Антье и ее окружение
Антье и ее окружение
Андреев А.А., Савин А.Н.
Антье и ее свойства
Целой
частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не
превосходящее x. Обозначается целая часть x символом "[x]". Далее
целую часть x будем также называть "антье" (от франц.
entire -целый). Например: [3,5]=3, [-3,5]=-4, [3]=3, [-5]=-5.
Наряду
с целой частью числа существует понятие дробной части числа, которая
обозначается "{x}" и определяется следующим образом: {x} = x-[x]. Так
{3,5}=0.5, {-3,5}=-0.5, {5}=0, {-5}=0. Очевидно, что для любого действительного
числа x выполняется двойное неравенство:0 Ј {x} < 1.
Антье
обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них.
1.
Если x і 0, то [x] і 0. Если x < 0, то [x] < 0.
2.
Если p - целое число, то [x+p] = [x]+p.
Так
как дробная часть числа x равна дробной части числа x+p, то из равенства {x+p}
= {x} следует x+p-[x+p] = x-[x], откуда получаем [x+p] = [x]+p.
3.
Для любых двух действительных чисел a и b справедливо [a+b] і [a]+[b].
Действительно,
a = [a]+{a}, b = [b]+{b}. Следовательно, a+b = [a]+[b]+{a}+ {b}. Так как[a] и
[b] - целые числа, то по свойству 2
[a+b]
= [[a]+ [b]+{a}+{b}] = [a]+[b]+[{a}+ {b}] і [a]+ [b],
потому
что {a}, {b} і 0 и по свойству 1 [{a}+ {b}] і 0.
Свойство
3 распространяется также на любое конечное число действительных чисел:
[a+b+...+w]
і [a]+[b]+...+ [w].
4.
Если [x] = [y], то |x-y| < 1.
Так
как x = [x]+{x}, y = [y]+{y}, то |x-y| = |[x]+{x}-[y]-{y}| = |{x}-{y}| <1.
Последнее неравенство следует из того, что дробная часть числа больше или равна
нулю и меньше единицы. Следовательно, разность дробных частей двух чисел больше
-1 и меньше 1, а модуль этой разности меньше 1. Отсюда |x-y| < 1.
5.
Если n - натуральное число, то для любого действительного x выполняется
|
é
ê
ë
|
|
[x]
n
|
|
ù
ú
û
|
=
|
é
ê
ë
|
|
x
n
|
|
ù
ú
û
|
.
|
|
Так
как x = nq+r+a, 0 Ј r < n, a = {x}, то
|
é
ê
ë
|
|
[x]
n
|
|
ù
ú
û
|
=
|
é
ê
ë
|
|
nq+r
n
|
|
ù
ú
û
|
=
|
é
ê
ë
|
q+
|
r
n
|
|
ù
ú
û
|
é
ê
ë
|
|
x
n
|
|
ù
ú
û
|
=
|
é
ê
ë
|
|
nq+r+a
n
|
|
ù
ú
û
|
=
|
é
ê
ë
|
q+
|
r+a
n
|
|
ù
ú
û
|
= q.
|
Теперь,
познакомившись с целой и дробной частью, можно рассмотреть следующий
Пример
1. Доказать, что для всех вещественных a и b выполняется неравенство
[a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b].
|
|
Решение.
Пусть
[a+b] = [a]+[b]+e3; [2a] = 2[a]+e1; [2b] = 2[b]+e2;
где ei - целое. Покажем, что e3 равно 0 или 1. Имеет
место неравенство
-1 = a+b-1-a-b <
[a+b]-[a]-[b] < a+b-a+1-b+1 = 2.
|
|
Отсюда
получаем, что -1 < e3 < 2, откуда e3 = 0 или e3
= 1, то же верно для e1, e2. Рассмотрим разность
[2a]+[2b]-[a]-[b]-[a+b] =
[a+a]+[b+b]-[a]-[a+b]-[b] =
|
= [a]+[a]+e1+[b]+[b]+e2-[a]-[a]-[b]-e3-[b]
= e1+e2-e3.
|
|
Осталось
показать, что e1+e2-e3 і 0, ei = 0
или 1. Это неравенство может быть нарушено только при e1 = e2
= 0 и e3 = 1. Покажем, что это невозможно. Если e1 = 0 то
[2a] = 2[a], т.е. a = N+d, где N - целое, а 0 Ј d < 0,5, аналогично, b
= K+l, где K - целое, а 0 Ј l < 0,5, но тогда [a+b] = N+K = [a]+[b],
т.е.e3 = 0. Мы пришли к противоречию, следовательно [a]+[a+b]+[b] Ј
[2a]+[2b], что и требовалось доказать.
Пример
2. Найдите
Решение
Число
Nn = (2+Ц2)n+(2-Ц2)n является целым при любом
натуральном n. Поэтому
|
lim
n®Ґ
|
{(2+Ц2)n} =
|
lim
n®Ґ
|
{Nn-(2-Ц2)n} =
|
lim
n®Ґ
|
{-(2-Ц2)n} =
|
lim
n®Ґ
|
(1-{(2-Ц2)n}) = 1,
|
|
так
как {-z} = 1-{z}, если z - не целое число, и |2-Ц2| < 1.
Пример
3. Найдите [x], если x=1+(1/2)2+(1/3)2+...+(1/1997)2.
Решение
Для
любого натурального числа n і 2 справедлива оценка
|
1
N2
|
<
|
1
n(n-1)
|
1
n-1
|
-
|
1
n
|
.
|
|
Применим
эту оценку ко всем слагаемым числа x, начиная со второго:
x < 1+
|
æ
ç
è
|
1-
|
1
2
|
|
ö
÷
ø
|
+
|
æ
ç
è
|
|
1
2
|
-
|
1
3
|
|
ö
÷
ø
|
+...+
|
æ
ç
è
|
|
1
1996
|
-
|
1
1997
|
|
ö
÷
ø
|
= 2-
|
1
1997
|
< 2.
|
|
Так
как 1 < x < 2, то [x] = 1.
Графики антье
Наверно
вы уже где-нибудь встречали графики функции y=[x], так называемые
"ступени", и y={x} - "забор"; оба графика приведены на
рисунках ниже.
<>
|
<>
|
Рассмотрим
общий метод построения графиков функций y=[f(x)], y=f([x]), y={f(x)}, y=f({x}).
Построение графика функции y=[f(x)].
Итак,
пусть график функции y=f(x) построен (рисунок ниже слева черным цветом).
Построение графика функции y=[f(x)] выполняют в следующем порядке:
<>
|
<>
|
1)
проводят прямые y= n (n ОZ) и рассматривают одну из полос, образованных прямыми
y=n и y=n+1;
2)
точки пересечения прямых y=n, y=n+1 с графиком функции y=f(x) будут
принадлежать графику функции y=[f(x)], поскольку их ординаты - целые
числа; другие точки графика y=[f(x)] в рассматриваемой полосе получим как
проекцию части графика y=f(x) на прямую y=n, поскольку любая точка этой части
графика функции y=f(x) имеет такую ординату y1, что n Ј y1
< n+1, т.е. [y1] = n;
3)
в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение
проводится аналогично.
Пример
построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График
функции y=[arcsin x] выделен красным цветом).
Построение графика фунции y=f([x]).
Пусть
график функции y=f(x) построен (рисунок слева ниже черным цветом). Построение
графика функции y=f([x]) выполняют в следующем порядке:
<>
|
<>
|
1)
проводят прямые x=n (n ОZ) и рассматривают одну из полос, образованную линиями
x=n, x=n+1;
2)
точки пересечения графика функции y=f(x) с прямыми y=n принадлежат графику
функции y=f([x]), поскольку их абсциссы - целые числа; другие точки
графика функции y=f([x]) в рассматриваемой полосе получим как проекцию части
графика функции y=f(x), которая находится в этой полосе, на прямую y=f(n),
поскольку любая точка этой части графика имеет такую абсциссу x1,
что n Ј x1 < n+1, т.е. [x1]=n;
3)
в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение
производится аналогично.
Пример
построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График
функции y=[ax]2 выделен красным цветом).
Построение графика фунции y={f(x)}.
Теперь
рассмотрим метод построения графика функции y={f(x)}, а так как
{f(x)}=f(x)-[f(x)], то вместо графика функции {f(x)} строят разность графиков
функций y = f(x) и y = [f(x)]. График на левом рисунке выделен красным цветом.
<>
|
|
Практически
это построение выполняют так: 1) строят график функции y=f(x) и проводят прямые
y=n (n ОZ);
2)
в точках пересечения этих прямых с графиком функции y=f(x) проводят прямые,
параллельные оси ординат. Значения функции y={f(x)} попадают в образованные
прямоугольники. Части графика функции y = f(x), которые попали в эти
прямоугольники и располагаются в верхней полуплоскости, опускают вниз на
расстояние n. Части графика функции, попавшие в нижнюю полуплоскость переносят
вверх на расстояние |n|+1.
Пример
построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа. (График
функции y={ax} выделен красным цветом).
Построение графика фунции y=f({x}).
1)
строят график функции y=f(x) на [0; 1);
2)
продолжают этот график, учитывая свойство периодичности функции y=f({x}) и
y=1/x2.
<>
|
|
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ssu.samara.ru/