Характеристика обтікачів

Характеристика обтікачів

Вступ

Зенітний ракетний комплекс «Бук-М1» (9К37М1) є військовим ЗРК малої дальності. Він призначений для знищення літаків, крилатих ракет, вертольотів і інших повітряних цілей противника, на відстанях від 3 до 32 км, що летять з курсовим параметром до 22 км, зі швидкостями: на зустрічних курсах - до 830 м/с, навздогін - до 300 м/с при потужних діях завад.

Ймовірність ураження цілі однією ракетою: не нижче 0,88; вертольота - 0,83; крилатої ракети типу АLCМ - 0,28.

Ракета 9М38М1 призначена для знищення аеродинамічних, маневрених цілей є сучасною ракетою, яка має у носовій частині ракети: радіолокаційну головку самонаведення, антени радіопідривача.

У ракеті 9М38М1 в першому відсіку розміщено:радіолокаційна головка самонаведення, автопілот, радіопідривач. Для захисту радіоапаратури від впливу навколишнього середовища використовують радіопрозоріобтікачі. Враховуючи великі швидкості ракети і той факт, що ракети літають у щільних шарах атмосфери, до обтікачів пред’явлені жорсткі аеродинамічні, технологічні, термодинамічні вимоги. Дуже часто ці вимоги вступають у протиріччя електродинамічним вимогам радіо прозорості обтікача.

Зазвичай носові обтікачі є узгодженими на певний кут падіння хвилі відносно обтікача (тобто мають малий коефіцієнт відбиття для хвилі, яка приходить з цього напрямку). У зв’язку з цим обтікачі ракет можуть вносити значні похибки пеленга цілі, а також суттєво впливати на потужність відбитого від цілі сигналу, який поступає на антену систему радіолокаційної головки самонаведення.

Метою роботи є: видача пропозицій для поліпшення радіо прозорості обтікача.

Для цього в роботі розглянута модельна задача про проходження плоскої електромагнітної хвилі через нескінченний плоский діелектричний шар кінцевої товщини.

Для досягнення узгодженості обтікача для кожного конкретного напрямку приходу електромагнітної хвилі можливо використовувати наступніі варіанти: при незмінній товщині змінювати проникність обтікача тобто робити його неоднорідним в залежності від кута падіння θ. Іншим способом є зміна товщини стінки обтікача в залежності від кута θ. Перший спосіб є складним та трудомістким так як існують технологічні труднощі по створенню обтікачів із змінною діелектричною проникністю. Крім того він може привести до зниження їх міцнісних характеристик.

Другий спосіб являє собою більш переважним так як позволяє використовувати однорідний по своїй структурі матеріал.

У роботі надані рекомендації щодо геометрії профілю стінок обтікача для ракети 9М38М1, отримані з умови максимального проходження електромагнітної хвилі у широкому секторі кутів падіння.

1. Аналіз конструкції обтікачів, їх впливу на роботу бортових радіолокаційних засобів та вимог до обтікачів літальних апаратів

діелектричний обтікач радіолокаційний електромагнітний

Існує велика кількість обтікачів, які виконують захисні функції антенних систем та встановлюються на різних пристроях та радіоелектронних засобах. В залежності від призначення, розташування на літальному апараті та вимог до конструкції обтікачі прийнято ділити на чотири основних групи [1].

По-перше виділяють групу носових обтікачів, встановлених у носовій частині літаючого апарату, які мають форму витягнутого тіла оберту. Ці обтікачі мають найбільші механічні та термодинамічні перевантаження але також повинні задовольняти жорстким електродинамічним вимогам. Вони повинні мати хорошу радіопрозорість, малу величину кутових похибок. Ці вимоги повинні виконуватись як на одній частоті так і декількох близьких частотах. Форми та розміри таких обтікачів коливаються від малого конуса з діаметром основи (4-5) (де λ - довжина хвилі падаючого поля) до крупно габаритних тіл оберту з параболічною твірною з діаметром (20-40)λ.

По-друге виділяють групу об тікачів, встановлених у нижній частині фюзеляжу об’єкту, які використовуються для захисту антенних пристроїв навігаційних РЛС. Радіотехнічними вимогами, що висуваються до таких об тікачів є: достатньо висока радіопрозорість та малі спотворення діаграми спрямованості при роботі на одній або кількох довжинах радіохвиль. Розміри обтікачів цієї групи достатньо габаритні (довжина ≈ 2,5-3 м. та більше). На них накладаються такі ж жорсткі вимоги, як і на носові обтікачі.

По-третє виділяють обтікачі, які мають конфігурацію плоскої або слабо зігнутої поверхні які закривають вирізи у фюзеляжі об’єкту. Основні вимоги, що накладаються на них це: висока радіопрозорість, у ряді випадків малі спотворення діаграми спрямованості у широкому діапазоні хвиль, достатня механічна міцність та стійкість до термодинамічних перевантажень.

До останньої групи можна віднести всі інші типи обтікачі на які в залежності від їх призначення накладаються інші радіотехнічні, механічні, теплові вимоги.

При виборі форми обтікача літального апарату віддається перевага виконанню вимог аеродинаміки при можливому зниженні радіотехнічних вимог.

Сучасні обтікачі бувають: одношарові, багатошарові, діелектричні, комплексного не складніше семі шарового, монолітні з реактивними злагодженими решітками, зі стінками плавної зміни показника заломлення.

Одношарові обтікачі використовуються у випадку дуже критичних вимог до радіопрозорості і фазових характеристик пройденої хвилі у заданому секторі кутів падіння. Вони можуть бути по товщині на півхвилі або значно менше довжини хвилі. Багато слоїв виконуються з різним законом зміни щільності слоїв: щільність слоїв чергується або збільшується від периферії до центру стінки [2].У випадку необхідності в конструкцію обтікачів можуть вноситись різноманітні металеві елементи. Решітки металевих елементів можуть представляти для хвилі, що проходить, реактивний опір індуктивного або ємнісного характеру в залежності від форми та розмірів елементів.

Вибір конструкцій діелектричних стінок диктується діапазонними вимогами, формою обтікача, механічними та температурними навантаженнями на обтікач.

Основними конструктивними матеріалами для виготовлення обтікачів на теперішній час є:

         склопластики;

-        склотекстоліти;

-        пластмаси;

-        кераміка

Обтічники виготовлені на основі скловолокна (склопластика) мають хороші механічні та радіотехнічні властивості.

Технологічність склопластиків, яка дозволяє формувати з них обтікачі різних конфігурацій, робить їх надзвичайно вигідними у даному використанні. На сучасний час склопластики є найбільш поширеними матеріалами для використання у обтікачах. Для виготовлення обтікачів зі склопластиків використовуються різні методи:

         вакуумного формування на зовнішніх та внутрішніх формах;

         пресування у замкненій формі;

         намотки.

У якості зв'язної суміші для склопластиків використовуються різні смоли, від яких в більшості випадків залежить теплостійкість та активні втрати цих матеріалів на надвисоких частотах. Більш розповсюдженими є епоксидні, поліефірні, фенольні, кремнійорганічні смоли, а також різні композиції з них. Деякі склотекстоліти можуть довго експлуатуватись при температурах до 300-35С та короткочасно до температури 400-50С (до 2-3 хвилин). Тангенс кута активних втрат для більшості з цих матеріалів не більше 0,03 діелектрична проникність в залежності від зв'язних та методів виготовлення коливається від 3,2 до 4,7-5,0.

Склотекстоліти використовують у якості матеріалів для шарів великої щільності в багатошарових конструкціях, в одношарових стінках, в стінках з реактивними елементами.

Для шарів малої щільності у багатошаровомуобтікачі використовуються стільникові структури зі скло-або бавовняних тканин, різні пінопластмаси, склосідчасті матеріали.

В багатошарових конструкціях перевага віддається стільниковим структурам та іноді склосідчастим матеріалам.

Пінопластмаси із-за низьких механічних показників та недостатньої термостійкості, як правило не використовуються.

Склотекстоліти - матеріал композиційний (скло, тканина та смола), тому він є недостатньо однорідним. Неоднорідність його властивостей призводить до додаткових фазовим та амплітудних похибок у фронті хвилі, що проходить скрізь такий обтікач, та призводить до додаткових помилок діаграми спрямованості антени.

У якості матеріалів використовуються різні високо частотні пластмаси, кераміки та скло кристалічні матеріали. На відміну від склотекстолітів ці матеріали однорідні, та, як правило дають менше розсіювання параметрів обтікача.

З пластмас треба вказати на керамопласт. Ця пластмаса представляє собою достатньо однорідну суміш звʹязної смоли з кварцовим порошком з різними присадками, для отримання потрібних значень діелектричної проникності. Керамопласт дозволяє формувати обтікачі шляхом заливки або пресування під тиском. Основна перевага таких матеріалів є отримання однорідних та точно виконаних виробів. Негативною стороною є низька теплостійкість, він може працювати тільки при температурі до 200-25С.

Перспективні керамічні та скло кристалічні матеріали (наприклад ситал) мають високу однорідність та термостійкість. Вони широко використовуються для обтікачів об'єктів, які мають великі швидкості та потребують високі показники точності роботи РЛС.

Високочастотні керамічні та сткло кристалічні матеріали мають

достатньо малий тангенс кута втрат (tg< 0,001) та високу стабільність властивостей при зміні температури: наприклад, для ситалів діелектрична проникність не змінюється не більш ніж на ± 20% при зміні температури від -60 до +120С. Точність виготовлення обтікачів висока, що робить можливість забезпечити малий вплив на їх характеристики випромінювання відповідних антенних пристроїв. Обтікачі з ситалу та кераміки можуть успішно застосовуються при швидкостях, більше 3 М, та працювати в жорстких умовах термоудару з темпом підігріву до 250-30С/сек.

Треба відмітити, що появлення нових матеріалів та нових технологічних прийомів вироблення розширяє можливості конструкторів в цій галузі техніки.

Задача електродинамічного розрахунку обтікача зводиться до розрахунку та оцінки впливу обтікача на характеристики випромінювання розміщеної під ним антени. В першу чергу це стосується величини коефіцієнта підсилення, спотворень основного та бокових пелюстків, просторового зміщення діаграми спрямованості, а для антен, які працюють по методу рівно сигнальної зони, зміщення рівно сигнального напрямку та швидкості зміни цього зміщення в залежності від повороту антени.

Якщо розглядати процес випромінювання антени при наявності обтікача та аналізуючи характеристики системи антена - обтікач, можна прийти до висновку, що існують наступні основні фактори, які призводять до спотворення діаграми спрямованості за рахунок впливу обтікача.

По-перше, фазові та амплітудні спотворення фронту хвилі яка проходить через обтікач за рахунок різних набігів фази та відбиття від поверхні обтікача для різних ділянок хвилевого фронту падаючої хвилі.

По-друге, вторинні хвилі, збудженні падаючою хвилею на ділянку обтікача з різними порушеннями регулярності його поверхні або ділянки, радіуси кривизни якихпорівняні з довжиною хвилі.

По-третє, поверхові хвилі, збудженні падаючою хвилею на обтікачі.

По-четверте, багатократні відбиття між поверхнею обтікача та розкривом антени.

При оцінці значущості кожного фактора у створюванні спотворень доцільно всі обтікачі розбити на два класи.

До першого слід віднести обтікачі, поверхня яких регулярна і радіус її кривизни більше довжини хвилі. До другого слід віднести обтікачі поверхня яких має порушення регулярності(однорідності) або ділянки з радіусом кривизни, порівняні з довжиною хвилі. Обтікачі які задовольняють першій умові, називають регулярними, другому - нерегулярними.

Аналіз показує, що при використанні регулярних обтікачів спотворення діаграм спрямованості виникають тільки у обмежених випадках, коли обтікач представляє собою плоску поверхню, а розкрив антени розміщується паралельно цій поверхні.

В зенітних керованих ракетах використовуються головки самонаведення, бортові пеленгатори і т.і., які розміщуються під носовими радіо прозорими обтікачами. За наявності на носу нерегулярності поверхні такі обтікачі відносяться до першої групи.

Враховуючи, що головка самонаведення в польоті ракети практично ніколи не орієнтована в напрямку вісі ракети, нерегулярності поверхні обтікача в роботі враховуватись не будуть.

Обтікач ракети 9М38М1 виготовлений з ситалу, тому в роботі будуть враховані електричні параметри саме для цього матеріалу.

2. Розв'язання модельної задачі про розсіяння плоскої електромагнітної хвилі на плоскому нескінченному діелектричному листі кінцевої товщини

Для визначення профілю стінки носового обтікача ракети враховуючи малі значення кривизн його поверхні (крім деякого оточення гострого «носика» обтічника) можна використовувати такі ж допущення, як і в методах фізичної та геометричної оптики [3]. Будемо вважати, що в кожній точці на поверхні обтічника коефіцієнти проходження та відбиття такі самі, як і на нескінченному діелектричному листі, виготовленому з того ж матеріалу, що і реальний обтічник.

Ключовою модельною задачею для визначення товщини стінок обтічника, радіо прозорого для радіохвилі є задача про розсіяння плоскої електромагнітної хвилі на плоскому діелектричному листі кінцевої товщини.

Розглянемо плоский лист діелектрику з відносними діелектричною та магнітною проникностями,  та товщиною , який розташований у вільному просторі. Нехай на цей лист в напрямку падає плоска електромагнітна хвиля одиничної амплітуди. Тоді відбита від діелектрику хвиля буде розповсюджуватись у напрямку .

Позначимо через  комплексну амплітуду тангенціальної складової вектора напруженості повного електричного поля . Запишемо вирази для  в трьох областях: 1-ша область - поверх листа (при ); 2-га область - в листі (при ); 3-тя - під листом (при ).

Тоді  в точці  області №1 (при ) можна записати як:

, (2.1)

де  - хвильове число вільного простору;

 - коефіцієнт відбиття електромагнітної хвилі від діелектричного листа.

В області №2  можна записати як:

, (2.2)

де визначає амплітуду поля в залежності від координати .

Відомо, що  повинно задовольняти рівнянню Гельмгольця, яке для матеріалу діелектрику буде записано як [4]:

. (2.3)

Після підстановки (2.2) у вираз (2.3) отримаємо:

 (2.4)

Провівши диференціювання в (2.4) отримаємо:

 (2.5)

де .

Відомо, що рішення рівняння (2.5) запишеться у вигляді [5]:

. (2.6)

В третій області (при )  можна записати як:

, (2.7)

де  - коефіцієнт проходження через діелектричний шар.

Запишемо граничні умови для поля на межах розподілу середовищ [6]:

 (2.8)

де

З урахуванням (2.1), (2.2), (2.5) запишемо граничні умови (2.8) на поверхні діелектричного шару (для межі розподілу середовищ ).

Отримаємо наступні рівняння:

, (2.9)

. (2.10)

На поверхні шару знизу () отримаємо наступні рівняння:

, (2.11)

. (2.12)

Рівняння (2.9) - (2.12) утворюють систему лінійних алгебраїчних рівнянь, вирішуючи яку відносно коефіцієнту відбиттяотримаємо:

, (2.13)

де .

Аналіз виразу (2.13) показує, що коефіцієнт  дорівнює 0 (тобто вся електромагнітна хвиля проходить через діелектричну пластину) у випадку, коли . Звідсиможна записати умову для товщини пластини, узгодженої для проходження електромагнітної хвилі під кутом (рис. 2.2):

. (2.14)

Аналіз виразу (2.14) показує, що при нормальному падінні електромагнітної хвилі на діелектричну пластину (тобто при ) товщина узгодженої пластини повинна дорівнювати половині довжини хвилі у матеріалі, з якого виготовлена пластина.

При збільшенні кутів падіння товщина узгодженої пластини, як і слід було очікувати, збільшується.

3. Розрахунок профілю обтікача, узгодженого для широкого сектору кутів падіння електромагнітної хвилі

Вирішення поставленої в роботі задачі потребує аналітичного запису рівняння поверхні обтікача. В технічній літературі на ЗРК та ракету 9М38 такої інформації не міститься, проте можливо знайти апроксимацію поверхні обтікача за результатами вимірів геометричних параметрів реального обтікача ракети.

Апроксимація форми поверхні носового обтікача ракети 9М38М1

Враховуючи вісесиметричність задачі будемо розглядати двовимірну модель діелектричного носового обтікача (рисунок 3.1). Рівняння кривої , що описує у двовимірному випадку зовнішню поверхню обтікача будемо шукати у вигляді:

, (3.1)

де  − коефіцієнти, які характеризують форму та розмір обтікача.

Коефіцієнти  в (3.1) підлягають знаходженню. Значення цих коефіцієнтів будемо шукати методом найменших квадратів [7] за результатами вимірювань висоти по вісі OY та радіусу обтікача на цій висоті (таблиця 3.1). Результати вимірювань (таблиця 3.1) були отримані на обтічнику ракети 9М38 наступним шляхом. На кожній висоті вздовж вісі OY вимірювалась довжина кола, а потім розраховувався радіус обтікача для цієї довжини.

Таблиця 3.1 - Результати вимірів геометричних параметрів обтікача

Враховуючи вигляд функції (3.1) запишемо суму квадратів відхилень натуральних логарифмів виміряних значень висоти та розрахованих по формулі (3.1):

, (3.2)

де ;

 - висота обтікача;

 - кількість вимірів (для нашого випадку ).

Знайдемо значення  за умови мінімуму суми квадратів відхилень (права частина виразу (3.2)). Для цього знайдемо похідні від правої частини виразу (3.2) по та по , прирівняємо їх до 0 та отримаємо систему лінійних рівнянь:

де ;

;

;

.

Рішення системи (3.3) запишеться у вигляді:

; (3.4)

. (3.5)

Враховуючи (3.5), отримаємо:

. (3.6)

Програма обчислення  та , написана в системі програмування Mathcad 14.0, наведена у Додатку А.

В результаті роботи програми отримаємо, що , а .

Зовнішня поверхня обтікача зенітної керованої ракети 9М38М1, побудована по формулі (3.1) з визначеними параметрами, наведена на графіку у Додатку А. На цьому ж графіку хрестиками позначені результаті вимірювань геометричної форми обтікача. Як видно результати апроксимації гарно узгоджуються з результатами вимірювань.

Розрахунок профілю обтікача ракети 9М38М1, радіопрозорого у широкому секторі кутів падіння радіохвиль

Введемо параметризацію координат обтікача по вісі абсцис як:

, (3.7)

де b − кут, який відраховується від вісі ОY, .

З урахуванням (3.7) рівняння кривої  можна переписати як:

. (3.8)

Для визначення товщини обтікача у точці  його поверхні необхідно кут  між нормаллю в цій точці та напрямком на джерело випромінення (в нашому випадку напрямок на джерело випромінювання співпадає з ).

Вектор нормалі  запишеться як:

. (3.9)

Знайдемо часткові похідні в (3.9):

, (3.10)

. (3.11)

Знайдемо орт :

, (3.12)

де

. (3.13)

Напрямок на точку  на поверхні  обтікача запишеться як:

, (3.14)

. (3.15)

Знайдемо , необхідний для розрахунку товщини обтічника  в точці  по формулі (2.14):

. (3.16)

Враховуючи (3.13), (3.15), (3.16) знайдемо товщину обтікача для різних  за формулою (2.14). Для цього в системі програмування Mathcad 14.0 була розроблена програма розрахунку товщини стінок обтікача для різних кутів . Текст програми та результати розрахунків наведені у Додатку Б.

В результаті розрахунків отримано дані, наведені в таблиці 3.2

Таблиця 3.2 - Результати розрахунку профілю стінок обтікача

№ з/п        Значення куту , градЗначення

Розрахунки проводились для відносної діелектричної проникності , що відповідає проникності ситалу [8] для довжини електромагнітної хвилі, на якій працює головка самонаведення ракети.

В таблиці 3.2 товщина обтікача наведена в у відносних одиницях, тобто в довжинах хвиль вільного простору. В останній колонці товщина наведена в довжинах хвиль у діелектрику, тобто

На рисунку за результатами таблиці 3.2 наведена залежність товщини  стінки обтікача від координати по вісі OY.

Залежність товщини  стінки обтікача від координати y (висоти)

Аналіз результатів розрахунків дозволяє зробити висновок, що товщина стінки обтікача зенітної ракети 9М38М1 в центральній його частині повинна буди приблизно на 6.5% товстіше ніж на краях діапазону значень у. На краях діапазону значень у (тобто поблизу основи обтікача та поблизу «носика») товщина стінок обтікача повинна становити приблизно половину довжини хвилі в діелектрику.

Форма залежності товщини стінок (рис. 3.2) значною мірою залежить від форми обтікача.

Закінчення

Зенітна керована ракета 9М38М1 зенітного ракетного комплексу є високошвидкісною ракетою, яка розрахована на політ у щільних шарах атмосфери та розрахована на великі перевантаження. Наведення ракети на ціль здійснюється за допомогою радіолокаційної головки самонаведення, яка розташована в першому відсіку ракети під діелектричним об тікачем оживальної форми.

Обтікач грає дуже важливу роль у конструкції ракети та її радіолокаційних засобів. Він забезпечує надійний захист антенних пристроїв радіолокаційних станцій від впливу навколишнього середовища в умовах польоту.

Завдяки наявності радіолокаційної головки самонаведення однією з основних вимог до обтікача є його прозорість для електромагнітних хвиль, що використовуються для роботи головки самонаведення. Так як головка самонаведення в процесі польоту ракети може відхилятися в достатньо широкому діапазоні кутів відносно вісі ракети, умова радіо прозорості повинна виконуватись у всьому цьому діапазоні кутів падіння.

Форма поверхні обтікача диктується аеродинамічними вимогами до ракети, тобто змінювати форму поверхні з метою покращення електродинамічних властивостей не можливо.

Обтікач ракети 9М38М1 виконаний з однорідного діелектричного матеріалу - ситалу, що також диктується вимогами до його міцності у при польоті ракети.

Тому в роботі вирішується актуальна задача, яка полягає у розробці рекомендацій щодо товщини стінок обтікача в різних його точках, яка б забезпечувала максимальну радіопрозорість.

Рішення цієї задачі вимагає вирішення модельної задачі про проходження плоскої електромагнітної хвилі через однорідний діелектричний шар. Тому у другому розділі роботи в результаті рішення вказаної модельної задачі отриманий вираз для коефіцієнту відбиття від плоского діелектричного листа в залежності від діелектричної проникності матеріалу (з якого виготовлений лист) та кута падіння електромагнітної хвилі. В результаті аналізу цього виразу отримано умову для товщини листа, радіопрозорого для заданого напрямку падіння радіохвилі.

Враховуючи малі кривизни обтікача (крім «носика») проходження крізь стінку обтікача розраховано у наближенні фізичної оптики, тобто у кожній точці обтікача електромагнітна хвиля проходить крізь стінку так, як би вона проходила крізь однорідний плоский шар діелектрику, дотичний до поверхні обтікача в цій точці.

Для числового моделювання за допомогою отриманого виразу для товщини стінки обтікача було необхідно мати аналітичний вираз для форми поверхні обтікача. Цей вираз в роботі був отриманий по результатам вимірювання обтікача реальної ракети. Вираз був отриманий методом найменших квадратів. Порівняння форми поверхні, отриманої за допомогою аналітичного виразу та експериментальних даних дало задовільну узгодженість.

За допомогою отриманих в другому розділі рішенню модельної задачі та виразу для товщини обтікача, узгодженого на заданий кут падіння, в третьому розділі отримані математичні вирази, які дозволили розрахувати профіль стінки обтікача в широкому діапазоні кутів падіння електромагнітної хвилі.

Для цього була розроблена програма у системі програмування MathCad 14.0, наведена у додатку Б. Проведено обчислення профілю стінки обтікача в різних його точках.

Аналіз результатів математичного моделювання показав, що в різних точках обтікача його товщина повинна бути різною. Так в областях, близьких до основи та «носика» де кути падіння (тобто кут між нормаллю до обтікача та напрямком падіння) на обтікач малі товщина стінки обтікача по величині повинна бути наближена до половини довжини хвилі в матеріалі діелектрика.

В середній частині обтікача його стінка повинна мати товщину більше ніж половина довжини хвилі приблизно на 7-8%, що викликано достатньо великими кутами (приблизно 69 градусів) між нормаллю до обтікача та напрямком падіння електромагнітної хвилі.

Аналіз отриманого в другому розділі виразу для товщини узгодженого на заданий кут падіння діелектричного шару показує, що у випадку, коли обтікач буде виготовлений з матеріалу з меншою діелектричною проникністю різниця в товщині буде суттєвішою.

Результати, отримані в роботі можуть бути використані на етапах розробки нових та модернізації існуючих зенітних керованих ракет з радіолокаційними головками самонаведення.

Перелік посилань

1. В.А Каплун. Обтекатели антенн СВЧ - М: Сов. радио, 1974. - 240 с.

. Є.О. Рябоконь, С.В. Кукобко, С.В. Нечитайло, І.О. Сухаревський, О.В. Батурін. Патент на корисну модель №37021 обтічник зі змінною відносною діелектричною проникністю стінки. ХУПС, 2008.

. Кобак В.О. Радиолокационные отражатели. М.: Сов. Радио, 1975, 248 с.

В.В. Никольский, Т.И. Никольская. Электродинамика и распространение радиоволн - М.: Наука, 1989. -544 с.

У. Миллер. Симметрия и разделение переменных (Перевод с английского Г.П. Бабенко). М.: Мир, 1981. 342 с.

Про граничные условия

Р.В. Хемминг. Численные методы для научных работников и инженеров. Перевод с английского под. ред. Р.С. Гутера. - М.: Наука, 1968. - 400 с.

Богородицкий Н.П., Пасынков В.В., Тареев Б.М. Электротехнические материалы: Учебник для вузов. - 7-е изд., перераб. и доп. - Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ие, 1985. - 304 с.