Функции нескольких переменных. Ряды. Обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения

Функции нескольких переменных. Ряды. Обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения

Контрольная работа №3 (3 семестр)

Темы: Функции нескольких переменных. Ряды Обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения

Задача 1.

Задана функция . Найти:

а) наименьшее и наибольшее значение функции в ограниченной области Д,

б) вектор  - градиент функции  в точке А. Область Д и вектор  изобразить на чертеже.

.10. ; а) Д: ; б) .

Решение

а) наименьшее и наибольшее значение функции  в ограниченной области Д .

Построим область Д.

Найдем стационарные точки:

функция ряд интеграл дифференциальный

М(0; 0) - стационарная точка

∆ = АС - В² = 2∙2 - 0² = 4 > 0

В т. М(0; 0) минимум функции Z. Zmin = 0² + 0² + 4 = 4

Рассмотрим по отдельности три отрезка:

1) АВ: y = 2 + x, -4 ≤ x ≤ 0. = x² + (2 + x)² + 4 = 2x² + 4x + 8

В т.x = -1 - min функции

z(-1) = 2∙(-1)² + 4(-1) + 8 = 6

2) ВС: y = 2 - 2x, 0 ≤ x ≤ 2. = x² + (2 - 2x)² + 4 = 5x² - 8x + 8

В т.x = 0,8 - min функции

z(0,8) = 5∙0,8² - 8∙0,8 + 8 = 4,8

3) AC: y = -2, -4 ≤ x ≤ 2.

z = x² + (-2)² + 4 = x² + 8

Данная точка уже исследовалась.

Найдем значения функции в граничных точках:

z(A) = z(-2; -4) = (-2)² + (-4)² + 4 = 24

z(B) = z(0; 2) = 0 + 2² + 4 = 8

z(C) = z(2; -2) = 2² + (-2)² + 4 = 12

Таким образом, получим, что наименьшее значение функции z достигается в точке (0; 0) z_наим = 4, а наибольшее значения функции в точке А(-2; -4) z_наиб = 24.

б) вектор  - градиент функции  в точке А(1; -1).

Задача 2

Исследовать на сходимость данный ряд:

.

Решение

Воспользуемся интегральным признаком Коши:

Так как интеграл  расходится, то и ряд  тоже расходится.

Задача 3

Найти область сходимости данного ряда.

.10. .

Решение

Общий член ряда

Для исследования ряда на абсолютную сходимость применим признак Даламбера.

Таким образом, при , то есть при -1 < x < 1 исходный ряд сходится абсолютно.

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При х = -1 заданный ряд принимает вид:

Это числовой знакочередующийся ряд. Его общий член по абсолютной величине монотонно убывает и стремится к нулю при . Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены и ряд сходится.

При х = 1 заданный ряд принимает вид:

Ряд расходится как гармонический.

Область сходимости исходного степенного ряда: . Вне этого интервала ряд расходится.

Задача 4

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:

.

Решение

Подставим в исходное уравнение

Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение, содержащееся в скобке было равно нулю.

Для определения функции u(x) имеем

Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

Задача 5.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

,,.

Решение

Находим общее решение Y однородного уравнения с теми же коэффициентами, что и в левой части заданного уравнения.

Составим характеристическое уравнение

k² - 3k + 2 = 0

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Подбираем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Подставим в исходное уравнение.

Общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

Найдем частное решение дифференциального уравнения.

Подставляя начальные условия в общее решение и его производную, получим систему уравнений относительно С₁ и С₂.

Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: