Принципы квантовой механики

Принципы квантовой механики

Реферат тема: «Принципы квантовой механики»

Москва 2014

Содержание

Введение

1. Соотношения неопределенностей

. Уравнение Шредингера

. Частица в потенциальной яме

. Прохождение частицы через потенциальный барьер

. Атом водорода в квантовой механике

. Состояния электрона в атоме водорода

. Излучение атома водорода

Список использованной литературы и источников

Введение

В классической механике движение тел описывается уравнением Ньютона

Решая это уравнение, можно определить функцию r(t), описывающую положение тела в любой момент времени. Дифференцируя эту функцию, можно найти скорость и ускорение тела.

При рассмотрении малых частиц (r~10^-8 см) многие принципы классической механики не выполняются, и для описания движения таких частиц необходимо использовать законы квантовой механики. В основе квантовой механики лежит уравнение Шредингера, которое в квантовой механике играет ту же роль, что и уравнение Ньютона в классической механике.

Из уравнения Шредингера вытекает, что состояние частицы описывается волновой функцией, которая позволяет определить значения основных физических величин. При этом почти все физические величины имеют дискретные значения, в отличие от классической физики, где они обычно непрерывны.

В рамках квантовой механики частицы материи обладают как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Так, электрон или протон могут вести себя как волны, а электромагнитное излучение (рентгеновское, γ-излучение) обладает корпускулярными свойствами - волна может, например, быть локализована в одной точке пространства.

В квантовой механике используется достаточно сложный математический аппарат, поэтому мы будем излагать основные принципы упрощенно, опуская сложные математические выкладки.

В атомной физике в качестве единицы измерения энергии обычно используется электрон-вольт. Электрон-вольт - это энергия, которую приобретает электрон, пройдя разность потенциалов в 1 В: 1 эВ = 1,6∙10 ^{- 19} Дж.

шредингер потенциальный атом электрон

1. Соотношения неопределенностей

В классической механике для движущейся частицы в любой момент времени точно фиксированы ее координаты и импульс. Если частица обладает волновыми свойствами, то нельзя задавать ее положение в пространстве с точностью, превышающей длину волны. Монохроматическая волна в фиксированный момент времени представляет собой бесконечную синусоиду  и говорить о ее координате бессмысленно. Здесь  - волновое число.

Понятие «длина волны» в данной точке лишено смысла. На расстояниях меньших длины волны бессмысленно говорить об одновременных значениях координаты и импульса частицы. Это утверждение вытекает из соотношения де Бройля

p=h/λ.

Частицы вещества, рассматриваемые с точки зрения волновых свойств, называют волнами де Бройля. Для таких частиц можно ввести волновые характеристики: частоту и длину волны, групповую и фазовую скорости и др.

Полагая неопределенность координаты , а неопределенность импульса Δp_x , получим

.

Аналогичные соотношения получим для других компонент:

,

,

.

Эти соотношения были получены Гейзенбергом и называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга. Смысл неравенств заключается в том, что координаты и импульсы не могут быть одновременно определены абсолютно точно. Произведение неопределенностей координаты и соответствующего ей импульса не может быть меньше величины h.

Соотношение неопределенности является квантовым ограничением применимости классической физики. Рассмотрим, например, движение электрона вокруг ядра в атоме водорода. Известно, что радиус атома водорода  м. Скорость электрона, движущегося по круговой орбите, определим из условия

.

Отсюда получим  м/с. С другой стороны, используя принцип неопределенности, найдем неопределенность величины скорости

.

Подставляя числовые значения, получим м/с, т.е. неопределенность скорости в несколько раз превышает саму скорость. Поэтому говорить о траектории движения электрона в атоме не имеет смысла. Можно говорить только о вероятности нахождения электрона на определенном расстоянии от ядра.

Для макроскопических тел неопределенности в определении координат и импульсов настолько малы, что не могут быть обнаружены никакими приборами. Поэтому в классической физике можно говорить о траектории частицы, ее скорости и ускорении.

Интерпретация принципа неопределенности является довольно сложной и неоднозначной. Различные физики по-разному трактовали этот принцип.

) Н. Бор показал, что любое измерение вносит погрешность в результаты. Если очень точно измерять координату х, то появляется большая погрешность в определении импульса. Точное измерение импульса приводит к большой погрешности в определении координаты . При этом всегда выполняется неравенство

.

) В. Гейзенберг, Паули, де Бройль и другие считали, что волновые свойства частиц приводят к тому, что говорить о траектории частиц на расстояниях  бессмысленно. В микромире траекторий не существует.

) А. Эйнштейн считал, что существуют некоторые скрытые параметры, которые определяют траекторию в микромире. Возможно, будет создана теория, в которой эти параметры можно будет определить и полностью описать состояние физической системы.

При этом все ученые признавали справедливость полученных формул, но давали им различную интерпретацию.

Соотношения неопределенности справедливы не только для координат и импульсов, но и для других сопряженных величин. Если ΔE - неопределенность энергии системы в момент измерения, а Δt - неопределенность длительности процесса измерения, то справедливо неравенство

.

Например, для короткоживущих элементарных частиц, имеющих время жизни τ, неопределенность в определении величины энергии составит

.

2. Уравнение Шредингера

В классической физике движение частицы описывается с использованием законов Ньютона. Основным уравнением движения частицы является уравнение, вытекающее из второго закона Ньютона

.

В квантовой механике основным уравнением движения частицы является уравнение Шредингера. Согласно Шредингеру, положение частицы описывается функцией Ψ(r,t) (пси - функцией), которая зависит от координат и времени.

Уравнение Шредингера формулируется для волновой функции Ψ(r,t) и имеет вид

,

где

оператор Лапласа, , m - масса частицы, i - мнимая единица, U(r,t) - потенциальная энергия частицы. Если потенциальная энергия не зависит от времени, то это уравнение можно упростить. Полагая

,

где - энергия частицы, получим

.

Последнее уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. Для однозначного определения функции Ψ(r,t) уравнение Шредингера следует дополнить граничными условиями, т.е. условиями для функции Ψ(r,t) на границе области задания функции.

Смысл Ψ - функции: квадрат модуля Ψ - функции определяет вероятность того, что частица находится в элементе объема

.

Из смысла Ψ - функции вытекает, что описание частиц в квантовой механике является вероятностным. Соответственно, в квантовой механике изменяется принцип причинности. Если в классической физике при известных начальных условиях поведение механической системы было полностью предопределено, то в квантовой механике на первое место выходит случайность, и физические соотношения имеют вероятностный смысл.

Из вероятностного смысла Ψ - функции вытекает условие нормировки

,

которому должна удовлетворять Ψ - функция. В уравнение Шредингера в качестве параметра входит энергия частицы Е. Можно строго математически показать, что если движение частицы ограничено, то энергия квантуется, т.е. принимает только дискретные значения.

В простейшем случае одномерного движения уравнение Шредингера имеет вид

Если потенциальная энергия не зависит от времени, то можно сделать замену переменных

,

где Е - полная энергия частицы. Подставляя это выражение в уравнение Шредингера, получим уравнение для функции ψ(x)

.

Уравнение Шредингера является уравнением в частных производных и, вообще говоря, является более сложным, чем уравнение Ньютона. В качестве простейшего примера рассмотрим свободное движение частицы, т.е. случай . Направляя ось х вдоль линии движения частицы, получим стационарное уравнение Шредингера

,

решением которого будет функция

,

где введено обозначение

.

Положение частицы описывается плоской монохроматической волной. Вероятность нахождения частицы во всех точках пространства одна и та же, т.е. при свободном движении частицы ее координаты не могут быть определены однозначно. Этот неожиданный с точки зрения классической физики вывод связан с принципом неопределенности. Импульс частицы связан с волновым вектором k соотношением

,

и точное задание k приводит к точному значению импульса . На основании принципа неопределенности Гейзенберга величина  должна быть бесконечно большой, что приводит к неопределенности значения х.

3. Частица в потенциальной яме

Рассмотрим простейший случай движения частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками».

Уравнение Шредингера для частицы в яме имеет вид (U = 0)

или

,

где

.

Для - функции на границах должны выполняться условия непрерывности:

.

Общее решение дифференциального уравнения

.

Из граничных условий получим

,

.

Для определения решения уравнения Шредингера получим набор собственных функций

.

Общее решение имеет вид

.

Коэффициенты  можно определить из условия нормировки.

Важным является тот факт, что энергия принимает дискретные значения (квантуется)

.

При этом число п называется главным квантовым числом, а значения Е_п называются уровнями энергии. Энергетические уровни можно показать на графике

Здесь

Интервал между соседними энергетическими уровнями

.

Для электрона на отрезке 10 см (электрон в куске металла) получим

 Дж = 10 ^{- 16}п эВ,

т.е. энергетический спектр можно считать почти непрерывным. Если в качестве l взять размеры атома, то получим  эВ - явно дискретные значения энергии. Эффект квантования энергии проявляется только для тел малой массы, ограниченных в микроскопических объемах.

. Прохождение частицы через потенциальный барьер

Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы для одномерного движения частицы.

В данной задаче потенциал описывается выражением

В классической механике частица, имеющая энергию , не может проникнуть за барьер - она отразится от него. В квантовой механике существует определенная вероятность проникновения частицы через барьер. Для описания движения частицы в рамках квантовой механики запишем уравнения Шредингера для каждой из областей

, где

для областей 1 и 3,

, где

для области 2.

Решая эти уравнения и сшивая полученные решения на границах, получим выражения для Ψ - функций во всех областях. Решение показывает, что в области I существуют падающая и отраженная волны различной амплитуды, в области 3 - существует одна распространяющаяся волна, а в области 2 функция ψ(x) монотонно убывает с ростом х. Условный график функции ψ(х) показан на рисунке.

В рамках квантовой механики частица может проникать через барьер. Это явление называется туннельным эффектом. Для характеристики туннельного эффекта вводят понятие коэффициента прозрачности.

Коэффициентом прозрачности D называется отношение квадратов модулей прошедшей и падающей волн

.

Коэффициент прозрачности определяет вероятность прохождения частицы через барьер. Можно показать, что для D справедливо выражение

.

Туннельный эффект является чисто квантовым эффектом. Он связан с тем, что в квантовой механике нельзя однозначно разделить энергию на кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия связана с импульсом частицы, а потенциальная - с координатами. В силу принципа неопределенности эти величины не определяются однозначно, поэтому нельзя утверждать, что внутри барьера частица имеет отрицательную кинетическую энергию. Соответственно из соотношения  следует, что в течение малых интервалов времени может нарушаться закон сохранения энергии.

Туннельный эффект играет важную роль в описании различных процессов, происходящих на атомном уровне. Процессы радиоактивного распада, термоядерные реакции, многие свойства твердого тела объясняются существованием туннельного эффекта.

. Атом водорода в квантовой механике

Используя уравнение Шредингера, можно описать основные свойства атома водорода. Рассмотрим водородоподобный атом, т.е. атом, состоящий из положительно заряженного ядра и связанного с ним одного электрона. Это может быть атом водорода Н, однократно ионизованный атом гелия Не⁺, двукратно ионизованный атом лития Li⁺⁺ и др.

Потенциальная энергия взаимодействия ядра с электроном

.

Графическая зависимость U(r) имеет вид

.

Это уравнение обычно решают в сферической системе координат. Опуская математические выкладки, проанализируем результаты решения уравнения и выводы, которые из него вытекают:

) При положительных значениях энергии (E > 0) электрон не связан жестко с ядром, он может удаляться от ядра на бесконечное расстояние. Значения Е > 0 соответствуют электронам, пролетающим вблизи ядра и не образующим с ним атом.

) При Е < 0 решения уравнения Шредингера существуют только для дискретных значений энергии

.

Эта формула совпадает с аналогичной формулой, полученной с использованием постулатов Бора. Соответствующие уровни энергии Е_п показаны на графике. Случай E < 0 соответствует электрону, связанному с атомом, т.к. для каждого п значения  конечные - это радиус атома.

Нижний уровень энергии Е₁ называется основным, остальные уровни называют возбужденными. При E_n <0 движение электрона является связанным, при E_n>0 - свободным. Энергия ионизации водорода

 эВ.

Это энергия, которая требуется, чтобы оторвать электрон от атома.

Можно показать, что уравнению Шредингера для атома водорода в сферических координатах удовлетворяют функции , зависящие от трех квантовых чисел: n, l и m. Эти числа определяют положение электрона в атоме и имеют определенный физический смысл.

Главное квантовое число п определяет энергетические уровни электрона и принимает значения п=1, 2, 3,…

Орбитальное (азимутальное) квантовое число l определяет момент импульса электрона

.

Параметр l может принимать значения l = 0, 1, …, п-1. Отсюда следует, что для каждого состояния п момент импульса электрона может принимать п различных значений.

Состояния с заданным моментом импульса обозначаются малыми латинскими буквами:

Магнитное квантовое число m определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление

.

Параметр  может принимать значения , т.е. импульс электрона в атоме может принимать 2l+1 различных ориентаций.

Схематически положения электрона можно представить с помощью векторной модели.

Здесь предполагается, что в точке О расположено ядро, вокруг которого по круговой орбите вращается электрон. Радиус орбиты и энергия электрона зависят от главного квантового числа п. Для каждого п существуют различные формы орбит, которые различаются величиной и направлением момента импульса  при различных значениях орбитального квантового числа l. Проекции момента импульса  на выделенную ось z имеют дискретные значения , которые определяются магнитным квантовым числом . Итак, состояние электрона описывается различными ψ-функциями. Простейшие случаи показаны в таблице

Таблица 1

Можно показать, что во внешнем магнитном поле, направленном вдоль оси z, происходит прецессия орбиты электрона. Следует иметь в виду, что эта схема условна. На самом деле ни орбит, ни траекторий для электронов не существует, в частности, они запрещены принципом неопределенности. Правильной является лишь математическая форма описания, даваемая уравнением Шредингера.

Энергия электрона определяется одним квантовым числом п, поэтому различным волновым функциям  с одним и тем же значением п, но различными l или m_l , соответствуют одинаковые значения энергии. Нетрудно посчитать, что для каждого п существует

различных ψ - состояний.

. Состояния электрона в атоме водорода

Состояние электрона в атоме водорода определяется четырьмя квантовыми числами: , где  - спиновое квантовое число. Из уравнения Шредингера наличие спина не вытекает, поэтому мы здесь его не будем учитывать.

Вероятность появления в данной точке пространства электрона, обладающего заданными значениями квантовых чисел, определяется квадратом модуля волновой функции. Положение электрона в атоме можно представить в виде облака, плотность которого пропорциональна вероятности появления электрона в данной точке.

В атомной физике, химии, спектроскопии для описания состояния электрона используются специальные обозначения:

l=0, s - состояние, s - электрон;

l=1, p - состояние, p - электрон;=2, d - состояние,=3, f - состояние.

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например,

запись 2s означает, что п=2, l=0; запись 3p означает, что п=3, l=1.

Возможны следующие состояния электрона:

s

s, 2p

s, 3p, 3d

s, 4p, 4d, 4f

и т.д.

Рассмотрим более детально положения электронов в различных состояниях. При этом будем использовать упрощенные представления о движении электронов по заданным орбитам.

Энергия электрона определяется главным квантовым числом . Можно считать, что каждому значению энергии соответствует свой радиус орбиты, на которой располагается электрон. Положение орбиты (ее наклон к выбранной оси ) определяется квантовыми числами . Рассмотрим простейшие электронные состояния и соответствующие орбиты.

-состояние соответствует значению . При этом магнитное число  принимает единственное значение . Можно показать, что плотность вероятности найти электрон на расстоянии  от ядра является радиально-симметричной и определяется функцией , показанной на графике.

В -состоянии области существования электрона ограничены сферами определенных радиусов (сферически симметричный слой). С увеличением  толщина слоя возрастает.

р-состояние соответствует значению . При этом магнитное число  принимает три значения , . В этом случае плотность вероятности найти электрон на расстоянии  от ядра зависит от угла  между выбранной осью z и радиус-вектором и определяется функцией .

Если рассматривать электрон вращающимся по орбите, то можно считать, что электрон обладает моментом импульса. Для  момент импульса перпендикулярен оси z и его проекция равна нулю. Для  проекции момента импульса направлены вдоль оси z в различных направлениях (электрон вращается в различных направлениях).

Радиальная зависимость определяется величиной п и соответственно накладывается на угловую зависимость. Т.о. можно считать, что на заданном расстоянии r существуют различные орбиты для электрона. Положения этих орбит определяются квантовыми числами .

. Излучение атома водорода

Анализ решения уравнения Шредингера для атома водорода позволяет исследовать спектр излучения водорода. При этом в рамках квантовой механики удается полностью описать все особенности излучения и поглощения водорода.

Для атома водорода возможны только такие переходы, которые удовлетворяют условиям:

1)   изменение орбитального квантового числа удовлетворяет условиям

;

1)   изменение магнитного квантового числа удовлетворяет условиям

.

Соответствующие переходы показаны на схеме. Отметим, что условие  является следствием закона сохранения момента импульса. Фотон, обладает собственным моментом импульса (спином) равным  и при поглощении или излучении фотона момент импульса атома меняется на эту величину.

Используя введенные ранее обозначения, можно записать переходы для серии Лаймана

;

серии Бальмера

и других серий.

Приведенная схема переходов электронов и связанные с ней спектры излучения и поглощения справедливы для атома водорода. Для других химических элементов схема усложняется. Причина усложнения - взаимодействие электронов, окружающих ядро, с ядром и между собой. При наличии внешних электрических и магнитных полей характер переходов может измениться, что приведет к изменению спектров излучения и поглощения.

. Простейшие формулы квантовой механики

1.      Соотношение де Бройля .

.        Соотношения неопределенности Гейзенберга

, , ;

.

3.      Уравнение Шредингера для стационарных состояний

.

.        Вероятность нахождения частицы в элементе объема

.

5.      Условие нормировки

.

6.      Энергия частицы в потенциальной яме

.

7.      Коэффициент прозрачности

.

8.      Момент импульса электрона

.

. Проекция момента импульса электрона

.

Список использованной литературы и источников.

1. Трофимова Т.И. Курс физики, М.: Высшая школа, 1998, 478 с.

. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики, М.: Высшая школа, 1996, 304 с.

. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики, СПб.: «Специальная литература», 1999, 328 с.

. Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями, М.: Высшая школа, 1999, 592 с.

. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

. Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

7. Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.