Моделі і методи прийняття рішень в аналізі і аудиті

Моделі і методи прийняття рішень в аналізі і аудиті

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ і НАУКИ УКРАЇНИ

Чернігівський націольний технологічний університет

Кафедра обліку і аудиту

Контрольна робота

"Моделі і методи прийняття рішень в аналізі і аудиті"

Чернігів ЧНТУ 2014р.

Зміст

1. Постановка задачі оптимального планування виробництва

. Побудова математичної моделі

. Обґрунтування вибору методу розв’язання поставленої задачі

. Вирішення задачі оптимального виробництва методом Гоморі

. Пошук оптимального плану виробництва з використанням Excel

6. Аналіз допустимих та оптимальних планів виробництва, аналіз обмежуючих чинників виробництва

Література

. Постановка задачі оптимального планування виробництва

Підприємство, що планує організувати виробництво двох нових видів виробів, має обмежену суму власних коштів для капіталовкладень - 70 гр. од., але може збільшити обсяг цих вкладень за рахунок використання банківського кредиту, сума якого обмежена - 100 гр. од. Природно, що залучення позикових коштів виявиться економічно виправданим тільки в тому випадку, якщо нове виробництво буде прибутковим з урахуванням виплачуваних відсотків 101 %.

Визначити обсяги виробництва виробів кожного виду, що забезпечать одержання максимуму прибутку, якщо відомо, що капіталовкладення на одиницю виробництва виробів першого і другого видів складають відповідно, 2.2 гр. од. і 1,8 гр. од.; дохід від реалізації одиниці виробу кожного виду дорівнює, відповідно, 3 гр. од. і 2 гр. од.; мінімально припустимий обсяг виробництва виробу першого виду дорівнює 10 одиниць, виробу другого виду - 10 одиниці.

. Побудова математичної моделі

Для побудови математичної моделі поставленої задачі введемо наступні позначення:

 - обсяг виробництва підприємством виробів першого виду, шт.;

 - обсяг виробництва підприємством виробів другого виду, шт.

В такому випадку дана задача зводиться до визначення плану виробництва Х (;), що буде забезпечувати підприємству максимальний прибуток від реалізації продукції, тобто:

max:  =

Тоді, якщо підприємство не бере кредит, обмеження за даних умов матимуть наступний вигляд:

При цьому, вимоги невід`ємності змінних () не записуються, оскільки передбачаються двома останніми обмеженнями. Перше обмеження вказує на те, що собівартість продукції не може перевищувати кількість власних коштів. Друге і третє обмеження вказує на мінімальні обсяги виробництва першого і другого виду продукції.

Оскільки, у підприємства є можливість отримати кредит для капіталовкладень, то можна видозмінити перше обмеження в такий спосіб:

,

де введена змінна  не обмежена в знаку.

Розглянемо цільову функцію, оскільки мета завдання полягає в максимізації чистого прибутку, що являє собою прибуток від реалізації виробів з урахуванням кредиту, зменшений на розмір виплачуваних відсотків. При чому, плата за кредит враховується лише при >0 і розраховується в такий спосіб:

Причому обсяг виробів одного і другого видів не може бути дробовим, оскільки випуск іде поштучно.

Таким чином, математичне формулювання задачі матиме наступний вигляд:

Знайти Х (;)

max:  =  

при обмеженнях:

 - цілі числа

Для приведення моделі до лінійної форми доцільно використати підстановку , що еквівалентна умовам або  і , оскільки від'ємний коефіцієнт при r у виразі для цільової функції впливає на неї таким чином, що в процесі оптимізації буде вибиратися найменше з можливих невід'ємних значень, тобто 0 або g.

Тоді математична модель задачі лінійного програмування буде мати наступний вигляд:

Знайти Х (;)

max:  =  (2.1)

при обмеженнях:

 (2.2)

, - не обмежена,  - цілі числа (2.3)

3. Обґрунтування вибору методу розв’язання поставленої задачі

За виглядом математичної моделі дану задачу можна віднести до задач цілочисельного лінійного програмування (ЗЦЛП), оскільки математична модель складається з трьох елементів: цільової функції (2.1), системи обмежень (2.2) та умов, що накладаються на змінні (2.3), і при цьому як цільова функція, так і обмежувальні умови - це лінійні вирази; до того ж, модель містить вимогу цілочисельності змінних.

Оскільки, метод Гоморі швидше приводить до оптимального розв’язку (доказано на практиці), то використаємо його для вирішення поставленої задачі.

Алгоритм методу Гоморі

1.  Задача розв’язується без урахування вимоги цілочисельності змінних, як задача лінійного програмування. Якщо в результаті рішення буде одержаний цілочисельний результат - процес завершується, у протилежному випадку переходять до етапу 2.

2.  Якщо серед значень змінних в оптимальному плані є дробові, то обирається змінна з найбільшою дробовою частиною і складається додаткове обмеження, що ніби то "відтинає" дробову частину розв’язку, але залишає в силі всі інші умови, які має задовольняти оптимальний план. Для цього використовується поняття конгруентності чисел і дробової частини числа, та властивості конгруентності чисел.

Число a конгруентне числу b ( a ≡ b ), лише у тому випадку, коли різниця a-b є цілим числом.

Дробовою частиною числа a ((a)) називається найменше від’ємне число, конгруентне числу a.

Властивості конгруентності чисел:

.        Якщо числа конгруентні ( a ≡ b ), то їх дробові частини рівні ((a) = (b)).

.        Дробова частина суми чисел дорівнює сумі їх дробових частин, тобто (a+b) = (a) + (b).

.        Якщо n - ціле число,то для будь-якого числа a виконується рівність

3.  Додаткове обмеження приєднується до вихідних обмежень задачі і до розширеної таким чином задачі знову застосовується симплекс - процедура. Коли і цього разу оптимальний розв’язок виявиться нецілочисельним переходимо до етапу 4.

4.       Складається ще одне додаткове обмеження і процес обчислень повторюється.

Алгоритм дозволяє за скінченну кількість кроків прийти до оптимального цілочисельного розв’язку (якщо він існує).

. Вирішення задачі оптимального виробництва методом Гоморі

Отже, на першому етапі розв’язуємо задачу без урахування вимоги цілочисельності змінних симплекс - методом. Для цього переходимо до канонічної форми запису математичної моделі. Канонічною задачею лінійного програмування називається задача виду  (як у даному випадку), при виконанні обмежень , і обмеження мають такі змінні , які завжди мають знак плюс. Оскільки дана задача містить у системі 4 нерівності та 1 рівняння, то для перетворення нерівностей у рівнянні вводимо додаткові невід’ємні змінні х_3, х_4, х_5, х_6, що додаються до лівої частини нерівностей зі знаком "≤", віднімаються з лівої частини нерівностей зі знаком "≥", а у рівняння - штучну змінну  та вводяться ці додаткові змінні в цільову функцію  з нульовим (оскільки безпосередньо на результат максимізації вони не впливають) та М коефіцієнтом. А також представимо змінну g як різницю двох невід'ємних змінних:

Таким чином, у канонічній формі поставлена задача записується наступним чином:

Знайти Х (;)

:  =  

 при обмеженнях:

;

; ; ;

  - цілі числа.

Додаткові змінні мають наступну економічну інтерпретацію:

 - показує наскільки фактичний обсяг виготовлених виробів першого виду перевищує мінімально допустимий обсяг, шт.;

 - наскільки фактичний обсяг виготовлених виробів другого виду перевищує мінімально допустимий обсяг, шт.;

 - сума не використаних власних коштів (без врахування кредиту);

 - сума невикористаних власних коштів і кредит.

Далі, щоб приступити до розв’язання даної задачі лінійного програмування необхідно виділити базисні змінні. Їх має бути стільки, скільки рівнянь в системі обмежень ( у даному випадку 5) до того ж кожна з них має входити лише в одне з рівнянь з коефіцієнтом "+ 1". Ті рівняння, які містять змінні, що можуть бути базисними при зміні знаку, то домножуємо їх ліві та праві частини на "- 1". Отже, модель даної задачі після всіх перетворень матиме вигляд:

Знайти Х (;)

:  =  

 при обмеженнях:

;

; ; ;

  - цілі числа.

В даному випадку у якості змінних можуть виступати , х_3, х_4, х_5, х_{6 .}

Отже, решта етапів методу Гоморі за допомогою симплексної процедури реалізуємо з використанням таблиці 4.1.

Але для повного і точного вирішення задачі симплексним методом, скористаємося програмою SimplexWin 3.1. Дана програма призначена для вирішення задач математичного програмування симплексним методом. Вона автоматично вводить додаткові змінні і базиси для того щоб довести задачу до канонічного вигляду. Спочатку перейменуємо стовпчики до нормального вигляду, і заповнюємо дані рис.1

Рис.1 SimplexWin 3.1

планування виробництво гоморі еxcel

Потім натискаємо кнопку "вычислить", у новому вікні натискаємо "авто", поки не висвітлиться вікно з повідомленням "план оптимален", або з повідомленням що задача не має розв"язків. І натискаємо на кнопку "Exel", для того щоб дані відобразилися у електронних таблицях. Додаткові змінні позначаються як "Xn", додаткові базиси позначаються програмою як "Zn". Рядок "ИС" - "Індексний рядок". Результати оформимо в таблицю 4.2, розв"язок задачі за методом Гоморі.

Таблиця 4.2 Плани виробництва.

Загалом можна сказати що використання електронних пристроїв та автоматизованих програм значно полегшує використання цього методу.

. Пошук оптимального плану виробництва з використанням Excel

Для вирішення поставленої задачі з допомогою надбудови "Пошук рішення" в MS Excel розробляємо таблицю 5.1, яка дозволяє враховувати зміни обмежувальних умов та в залежності від цього отримувати розв’язки будь-яким пересічним користувачем.

Алгоритм розв’язання задачі за допомогою MS Excel.

1. Із меню "Сервис" відкриваємо вікно "Поиск решения" (дивись рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 - Діалогове вікно "Поиск решения"

2.  В полі "Установить целевую ячейку" вводимо $С$25 (відповідає комірки цільової функції).

3.       Із групи "Равной" вибираємо перемикач "максимальному значению".

4.       В полі "Изменяя ячейки" вводимо $С$5;$С$6;$С$16;$С$17 (відповідає коміркам обсягів виробництва виробів та розміру банківського кредиту).

5.       В полі "Ограничения" вводимо відповідні обмеження задані умовою задачі користуючись кнопкою "Добавить" (дивись рисунок 5.2)

Рисунок 5.2 - Діалогове вікно "Добавление ограничений"

6. В діалоговому вікні "Параметры" встановлюємо прапорець "Линейная модель" (дивись рисунок 5.3).

Рисунок 5.3 - Діалогове вікно "Параметры поиска решения"

7. Потім натискаємо ОК та в діалоговому вікні, що з’явилось натискаємо кнопку "Выполнить". В вікні "Результати поиска", що з’явилось вибираємо "Сохранить найденное решение" та в полі "Тип отчета" відмічаємо "Результаты" (дивись рисунок 5.4) та натискаємо ОК. Після цього з’явиться звіт по результатам розрахунків, який ми представимо в додатку А.

Рисунок 5.4 - Діалогове вікно "Результаты поиска решений"

6. Аналіз допустимих та оптимальних планів виробництва, аналіз обмежуючих чинників виробництва

В ході вирішення ЗЛП симплексним методом було отримано три опорні плани виробництва Х_і(х₁, х₂), Х_і=. Проаналізуємо кожний з них.

Отже, що можна сказати по даній задачі і взагалі рішенню питання ефективності використання коштів. Перший план який випливає з другого кроку рішення симплексним методом виглядає як , .

Тобто виготовлення продукції по 10 одиниць кожного виду приносить 50 грошових одиниць прибутку. Такий план не передбачає використання банківського кредиту і не є ефективним, оскільки підприємство не використало всі свої кошти, а саме змінна базового плану Z1 = 30 гр. од., що вказує на те що ці кошти не залучені, проте цей план виконує умови мінімального випуску продукції. І тому ми маємо обрати наступний план, котрий, можливо буде кращим.

Наступний план який ми бачимо в рішенні задачі виглядає як , , тобто виготовляється 23 одиниці першого виду продукції і 10 одиниць другого виду продукції. По перше цей план не включає в себе використання кредитних коштів, але в той самий час використовує майже всі наявні власні кошти. При цьому підприємство отримає прибуток в 89 грошових одиниць. Але план не є оптимальним, оскільки індексний рядок має від"ємні значення. Також навіть за правилами елементарної логіки прибуток від використання кредиту в нашому випадку більший ніж витрати на його погашення. Отже, кошти мають бути залучені, що підтверджує і сама симплексна таблиця.

Третій план "запропонований" симплекс таблицею виглядає як ,,2 при цьому плані виробляється 69 одиниць першого виду продукції і 10 одиниць другого. При цьому підприємство отримує дохід в 126.2 грошові одиниці. Це і не дивно, оскільки перший вид продукції приносить більше прибутку, загалом навіть можна сказати, що якщо не було б обмеження по виготовленню другого виду продукції в 10 одиниць, підприємству за даною моделлю було б доцільно вкласти всі кошти в перший вид. План є оптимальним, оскільки в індексному рядку немає від"ємних значень. Всі кошти залучено. Результат ми можемо перевірили за допомогою електронних таблиць Ехеl, програма підтвердила цілочисленний розв"язок задачі. Отже третій план є оптимальним.

Література

1.  Вітлінський В.В. Аналіз, оцінка і моделювання економічного ризику. - К.: Деміур, 1996. - 212 с.

2.       Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Шарапов О.Д. Економічний ризик і методи його вимірювання: Підручник. - К.: ІЗМН, 1996. - 400 с.

3.       Грабовый П.Г., Петрова С.Н., Полтавцев С.И. и др. Риски в современном бизнесе. - М.: Аланс, 1994. - 200 с.

4.       Кини Р.Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. - М.: Наука,1981. - 560 с.

5.       Лизер С. Эконометрические методы и задачи. - М.: Статистика, 1971.

6.  Маленво Э. Статистические методы и задачи. - М.: Статистика, 1975 - 1978. - вып. 1,2.

7.       Мирзоахмедов Ф.М. Математическая модель и методы управления производством, с учетом случайных факторов. - К.: Наукова думка, 1991. - 224с.