Пределы и производные
Пределы и производные
Предел.
Число
А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0,
сколь угодно малого, $ N0,
такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn-A|<E.
limn®¥Xn=A.
–E<Xn-A<E => A-E<Xn<A+E.
Число
А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет
конкретное число N0, для кот. любые точки >N0 попадают
в Е-окрестность (.)А.
Св-ва
послед-ти, имеющей предел:
1.если
послед-ть имеет предел, то он единственный.
Док-во:
предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N1 "n>N1 |a-Xn|<E/2 Из lim
Xn=b (n®¥) => " E/2 $ N2 "n>N2 |Xn-и|<E/2 N0=max(N1;N2),
n>N0. |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b|<E/2+E/2=E => |a-b|=0 => a=b.
2.теорема
о сжатой переменной. n>N1 Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)
Док-во:
1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N2 |Xn-a|<E,
a-E<Xn<a+E. 2. Из $ lim Yn=a (n®¥) => n>N3,
a-E<Yn<a+E. 3. N0=max(N1,N2,N3).
При всех
n>N0 Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)
Функция
y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет
положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой
обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной
в данной обл-ти.
Бесконечно
малая величина.
Величина
Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0,
N0, n>N0, |Xn|<E.
Свойства
б.м. величин:
1.Сумма
б.м. величин есть величина б.м.
Док-во:
из Xn – б.м. => " E/2 $N1, n>N1 |Xn|<E/2
из
Yn–б.м.=>" E/2 $N2, n>N2 |Yn|<E/2, N0=max(N1,N2),
N>N0, |Xn±Yn|£|Xn|+|Yn|<E/2+E/2=E => lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.
2.Произведение
ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.
Док-во:Xn
– огр. величина => $ K, |Xn| £ K,
Yn
– б.м. => " E/K $N0 n>N0
|Yn|<E/K.
|Xn*Yn|=|Xn||Yn|<K*E/K=E
3.Достаточный
признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn
имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде
суммы этого числа А и б.м. величины. $ lim
Xn=a (n®¥) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.
Док-во: Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N0 n>N0
|Xn-a|<E
Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо
и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn
– б.м.), то lim Xn=a (n®¥).
Бесконечно
большая величина
Xn
– бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N0, n>N0, |Xn|>M => M<Xn<-M.
lim Xn=¥ (n®¥).
Свойства
б.б. величин:
1.Произведение
б.б. величин есть величина б.б.
из
Xn – б.б. =>"M $N1, n>N1
|Xn|>M
из
Yn – б.б. => "M $ N2, n>N2
|Yn|>M
N0=max(N1,
N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M
Lim XnYn=¥
(n®¥).
2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥
(n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N0, n>N0
|Xn|>M =>n>N0.
|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).
3.Сумма
б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.
Основные
теоремы о пределах:
lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)
Док-во: lim Xn=a => Xn=a+an; lim Yn=b => Yn=b+bn;
Xn ± Yn
= (a + an) ± (b + bn) = (a ± b) + (a n± bn) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).
limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).
lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).
Пределы
ф-ии непрерывного аргумента.
Число
А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x0, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет
такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x0|<d, будет выполняться нер-во |f(x) – A|<E
или "x выпол x0-d<x<x+d=>
A-E<f(x)<A+E.
Lim x®x0 f(x)=A
Ф-ия y=f(x) наз-ся бесконечно большой при x®x0 если для "М>0 сколь угодно большого $ d>0, что "x |x-x0|<d будет выполняться нер-во |f(x)|>M, "x x0-d<x<x0+d, -M>f(x)>M.
Lim f(x)=¥
(x®x0).
Число А наз-ся пределом y=f(x) x®¥, если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A|<E.
I
замечательный предел.
Рассмотрим
окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.
Sтреуг
МОА< Sсект МОА<Sтреуг СОА.
SтреугМОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.
SсектМОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.
SтреугСОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.
SinX<x<tgX
{разделим все члены на sinX}
1<x/sinX<1/cosX
или 1>(sinX)/x>cosX.
Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.
Следствия:
1. limx®0(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=
=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;
2.limx®0(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}=
=limt®0t/sint=1;
3. limx®0 (sin ax)/bx =
lim (aSin ax)/(ax)b=
=a/b limax®0(sin ax)/ax=a/b.
II
замечательный предел.
limn®¥(1+1/n)n=?
Бином Ньютона:
(a+b)n=an+nan-1b+(n(n-1)an-2b2)/2!+...
+(n(n-1)(n-2)(n-3)an-4b4)/4!+...+bn.
(1+1/n)n=1+n1/n+n(n-1)/2!n2+n(n-1)(n-2)/3!n3+...+1/nn=
=2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nn={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/22(1-1/n)(1-2/n)+1/23(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2n
< 2+0.5+1/22+1/23+...+1/2n =2+0.5(1-1/2n)/(1-0.5)=2+1-1/2n=3-1/2n
<3.
2£(1+1/n)n<3
=> $ limn®¥(1+1/n)n=e.
1.limx®+¥(1+1/x)x=e. Док-во: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³ (1/x)+1 ³ 1/(n+1) + 1, (1/n+1)x³(1/x+1)x³(1+1/(n+1))x
(1/n+1)n+1³(1+1/x)x³(1+1/(n+1))n limn®¥(1+1/n)n(1+1/n)=e*1=e,· limn®¥(1+1/(n+1))n+1*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e
=> $limx®+¥(1+1/x)x=e.
Непрерывность.
-фун.
y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел
фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0).limf(x)=f(x0)
Условия:
1.
f(x) – опред ф-ия; 2. $limx®x0-0f(x) $limx®x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limx®x0-f(x)=limx®x0+f(x);
4. limx®x0±f(x)=f(x0).
Если
Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род
Если
Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.
Если
Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.
Св-ва
непрерывности в точке:
1.Если
фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то
сумма (разность) y(х)=f1(x)±f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x),
а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть
непрерывная фун в точке х0.
Док-во
(суммы): По определению получ limх®х0f1(x)=f1(x0) и limх®х0f2(x)=f2(x0) на основании
св-ва1 можем написать: limх®х0у(х)=limх®х0[f1(x)+f2(x) ]=
=limх®х0f1(x)+limх®х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0).
Итак сумма есть непрерывная фун.·
2.Всякая
непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
3.Если
фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0.
Если
фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то
говорят, что фун непреывна на этом интервале.
Если
фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах
интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке
(а,в).
Непрерывности
на заданном промежутке
Ф-ия
наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в кажд т-ке этого
пром-ка.
Свойства(small):
1.
достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг
любые значения м<y<М; 3. если на заданном пром-ке есть хотя бы одна т-ка
в кот ф-ия отрицат, то $ x0
на [a;b], f(x0)=0.
Св-ва
непрерывности на заданном промежутке(full):
1.Еслифун
y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в]
найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что значение фун в
этой точке будут удовл соот-ю f(x1)³f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун
y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х2, что значения фун
в этой точке будут удовл соот-ю
f(x2)£ f(x), то знач фун в этой точке наз
наименьшим значением фун y=f(x).
2.Пусть
фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения
разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с,
в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.
3.Пусть
фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого
отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число m, заключенное м/у А и В, найдется такая
точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=m.
Производная.
1.Пусть
y=f(x), xÎX, x0; x0+Dx ÎX => Dy=Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0), Dy/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx.
Если
$ limDx®0Dy/Dx, то этот
предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х0. · Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его
фиксир, х+DхÎХ. LimDх®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx= =f/(х)=df(x)/dx=dy/dx=y|(x).
2. Геометр смысл производ.
Производная
фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун
f(x) в точке М (х0;f(x0)).
Если
т-ка М будет приближ-ся к т-ке М0 (при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат.
y|(x0)=limDх®0(f(x0+Dx)-f(x0))/ /Dx=limDх®0Dy/Dx=limDх®0tga==lima®a0tga=tga0.
L: y-f(x0)=f\(x0)(x-x0)
Nl=y-f(x0)=-(x-x0)/f\(x0).
3.
Основ теоремы о производных.
1. y=U(x)+V(x), y|=U|(x)+ V|(x). Док-во: для х+Dх имеем: y+Dy=(u+Du)+(v+Dv). Следовательно, Dy=Du+Dv, Dy/Dx=Du/Dx+Dv/Dx, y|=limDx®0Dy/Dx = limDx®0Du/Dx+ limDx®0Dv/Dx=U|(x)+V/(x).
2.
y=uv, y|=u|v+uv|. Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,
y|=
limDx®0Dy/Dx= limDx®0Duv/Dx + limDx®0Dvu/Dx + limDx®0DuDv/Dx={ limDx®0Du=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u|v+uv|.
3. y=u/v, y|=(u|v-uv|)/v2.
Док-во:
y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)
Dy/Dx...
4. y=ax, y|=axln a. Док-во:
ln y=x ln a, y|/y=ln a, y|=yln a y|=axln
a.
Неявно
задан фун и нахождение ее производ.
Говорят,
что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит
отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е
обращает его в тождество(º)· {F(x;y)=0,$у=f(x),х
принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) º0}
Правило
нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то
тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]/=0/}
Формула
Лейбница.
y(n)=(uv)(n)=(u)(n)v+nu(n-1)v|+([n(n-1)]/[1*2])*n(n-2)v||+…+uv(n)
Дифференцирование
ф-ии в точке.
Ф-ия
y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х0, если Dy=ADx+O(Dx), где А не
зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. limDx®0O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.
Теорема:
y=f(x) дифф-ма в т-ке Х0 т и тт, когда она в этой т-ке имеет
конечную производную A=f\(x0).
Необход
усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)
f\(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDx®0[(ADx+O(Dx))/Dx] = limDx®0(A+O(Dx)/Dx)=A
=> Dy=f\(x0)Dx+O(Dx) => limDx®0Dy=0 => f(x) – непрерывна.
Достат
усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма.
Дано: $f\(x0) – число, f\(x0)=limDx®0Dy/Dx => Dy/Dx=f\(x0)+a(Dx) {a(Dч) – б.м.}, Dy=f\(x0)Dx+a(Dx)Dx => Dy=f\(x0)Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => limDx®0O(Dx)/Dx=limDx®0a(Dx)=0.
Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит DХ.
Приближ
знач ф-ии в некот т-ке: Dy=f(x0+Dx)-f(x0) =>f(x0+Dx)=f(x0)+Dy»f(x0)+df(x0)=f(x0)+f\(x0)dx,
dx=Dx.
Непрерывность.
-фун.
y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел
фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0).limf(x)=f(x0)
Условия:
1.
f(x) – опред ф-ия; 2. $limx®x0-0f(x) $limx®x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limx®x0-f(x)=limx®x0+f(x);
4. limx®x0±f(x)=f(x0).
Если
Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род
Если
Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.
Если
Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.
Св-ва
непрерывности в точке:
1.Если
фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то
сумма (разность) y(х)=f1(x)±f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x),
а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть
непрерывная фун в точке х0.
Док-во
(суммы): По определению получ limх®х0f1(x)=f1(x0) и limх®х0f2(x)=f2(x0) на основании
св-ва1 можем написать: limх®х0у(х)=limх®х0[f1(x)+f2(x) ]=
=limх®х0f1(x)+limх®х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0).
Итак сумма есть непрерывная фун.·
2.Всякая
непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
3.Если
фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0.
Если
фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то
говорят, что фун непреывна на этом интервале.
Бесконечно малая последовательность
Последовательность - это функция, заданная на множестве
натуральных чисел . Число называется пределом
последовательности , если для любого
положительного числа , как бы мало оно
ни было, существует такой номер , что для всех , c номерами справедливо
неравенство . Неравенство , эквивалентное
неравенству , означает, что для любого
существует такой номер , что все c номерами , расположены
между и .
Последовательность, предел которой конечное число ,
называется сходящейся и ее
предел обозначают . Если изобразить элементы последовательности на плоскости точками с координатами , то неравенства означают,
что все точки с номерами расположены
между параллельными оси абсцисс прямыми и
.
f(x)
|
|
f(x)
|
|
f(x)
|
|
C
|
0
|
|
|
cosx
|
-sinx
|
x
|
1
|
lnx
|
1/x
|
tgx
|
1/cos2x
|
xn
|
nxn-1
|
ax
|
axlna
|
arcsina
|
|
|
1/(2)
|
|
|
arccosa
|
-
|
1/x
|
-1 / x2
|
sinx
|
cosx
|
arctgx
|
1/(1+x2)
|
Производная
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точкиx. Пусть Dx приращение аргумента в точке x.
Обозначим через Dy или Df приращение функции, равное f(x+Dx)–f(x). Отметим здесь, что функция
непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Dx соответствует бесконечно малое
приращение функции Df.
Отношение
Df/Dx, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой
y=f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.
Представим
себе процесс, в котором величина Dx, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N
будет двигаться вдоль кривой y=f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет
вращаться около точки M так, что при очень малых величинах Dx её угол наклона a будет сколь угодно близок к углу j наклона касательной к кривой в точке x.
Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции
y=f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно
провести касательную к графику функции.
Отношение
Dy/Dx или, что то же самое (f(x+Dx)f(x))/Dx, можно
рассматривать при заданном x как функцию аргумента Dx. Эта функция не определена в точке Dx=0. Однако её предел в этой точке может
существовать.
Если
существует предел отношения (f(x+Dx)–f(x))/Dx в точке Dx=0, то он называется производной функции
y=f(x) в точке x и обозначается y¢ илиf¢(x):
Нахождение производной функции y=f(x) называется дифференцированием.
Если
для любого числа x из открытого промежутка (a,b) можно вычислить f¢(x), то функция f(x) называется
дифференцируемой на промежутке (a,b).
Геометрический
смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x
равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Производная это скорость изменения функции в точке x. Из определения
производной следует, что f¢(x)»Df/Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем
меньше Dx. Производная f¢(x) является приближенным коэффициентом пропорциональности
между Df и Dx.Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых
функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в
точке x0, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём
угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены
на рисунке.
Так функция y=êxê не имеет производной в точке x=0, хотя
является непрерывной в этой точке.
Ниже
приводится таблица производных элементарных функций.. Если функция имеет
производную в точке, то она непрерывна в этой точке. . Если функция имеет
производную в точке, то она непрерывна в этой точке.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.stydent.od.ua/