Розв’язування задач різними способами
1. Загальні питання методики навчання розвязуванню задач
1.1Поняття математична та арифметична задачі. Що означає навчити учня розвязувати задачі
математичний арифметичний задача учіння
Одна з найактуальніших проблем методики початкового навчання математики - формування поняття про задачу.
Вчитель обовязково повинен враховувати психологічні особливості сприйняття і засвоєння молодшими школярами нової інформації. В роботі вчитель повинен враховувати послідовність у подачі навчального матеріалу з усіх тем курсу математики щодо розвязування і повинна визначитися динаміка вивчення окремих видів задач і динаміка формування в учнів уміння розвязувати спочатку прості, а потім складні задачі. Методика роботи над усіма видами задач повинна ґрунтуватися на використанні памяток та опорних схем.
Під задачею розуміють вимогу або запитання про знаходження невідомої величини за числовими даними та залежностями між ними.
Під математичною задачею розуміють будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, що стосується кількісних відношень і просторових форм.
Арифметичною задачею називають вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числові значення інших величин і залежність, яка повязує ці величини як між собою, так і з шуканою.
Кожна задача складається з умови і запитання. Під умовою задачі розуміють числові дані, їх не повинно бути менше двох. В умові задачі вказуються до того ж звязки між даними числами та між даними і шуканим. Ці звязки визначають вибір відповідної арифметичної дії. Запитання вказує, яке число є шуканим.
Таким чином, аналіз самого поняття задача дає змогу виділити в ній три елементи: числові дані, запитання, звязки між шуканою величиною та числовими даними.
Розвязати задачу - це означає розкрити звязки між даними і невідомими значеннями величини або між даними та невідомими величинами., і на цій підставі вибрати, а потім виконати арифметичну дію та дати відповідь на запитання задачі.
Отже, навчити дітей розвязувати задачі - це означає навчити їх:
¾відокремлювати числові дані задачі;
¾пояснювати, що означає кожне число в задачі;
¾виділяти запитання задачі;
¾встановлювати звязки між даними і невідомими значеннями величини або між даними та невідомими величинами;
¾актуалізувати знання, на підставі яких вибирається арифметична дія;
¾обґрунтовувати вибір арифметичної дії;
¾виконувати арифметичну дію;
¾давати відповідь на запитання задачі;
¾виконувати перевірку розвязання.
.2 Ступені у навчанні розвязування задач
У методиці навчання розвязування задач виділяють ступені:ступінь - підготовча робота до розвязання задач;ступінь - ознайомлення з розвязуванням задач;ступінь - формування вмінь розвязувати задачі.
Мета підготовчої роботи (I ступінь) полягає у формуванні в учнів готовності до засвоєння вміння розвязувати задачі нового виду. Тому на цьому ступені учні повинні засвоїти:
¾обєкти та життєві ситуації, про які йдеться в задачі;
¾звязки на підставі яких обирається арифметична дія.
Під час ознайомлення з простими задачами різних видів (II ступінь) учні вчаться встановлювати звязки між даним та шуканим, і на цій підставі обирати арифметичну дію, тобто переходити від конкретної ситуації, що описана в задачі, до вибору відповідної арифметичної дії. Під час ознайомлення з певними видами складених задач вони повинні побачити та усвідомити особливості таких задач, які виявляються в:
¾структурі тексту задачі;
¾короткому записі;
¾пошуку розвязування задачі;
¾записи розвязування.
На III ступені здійснюється узагальнення способу розвязування задач, формується вміння розвязувати задачі даного виду.
Формування вміння розвязувати певні види задач краще за теорією поетапного формування розумових дій П.Я. Гальперіна і П.Ф. Тамізіної.
.3 Етапи в роботі над задачею
Ознайомлення зі змістом задачі. Аналіз умови задачі
Ознайомитися - це означає, прочитавши задачу, уявити собі життєву ситуацію, яка відображена в ній.
Під час ознайомлення задача читається двічі: перший раз - для ознайомлення із її змістом вцілому, а другий - для відокремлення кожної смислової одиниці тексту в окрему частину. Цей поділ задачі проводиться з метою виділення числових даних.
Читаючи задачу вчитель одночасно навчає дітей правильно працювати над текстом задачі: паузами, наголосом та інтонацією виділяє числові дані та слова, які визначають вибір арифметичної дії. Якщо в задачі є невідомі дітям слова, незрозумілі терміни, то їх слід пояснити заздалегідь, використовуючи предметні ілюстрації або малюнки, з метою уявлення життєвої ситуації можна показати зміст задачі та намалювати словесну картинку.
Під час аналізу умови задачі доцільно провести:
1.бесіду по виділенню умови та запитання задачі, по виділенню числових даних і шуканих величин та звязків між ними.
2.ілюстрування задачі способом застосування предметів, малюнків та схем;
.складання короткого запису, у якому фіксуються величини, числа дані та шукані, а також слова, які показують про що йде мова в задачі: «було», «поклали», «стало» та слова, які позначають відношення «більше», «менше», «однаково» та інші.
Пошук розвязування задачі
Пошук розвязування задачі може бути здійснений від запитання задачі до числових даних, тобто аналітично, або від числових даних задачі до її запитання - синтетично. На думку багатьох методистів під час пошуку способу розвязування складених задач доцільно застосовувати аналіз, ніж синтез. Це пояснюється тим, що під час аналізу попереджається випадковість вибору числових даних, а особлива увага приділяється обґрунтуванню вбору арифметичної дії.
Для складених задач пошук розвязання задачі завершується складанням плану розвязування задачі, в якому обговорюється про те, що ми дізнаємося першою дією, другою дією і т.д.
Запис розвязання та відповіді задачі
Розвязання задачі - це виконання арифметичних дій, що були обрані під час складання плану розвязування.
Розвязування задачі може бути здійснено усно чи письмово. Відповідь записується коротко, якщо у розвязуванні присутні пояснення, та розгорнено, якщо розвязання подане без пояснень.
Робота над задачею після її розвязання
Ця робота полягає у перевірці правильності розвязку. В початкових класах використовують чотири способи перевірки:
1.Складання та розвязування оберненої задачі. Якщо під час розвязування оберненої задачі в результаті отримаємо число, яке було відоме в даній задачі, то можна вважати, що задача розвязана правильно.
Цей спосіб перевірки вводиться в 2 класі.
Слід обовязково вказувати дітям, яке число буде шуканим в оберненій задачі.
2.Встановлення відповідності між числами, які одержали в результаті розвязування задачі і даними числами.
.Розвязування задачі іншим способом. Слід памятати, що два способи не можна вважати різними, якщо вони відрізняються лише порядком дій.
4.Прикидка відповіді (встановлення відповідності шуканого числа області своїх значень). Використовуючи цей спосіб, перевіряють розвязання простих і складених задач. Отже, в роботі над задачею виділяють такі етапи:
I.Ознайомлення з умовою задачі, аналіз умови;
II.Пошук способу розвязування задач;.Запис розвязування та відповіді задач;.Робота над задачею після її розвязування
2. Розвязування задач різними способами я засіб розвитку мислення школярів
Сучасні вимоги щодо підвищення загального математичного рівня розвитку школярів молодших класів реалізується завдяки найважливішому із методів роботи - розвязування задач різними арифметичними способами. Ця робота привчає дітей самостійно висувати гіпотези і перевіряти їх, порівнювати результати, доходити висновків, а головне, вона вчить мислити.
Вироблення звички шукати інший варіант розвязування дуже важливе для майбутньої творчої, зокрема наукової діяльності, а саме вміння знаходити неординарні шляхи вирішення проблеми, і це забезпечує успіх у будь - якій справі.
Керівна роль вчителя під час пошуку інших варіантів розвязання дуже важлива. Він сам повинен добре розвязувати задачі, знати наперед, скількома способами можна знайти відповідь у кожній з них, ефективно використовувати при цьому час уроку.
Як правило, пошуки різних способів розвязування дуже зацікавлюють учнів, особливо здібних до математики.
Поки вчитель розвязує задачу 1 способом з рештою класу, здібні до математики діти вже встигають знайти кілька інших способів.
Розвязування задач різними способами веде до розвитку і вміння всебічно аналізувати задану задачу.
Пошук іншого способу розвязування приводить до встановлення нових звязків між величинами або використання відомих звязків у нових умовах.
Слід наголосити, що розвязання, які відрізняються між собою лише порядком дій, не є різними.
М.В. Богданович у своїй книзі «Методика розвязування задачв початковій школі» пропонує таку класифікацію різних способів розвязання задач. Він розглядає способи розвязування на такій задачі:
У юнната були кроля і індики. Всього у цих кролів і індиків було по 10 голів і 26 ніг. Скільки кролів і індиків було в юнната?
.Спосіб випробування (спосіб проб і помилок)
Число кролівЧисло індиківЧисло ніг192228243726
Числа 3 і 7 підходять. У юнната було 3 кролі і 7 індиків.
.Спосіб оригінальної здогадки
Уяві, що всі кролі стали на задні ноги, а кожен індик на 1. в такій позі були б зайняті половина всіх ніг, тобто 13. це на три більше, ніж всього було голів. Отже кролів було 3.
.Спосіб припущення
Припустимо, що були самі індики. Тоді б ніг було тільки 20. Це на 6 менше, ніж було насправді. При заміні одного індика на кроля, тоді ніг збільшується на 2. отже, число кролів буде дорівнювати частці чисел 6 і 2 (6:2=3)
.Алгебрагічний спосіб
Х - число кролів
(10-х) - число індиків
х + 2 (10-х)=26
х+20=26
х=6
Х=3
.Узагальнений спосіб. Розглянемо задачу в загальному вигляді. Нехай число голів було п, а число ніг к. Позначимо кролів через х, а число індиків через у. дістанемо таку систему рівнянь.
.
х+у=п
х+2у=к
Звідки х=к/2-п
В даному разі
:2-10=3.
Кожен з розглянутих способів має свої переваги:
Метод проб і помилок готує до розуміння і застосування методу послідовних наближень, він широко використовується в науці.
Спосіб оригінальної догадки потребує образності та оригінальності мислення, вміння уявити реальну ситуацію так, щоб на першому плані були істотні ознаки розвязуваного обєкта.
Спосіб припущення ілюструє один з типових способі розвязування алгебрагічної задачі.
Алгебрагічний спосіб та спосіб узагальнення свідчать про ефективність застосування алгебри.
Ознайомлення з різними способами розвязування задачі здійснюється вже у другому класі.
Задача: У хлопчика бууло 8 білих кролів і 7 чорних. 5 чорних кролів він передав шкільній кролефермі. Скільки кролів стало у хлопчика?спосіб
1)Скільки у хлопчика всього кролів?
2)Скільки у хлопчика стало кролів?
II спосіб
1)Скільки залишилося чорних кролів?
2)Скільки у хлопчика стало кролів?
Задача
На льотному полі було 12 літаків. У політ вирушило 2 літаки, а потім ще 3. Скільки літаків залишилося на полі?
Поясни розвязання кожним способом:спосіб
) 2+3=5 (л)
) 12-5=7 (л)
II спосіб
3)12-2=10 (л)
4)10-3=7 (л)
Задача.У ящику було 12 кг цибулі. За перший день витратили 4 кг цибулі, а за другий 5 кг. Скільки кілограмів цибулі залишилося в ящику?спосіб
1) Скільки кілограмів цибулі залишилося після першого дня продажу?
) Скільки кілограмів цибулі залишилося після другого дня продажу?спосіб
) Скільки кілограмів цибулі продали першого і другого дня?
) Скільки кілограмів цибулі залишилося після двох днів продажу?
клас
Задача: Школярі зібрали з одного поля 1540 кг. Картоплі, причому 12 школярів зібрали по 75 кг кожний, а всі інші по 80 кг кожний. Скільки всього школярів збирали картоплю?спосіб
1.Скільки картоплі зібрали 12 школярів?
75*12=900 (кг)
2.Скільки картоплі зібрали ті, хто збирав по 80 кг кожний?
1540-900=640 (кг)
3.Скільки всього школярів збирали картоплю?
12+8=20 (шт.)
Відповідь: 20 школярів.спосіб
Припустимо, що всі школярі збирали по 800 кг картоплі.
.На скільки більше збирав би кожний із школярів?
-75=5 (кг)
.На скільки більше картоплі зібрали б усі 12 школярів?
*12=60 (кг)
.Скільки б усього зібрали б картоплі за припущенням?
+60=1600 (кг)
.Скільки всього школярів збирали картоплю?
:80=20 (шк.)
Відповідь: 20 школярів.спосіб
Припустимо, що школярів, котрі збирали по 80 кг картоплі кожний було стільки ж, скільки й тих, кожний з яких збирав по 75 кг, тобто 12.
Скільки б усього зібрали б картоплі за припущенням?
(75+80)*12=1860 (кг)
На скільки більше картоплі зібрали б за припущенням, ніж насправді?
-1540=320 (кг)
Скільки школярів зібрали б ці 320 кг?
Скільки школярів насправді збирали по 80 кг картоплі?
-4=8 (шк.)
Скільки всього школярів збирали картоплю?
+8=20 (шк.)
Відповідь: 20 школярів.спосіб
Припустимо, що картоплю збирали 25 чоловік.
1.Скільки було б тих, хто збирав по 80 кг картоплі?
25-12=13 (шк.)
2.Скільки картоплі зібрали б ці 13 школярів?
80*13=1040 (кг)
3.Скільки картоплі зібрали 12 школярів?
75*12=900 (кг)
4.Скільки за припущенням зібрали б картоплі всі учні?
900+1040=1940 (кг)
5.На скільки більше картоплі зібрали всі школярі за припущенням, ніж насправді?
1940-1540=400 (кг)
6.Скільки школярів, збираючи по 80 кг, спроможні заготовити таку кількість картоплі?
400:80=5 (шк.)
7.Скільки школярів насправді збирало по 80 кг картоплі?
13-5=8 (шк.)
8.Скільки всього школярів збирали картоплю?
8+12=20 (шк.)
Відповідь: 20 школярів.
Розвязування задач різними способами активізує різні аспекти математичної діяльності учнів.
У початкових класах прийом розвязання задач різними способами навчально - пропедевтичний характер.
Треба зясувати можливість розвязання задач різними способами; застосувати їх при ілюстрації деяких властивостей арифметичних дій, наприклад, додаванні суми до числа, відніманні суми від числа, розподільній властивості множення чи ділення відносно додавання чи віднімання; організувати самостійне розвязування учнями різними способами таких задач, в яких кожен із способів добре інтерпретується життєвою ситуацією чи практичним виконанням.
2.1 Аналіз системи математичних задач, які вивчаються в початкових класах
Прості задачі
1 клас
Знаходження суми двох чисел
Знаходження остачі
Збільшення та зменшення на декілька одиниць (пряма форма)
Різницеве порівняння двох чисел
Знаходження невідомого доданка
2 клас
Знаходження невідомого зменшуваного
Знаходження невідомого відємника
Знаходження добутку двох чисел
Знаходження частки двох чисел
3 клас
Збільшення та зменшення числа в кілька разів (пряма форма)
Кратне порівняння двох чисел
Знаходження невідомого множника
Знаходження невідомого діленого
Знаходження невідомого дільника
Задачі на ділення з остачею
Знаходження частини числа
Знаходження числа за його частиною
4 клас
Збільшення та зменшення числа на кілька одиниць (непряма форма; в порядку ознайомлення)
Збільшення та зменшення числа у кілька разів (непряма форма; в порядку ознайомлення)
Задача на знаходження площі прямокутника
Задачі на час; знаходження тривалості події, початку або її закінчення.
Складені задачі
Задачі на дві дії
2 клас
Найлегші зведені задачі на дії першого ступеня та на дії різного ступеня
Задачі з «відношенням»: знаходження суми за умовою, що один з компонентів дії заданий різницевим відношенням до даного в задачі числа; знаходження суми трьох чисел, якщо один з додатків заданий відношенням до відомого числа; знаходження числа, яке задане подвійним різницевим відношенням.
1.Задачі із «сумою»: додавання числа до суми; віднімання числа від суми; знаходження третього доданка за сумою і двома відомими доданками; знаходження суми чи остачі, коли доданок, зменшуване відємник задані двома числами (сумою).
2.задачі на різницеве порівняння результату першої дії з її компонентом або іншим числом.
3 клас
1.Найлегші зведені задачі на дві дії різного ступеня, в яких враховується порядок дій, та на дії другого степеня.
2.Задачі з «відношенням»: знаходження суми чи остачі за умовою, що один з компонентів дії заданий кратним відношенням до даного в задачі числа; знаходження суми трьох чисел, якщо один з доданків заданий кратним відношенням до одного з відомих доданків; знаходження числа, яке задане подвійним відношенням (різницевим і кратним, двома кратними); різницеве чи кратне порівняння даного в задачі числа і числа, яке задане відношенням до даного; знаходження невідомого зменшуваного чи відємника, якщо другий компонент чи результат дії заданий відношенням до відомого числа; знаходження числа, яке в кілька разів більше або менше від суми даних чисел.
.Задачі із «сумою» (або іншим виразом): множення і ділення суми на число; множення числа на суму; знаходження результату чи невідомого компонента дії, коли другий компонент чи результат дії заданий двома числами (сумою, різницею, додатком, часткою).
.задачі на двоопераційне знаходження невідомого компонента.
.Задачі на порівняння результату першої дії з її компонентом чи іншим числом (на всі випадки арифметичних дій).
6.Задачі на знаходження четвертого пропорційного способом зведення до одиниці (два види)
4 клас
1.Задачі на дві дії, які включають знаходження частини числа.
2.Задачі на ілюстрування сполучної властивості додавання та розподільної властивості суми відносно множини і ділення.
Задачі на 3-4 дії
3 клас
1.Задачі, утворені шляхом «розширення» задач на дві дії
2.