Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Лабораторная работа
Решение алгебраических и
трансцендентных уравнений
Задание.
Для каждого уравнения отделить корни
а) табулированием;
б) графически.
. Уточнить один корень одного из уравнений с точностью e=0.01 методами
половинного деления и простых итераций, а так же одним из следующих методов (по
указанию преподавателя):
а) хорд
б) касательных
в) секущих
Решение: а) графически;
Чтобы отделить корни уравнения графическим методом,
необходимо построить график функции и посмотреть, в каких точках график
пересекает ось х. Эти точки будут являться корнями уравнения.
На графике видно, что корень уравнения находится на интервале (1;
2)
На этом графике видно что На графике видно, что корни
уравнения находится на интервалах (-3; - 2), (-1; 0), (0; 1), (1; 2).
Для дальнейшего отделения корней необходимо воспользоваться
методом табулирования.
Метод половинного деления
В этом методе вычисляется значение функции путём подстановки
некоторого значения , смещающегося при каждой итерации на
определённый шаг (не более ), в уравнение. В дальнейшем строится таблица, с
помощью которой можно определить интервалы залегания корня.
По алгоритму представленному выше мы можем найти интервалы,
на которых находятся корни уравнения.
Для функции
x
|
F(x)
|
1
|
-0,41
|
1,1
|
-0,31
|
1,2
|
-0,21
|
1,3
|
-0,10
|
1,4
|
0,02
|
1,5
|
0,15
|
1,6
|
0,28
|
1,7
|
0,42
|
1,8
|
0,57
|
1,9
|
0,71
|
2
|
0,86
|
Из таблицы мы видим, что корень уравнения залегает на
интервале [1,3; 1,4].
Для функции
-3
|
28
|
|
-1
|
-12
|
|
0
|
1
|
|
1
|
-4
|
-2,9
|
14,7083
|
|
-0,9
|
-9,6677
|
|
0,1
|
0,8843
|
|
1,1
|
-3,8037
|
-2,8
|
3,5088
|
|
-0,8
|
-7,4992
|
|
0,2
|
0,5568
|
-3,1472
|
-2,7
|
-5,7797
|
|
-0,7
|
-5,5317
|
|
0,3
|
0,0523
|
|
1,3
|
-1,9237
|
-2,6
|
-13,331
|
|
-0,6
|
-3,7952
|
|
0,4
|
-0,5872
|
|
1,4
|
-0,0192
|
-2,5
|
-19,313
|
|
-0,5
|
-2,3125
|
|
0,5
|
-1,3125
|
|
1,5
|
2,6875
|
-2,4
|
-23,883
|
|
-0,4
|
-1,0992
|
|
0,6
|
-2,0672
|
|
1,6
|
6,3248
|
-2,3
|
-27,196
|
|
-0,3
|
-0,1637
|
|
0,7
|
-2,7877
|
|
1,7
|
11,0283
|
-2,2
|
-29,395
|
|
-0,2
|
0,4928
|
|
0,8
|
-3,4032
|
|
1,8
|
16,9408
|
-2,1
|
-30,62
|
|
-0,1
|
0,8763
|
|
0,9
|
-3,8357
|
|
1,9
|
24,2123
|
-2
|
-31
|
|
0
|
1
|
|
1
|
-4
|
|
2
|
33
|
Из этих таблиц видим что корни залегают на интервалах [-2,8;
- 2,9], [-0,3; - 0,2], [0.3; 0,4], [1,4; - 1,5]. (Для уточнения взят интервал
[-0,3; - 0,2])
Первый способ уточнения корня уравнения - метод половинного
деления (дихотомии). Для этого следует разделить отрезок [a, b] пополам точкой . Возможны два случая:
либо f(x) меняет знак на отрезке [a, c], либо на отрезке [c, b]. Выбирая в
каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс
половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка,
содержащего корень уравнения. Воспользуемся методом половинного деления с
помощью данного алгоритма:
С помощью метода половинного деления корень был уточнен для
уравнения
до значения .
Второй способ уточнения корня уравнения - метод простых
итераций (ПИ).
Для этого метода необходимо выразить из начального уравнения
генерирующее отношение вида . Для уравнения было получено
генерирующие отношение вида .
Для того чтобы метод простых итераций выполнялся, генерирующее
соотношение должно удовлетворять условию , где х принадлежит интервалу, на котором находится корень.
Продифференцируем выражение
Для проверки применимости метода возьмем значение х, которое
находится посередине интервала [1,3; 1,4], т.е. х = 1.35.
-1.4
Так как условие не выполняется , то метод в данном случае не применим, но если бы он был бы
применим то корень был бы уточнен с помощью этого варианта:
Для дальнейшего уточнения корня воспользуемся методом
касательных.
Метод касательных
Для уточнения корней методом касательных необходимо взять
начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего построить
касательную к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится
пересечение с осью абсцисс. Эту точку необходимо взять в качестве следующего
приближения. И так далее, пока не будет достигнута требуемая точность.
В качестве выступает уравнение а в качестве - её производная . Реализация метода
касательных представлена в следующем алгоритме:
корень уравнение
итерация алгебраический
С помощью метода касательных корень был уточнен до значения при начальном
приближении . Результат был достигнут за 1 шаг.