Нестационарная фильтрация 'цветного' шума

Нестационарная фильтрация 'цветного' шума

1.Постановка задачи

Дано: 1. Корреляционная функция  стационарного центрированного случайного сигнала L(t)

2.Наблюдаемый на интервале (0,t) нестационарный случайный сигнал ,

где W(t) - стационарный центрированный случайный сигнал с заданной корреляционной функцией K_w(t),

фильтр цветной шум

Требуется: 1. Найти оптимальный по среднему квадрату ошибки фильтр для полезного сигнала L(t) (дифференциальное уравнение, структурную схему, D_emin(t)), выделить решение для стационарного режима, найти A построить |A(jw)|².

.Найти требуемое в п.1 в предположении, что W(t) - белый шум со спектральной плотностью S_w:

а). непосредственно;

б). на основе решения в п.1.

.Сопоставить результаты по п.п.1,2, дать анализ различий и совпадений.

.Осуществить машинную имитацию процесса оптимальной фильтрации для условий п.1 (переходный и стационарный режимы), построить графики реализаций на одном графике); для стационарного режима вычислить оценку среднего квадрата перечисленных сигналов.

Исходные данные

Корреляционная функция полезного сигнала:

Корреляционная функция помехи:

Функция

Входные сигналы

.Полезный сигнал (t).

Корреляционная функция полезного сигнала:

График корреляционной функции:

Рис.

Спектральная плотность полезного сигнала L(t).

График спектральной плотности:

Рис.

Частотная характеристика формирующего фильтра полезного сигнала L(t)

Запишем линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка формирующего фильтра для полезного сигнала L(t)

Перейдем от дифференциального уравнения 2-го порядка к нормальной форме Коши и запишем систему дифференциальных уравнений для полезного сигнала (t):

Интенсивность белого шума V1(t) .

Помеха W(t).

Корреляционная функция помехи W(t):

График корреляционной функции:

Рис.

Спектральная плотность помехи W(t):

График спектральной плотности:

Рис.

Частотная характеристика формирующего фильтра помехи W(t):

Дифференциальное уравнение для помехи W(t):

Интенсивность белого шума V2(t) .

.Наблюдаемый сигнал.

В стационарном режиме M[X]=0, D[X]=1,8.

График функции g_(t):

Рис.

.Оптимальный по среднему квадрату фильтр для полезного сигнала L(t).

Переходной режим.

Воспользуемся формулами, полученными в [3] и запишем:

Вспомогательный процесс:

Интенсивность белого шума W(t)

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра:

Матрица Калмана:

Дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций:

P_(0) находится из уравнения 0=F P_(0)+ P_(0)F^T+GsG^T.

Запишем полученные уравнения в скалярной форме.

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра:

Матрица Калмана:

Дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций:

Структурная схема оптимального фильтра «цветного» шума:

Рис.

Матрица ковариаций P(t):

График D_{e min}(t):

График K_{e min}(t):

График Dp_{e min}(t):

График. Матрица Калмана a(t,t):

График. Производная матрицы Калмана a(t,t):

Стационарный режим.

Подставим полученные значения в систему дифференциальных уравнений для выходного сигнала Y(t) и получим оптимальный фильтр для стационарного режима:

Получим из этой системы дифференциальных уравнений дифференциальное уравнение 2-ого порядка:

Теперь получим частотную характеристику оптимального фильтра:

График зависимости |A(j)|²:

Рис. Все графики выполнены в одном масштабе.

.Оптимальный по среднему квадрату фильтр для полезного сигнала (t) в предположении, что W(t) - белый шум.

а).Найденный непосредственно.

Переходной режим.

Воспользуемся формулами, полученными в [1] и запишем:

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра:

Матрица Калмана:

Дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций:

Запишем полученные уравнения в скалярной форме.

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра:

Матрица Калмана:

Дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций:

Структурная схема оптимального фильтра белого шума:

Схема

Матрица ковариаций P(t):

График D_{e min}(t)

График K_{e min}(t)

График Dpe min(t)

График. Матрица Калмана a(t,t):

Стационарный режим.

Подставим полученные значения в систему дифференциальных уравнений для выходного сигнала Y(t) и получим оптимальный фильтр для стационарного режима:

Теперь получим частотную характеристику оптимального фильтра:

График зависимости |A(j)|²:

Рис. Все графики выполнены в одном масштабе.

б).Найденный на основе решения в п.1.

Для получения белого шума из цветного разделим параметры помехи W(t) на и получим:

Дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций:

Подставим преобразованные выражения в дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций и получим:

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра:

 - матрица Калмана оптимального фильтра, на вход которого подается помеха в виде белого шума.

Подставим преобразованные выражения в дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций и получим:

Машинная имитация для процесса оптимальной фильтрации

Структурная схема имитационной модели:

Для машинной имитации необходимо все уравнения привести к дискретному виду:

1).Формирующий фильтр полезного сигнала (t).

).Формирующий фильтр помехи W(t).

).Наблюдаемый сигнал X(t).

4).Матрица ковариаций P(t).

).Матрица Калмана a(t,t).

).Производная матрицы Калмана.

7).Выходной сигнал Y(t).

Для получения стационарного режима полезного сигнала и помехи формирующие фильтры надо разогнать. ФФ полезного сигнала разгоняется за 120 тактов, а ФФ помехи разгоняется за 12 тактов.

Белые шумы V1 и V2 являются независимыми и генерируются как нормальное распределение с МО=0 и D=2.

Оптимальный фильтр входит в стационарный режим на 250 такте.

Машинная имитация процесса оптимальной фильтрации была осуществлена в универсальной математической системе Mathcad 8.0.

Реализации случайных процессов:

График реализаций (t) и Y(t):

где t_ср - время наступления стационарного режима.

График реализации X(t)

График реализации E(t)

Оценки средних квадратов сигналов для стационарного режима.

Полезный сигнал (t):

M[²(t)]=0,837

Наблюдаемый сигнал X(t):

M[X²(t)]=1,849

Выходной сигнал Y(t):

M[Y²(t)]=0,699

Ошибка E(t):

M[E²(t)]=0,308

Выводы

В результате данного курсового проекта был найден оптимальный по среднему квадрату ошибки фильтр для полезного сигнала (t) в случае, когда на вход подается помеха в виде цветного шума и когда на вход подается помеха в виде белого шума. В частности было найдено дифференциальное уравнение оптимального фильтра, построена его структурная схема и найдена D_emin(t).

Оптимальный фильтр в случае, когда на вход подается помеха в виде белого шума, был найден двумя способами:

непосредственно;

на основе решения в п.1 задания.

Результаты, полученные этими двумя способами, сошлись. В частности сошлись уравнения для матрицы ковариаций, матрицы Калмана и уравнения для выходного сигнала Y(t).

При сравнении результатов оптимальной фильтрации цветного и белого шума можно сделать следующий вывод: цветной шум обеспечивает меньшую дисперсию ошибки, чем белый шум(для цветного шума D_emin=0,3; для цветного шума D_emin=0,361), но оптимальный фильтр в случае белого шума имеет меньшую вычислительную сложность.

Литература

. Лекции по СД и ТЭ СУ.

. Учебник по СД и ТЭ СУ.

. Булыгин В.С. Избранные задачи статистической оптимизации. МАИ, 1978г.