Исчисление функции одного переменного

Исчисление функции одного переменного

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФГБОУ ВПО «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «Экономика»

Контрольная работа

По дисциплине: Математический анализ

Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

Задание 1.

Вычислить предел

Решение.

Выносим константу за скобки:

Предел константы является постоянным, предел суммы равен сумме пределов:

Предел x, при x стремящимся к 0, равен 0.

Предел cos x, при x стремящимся к 0, равен 1.

Ответ: 0.

Задание 2.

Найти асимптоты функции

По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

,

Находим коэффициент b:

,

Получаем уравнение горизонтальной асимптоты:

Рис. 1

Ответ: y=6; x=0.

Задание 3.

Определить глобальные экстремумы:

Решение.

Находим первую производную функции:

или

Приравниваем ее к нулю:

,

Вычисляем значения функции на концах отрезка:

Ответ:  

Задание 4.

Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

Решение.

Рис. 2

Рис. 3

Задание 5.

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

Решение.

т.к. на  на  выпуклость вверх,

т.к. на

Дифференциальное исчисление функций и его приложение

Задание 1.

Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

Решение.

Область определения функции:

Пересечение с осью абсцисс :

Пересечение с осью ординат

Поведение функции в граничных точках области определения:

Поведение функции на бесконечности:

Наклонная асимптота функции:

Исследование функции на четность/нечетность:

Функция является ни четной, ни нечетной.

Производная функции равна:

Нули производной: ,

Функция возрастает на:

Функция убывает на:

Минимальное значение функции:

Максимальное значение функции:

Построение графика функции:

Рис. 4

Задание 2.

Найти локальные экстремумы функции

Решение.

В точке

Найдем частные производные:

Решим систему уравнений:

Получим:

а) Из первого уравнения выражаем  и подставляем во второе уравнение:

Откуда

Данные значения подставляем в выражение для . Получаем:

б) Из первого уравнения выражаем  и подставляем во второе уравнение:

Откуда

Данные значения  подставляем в выражение для . Получаем:

Найдем частные производные второго порядка.

, ,

Вычислим значения этих частных производных второго порядка в критических точках Вычислим значение для точки

Вычисляем значения для точки

Вычисляем значения для точки

.

Вычисляем значения для точки

:

В точке  имеется максимум

Задание 3.

Определить экстремумы функции

, если

Решение.

Задача сводится к нахождению прямоугольника, имеющего наибольший/наименьший полупериметр при заданной площади. Известно, что среди прямоугольников с заданным периметром наибольшей площадью обладает квадрат. Поэтому наименьшим полупериметром среди прямоугольников, имеющих  , обладает квадрат, для которого  . Прямоугольника с наибольшим полупериметром не существует. Следовательно, функция  при условии  имеет минимум, если , причем . Условного максимума функция не имеет.

Интегральное исчисление функции одного переменного

Задание 1. Найти неопределенный интеграл

Решение.

Для подынтегральной функции  полный квадрат равен:

Для подынтегральной функции  произведем замену и

Для подынтегральной функции  произведем замену  и

Интегралом  является

Произведем обратную замену для

Произведем обратную замену для

Ответ:

Задание 2.

Найти неопределенный интеграл

Решение.

Делаем замену переменных:

,

Интеграл суммы есть сумма интегралов:

Вынесли константу из-под знака интеграла:

Проинтегрировали степенную функцию:

Проинтегрировали константу:

Вынесли константу из-под знака интеграла:

Делаем замену переменных:

,

Проинтегрировали степенную функцию:

Сделали обратную замену:

Сделали обратную замену:

Ответ:

Задание 3.

Найти неопределенный интеграл:

Решение.

Интегрируем подынтегральную функцию по частям:

В подынтегральной функции  производим замену и

Интегралом  является

Произведем обратную замену для :

Ответ: .

Задание 4.

Вычислить:

Решение.

Подставляем пределы интегрирования:

функция переменная интегрирование

Ответ:

Задание 5.

Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

Решение.

Рис. 5

Список литературы

1. А.П. Девятков, А.А. Макаров, Е.Г. Пыткеев, А.Г. Хохлов. Математика: Математический анализ и линейная алгебра., М., 2011.