Рішення задач аналізу і оптимізації

  • Вид работы:
    Курсовая работа (т)
  • Предмет:
    Информатика, ВТ, телекоммуникации
  • Язык:
    Украинский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    115,3 Кб
  • Опубликовано:
    2013-08-25
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Рішення задач аналізу і оптимізації

Вступ

Технологічний процес включає етапи конструювання, виробництва та експлуатації. Основні технологічні задачі виробництва електронної апаратури можуть бути сформовані лише на основі їх конструкторсько-технологічному аналізі. Етап конструювання є самим важливим з точки зору надійності, адже на інших етапах підвищити надійність неможливо.

Виробничий процес - це сукупність дій внаслідок яких матеріали, деталі, сировина, що надходять на підприємство перетворюються у готові вироби. В порівнянні з іншими галузями виробництво електронних апаратів найбільш складне і сучасне. Його особливості визначаються тим що електронна апаратура є складним апаратом. Вона налічує більше ста тисяч комплектуючих. Для реалізації даного процесу виробництва використовується велика кількість різноманітних матеріалів та пристроїв. Щоб забезпечити ефективність процесу на даному етапі потрібно забезпечити високу культуру виробництва, шляхом дотримання технологічного процесу, використання автоматизації, ритмічності роботи. Також потрібно впровадити відповідну систему контролю.

Для нормальної роботи підприємства потрібно правильно спланувати виробництво та розрахувати всі можливі варіанти його протікання. Використання комп’ютерів та відповідних програмних продуктів дозволяє значно спростити подібні операції. З їх допомогою можна обробляти значно більший об’єм інформації. Крім того, точність обрахунків на ЕОМ є на кілька порядків вищою, чим обрахунки проведені людиною вручну.

Для проведення обрахунків створюються різні моделі досліджуваних об’єктів, здійснюється їх порівняння та аналіз. У даній курсовій роботі використовуються такі методи аналізу та оптимізації технологічних процесів як: моделі лінійного програмування, дисперсійний аналіз, моделі систем масового обслуговування.

1. Основні характеристики моделей лінійного програмування, методика їх розрахунку

1.1 Аналіз сучасного стану питання та обґрунтування методу розрахунку і оптимізації

Лінійне програмування - це розділ математичного програмування, який використовується при розробці методів відшукання екстремуму лінійних функцій декількох змінних при наявності додаткових обмеженнях, що накладаються на змінні.

Лінійне програмування є одним з найбільш популярних методом оптимізації. До числа задач лінійного програмування можна віднести задачі:

·   раціонального використовування сировини і матеріалів; задачі оптимального розкрою;

·        оптимізації виробничої програми підприємств;

·        оптимального розміщення і концентрації виробництва;

·        складання оптимального плану перевезень, роботи транспорту;

·        управління виробничими запасами;

·        і багато інших, що належать сфері оптимального планування. [1]

Задачі лінійного програмування є найпростішими і добре вивченими. Для них характерний: показник ефективності (цільова функція), який виражається лінійною залежністю; обмеження на рішення - лінійна рівність або нерівності. Труднощі рішення задач лінійного програмування залежать від: виду залежності, що пов'язує цільову функцію з елементами рішення; розмірності задачі, тобто від кількості елементів рішення х1, х2,…, xn; вигляду і кількості обмежень на елементи рішень.

По типу вирішуваних задачі методи лінійного програмування розділяються на універсальні і спеціальні. За допомогою універсальних методів можуть розв'язуватися будь-які задачі лінійного програмування. Спеціальні методи враховують особливості моделі задачі, її цільової функції і системи обмежень. [1]

Більшість економічних та управлінських задач добре описується лінійними моделями. Ці моделі використовуються для оптимізації вибору складу засобів випробування і у технологічному процесі виготовлення, коли n видів продукції (А1, А2,…, Аn) у кількості N1, N2,…, Nn можуть бути випробувані m різними способами випробувань B1, B2,… Bn. Кожний і-й засіб випробування характеризується:

·   часом, який необхідний і-му засобу для випробування одиниці продукції (фij);

·   вартістю використання засобу в одиницю часу (Сi);

·        фондом часу роботи і-го засобу випробування Ті.

В ході розв’язку задачі необхідно знайти невід’ємні значення х1, х2,…, xn, які б задовольняли систему лінійних рівнянь

 

 (1.1)

де, Аij - коефіцієнти (1<j<n), (1<i<m);

m - кількість обмежень;

Вj - j-й засіб випробування.

В матричній формі це виглядає як:

АЧх=В (1.2)

де


Така форма обмежень є обмеженням у формі рівностей. [1]

Основна задача лінійного програмування полягає в мінімізації цільової функції.

 (1.3)

Завданням ЛП в нашому випадку є мінімізація вартості випробувань.


де Сі - вартість роботи і-го засобу випробування в одиницю часу, 1≤і≤m.- кількість видів засобів випробувань при обмеженнях:

 (1.4)

 (1.5)

 (1.6)

 (1.8)

де Xij - кількість продукції j-го типу, випробуване і-м засобом випробування;

Ті - фонд часу і-го засобу випробування, n - кількість видів продукції;

Nj - загальна кількість продукції.

Обмеження (1.4) випливає з необхідності опрацювання всієї продукції, (1.5) - з не перевищення часу випробування усіх видів продукції н а і-х засобах, (1.6) - з умови невід’ємності Ві і хі.

Геометричним образом допустимої множини розв’язків є многогранник у багатовимірному просторі, одна з вершин якого є розв’язком. [2]

В процесі знаходження оптимального розв’язку може виявитись, що розв’язок один; його не існує, якщо допустима множина розв’язків необмежена, при необмеженості знизу цільової функції (рисунок 1, а) або допустима множина розв’язків порожня (рисунок 1, б); є нескінченна множина розв’язків, якщо мінімум цільової функції досягається на множині точок, тобто ребро багатокутника паралельно лініям рівня як наведено на рисунку 1, в. [3]

Рисунок 1.1 - Геометрична інтерпретація задачі ЛП: а), б) - розв’язків не існую в) функція має нескінченне число розв’язків

Для розв’язання задачі лінійного програмування можна користуватися ручним методом, графічним або симплекс-методом. Ручний метод є досить простий і примітивний. Основний його недолік це велика трудомісткість при розв’язанні задачі. Чим більше змінних тим важче розв’язати задачу лінійного програмування ручним методом.

Графічний метод розв’язання досить простий. Але він також не ефективний. Ним можна скористатися лише при наявності двох змінних. У випадку трьох змінних графічний розв’язок стає менш наочним, а при більшому числі змінних - взагалі неможливим.

З перелічених трьох методів симплекс метод є найбільш ефективним. Він дозволяє вирішити будь-яку задачу при виконанні умови невиродженості. Оптимальний розв’язок представляється однією з вершин многогранника. Саме цей результат лежить в основі симплекс-метода. Для пошуку оптимума необхідно в визначеному порядку переглянути невелику кількість вершин, використовуючи простий і ефективний алгоритм послідовного покращення значення цільової функції, який показано на рисунку 1.2.

Алгоритм розв’язування задачі ЛП симплекс - методом має такі етапи:

1.      Обчислюють елементи рядка оцінок варіантів dj .

.        Знаходять номер к вектора , що має максимальну по абсолютній величині додатну оцінку варіанта . Якщо всі оцінки варіанта від’ємні, то оптимальний план (переходять до 5). У протилежному випадку обчислюють вектор - стовпчик:

 

.        Знаходять стрічку з номером ф, де . Якщо такого рядка немає, то задачу розв’язати неможливо;

.        Матрицю  і вектор  перетворюють в та  відповідно, щоб вивести з базису вектор і включити в нього вектор (поліпшення плану) по формулах:

· елементи стовпчика з номером А

;

·        елементи рядка з номером

;

·        інші елементи і


·      перейти до наступної ітерації (до п. 1);

5.    Видають інформацію про оптимальний розв’язок - значення невідомих цільової функції.

Рисунок 1.2 - Алгоритм рішення задачі ЛП симплекс-методом

Порядок виконання роботи проводять по наступним етапам:

·   записуємо цільову функцію;

·        складаємо обмеження;

·   обмеження у формі нерівностей, вводячи додаткові змінні, перетворюємо у рівності, і вводимо в обмеження - рівності штучні перемінні;

·        записуємо матрицю обмежень і вектор цільової функції, враховуючи усі змінні у кожному рядку;

·        вирішуємо задачу лінійного програмування на ЕОМ;

·        у випадку нецілочисельного розв’язання, за допомогою методу гілок і меж отримуємо цілочисельний розв’язок. Зі збільшенням номера розгалужень число додаткових обмежень буде зростати;

·        серед отриманих цілочисельних розв’язків обираємо оптимальний, з мінімальним значенням цільової функції;

·        відповідно до індивідуального завдання знаходимо необхідну залежність і відображаємо у вигляді графічної або математичної моделі.

1.2 Аналітично-розрахункова частина

В курсовій роботі поставлена задача вибору оптимального складу засобів випробування в технологічному процесі виготовлення напівпровідникових приладів.

. Так як цикл вимірів засобів випробувань заданий для вимірювання пластин, на яких розміщено 600 кристалів і брак складає 50% від загального об’єму випуску, то кількість пластин для розрахунку складає:

[пластин]

Границя необхідності обробки всієї продукції:


. З умови необхідності не перевищення часу випробування всіх видів продукції на і-му засобі випробувань допустимої тривалості роботи цих засобів випробувань випливає друга гранична умова:

 (1 ≤ i ≤ m);

де фij - час необхідний і-му режиму випробування продукції;

хij - кількість продукції;

Ті - фонд часу роботи і-го режиму випробувань Ті = 344 год.

еі - використовуєма кількість засобів випробувань і-го виду.

Т=Ті Ч60 = 344Ч60 = 20640 (хв.).

Підставляючи у формулу значення відповідних параметрів, отримуємо чотири рівняння:

x1 - 20640 e1        33 х3 ≤ 20640 e3

х2 ≤ 20640 e2       7,5 х4 ≤ 20640 e4

Введемо заміну еi= xi+4. Потім перенесемо невідомі в ліву частину. В результаті отримаємо чотири граничних умови:

х1 -20640 х5 ≤ 0            33 х3 - 20640 х7 ≤ 0

4 х2 - 20640 х6 ≤ 0                  7,5 х4 - 20640 х8 ≤ 0

де х5, х6, х7, х8 - кількість приладів першого, другого, третього і четвертого типу відповідно.


Сформуємо умову для рішення задачі лінійного програмування симплекс-методом на ЕОМ:

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1500

180

0

0

0

-20640

0

0

0

-1

0

0

34

0

0

0

-20640

0

0

-1

0

0

0

33

0

0

0

-20640

0

-1

0

0

0

0

7,5

0

0

0

-20640

-1

0

0

0

0

0

3

3

3

70

-1

0


В дев'ятому стовпчику число 0 означає знак «=», -1 означає «≤0», 1 означає «≥ 0».

Отримана матриця складається з п'яти рядків границь, отриманих раніше, і ряду з коефіцієнтами цільової функції.

1.3 Комп’ютерне моделювання та вибір математичної моделі

Значення даної матриці занесемо в файл Dan1.txt. Запускаємо програму на виконання за допомогою файлу R1.exe. Результат, який отримаємо після виконання програми буде поміщений в файл REZ1.txt.

**********************************************************************

***** ВИННИЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ *****

***** *****

***** факультет радиоаппаратостроения *****

***** *****

***** КАФЕДРА КИПРА *****

***** *****

***** КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТОКТИН *****

***** *****

***** *****

***** часть 1 *****

***** *****

***** *****

***** РЕШЕНИЕ 3АДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ *****

***** симплекс-метод *****

***** *****

***** ВИННИЦА 1994 г. *****

***********************************************************************

Исходные данные решения задачи ЛП симплекс-методом:

Число ограничений M=5

Число переменных N=8

Ограничения:

.0000         1.0000 1.0000     1.0000       0.0000       0.0000       0.0000       0.0000          1500.0

.00    0.0000 0.0000     0.0000       -20640       0.0000       0.0000       0.0000          0.0000

.0000         34.000       0.0000       0.0000       0.0000       -20640        0.0000          0.0000       0.0000

.0000         0.0000       33.000       0.0000       0.0000       0.0000       -20640          0.0000       0.0000

.0000         0.0000       0.0000       7.5000       0.0000       0.0000       0.0000          -20640       0.0000

Коеффициенты целевой функции:

0.0E+00 0.0E+00 0.0E+00 0.0E+00 2.8E+00 3.0E+00 3.0E+00 7.0E+01

Оптимальное решение:опт= 2.3983опт= 0.0000опт= 0.0000опт=1500.0000опт= 0.0000

начение целевой функции:= 7.08

х7=2,3983 не є цілочисельним рішенням, тому вводимо додаткове обмеження: х7=2 (додатковий рядок у матрицю 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0, враховуючи що число обмежень збільшиться до 6). І знову запускаємо програму на виконання.

***********************************************************************

***** ВИННИЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ *****

***** *****

***** факультет радиоаппаратостроения *****

***** *****

***** КАФЕДРА КИПРА *****

***** *****

***** КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТОКТИН *****

***** *****

***** *****

***** часть 1 *****

***** *****

***** *****

***** РЕШЕНИЕ 3АДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ *****

***** симплекс-метод *****

***** *****

***** ВИННИЦА 1994 г. *****

***********************************************************************

Исходные данные решения задачи ЛП симплекс-методом:

Число ограничений M=6

Число переменных N=8

Ограничения:

Ограничения:

.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1500.0000

.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -20640.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

.0000 34.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -20640.0000 0.0000 0.0000 0.0000

.0000 0.0000 33.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -20640.0000 0.0000 0.0000

.0000 0.0000 0.0000 7.5000 0.0000 0.0000 0.0000 -20640.0000 0.0000

.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 2.0000

Коеффициенты целевой функции:

.0E+00 0.0E+00 0.0E+00 0.0E+00 3.0E+00 3.0E+00 3.0E+00 7.0E+01

Оптимальное решение:опт= 2.0000

X6опт= 0.4103

X1опт= 0.0000опт= 249.0909опт= 1250.9091опт= 0.0000

начение целевой функции:= 7.11

7. Вводимо обмеження: х7=3 (додатковий рядок у матриці 0 0 0 0 0 0 1 0 3

). І знову запускаємо програму на виконання.

***********************************************************************

***** ВИННИЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ *****

***** *****

***** факультет радиоаппаратостроения *****

***** *****

***** КАФЕДРА КИПРА *****

***** *****

***** КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТОКТИН *****

***** *****

***** *****

***** часть 1 *****

***** *****

***** *****

***** РЕШЕНИЕ 3АДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ *****

***** симплекс-метод *****

***** *****

***** ВИННИЦА 1994 г. *****

***********************************************************************

Исходные данные решения задачи ЛП симплекс-методом:

Число ограничений M=6

Число переменных N=8

Ограничения:

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1500.0000

.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -20640.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

.0000 34.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -20640.0000 0.0000 0.0000 0.0000

.0000 0.0000 33.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -20640.0000 0.0000 0.0000

.0000 0.0000 0.0000 7.5000 0.0000 0.0000 0.0000 -20640.0000 0.0000

0.0000       0.0000 0.0000 0.0000 0.0000         0.0000 1.0000 0.0000 3.0000

Коеффициенты целевой функции:

0.0E+00     0.0E+00 0.0E+00 0.0E+00 2.8E+00 3.0E+00 3.0E+00 7.0E+01

Оптимальное решение:опт= 2.3983опт= 0.0000опт= 0.0000опт=1500.0000опт= 0.0000®Їв= 0.60173 начение целевой функции:= 7.08

 

1.4 Аналіз результатів


З результатів проробленої роботи видно, що 2000 пластин досліджуються приладами типу напівавтоматичний зонд «Зонд-А-1» в напівавтоматичному режимі роботи (ф3=33 хв. С3=3 тис. грн). Для цього необхідно 2 прилади типу напівавтоматичний зонд «Зонд-А-1».

Цільова функція в даному випадку складає F= тис. грн. Час досліджень складає хв. Вивільнений час можна використати на проведення профілактичних робіт для покращення роботи зонду та підвищення його надійності, інструктаж обслуговуючого персоналу з техніки безпеки, підвищення кваліфікації обслуговуючого персоналу.

2. Основні характеристики моделей дисперсного аналізу, методика їх розрахунку і оптимізація

 

2.1 Завдання

Дослідити вплив фактора тижня місяця на розмір крутизни S польового транзистора, середні значення якого за робочий день приведені нижче. Зробити висновки про якість організації технологічного процесу.

Матриця вихідних даних:

16 15 16 16 17

18 19 18 18

16 17 17 16

18 18 14 15

2.2 Моделі дисперсного аналізу і їх характеристики


Дисперсійний аналіз - це cтатистичний метод, що дозволяє аналізувати вплив різних факторів на досліджувану змінну, тобто на показники технологічної операції з метою побудови її моделі.

Його метою є перевірка значимості розходження між середніми за допомогою порівняння дисперсій. Дисперсію вимірюваної ознаки розкладають на незалежні доданки, кожен з яких характеризує вплив того чи іншого фактора їхньої взаємодії. Наступне порівняння таких доданків дозволяє оцінити значимість кожного досліджуваного фактора.

У залежності від кількості факторів, що визначають варіацію результативної ознаки, дисперсійний аналіз поділяють на:

однофакторний;

багатофакторний.

Виробництво елементів РЕА - це досить складний процес. Кожний технологічний етап або технологічна операція характеризується впливом великого числа неконтрольованих факторів: зміною властивостей вихідного матеріалу, вологості середовища, чистоти поверхні пластини і т.д., які носять випадковий характер. Внаслідок цього вихідні параметри приладу, що виготовляється, як на окремій технологічній операції, так і наприкінці циклу виготовлення мають розкид, тобто є випадковими величинами. Така ситуація спостерігається в будь-якому виробництві, проте при виготовленні елементів РЕА не виключено суттєвий розкид параметрів, якими не можна зневажити (наприклад, при виробництві інтегральних схем). Одним з основних критеріїв якості цього виробництва є відсоток виходу придатних схем, що через вплив неконтрольованих факторів залишається дуже низьким. Для врахування розкиду параметрів при аналізі виробництва РЕА використовуються статистичні методи.

Для оцінки і підвищення точності (відповідності реальних розкидів параметрів РЕА заданим обмеженням на їх значення) технологічного процесу виготовлення елементів РЕА необхідно знати її компоненти. Найбільш зручною оцінкою точності є дисперсія як міра розкиду параметрів елементів РЕА, що виготовляються. Завдання полягає в тому, щоб знайти, із яких компонентів вона складається. Це можна зробити за допомогою методів дисперсійного аналізу, що дозволяють розкласти загальну дисперсію на складові, що характеризують відповідну причину (фактор) мінливості параметра РЕА. Прикладом використання такого розкладання дисперсії служить аналіз виробництва інтегральних схем або напівпровідникових приладів. На підставі аналізу можна вибрати умови проведення технологічної операції так, щоб відповідна компонента дисперсії була б мінімальною, тобто з'являється можливість керування точністю технологічного процесу на підставі проведеного експерименту.

Значимість впливу факторів і їх взаємодій на досліджуваний параметр встановлюється почерговим порівнянням їх дисперсій із дисперсією помилки досліду по F - критерію Фішера. Якщо при такому порівнянні дисперсій виявиться, що розрахункове значення F-критерію для якого-небудь фактору більше його табличного значення, обраного при заданому рівні значимості  (звичайно  дорівнює 0,05 або 0,01) і числах ступенів свободи  і , що відповідають порівнюваним дисперсіям, вплив такого фактору або взаємодії вважається суттєвим (значимим) і враховується при наступному вивченні процесу. Дисперсійний аналіз припускає використання якісних факторів (тобто таких, яким не можна поставити у відповідність числову шкалу і які приймають дискретні значення) так само, як у завданні на курсову роботу для аналізу впливу дня тижня (5 дискретних значень некількісного характеру), тижня місяця, марки кремнію.

В залежності від числа джерел мінливості дисперсії (число факторів) дисперсійний аналіз ділять на однофакторний і багатофакторний. Використання ЕОМ для проведення дисперсійного аналізу значно підвищує його ефективність, особливо при проведенні багатофакторного аналізу.

Для аналізу впливу одного фактору (однофакторний аналіз) модель дисперсійного аналізу має вид:

, (2.1)

де - i-е спостереження над функцією у (параметром технологічної операції), коли фактор x прийняв j-е значення (знаходиться на j-м рівні); - загальне середнє значення у по всіх рівнях фактору x і всіх експериментах;  - ефект впливу j-го рівня фактору x на у; - випадкова помилка в i-му спостереженні на j-му рівні фактора, ,

пj - число спостережень на j-му рівні фактора x; k - число рівнів фактора.

Основні припущення дисперсійного аналізу такі:

         випадкові величини  незалежні і нормально розподілені з параметрами  (дисперсії однорідні);

- фактор х приймає дискретні досліджуємі значення і

.

Перше припущення фактично накладає вимогу однорідності дисперсії спостерігаємих випадкових величин уij. Тому перед тим, як виконувати дисперсійний аналіз, необхідно переконатися в однорідності дисперсій результатів спостережень на кожному рівні фактору за критерієм Кохрана або Бартлетта. Якщо розбіжність дисперсій виявиться значимою (тобто їх різниця не може бути пояснена випадковими причинами), результати дисперсійного аналізу будуть спотворені. Тому в випадку значимої розбіжності дисперсій необхідно приймати заходи до стабілізації дисперсії або відмовлятися від дисперсійного аналізу.

Критерій Кохрана полягає в порівнянні значення:

, (2.2)

Він має табульований розподіл із табличним значенням .

Тут - рівень значимості (звичайно приймається рівним 0,1; 0,05; 0.01 і т.д.); k - число порівнюваних дисперсій, f - число ступенів свободи дисперсії

 (2.3)

- максимальна з дисперсій.

 - оцінка дисперсії на j-му рівні;

- оцінка математичного очікування на j-му рівні;.

- кількість спостережень на j-му рівні.

Якщо  розбіжність дисперсій значна з можливістю правильного розв'язання , інакше - дисперсії однорідні.

З моделі (2.2) можна одержати відоме основне рівняння дисперсійного аналізу:

 (2.4)

або

, (2.5)

де  - оцінка  (загальне середнє по всіх спостереженнях);

-оцінка Tj (середнє величини для j-го рівня фактора x).

Цей вираз показує розкладання загальної дисперсії (суми квадратів відхилень від загального середнього) на складову, обумовленою впливом фактора (сума квадратів відхилень середніх для j-го рівня фактору від загального середнього), і складову через випадкові помилки (сума квадратів відхилень  від середнього для j-го рівня фактору). Розділивши суми квадратів відхилень цієї рівності на відповідні їм числа ступенів свободи, можна знайти оцінки дисперсій (загальної, обумовленої впливом фактора й обумовленої випадковими помилками), необхідні для однофакторного дисперсійного аналізу. Число ступенів свободи дисперсії дорівнює різниці між числом незалежних спостережень вибірки і числом зв'язків, накладених на ці незалежні вибірки. Для загальної дисперсії:

; (2.6)

для факторної:

; (2.7)

для дисперсії випадкових помилок (залишкова дисперсія):

.

Таким чином, дисперсійний аналіз виявляє розходження середніх значень , обумовлене впливом фактору х (при цьому дисперсії всіх незалежних випадкових величин , розподілених по нормальному законі, повинні бути однорідні).

Тому для однофакторного аналізу необхідно перевіряти дві гіпотези щодо поведінки величин:

нульову Н0: Тj = 0 для всіх j (тобто фактор х не впливає значимо на результат експерименту), модель (4) має вигляд:

; (2.8)

- першу  для всіх або для частини j (тобто фактор j значно впливає на результат досліду), модель (2.2) зберігає свій вигляд. Мірою прийняття нульової гіпотези є відношення факторної і залишкової дисперсій, названу дисперсійним відношенням:

. (2.9)

Випадкова величина F має розподіл, отриманий Р.Фішером. Нульова гіпотеза приймається, якщо , де - рівень значимості прийняття рішення (є імовірністю помилкового розв'язання, тобто прийняття першої гіпотези, коли вірна нульова), тобто з ймовірністю стверджується, що при  вірна нульова гіпотеза; ,  - число ступенів свободи при визначенні табличного значення критерія Фішера (к - число рівнів, nj - число вимірів на j - му рівні).

Перша гіпотеза в противному випадку приймається з таким же рівнем значимості. Якщо нульова гіпотеза відхиляється, методом попарного порівняння середніх по j-м рівнях можна виявити рівні х, які найбільш впливають на досліджуваний процес. Критерій Стьюдента для порівняння середніх двох вибірок із математичними очікуваннями m1 і m2 і однаковими дисперсіями  з невідомим точним значенням дисперсії (є лише її оцінка  для кожної вибірки) використовується таким чином:

нульова гіпотеза відхиляється, тобто розбіжність середніх m1 і m2 значима, якщо

, (2.10)

де - оцінки середніх порівнюваних вибірок обсягом n 1 і n 2 відповідно;

 - загальна дисперсія обох вибірок;

 - рівень значимості прийняття рішення (ймовірність відкинути нульову гіпотезу, коли вона вірна);

- число ступенів свободи розподілу величини t1-б.

Якщо на кожному j-му рівні фактору x виконується однакове число спостережень q (як у завданні), основні формули дисперсійного аналізу скорочуються.

Дисперсія спостережень на j-му рівні для критерію Кохрана

. (2.11)

Середнє спостереження на j-му рівні фактора:

. (2.12)

Середнє по всіх спостереженнях:

. (2.13)

Факторна дисперсія:

. (2.14)

Залишкова дисперсія:

. (2.15)

Загальна дисперсія:

. (2.16)

Критерій Стьюдента:

, де . (2.17)

Дослідження значимості впливу зазначеного в завданні фактору на показник технологічної операції методом дисперсійного аналізу рекомендується виконувати в такій послідовності:

Усвідомити зміст розв'язуваного завдання: фактор, показник технологічної операції, число рівнів фактору, число спостережень на кожному рівні фактору.

. Перевірити по критерію Кохрана однорідність дисперсій спостережень на різних рівнях фактору.

3. Скласти дисперсійне відношення і порівняти з табличним  при заданому рівні значимості .

. За критерієм Стьюдента виконати попарне порівняння середніх всіх рівнів фактора з метою виявлення найбільш впливаючих рівнів.

. Зробити висновок про ступінь налагодження технологічного процесу і вжити заходи щодо усунення відхилень від нормального функціонування. Нормально функціонуючий технологічний процес не повинен залежати від впливу розглянутих факторів.

. Вжити заходи до стабілізації дисперсії (вирівнюють точність вимірів для різних рівнів, знижують суб'єктивні помилки, виключають з результатів досвіди з  і т.д. і переходять до перевірки по критерію Кохрана. Якщо не вдається досягти однорідності дисперсії, метод дисперсійного аналізу застосовувати не можна.

. Кінець досліджень.

Дисперсійний аналіз є сучасним статистичним методом обробки й аналізу експериментальних даних у економіці, біології, техніці й інших науках. Він дуже тісно зв'язаний з конкретною методологією планування і проведення експериментальних досліджень.

 


2.3 Розрахунок і оптимізація моделі дисперсійного аналізу


Відповідно до завдання досліджуємо вплив фактора тижня місяця на розмір крутизни S польового транзистора. Маємо 4 рівні (M=4) випробувань по 5 дослідів (L=5).

При коефіцієнті значимості б=0.05 і ступенях свободи табличне значення критеріїв визначаються так:

=L-1=5-1=4         k=M=4                                 Кохрана G1=0.6287

f1=M-1=4-1=3    f2=M∙(L-1)=4∙(5-1)=16          Фішера H1=3.2=2∙(L-1)=2∙(5-1)=8                                       Стьюдента Т1=2.31

Дані заносимо до програми.

***********************************************************************

***** ВИННИЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ *****

***** *****

***** факультет радиоаппаратостроения *****

***** *****

***** КАФЕДРА КИПРА *****

***** *****

***** КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТОКТИН *****

***** *****

***** *****

***** часть 2 *****

***** *****

***** *****

***** ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИ3 *****

***** *****

***** *****

***** ВИННИЦА 1994 г. *****

***********************************************************************

Однофакторный дисперсионный аналиэ

Число уровней М=4

Число опытов на каждом уровне L=5

Табличные критерии:

Кохрана G1= 6.2870000000E-01

Фишера H1= 3.2000000000E+00

Стьюдента T1= 2.3100000000E+00

Матрица исходных данных

15 16 16 17

18 18 16 18

16 17 17 16

18 18 15 15

Общее среднее А= 1.66000000000E+00

Средние по уровням МО и дисперсииY(I) D(I)

16.00000 0.50000

17.60000 0.80000

16.40000 0.30000

16.40000 0.30000

Сумма дисперсий СУМ= 2.7100000000E-01

Критерий Кохрана:

Табличный Расчетный= 6.2850000000E-01 G= 5.8974358974E-01

Дисперсии однородны.

Критерий Фишера:

Табличный Расчетный= 3.2000000000E+00 H= 4.1731304395E+01

Влияние фактора эначимо

Критерий Стьюдента:K Табличный Расчетный

2 2.31000 3.13786

Влияние фактора эначимо

3 2.31000 1.00000

Влияние фактора эначимо

4 2.31000 0.53452

Влияние фактора неэначимо

3 2.31000 2.55841

Влияние фактора эначимо

4 2.31000 1.52400

Влияние фактора неэначимо

4 2.31000 0.00000

Влияние фактора неэначимо

2.4 Аналіз результатів


З отриманих результатів бачимо, що по критерію Кохрана дисперсія однорідна.

По критерію Фішера вплив фактора тижня місяця на розмір крутизни S польового транзистора значимий.

По критерію Стьюдента вплив фактора також значимий.

Можна зробити висновок, що технологічний процес організовано не належним чином і на виробництво впливають сторонні фактори (тиск, температура, вологість та ін.). Отже, потрібно підняти вхідний контроль якості матеріалів, провести профілактичні роботи з обладнанням, провести інструктаж обслуговуючого персоналу.

3. Основні характеристики моделей систем масового обслуговування

3.1 Аналіз сучасного стану питання та обґрунтування методу розрахунку і оптимізації

оптимізація моделювання комп’ютерний дисперсійний

Модель системи масового обслуговування використовується для забезпечення оптимальної надійності радіотехнічних комплексів, технологічних процесів, системи збору й опрацювання інформації. Базовою складовими, яка визначає математичну модель СМО, є опис вхідного потоку вимог и обробляючих їх серверів.

Розрізняють системи масового обслуговування з чергами і без. В першому випадку вимоги, що поступила в систему і застали всі сервери (канали) зайнятими, поміщаються в спеціальний накопичувач - чергу. Розмір цієї черги може бути різний. Таким чином, може виникнути проблема, коли накопичувач буде повністю зайнятим, нові вимоги, які поступають в систему будуть відхилені нею. [6]

Схематичну структуру СМО можна зобразити каскадним з’єднанням накопичувача і каскаду серверів (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 - Схематичне зображення системи масового обслуговування

На вхід накопичувача поступає вхідний потік вимог, математична модель якого задається. Сервери СМО мають бути описані з допомогою заданого розподілення ймовірності довжини інтервалу часу, який витрачається на обслуговування однієї заявки. Таким чином математична сервера - це випадкова величина, яка визначає час обробки вимоги. Кількість каналів в системи грає досить важливу роль. В залежності від кількості каналів обслуговування СМО поділяються на одно канальні і багатоканальні. [6]

Середній час знаходження вимоги в системі є одним з головних показників роботи системи. Можна встановити відношення між середнім числом вимог в системі, інтенсивністю вхідного потоку середнього часу перебування в системі. Позначимо число вимог, які поступають в проміжку часу (0, t) як функцію часу б(t). Число вихідних з системи заявок на цьому інтервалі(t). На рисунку 3.2 показані приклади функціональних залежностей цих двох випадкових величин від часу.

Число вимог, що знаходяться в системі:

 (3.1)

Рисунок 3.2 - Поступаючі, обслужені і заявки, що знаходяться в системі

Розрізняють системи масового обслуговування без пріоритетів і з. В першому випадку розрізняють такі дисципліни обслуговування:

·        вимоги до обслуговування приймаються в порядку черги надходження їх в систему (IFOF);

·        вимоги до обслуговування приймаються в зворотному порядку надходження їх в систему (LIFO).

У випадку системи з пріоритетами кожна вимога буде обслуговуватись в залежності від присвоєного їй пріоритету. [7]

Показники ефективності системи характеризують кількісно рівень виконання системою функцій, для яких вона призначена. Найчастіше використовують наступні показники:

·        ймовірність втрати вимоги (для системи з втратами) Рвід;

·        ймовірність того, що обслуговуванням зайнято k каналів, Pk;

·        ймовірність, що всі канали вільні P0;

·        середнє число зайнятих каналів:

 (3.2)

·        коефіцієнт завантаження

 (3.3)

Для систем з очікуванням використовуються додаткові показники:

·        середня довжина черги:

; (3.4)

·        середнє число вимог, які знаходяться в СМО:

; (3.5)

Система з втратами характеризується наступними показники ефективності.

Ймовірність того, що обслуговуванням зайнято k каналів:

, k, (3.6)

де n - загальне число каналів системи;

l - інтенсивність потоку вимог;

м - інтенсивність обслуговування.

Ймовірність того, що всі канали вільні:

, (3.7)

Ймовірність відмови в обслуговуванні вимоги:

, (3.8)

Системи без втрат є замкнені і розімкнені. Для замкненої системи без втрат, в які й обслужена вимога через визначений час потребує знову обслуговування і загальне число вимог постійне, характерні наступні показники ефективності. [2]

Ймовірність, що в системі знаходиться k вимог:

Рk=  (3.9)

Середнє число вимог, що знаходяться в системі обслуговування:

, (3.10)

де Моч - середнє число вимог, що очікують обслуговування.

, (3.11)

Розімкнута система з n каналами однакової продуктивності має інші показники.

Ймовірність того, що в системі перебуває k вимог:

 

Рk=  (3.12)

Ймовірність, що всі канали вільні:

, (3.13)

Середній час очікування:

, (3.14)

Середнє число вимог в системі:

, (3.15)

Коефіцієнт простою:

, (3.16)

Коефіцієнт завантаження:

, (3.17)

Середнє число вільних каналів:

, (3.19)

Середнє число зайнятих обслуговуванням каналів:

, (3.18)

Для замкненої системи середнє число вільних каналів:

. (3.19)

Також існують змішані системи, в яких накладають обмеження на час перебування вимог в системі або/і на довжину черги. Показники ефективності такої системи наведені нижче. [2]

Ймовірність, що усі канали вільні:

, (3.20)

де m - число вимог в системі.

Ймовірність того, що в системі перебуває k вимог:

 

Рk=  (3.21)

Число зайнятих каналів:

, (3.22)

Число вільних каналів:

, (3.23)

Коефіцієнт простою:

, (3.16)

Коефіцієнт завантаження:

, (3.17)

3.2 Комп’ютерне моделювання та вибір математичної моделі

Обираємо багатоканальну СМО змішаного типу, де накладається обмеження на число вимог в системі і на довжину черги.

Відповідно початковим даним система масового обслуговування має наступні параметри:

Число каналів - 10

Вмістимість - 25

Середнє число заявок за місяць - 80

Фонд часу - 174

Середній час обслуговування заявок - 11

Вводимо дані в програму R3.exe.

Проведемо моделювання запустивши файл R3.exe.

***********************************************************************

***** ВИННИЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ *****

***** *****

***** факультет радиоаппаратостроения *****

***** *****

***** КАФЕДРА КИПРА *****

***** *****

***** КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТОКТИН *****

***** *****

***** *****

***** часть 3 *****

***** *****

***** РАССЧЕТ ЗФФЕКТИВНОСТИ СМО *****

***** *****

***** *****

***** *****

***** ВИННИЦА 1994 г. *****

***********************************************************************

Исходные данные

число каналов: N=10

вместимость СМО: N+M=25

среднее число эаявок эа месяц: NM=80

фонд времени: T= 174

среднее время обслуживания эаявки: Tср= 11

Преобраэованные исходные данные:

Интенсивность потока эаявок= 0.4598

Интенсивность потока обслуживания= 0.0909

Отношение интенсивностей= 5.0575

Ограничение на длину очереди= 15

Реэультаты расчета P(I)P(I)

0.00633

0.03202

0.08096

0.13649

0.17258

0.17456

0.14714

0.10631

0.06721

0.03777

0.01910

0.00966

0.00489

0.00247

0.00125

0.00063

0.00032

0.00016

0.00008

0.00004

0.00003

0.00001

0.00001

0.00000

0.00000

0.00000

Характеристики СМО

Вероятность откаэа требованию 0.0000

Среднее число каналов занятых обслуживанием:

М3= 4.8620+ 0.1954= 5.0575

Среднее число каналов свободных от обслуживания:

М0= 4.9425

Среднее число заявок в очереди:

МОЖ= 0.2460

Коеффицієнт загрузки каналов К3= 0.5057

Коеффицієнт простоя каналов КП= 0.4943

Так як дана СМО є недовантаженою проведемо її оптимізацію. Для цього необхідно в результаті варіювання числом каналів та середнім часом обслуговування заявки зробити СМО з:

·          Коефіцієнтом простою Кп→0;

·        Коефіцієнтом зайнятості каналів К3→1;

·        Середнє число заявок у черзі М3→m;

·        Середнім числом вільних каналів М0→0;

З допомогою програми R3.exe підбираємо оптимальну кількість каналів:

***********************************************************************

***** ВИННИЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ *****

***** *****

***** факультет радиоаппаратостроения *****

***** *****

***** КАФЕДРА КИПРА *****

***** *****

***** КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТОКТИН *****

***** *****

***** *****

***** часть 3 *****

***** *****

***** РАССЧЕТ ЗФФЕКТИВНОСТИ СМО *****

***** *****

***** *****

***** *****

***** ВИННИЦА 1994 г. *****

***********************************************************************

Исходные данные

число каналов: N=9

вместимость СМО: N+M=25

среднее число эаявок эа месяц: NM=80

фонд времени: T= 174

среднее время обслуживания эаявки: Tср= 11

Преобраэованные исходные данные:

Интенсивность потока эаявок= 0.4598

Интенсивность потока обслуживания= 0.0909

Отношение интенсивностей= 5.0575

Ограничение на длину очереди= 16

Реэультаты расчета P(I)P(I)

0.00627

0.03171

0.08018

0.13517

0.17090

0.17287

0.14571

0.10528

0.06655

0.03740

0.02102

0.01181

0.00664

0.00373

0.00210

0.00118

0.00066

0.00037

0.00021

0.00012

0.00007

0.00004

0.00002

0.00001

0.00001

0.00000

Характеристики СМО

Вероятность откаэа требованию 0.0000

Среднее число каналов занятых обслуживанием:

М3= 4.6257+ 0.4317= 5.0575

Среднее число каналов свободных от обслуживания:

М0= 3.9425

Среднее число эаявок в очереди:

МОЖ= 0.8778

Козффициент эагруэки каналов К3= 0.5619

Козффициент простоя каналов КП= 0.4381

Исходные данные

число каналов: N=8

вместимость СМО: N+M=25

среднее число заявок за месяц: NM=80

фонд времени: T= 174

среднее время обслуживания заявки: Tср= 11

Результаты расчета P(I)P(I)

0.00609

0.03081

0.07792

0.13136

0.16609

0.16800

0.14161

0.10231

0.06468

0.04089

0.02585

0.01634

0.01033

0.00653

0.00413

0.00261

0.00165

0.00104

0.00066

0.00042

0.00026

0.00017

0.00011

0.00007

0.00004

0.00003

Характеристики СМО

Вероятность отказа требованию 0.0000

Среднее число каналов занятых обслуживанием:

М3= 4.1684+ 0.8890= 5.0573

Среднее число каналов свободных от обслуживания:

М0= 2.9427

Среднее число заявок в очереди:

МОЖ= 1.7078

Коэффициент загрузки каналов К3= 0.6322

Коэффициент простоя каналов КП= 0.3678

Исходные данные

число каналов: N=7

вместимость СМО: N+M=25

среднее число заявок за месяц: NM=80

фонд времени: T= 174

среднее время обслуживания заявки: Tср= 11

Преобразованные исходные данные:

Интенсивность потока заявок = 0.4598

Интенсивность потока обслуживания 0.0909

Отношение интенсивностей 5.0575

Результаты расчета P(I)P(I)

0.00559

0.02828

0.07150

0.12054

0.15240

0.15415

0.12994

0.09388

0.06783

0.04901

0.03541

0.02558

0.01848

0.01335

0.00965

0.00697

0.00504

0.00364

0.00263

0.00190

0.00137

0.00099

0.00072

0.00052

0.00037

0.00027

Характеристики СМО

Вероятность отказа требованию 0.0000

Среднее число каналов занятых обслуживанием:

М3= 3.3501+1.7060= 5.0561

Среднее число каналов свободных от обслуживания:

М0= 1.9439

Среднее число заявок в очереди:

МОЖ= 3.2288

Коэффициент загрузки каналов К3= 0.7223

Коэффициент простоя каналов КП= 0.2777

Исходные данные

число каналов: N=6

вместимость СМО: N+M=25

среднее число заявок эа месяц: NM=80

фонд времени: T= 174

среднее время обслуживания заявки: Tср= 11

Преобразованные исходные данные:

Интенсивность потока заявок = 0.4598

Интенсивность потока обслуживания 0.0909

Отношение интенсивностей 5.0575

Ограничение на длину очереди 19

Результаты расчета P(I)P(I)

0.00420

0.02122

0.05366

0.09046

0.11437

0.11569

0.09751

0.08220

0.06928

0.05840

0.04923

0.04149

0.03498

0.02948

0.02485

0.02095

0.01766

0.01488

0.01254

0.01057

0.00891

0.00751

0.00633

0.00534

0.00450

0.00379

3.3  Аналіз результатів

Початкове моделювання показало, що коефіцієнт простою складає 0,4381. А це значить, що система не довантажена і не в повній мірі використовує свій ресурс. Щоб підвищити ефективність системи, було прийнято рішення зменшити число каналів обслуговування. При цьому почала збільшуватись кількість заявок в черзі, а отже і зростав коефіцієнт завантаження. Недолік проявився у тому, що ймовірність відмови системи почала зростати. Так при кількості каналів n=4 і середньому часу обслуговуванню Тср=11 годин ми добилися, щоб система була завантажена майже на 100%, але при цьому імовірність відказу зросла до 20%, що є досить суттєво, адже в цьому випадку багатьом заявкам може бути відмовлено в обслуговуванні. Також система стала перевантажена. Середнє число заявок в черзі склало більше 21.

Ми зупинили свій вибір на варіанті з 4 каналами і вирішили зменшити час обслуговування кожної заявки. При впровадженні нових технологій і засобів обробки його можна скоротити на 20%. При витрачанні 10,5 годин на кожну заявку інтенсивність відмов зменшилась до 17%, коефіцієнт простою склав 0,022. При чотирьох каналах і середньому часу обслуговування 9,5 годин інтенсивність відмови зменшується до 9,56%, але система є суттєво не довантаженою, середнє число заявок в системі 17,3268. Велика частина ресурсу системи витрачається даремно.

Варіант з чотирма каналами обслуговування і середнім часом, який затрачається на кожну заявку 10,3 годин, є найбільш оптимальним для даної системи. У цього випадку інтенсивність відмов 15,8%. Середнє число заявок в черзі майже 20. Система економніше використовує ресурс і ймовірність відмови заявкам не досить велика.

У додатку А наведені залежності: ймовірної кількості одночасних запитів для СМО з різною кількістю каналів, кількості запитів від числа каналів обслуговування, числа вільних каналів від кількості каналів обслуговування, числа зайнятих каналів від кількості каналів обслуговування, коефіцієнту завантаження від кількості каналів обслуговування, коефіцієнту простою від кількості каналів обслуговування, ймовірності відмови системи від кількості каналів обслуговування.

Висновки

За допомогою лінійного програмування встановлено найоптимальніший склад використання наявних засобів випробування на операції «Вихідний контроль електричних параметрів кристалів напівпровідникових приладів». Пластини необхідно досліджувати в режимі напівавтоматичного зонду типу «зонд-А-1». Для цього необхідно чотири прилади. Користуючись даним режимом, цільова функція складатиме 20,04 тисяч гривень. Також вдасться значно скоротити час дослідження. Він складатиме 165560 хвилин. Це досить добре, адже час що залишиться можна витратити на вдосконалення системи, проведення профілактики, підвищення кваліфікації працівників.

З допомогою дисперсійного аналізу було досліджено як впливає фактор дня тижня на величину середнього значення крутизни польового транзистора виготовленого з кремнію. З допомогою програми визначено критерії Кохрана, Фішера і Стьюдента. В результаті порівняння розрахованих і табличних значень цих параметрів виявилось, що фактор дня тижня не має істотного впливу на основні параметри польових транзисторів. Крім того, так як для другого дня тижня розраховане і табличне значення критерію Стьюдента найбільш подібне, можна стверджувати що технологічний процес у вівторок налагоджений найкраще.

В третьому розділі було визначено основні показники ефективності системи в умовах виробництва методом теорії масового обслуговування. Промоделювавши роботу системи з початковими даними, коли число каналів обслуговування 10 і середній час обслуговування однієї заявки 11 годин, виявилось, що система недовантажена, коефіцієнт простою 0,4943, а це значить, що ресурс системи використовується не в повній мірі. Було вирішено провести оптимізацію роботи шляхом варіювання кількості каналів обслуговування. При зменшені числа каналів коефіцієнт простою зменшувався, а коефіцієнт завантаження збільшувався так як збільшувалась кількість заявок в черзі. Але при цьому почала збільшуватись і вірогідність відмови деяким заявкам. Щоб уникнути даної ситуації було прийнято рішення зупинитись на варіанті системи з чотирма каналами обслуговування і оптимізувати роботу шляхом зменшення тривалості обслуговування кожної заявки. При використанні нових технологій та засобів обробки цей час можна скоротити на 20%.

В результаті виявилось, що варіант з чотирма каналами обслуговування і середнім часом, який затрачається на кожну заявку 10,3 годин, є найбільш оптимальним для даної системи. Так коефіцієнт завантаження буде майже 1, а ймовірність відмови заявці досить мала.

Перелік посилань

оптимізація моделювання комп’ютерний дисперсійний

1. www.naukoved.ru.

2. Методичні вказівки до курсової роботи по курсу «Теоретичні основи конструювання, технології і надійності РЕА» для студентів спеціальності 0705.-Вінниця:ВПІ, 1983-59 с.

3. Сипчук П.П., Талалай А.М. Методи статистичного аналізу при керуванні якістю виготовлення елементів РЕА.-М.:Рад.радіо, 1979.-168 с.

4. www.learnspss.ru.

5. www.statsoft.ru.

6. Крылов В.В. Самохвалова С.С. Теория телетрафика и ее приложения. - С Пб.: БХВ - Петербург, 2005. - 288 с.

7. Крылов В.В. Теория телетрафика - Н. Новгород: НГТУ, 2000.

Похожие работы на - Рішення задач аналізу і оптимізації

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!