Отображение геометрических структур
Отображение геометрических структур
ABSTRACT
Mapping geometrical arrangements of a fiber space of
differential equations, bound mapping of Hopf-Colle is under construction.
Устанавливается
изоморфизм отображений Хопфа-Коула (Hopf E, Cole J. D.) [ 1, 2 3 ] и отображений
геометрических структур дифференциальных уравнений, что позволяет определить
сферы действия геометрического исчисления с соответствующей метрикой. Эта сфера
действия соответствующих метрик определяется линейными и нелинейными связями.
Имеется проблема.
В настоящее время
геометрии искривленных пространств позволяют извлекать физическую информацию в
основном о системах космических и галактических масштабов: релятивистская
теория гравитации (ОТО) и новая релятивистская теория гравитации (РТГ), в
которых определяется «метрический тензор риманового пространства».
Но геометрия – раздел
математики. Геометрическое исчисление имеет силу во всех разделах физики.
Примером может служить интегральное исчисление, которое широко используется во
всех разделах физики.
С помощью метрического
тензора опускают и поднимают индексы у тензоров, находят их абсолютные
переносы, определяют ковариантные производные и связности… Итак, посредством
определенных в ОТО и РТГ метрических тензоров дважды поднимаются индексы,
например, у тензора диэлектрической проницаемости в электродинамике,
определяется перенос составляющих вектора электрической напряженности. Каков
физический смысл этих действий? Ведь метрические тензоры в ОТО и РТГ – это
гравитационные потенциалы!
В материальном мире
реализуются многомерные пространства. С каждой физической системой и с каждым
процессом ассоциируются соответствующей структуры пространства. Введение многомерных
расслоенных пространств возможно во всех разделах физики. И не просто возможно,
а геометрии расслоенных пространств составляют основу теорий всех разделов
физики.
Геометрические действия
с соответствующей метрикой возможно только в рамках соответствующей
связи. При переходе к другой связи посредством соответствующих отображений
происходит переход и к другой метрике посредством этих же отображений. Введение
тензоров (скаляров, спиноров, векторов, тензоров более высокого ранга)
производится только относительно соответствующих преобразований
обобщенных координат. В физике вводятся многомерные пространства внутренних
степеней свободы. Примером пространства внутренних степеней свободы в физике
может служить изотопическое пространство, векторы в котором вводятся на основе
преобразований координат изотопического пространства. В пространстве внутренних
степеней свободы вводятся обобщенные базовые и слоевые координаты.
В качестве демонстрации
данных утверждений и рассматривается сформулированная здесь задача.
Отображение Хопфа-Коула
связывает два дифференциальных уравнения и их решения [ 1, 2, 3 ]: нелинейное
уравнение Бюргерса [ 4 ] и уравнение теплопроводности (диффузии). Эти
уравнения отображают соответствующие связи. Этих уравнений мы рассматриваем
частные случаи (демонстрируется сам принцип) и обобщаем их на слоевые
пространства.
Нелинейное уравнение (3)
(см. Табл.) получено из уравнения типа уравнения Бюргерса в классе
решений
т.е.
(1)
с
использованием отображения (2) [ 5 ]:
Отображение геометрических структур
Таблица
Дифференциальное уравнение типа уравнения
теплопроводности
(3)
-постоянные.
- длина вектора в
пространстве
- постоянная
интегрирования.
(5)
(10)
(12)
(5’)
|
Дифференциальные
уравнения, связанные отображением Хопфа-Коула
(2)
- постоянные.
слоевые
пространства
слоевые координаты
метрические
функции
решение
дифференциальных уравнений
дифференциальные уравнения для метрической функции
решения
дифференциальных уравнений для метрических функций
отображение Хопфа-Коула для метрических функций
(7)
ковариантные слоевые
координаты
составляющие
метрического
тензора
-
однородные
степени нуль в слоевых координатах.
коэффициенты связностей
-
однородные
степени – 1 в слоевых координатах
.
длина
векторов
условие
Эйлера
выполнение свойства
(14)
дважды
ковариантные составляющие метрического тензора
|
Уравнение, следующее из
нелинейного дифференциального уравнения типа уравнения Бюргерса
(4)
- постоянные
-
длина вектора в
пространстве
где
- постоянная интегрирования и
(6)
(9)
(11)
(13)
(6’)
)
|
Из Таблицы следует, что
структура составляющих контравариантных векторов, метрического тензора, связностей
сохраняется. Изменяется их конкретное содержание. Отображения Хопфа-Коула
меняют длину слоевых координат . Поскольку
выполняется условие Эйлера и сохраняется свойство (14),то коэффициенты
связностей найдены правильно. Итак, 1)если связь задана дифференциальным
уравнением вида (3), тогда следует проводить геометрическое исчисление с
метрическим тензором (10) и метрикой (5), 2)если же связь задана нелинейным дифференциальным
уравнением вида (4), тогда следует проводить геометрическое исчисление с
метрическим тензором (11) и метрикой (6), которые могут быть получены
отображением Хопфа-Коула (2).
ЛИТЕРАТУРА
1.Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation
occurring in aerodynamics/ Quart App. Vath.,1951, 9, pp. 225-236.
2.Hopf T. The partial differential equation Comm. Pure Appl.Math.,1950, pp/ 201-230.
3.Абловиц
М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. Перевод с англ.
-М.: Мир, 1987, 180 с.
4.Burgers J.
M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence/Adv. Appl.
Mech, 1948, 1, pp. 171-199.
5.Севрюк
В.П. Геометрии расслоенных пространств теории обобщенных криволинейных
координат. ВИНИТИ , N 3378-B90 Деп., 145 с.