kx
+ l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy.
Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.
8
3. Виды
3.1
Горизонтальная асимптота
Пусть $ lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f
(x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего
имеет такой вид (при x ® +¥)
(рис.2)
(рис.2)
хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)
(рис.3)
9
3.2
Вертикальная асимптота
(рис.4)
Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ± ¥.
Тогда говорят, что прямая x = a является
х ® ¥
вертикальной асимптотой f (x). График
функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя,
конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + ¥ или - ¥.
Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид
.
Тогда вертикальные асимптоты находятся
как корни уравнения
10
3.3 Наклонная
асимптота
(рис.5)
Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b.
Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x).
Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f
(x) стремится к 0 при х ® ± ¥
lim [f (x) – (ax + b)] = 0.
x ® ¥
Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится
к нулю величина
Но тогда мы имеем
и так как последний предел равен нулю, то
Зная а, можно найти и b из
исходного соотношения
Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.
Пример
то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.
11
Аналогично можно показать, что при x ® - ¥ асимптота
имеет вид y = - x.
Сам график функции выглядит
так (рис.6)
(рис.6)
12
Использованная
литература
1. Р.Б.
Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.
2. Л.Д.
Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981
3. Лекции по
математике