Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)
МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,
МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА
РЕФЕРАТ
по дисциплине:
Высшая математика
на тему: Асимптоты
(определение, виды, правила нахождения)
Выполнила: студентка 1 курса
Экономического факультета
(вечернее отделение)
Козлова М.А.
Проверил: Рошаль А.С.
Москва 2002 год
2
Содержание
Введение
3
2. Нахождение
асимптоты
4
2.1 Геометрический смысл
асимптоты 5
2.2 Общий метод
нахождения асимптоты 6
3.
Виды
8
3.1 Горизонтальная асимптота
8
3.2 Вертикальная
асимптота
9
3.3 Наклонная
асимптота 10
Использованная
литература
12
3
Введение
Асимптота, так называемая прямая или кривая
линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не
пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой
величиной.
Понятие асимптоты играет важную роль в
математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых
(гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).
4
2. Нахождение асимптоты
Пусть функция f (x) определена
для всех x > а (соответственно для всех
x < а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) - kx - l = 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥), то прямая
y = kx + l
называется асимптотой графика функции f (x) при x ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥).
Существование асимптоты графика функции
означает, что при х ® + ¥
(или х ® - ¥) функция ведёт себя
«почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на
бесконечно малую.
x- 3x -
2
Найдём, например, асимптоту графика функции y
= x +1
Разделив числитель на знаменатель по правилу деления
многочленов,
2 2
получим y = x - 4
+ x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ® ± ¥, то прямая y = x-4
является асимптотой графика данной функции
как при х ® + ¥,
так и при х ® - ¥.
5
2.1 Геометрический смысл асимптоты
Рассмотрим геометрический смысл асимптоты.
Пусть М = (x, f (x)) – точка графика
функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ –
асимптота,
q - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q ¹,
MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на
асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).
Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ
= MM
- QM = f (x) – (kx +l),
MP = MQ cos q. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не
равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при
х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥) эквивалентны, то есть lim
MQ = 0,
то и lim MP = 0, и
наоборот. х ® + ¥
х ® + ¥
Отсюда следует, что асимптота может быть
определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть
отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f
(x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ® + ¥ или, соответственно, х ® - ¥).
6
2.2 Общий метод отыскания асимптоты
Укажем теперь общий метод отыскания
асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и
l в уравнении y = kx + l.
Будем рассматривать для определённости лишь
случай х ®
+ ¥ (при х ® - ¥ рассуждения проводятся
аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y
= kx + l при х ® +
¥.
Тогда, по определению,
f (x) = kx + l +
0
Разделим обе части равенства f (x) =
kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ® + ¥. Тогда
lim = k.
х ® + ¥
Используя найденное значение k,
получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу
l = lim (f (x) –
kx).
х ®
+ ¥
Справедливо и обратное утверждение: если
существуют такие числа k и l, что
выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является
х
® + ¥
асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем
х
® + ¥
lim [f (x) -
(kx + l)] = 0,
х ® + ¥
то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря,
выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l
= lim (f (x) – kx)
х ® + ¥ х ® + ¥
сводят задачу отыскания асимптот y =
kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что
если существует
представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и
l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) –
kx)
х ® + ¥ х ® + ¥
Следовательно, если существует представление
y = kx + l, то оно единственно.
Найдём по этому правилу асимптоту графика
функции f (x) = ,
найденную нами выше другим способом:
7
то есть мы, как и
следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты
y = x – 4, как при х ® +
¥, так
и при х ®
- ¥.
В виде y =
kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые,
параллельные оси Oy.
8
3. Виды
3.1 Горизонтальная асимптота
Пусть $ lim f (x) = b. Тогда
говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x ® +¥) (рис.2)
(рис.2)
хотя в принципе, может иметь и такой вид
(рис.3)
(рис.3)
9
3.2 Вертикальная асимптота
(рис.4)
Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ± ¥. Тогда говорят, что прямая x = a является
х ® ¥
вертикальной асимптотой f (x). График
функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4),
хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f
(x) в + ¥ или - ¥.
Чаще всего вертикальная асимптота появляется
тогда, когда f (x) имеет вид
.
Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения
10
3.3 Наклонная асимптота
(рис.5)
Пусть уравнение асимптот есть y = ax
+ b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f
(x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b –
f (x) стремится к 0 при х ® ± ¥
lim [f (x) – (ax + b)] = 0.
x ® ¥
Если эта величина стремится к нулю, то тем
более стремится к нулю величина
Но тогда мы имеем
и так как последний предел равен нулю, то
Зная а, можно найти и b из исходного соотношения
Тем самым параметры асимптоты полностью
определяются.
Пример
то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.
11
Аналогично можно показать, что при x ® - ¥ асимптота имеет вид y = - x.
Сам график функции выглядит так (рис.6)
(рис.6)
12
Использованная литература
1. Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.
2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981
3. Лекции по математике