Почти возрастающая функция

Почти возрастающая функция

Почти возрастающая функция

Определение: Функция f(x) на отрезке [a, b] называется почти возрастающей на этом отрезке, если существует C>0: для любых  принадлежащих [a, b]:  => f ( ≤

Утверждение 1. Рассмотрим монотонно убывающую и непрерывную на [a, b] функцию f(x). Функция f(x) монотонно убывает на [a, b] тогда существует постоянная константа C =  на промежутке [a, b] причем inf f(x)>0.

Доказательство: По определению почти возрастающей функции должна существовать C (C-const) что f ( ≤ . Очевидно, что C= то есть, f ( ≤ .

Пусть =a, =b, так как принадлежат [a, b]. Так как функция f(x) монотонно убывает на [a, b] то sup f(x) будет достигаться на левой границе [a, b], inf f(x) достигается на правой границе. => f(a)=sup f(x) на [a, b], f(b)=inf f(x), так как C= то отсюда следует, что C = . Тем самым найдено постоянное c.

Докажем что inf f(x)>0. Предположим противное, пусть inf f(x) ≤0, то и f(b)  так как f(a)=sup f(x), f(b)=inf f(x), по определению существует C>0 такое что f( ≤ , так как функция f(x) монотонно убывает и непрерывна на [a, b], то f(a) ≤ только тогда, когда С<0. Противоречие с тем что С>0. Отсюда следует inf f(x)>0.

Утверждение 2. Рассмотрим монотонно убывающую и непрерывную на интервале (a,+∞) функцию f(x). Пусть функция ограничена снизу М такое, что f(x)M и M>0. Тогда если функция f(x) имеет конечный предел при x то inf f(x) будет равен этому пределу.

Доказательство. Допустим, что функция f(x) ограничена снизу, то есть, ограничена снизу множество {f(x)} значений функций. Тогда для этого множества существует конечная точная нижняя грань A (A=inf f(x)). Докажем. Что это число А и будет искомым пределом. Существует , по свойству точной нижней грани, найдем такое значение x’>a, что f(x)<A+ так как функция монотонная для x<x’ => f(x)< A+ с другой стороны A-<A => выполняется неравенство |f(x) - A|<

Утверждение 3. Для того чтобы монотонно убывающая и непрерывная на интервале (a,+∞) функция f(x) почти возрастала необходимо чтобы inf f(x) >0

Доказательство: Аналогично доказательству для монотонно убывающей на [a, b] функции f(x).

Пример 1: Рассмотрим функцию f(x)=-+3 на промежутке от [0,1] существует С>0 . На промежутке [0,1] sup f(x)=3, inf f(x)=2 => C

Пример 2: Рассмотрим функцию f(x)= на промежутке от (1,) функция ограничена снизу М>0, так как существует предел этой функции и M>0, то существует . Очевидно что на промежутке (1, sup f(x)=8, а для того чтобы найти inf f(x) необходимо найти предел этой функции.  ==2. inf f(x)>0 Таким образом, .

Утверждение 4. Пусть функция f(x):  непрерывна и дифференцируема на всем промежутке [a, b] путь далее существует . Для того чтобы найти inf f(x) и sup f(x) на промежутке [a, b] необходимо найти точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках. То есть:

1)      Найти f ′(x)

)        Найти точки, в которых f ′(x)=0 или f ′(x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a.b];

3)      Вычислить значения функции f(x) в точках, полученных в пункте 2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно sup f(x) и inf f(x) для функции f(x) на отрезке [a, b].

Следствие: Для того чтобы вычислить inf f(x) и sup f(x) необходимо, чтобы существовали точки экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

f(x₁+)<f(x), то есть f(x₁+) - f(x)<0. Тогда  при <0

 при >0

По определению: =f(x₁) т.е. если х0, но х<0, то f(x₁)  0, а если х0, но х>0, то f(x₁)  0.

А возможно это только в том случае, если при х0 f(x₁) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале [a, b], и дифференцируема во всех точках этого интервала. Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с «+» на «- «, то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с «- «на «+» - то функция имеет минимум.

Доказательство.

Пусть

По теореме Лагранжа: f(x) - f(x₁) = f¢(e) (x - x₁), где x < e < x₁.

Тогда: 1) Если х < x₁, то e < x₁; f¢(e)>0; f¢(e) (x - x₁)<0, следовательно

f(x) - f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).

) Если х > x₁, то e > x₁ f¢(e)<0; f¢(e) (x - x₁)<0, следовательно

f(x) - f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x₁) в любых точках вблизи х₁, т.е. х₁ - точка максимума.

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

Утверждение 5: Пусть функция f(x):  непрерывна и дифференцируема на промежутке (a,+ пусть, далее, функция f(x) ограничена снизу М такое, что f(x)M>0. Пусть так же существует предел этой функции при x. Для того чтобы найти inf f(x) необходимо найти предел функции f(x) при x. Sup f(x) находиться из условия нахождения точки максимума.

Если предел функции равняется бесконечности, то необходимо найти точки минимума и найти наименьшее значение в этих точках.

Пример 3: Рассмотрим функцию f(x)=sin x+2 на промежутке от (1,)

возрастающий функция дифференцируемость

Пример 4: Рассмотрим функцию f(x)=-x²-1. На промежутке (0,+) данная функция не является почти возрастающей, так как она не ограничена и не существует точная нижняя грань.

Пример 5: Рассмотрим функцию f(x)=5. По определению почти возрастающей функции существует C>0: для любых  принадлежащих [a, b]:  => f ( ≤ . Здесь inf f(x) = sup f(x) Очевидно, что C1. Рассмотри данную функцию на промежутке от [0,3] пусть  значение функции в этих точках равна 5. Отсюда следует f ( ≤  то есть f( ≤  => 5=5.

Следствие: Для того чтобы существовала почти возрастающая функция для функции f(x) необходимо чтобы функция f(x) была ограничена снизу положительным числом, и имел inf f(x)>0.