Математическая модель прогноза 'Изменение объема грузооборота предприятий транспорта в 2014 г.'

Математическая модель прогноза 'Изменение объема грузооборота предприятий транспорта в 2014 г.'

Введение

Для большинства российских организаций высококвалифицированное управление становится одним из условий конкурентной способности и успешного функционирования. При этом обеспечение эффективности такого управления требует умения предвидеть вероятное будущее состояние организации и среды, в которой оно существует, вовремя предупредить возможные сбои и срывы в работе. Это достигается с помощью прогнозирования как плановой, так и практической работы организации по всем направлениям его деятельности, и в частности, в области прогнозирования реализации товаров, работ, услуг.

Многообразие проблем, возникающих при обеспечении жизнедеятельности организации и являющихся предметом прогнозирования, приводит к появлению большого количества разнообразных прогнозов, разрабатываемых на основе определенных методов прогнозирования. Поскольку современная экономическая наука располагает большим количеством разнообразных методов прогнозирования, каждый менеджер и специалист по планированию должен овладеть навыками прикладного прогнозирования, а руководитель, ответственный за принятие стратегических решений, должен к тому же уметь сделать правильный выбор метода прогнозирования.

Источником данных для построения трендовой модели изменения объемов грузооборота предприятий транспорта (таблица 1) является официальный сайт Федеральной службы государственной статистики РФ (Росстат).

Таблица 1 Изменение объемов грузооборота предприятий транспорта в РФ, (млн. тонн)

Первая задача, которая возникает при анализе рядов динамики, заключается в выявлении основной тенденции развития изучаемого явления (тренда).

Задача - необходимо построить математическую модель прогноза "Изменение объема грузооборота предприятий транспорта в 2014г".

В зависимости от горизонта прогнозирования прогноз может разрабатываться на очень короткий период времени - до месяца (например, недельные и месячные прогнозы объемов продаж, движения наличности), на год, а также на 2-3 года (среднесрочный прогноз), 5 и более лет (долгосрочный прогноз). В нашем случае прогноз будет среднесрочный.

По типам прогнозирования выделяют поисковые, нормативные и основанные на творческом видении прогнозы. Поисковое прогнозирование - способ научного прогнозирования от настоящего к будущему: прогнозирование начинается от сегодняшнего дня, опирается на имеющуюся информацию и постепенно проникает в будущее. Существуют два вида поискового прогнозирования: а) экстраполятивное (традиционное), б) альтернативное (новаторское).

Экстраполятивный подход предполагает, что экономическое и прочее развитие происходит гладко и непрерывно, поэтому прогноз, может быть простой проекцией (экстраполяцией) прошлого в будущее.

Альтернативный подход базируется на том, что внешняя и внутренняя среда бизнеса подвержена постоянным изменениям, вследствие чего: а) развитие организации происходит не только гладко и непрерывно, но и скачкообразно и прерывисто, б) существует определенное число вариантов будущего развития организации.

В зависимости от степени вероятности будущих событий прогнозы делятся на вариантные и инвариантные.

Инвариантный прогноз предполагает только один вариант развития будущих событий. Он возможен в условиях высокой степени определенности будущей среды.

Вариантный прогноз основывается на предположении о значительной неопределенности будущей среды и, следовательно, наличии нескольких вероятных вариантов развития.

По способу представления результатов прогнозы делятся на точечные и интервальные.

Точечный прогноз исходит из того, что данный вариант развития включает единственное значение прогнозируемого показателя.

Интервальный прогноз - это такое предсказание будущего, в котором предполагается некоторый интервал, диапазон значений прогнозируемого показателя.

Единого, универсального, метода прогнозирования не существует. В связи с огромным разнообразием прогнозируемых ситуаций имеется и большое разнообразие методов прогнозирования (свыше 150).

Группа простых методов объединяет однородные по содержанию и используемому инструментарию методы прогнозирования (например, экстраполяция тенденций, морфологический анализ и др.).

Комплексные методы отражают совокупности, комбинации методов, чаще всего реализуемые специальными прогностическими системами (например, методы прогнозного графа, система "Паттерн" и др.).

Кроме того все методы прогнозирования поделены еще на три класса: а)фактографические методы; б) экспертные методы; в) комбинированные методы. В основу их выделения положен характер информации, на базе которой составляется прогноз: 1) фактографические методы базируются на фактическом информационном материале о прошлом и настоящем развитии объекта прогнозирования. Типы прогнозирования:

а) поисковые,

б) нормативные,

в) основанные на творческом видении.

Степень вероятности будущих событий:

а) вариантные,

б) инвариантные.

Способ представления результатов прогноза:

б) интервальные

Не стоит отказывать себе в возможности прогнозирования с применением несложных статистических методов, при правильном использовании они показывают результаты достаточно высокой степени точности. Средняя точность таких прогнозов обычно убывает увеличением горизонта прогнозирования. В определенном смысле можно говорить о правиле "длиннее прогнозы больше ошибки". Каждая из потенциальных составляющих прогноза - экстраполяция временных рядов и связей между ними, внешняя информация, а также мнения экспертов - "ухудшается" при удлинении горизонта прогнозирования. Для прогнозирования отдаленных периодов будущего необходимо применение иных методов.

. Проверка гипотезы на наличие тенденции

Тенденция - это основное направление, закономерность в развитии явления процессов.

Тренд - это аналитическая функция, которая описывает тенденцию изменения явления и связывает единым законом развития все последующие уровни ряда динамики.

Для облегчения восприятия построим график изменения грузооборота предприятий транспорта в России с 1994 г. По 2013 г. (рисунок 1).

Рисунок 1 График изменения грузооборота предприятий транспорта с1994 -2013 г. г.

Анализируя данные в целом можно сказать, что объем грузооборота показывает тенденцию к росту за указанный период, и эту общую тенденцию (движения на повышение или понижение) принято называть трендом.

Тренд, однако, не является единственной составляющей ряда. На фоне отчетливого повышения отклика можно выделить периоды ускоренного и замедленного роста, а иногда и падения объема грузооборота. Считается, что тренд осложнен существованием циклической компоненты (циклической составляющей) и нерегулярной компоненты. При анализе рядов с более коротким шагом (квартальные или месячные данные) могут обнаружится и короткопериодичные отклонения от тренда, повторяющиеся с той или иной устойчивостью из года в год; эти отклонения объясняют существованием сезонной компоненты в отклике. Факторов, влияющих на значения данного временного ряда очень много, например: гос. программы, изменение численности персонала, благосостоянии, системе ценностей и т.д..

Прежде чем перейти к выделению тренда, следует проверить гипотезу о том, существует ли он вообще. Проверку проведем методом разности средних уровней. Метод заключается в том, что весь исходный ряд динамики разбивается на две, приблизительно равные части, каждая из которых рассматривается как самостоятельная независимая нормально распределенная совокупность. Если исходный ряд имеет тенденцию, то средние вычисленные для двух совокупностей должны существенно и значимо различаться между собой. Если расхождение между средними не значимо и случайно, то в ряду динамики отсутствует тенденция среднего уровня. Выдвигается гипотеза  о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей. Проверка гипотезы осуществляется на основе расчета и анализа t-критерия Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле вида t расч.=  (1)

Проведем проверку:

. Исходный ряд разбиваем на две приблизительно равные части, т.е. n₁~ n₂ , n₁ +n₂ = n;

. Для каждой части вычисляем средние значение уровней показателя y₁ и y₂:

;  (2)

Таблица 2.Исходные данные

и дисперсии S₁, S₂:

 (3)

Таблица 3. Вычисление средних значений уровней показателей исходных данных

3. Проводим проверку с использованием t- критерия Стьюдента

Необходимое значение S определяем по формуле средней взвешенной величины дисперсий отдельных совокупностей:

; ; ;  ;

 при  и

Если t расчетное больше t критического, то гипотеза о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей отвергается, следовательно, средние различаются существенно, следовательно, существует тенденция средней и, следовательно, существует тренд. С помощью данного метода мы проверили нулевую гипотезу  о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей. Данная гипотеза означает, что если дисперсии вычисленные для двух совокупностей существенно, значимо различаются между собой, то в целом в ряду динамики существует тенденция дисперсии и, следовательно, существует тренд. Так как  делаем вывод о наличии тренда.

2. Обоснование периода упреждения прогноза

Период основания прогноза - промежуток времени, на базе которого строится ретроспекция. Период упреждения прогноза - промежуток времени, на который разрабатывается прогноз. Считается, что период упреждения прогноза не должен превышать 1/3 периода основания прогноза, либо должен быть достаточен для разработки прогноза. Иначе доверительные интервал для линии тренда, а следовательно, и для прогностических оценок окажутся весьма широкими. Поэтому, задавшись некоторыми ограничениями на размер ошибки прогноза или ошибки уравнения тренда, можно найти минимальное число наблюдений, при котором поставленное условие будет соблюдено.

 (4)

- представляет собой среднюю квадратическую ошибку уравнения, измеренную в единицах среднеквадратического отклонения от тренда.

Допустим, что средняя квадратическая ошибка не должна превышать 1 при . Тогда

, откуда

Так как по исходным данным мы имеем , то делаем вывод, что этих данных будет достаточно для построения прогноза.

3. Выбор оптимальной прогнозной модели по коэффициенту детерминации

Для выбора оптимальной прогнозной модели рассмотрим четыре модели линейную, степенную, логарифмическую и экспоненциальную. Определим для каждой из них коэффициент детерминации и величину стандартной ошибки.

Модель линейная

Линейный метод наименьших квадратов позволяет по серии наблюдений установить параметры линейного уравнения вида

где  - теоретические уровни; - средний спрос; - среднегодовой абсолютный прирост; - обозначение времени.

Для определения параметров а и b способом наименьших квадратов воспользуемся формулами:

 (6)

 (7)

и далее:  - величина стандартной ошибки (8)

 -полная дисперсия зависимой переменной (9)

 -коэффициент детерминации (10)

 -дисперсия прогноза (11)

Таблица 4. Расчет параметров линейной модели

По формуле (6)

По формуле (7)

Уравнение тренда имеет вид:

По формулам (8), (9), (10) соответственно

Коэффициент детерминации будет иметь значение

Для наглядности построим график изменения грузооборота и добавим линию тренда (тип линейный) рисунок 2.

Рисунок 2. График изменения грузооборота предприятий транспорта с1994-2013 гг. с изображением тренда (тип линейный)

Модель степенная

 (12)

Для ускорения расчетов и минимизации человеческого фактора при длинных расчетах, построим вычисления с помощью Excel.

Таблица 4. Расчеты параметров степенной модели

По формуле (6)

По формуле (7)

Уравнение тренда имеет вид:

По формулам (8), (9), (10) соответственно

Коэффициент детерминации будет иметь значение .

Для наглядности построим график изменения грузооборота и добавим линию тренда (тип степенной) рисунок 3.

Рисунок 3. График изменения грузооборота предприятий транспорта с 1994-2013 г. г. с изображением тренда (тип степенной).

Модель экспоненциальная простая

 (13)

Таблица 5. Расчет параметров экспоненциальной модели

По формуле (6)

По формуле (7)

Уравнение тренда имеет вид:

По формулам (8), (9), (10) соответственно

Коэффициент детерминации будет иметь значение

Для наглядности построим график изменения спроса и добавим линию тренда (тип экспоненциальный) рисунок 4.

Рисунок 4. График изменения грузооборота предприятий транспорта с 1994-2013 г. г. с изображением тренда (тип экспоненциальный).

Логарифмическая модель

 (14)

Таблица 6. Расчет параметров логарифмической модели

По формуле (6)

По формуле (7)

Уравнение тренда имеет вид:

По формулам (8),(9),(10) соответственно

Коэффициент детерминации будет иметь значение

Для наглядности построим график изменения спроса и добавим линию тренда (тип логарифмический) рисунок 5.

Рисунок 5. График изменения грузооборота предприятий транспорта с1994-2013 г. г. с изображением тренда (тип логарифмический).

Полученные данные сведем в таблицу:

Таблица 7. Сводные данные по типам моделей

Итак, мы рассмотрели четыре вида регрессии: линейная, степенная, экспоненциальная простая, логарифмическая. Анализируя величину стандартной ошибки и коэффициент детерминации можно сделать вывод, что лучшей моделью описывающей исходные данные является экспоненциальная простая. Но однозначно этого сказать нельзя, поскольку проверить качество прогноза можно будет только в будущем, сравнив предсказанное значение с реальностью. И все таки следует ожидать, что модель, хорошо описывающая существующие данные, будет также хорошо прогнозировать.

. Получение точечного и интервального прогноза

Для получения более точного прогноза и выбора наилучшего результата рассчитаем и сравним прогноз наилучшей модели - экспоненциальная простая с менее удачной моделью -линейной .

Получим точечный и интервальный прогноз экспоненциальной простой модели:

Таблица 5.Расчеты параметров экспоненциальной модели

По формуле (11) дисперсия прогноза равна:

Получим точечный и интервальный прогноз линейной модели:

По формуле (11) дисперсия прогноза равна:

Таблица 8. Расчет параметров линейной модели

тенденция прогноз детерминация линейный

Заключение

В прогнозировании много определяется субъективизмом исследователя, как его опытом и интуицией, так и его же предрассудками и заблуждениями. Поэтому прогнозы любых специалистов должны постоянно перепроверяться, а когда получаются новые данные, то необходимо не только включить их в выбранную модель прогноза, но и пересчитать все рассматриваемые модели, и не исключено, что для новых прогнозов даже придется отказаться от привычной модели в пользу лучшей.

Наряду с исходными статистическими данными стоит обращать внимание и на другие аспекты, которые, пожалуй, так же обладают большими весомыми характеристиками при составлении прогнозов, например: изменения государственных программ, численности сотрудников, благосостоянии, системе ценностей и т.д.

Прогнозирование проводилось с использованием метода наименьших квадратов.

Среди рассмотренных нами моделей наилучшей по всем показателям выделилась экспоненциальная модель. Она имеет наименьшую величину стандартной ошибки и коэффициент детерминации - 0,92, а так же сравнительно небольшой доверительный интервал. Однако при анализе отклонений прогнозных значений от исходных данных проявляется выраженный тренд в значениях ошибок, что говорит о некорректном учете трендовой составляющей моделируемого процесса.

Хотя экспоненциальная модель лучше описывает исходные данные и имеет лучшие показатели, предпочтение отдадим линейной модели.

С помощью найденного уравнения осуществлены точечный и интервальный прогноз объемов грузооборота преприятий транспорта в РФ в 2014 году. С вероятностью 92 % можно утверждать, что объем перевозок грузов авиатранспортом в РФ в 2014 году будет находиться в интервале от 5016,84 до 6221,9 млн тонно.

В данном случае следует либо провести исследования с большим периодом ретроспекции, либо попробовать построить прогноз другими методами, что позволит получить более достоверный прогноз.

Список литературы

1. Голик Е.С. Теория и методы статистического прогнозирования: Учебное пособие /Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007. - 182 с.

. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. изд. 2-е, перераб. и доп. М., "Статистика", 1977.-200 с.: http://uran.donetsk.ua/~masters/2001/fvti/zcherkasova/diss/bibl/index.htm

. Орлов А.И. Основы теории принятия решений. - М.: 2002. - 51 с: http://orlovs.pp.ru/

.Статистика: Учебник / И.И. Елисеева. - М.: Высшее образование, 2009.

. Практикум по теории статистики: Учебное пособие / Р.А. Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова; под ред. Р.А. Шмойловой. -3-е изд. - М.: Финансы и статистика, 2008.

. Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А. Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие./ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики - М., 2001 г., 67 с.

. официальный сайт федеральной службы государственной статистики- http://www.gks.ru/