Эконометрия и прогнозирование
Задание
. Построить диаграмму рассеяния, иллюстрирующую
взаимосвязь переменных х и у. Выдвинуть гипотезу о виде функциональной
зависимости между переменными.
2. Построить линейную однофакторную регрессию у
на х и линейную однофакторную регрессию х на у, используя метод наименьших
квадратов. Построить графики полученных уравнений регрессии. Оценить
взаимосвязь переменных х и у.
. Построить линейную множественную регрессию у
на х1, х2. Найти коэффициенты корреляции. Сделать выводы.
. Построить интервальные оценки коэффициентов
линейной регрессии у на х на уровне значимости 0,05.
Выполнение.
1. Построим диаграмму рассеяния, иллюстрирующую
взаимосвязь переменных х и у.
Исходные данные.
Таблица 1. Исходные данные для построения
диаграммы рассеяния.
|
x
|
y
|
|
5,8
|
5,4
|
|
7,2
|
6,3
|
|
9,1
|
12,7
|
|
14,8
|
16,8
|
|
16,2
|
17,1
|
|
13,7
|
19,2
|
|
13,2
|
16,3
|
|
17,6
|
23,2
|
|
13,2
|
19,3
|
|
14,2
|
16,3
|
|
20,5
|
31,2
|
|
21,6
|
35,1
|
Диаграмма рассеяния имеет вид:
Рис. 1. Диаграмма рассеяния переменных х и у.
Из вида диаграммы рассеяния можно сделать вывод,
что с ростом х растет и у, то есть связь между признаками прямая. Кроме того,
очки расположены как-будто вдоль прямой линии, поэтому связь между признаками
можно описать в виде линейного уравнения регрессии вида:
. Параметры уравнения вычисляем при
помощи метода наименьших квадратов из системы:
Ее решение:
, 
.
Вспомогательные суммы:
|
x
|
y
|
x*x
|
x*y
|
y*y
|
|
5,8
|
5,4
|
33,64
|
31,32
|
29,16
|
|
7,2
|
6,3
|
51,84
|
45,36
|
39,69
|
|
9,1
|
12,7
|
82,81
|
115,57
|
161,29
|
|
14,8
|
16,8
|
219,04
|
248,64
|
282,24
|
|
16,2
|
17,1
|
262,44
|
277,02
|
292,41
|
|
13,7
|
19,2
|
187,69
|
263,04
|
368,64
|
|
13,2
|
16,3
|
174,24
|
215,16
|
265,69
|
|
17,6
|
23,2
|
309,76
|
408,32
|
538,24
|
|
13,2
|
19,3
|
174,24
|
254,76
|
372,49
|
|
14,2
|
16,3
|
201,64
|
231,46
|
265,69
|
|
20,5
|
31,2
|
420,25
|
639,6
|
973,44
|
|
21,6
|
35,1
|
466,56
|
758,16
|
1232,01
|
|
Итого
|
167,1
|
218,9
|
2584,15
|
3488,41
|
4820,99
|
Подставляем в уравнения для определения
параметров:
,
.
Уравнение у на х: 
Рисунок:
Рис. 2. Уравнение регрессии у на х.
Аналогично определяем и уравнение х
на у:
,
.
Уравнение х на у: 
Рисунок:
Рис. 3. Уравнение регрессии х на у.
Связь между признаками оценим с
помощью линейного коэффициента корреляции:
Средние:
;
.
Вспомогательные суммы:
|
x
|
y
|
(xi-xsr)*(yi-ysr)
|
(xi-xsr)^2
|
(yi-yxr)^2
|
|
5,8
|
5,4
|
104,3413
|
66,01563
|
164,917
|
|
7,2
|
6,3
|
80,30995
|
45,22563
|
142,6114
|
|
9,1
|
12,7
|
26,74015
|
23,28063
|
30,71376
|
|
14,8
|
16,8
|
-1,26175
|
0,765625
|
2,079364
|
|
16,2
|
17,1
|
-2,59805
|
5,175625
|
1,304164
|
|
13,7
|
19,2
|
-0,21555
|
0,050625
|
0,917764
|
|
13,2
|
16,3
|
1,40795
|
0,525625
|
3,771364
|
|
17,6
|
23,2
|
18,22065
|
13,50563
|
24,58176
|
|
13,2
|
19,3
|
-0,76705
|
0,525625
|
1,119364
|
|
14,2
|
16,3
|
-0,53405
|
0,075625
|
3,771364
|
|
20,5
|
31,2
|
85,19885
|
43,23063
|
167,9098
|
|
21,6
|
35,1
|
129,3852
|
58,90563
|
284,1922
|
|
Итого
|
|
440,2275
|
257,2825
|
827,8892
|
Имеем:
Значение линейного коэффициента
корреляции больше 0,95, связь между признаками очень сильная.
. Построим линейную множественную
регрессию у на х1, х2. Исходные данные:
Таблица 2. Исходные данные для
построения двухфакторной линейной модели.
|
x1
|
x2
|
y
|
|
5,8
|
3,1
|
5,4
|
|
7,2
|
3,7
|
6,3
|
|
9,1
|
4,1
|
12,7
|
|
14,8
|
5,9
|
16,8
|
|
16,2
|
3,8
|
17,1
|
|
13,7
|
4,4
|
19,2
|
|
13,2
|
5,8
|
16,3
|
|
17,6
|
4,8
|
23,2
|
|
13,2
|
7,4
|
19,3
|
|
14,2
|
5,3
|
16,3
|
|
20,5
|
6,3
|
31,2
|
|
21,6
|
7,3
|
35,1
|
Ищем модель в виде:
Поиск параметров осуществляется по
методу наименьших квадратов, который приводит к матричному уравнению:
Тут А, Х,Y,
- матрицы.
- транспонирована к Х.
Их явный вид (использована программа
Excel):
|
1
|
5,8
|
3,1
|
|
5,4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
7,2
|
3,7
|
|
6,3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
9,1
|
4,1
|
|
12,7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X=
|
1
|
14,8
|
5,9
|
Y=
|
16,8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
16,2
|
3,8
|
|
17,1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
13,7
|
4,4
|
|
19,2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
13,2
|
5,8
|
|
16,3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
17,6
|
4,8
|
|
23,2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
13,2
|
7,4
|
|
19,3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
14,2
|
5,3
|
|
16,3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
20,5
|
6,3
|
|
31,2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
21,6
|
7,3
|
|
35,1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
X'=
|
5,8
|
7,2
|
9,1
|
14,8
|
16,2
|
13,7
|
13,2
|
17,6
|
13,2
|
14,2
|
20,5
|
21,6
|
|
3,1
|
3,7
|
4,1
|
5,9
|
3,8
|
4,4
|
5,8
|
4,8
|
7,4
|
5,3
|
6,3
|
7,3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
|
167,1
|
61,9
|
|
|
1,329735
|
-0,01517
|
-0,20068
|
|
|
|
|
|
x'*X=
|
2584,15
|
911,9
|
|
(X'*X)-1=
|
-0,01517
|
0,006967
|
-0,01587
|
|
|
|
|
|
61,9
|
911,9
|
341,23
|
|
|
-0,20068
|
-0,01587
|
0,081736
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
218,9
|
|
|
-8,39168
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X'*Y=
|
3488,41
|
|
A=
|
1,489164
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1228,6
|
|
|
1,143146
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем уравнение двухфакторной регрессии:
Найдем коэффициенты линейной
корреляции между переменными, используя формулу:
;
;
.
Вспомогательные данные:
|
x1i
|
x2i
|
yi
|
(x1i-x1sr)^2
|
(x2i-xsr)^2
|
(yi-ysr)^2
|
(x1i-x1sr)(yi-ysr)
|
(x2i-xsr)(y-ysr)
|
(x1i-x1sr)(x2i-x2sr)
|
|
5,8
|
3,1
|
5,4
|
66,0156
|
4,2354
|
164,9170
|
104,3413
|
26,4288
|
16,7213
|
|
7,2
|
3,7
|
6,3
|
45,2256
|
2,1258
|
142,6114
|
80,3100
|
17,4114
|
9,8051
|
|
9,1
|
4,1
|
12,7
|
23,2806
|
1,1194
|
30,7138
|
26,7402
|
5,8634
|
5,1049
|
|
14,8
|
5,9
|
16,8
|
0,7656
|
0,5506
|
2,0794
|
-1,2618
|
-1,0700
|
0,6493
|
|
16,2
|
3,8
|
17,1
|
5,1756
|
1,8442
|
1,3042
|
-2,5981
|
1,5508
|
-3,0895
|
|
13,7
|
4,4
|
19,2
|
0,0506
|
0,5746
|
0,9178
|
-0,2156
|
-0,7262
|
0,1706
|
|
13,2
|
5,8
|
16,3
|
0,5256
|
0,4122
|
3,7714
|
1,4080
|
-1,2468
|
-0,4655
|
|
17,6
|
4,8
|
23,2
|
13,5056
|
0,1282
|
24,5818
|
18,2207
|
-1,7750
|
-1,3157
|
|
13,2
|
7,4
|
19,3
|
0,5256
|
5,0266
|
1,1194
|
-0,7671
|
2,3720
|
-1,6255
|
|
14,2
|
5,3
|
16,3
|
0,0756
|
0,0202
|
3,7714
|
-0,5340
|
-0,2758
|
0,0390
|
|
20,5
|
6,3
|
31,2
|
43,2306
|
1,3042
|
167,9098
|
85,1989
|
14,7980
|
7,5087
|
|
21,6
|
7,3
|
35,1
|
58,9056
|
4,5882
|
284,1922
|
129,3852
|
36,1098
|
16,4399
|
|
Итого
|
|
|
257,2825
|
21,9292
|
827,8892
|
440,2275
|
99,4408
|
49,9425
|
Матрица коэффициентов корреляции:
|
|
X1
|
X2
|
Y
|
|
X1
|
1,0000
|
0,6649
|
0,9539
|
|
r=
|
X2
|
0,6649
|
1,0000
|
0,7380
|
|
Y
|
0,9539
|
0,7380
|
1,0000
|
Таким образом, уже между переменными у и х1 есть
сильная связь, что позволяет построить линейную модель.
. Построим интервальные оценки коэффициентов
регрессии у на х с уровнем значимости 0,05.
Модель:
Определим остаточную дисперсию:
;
Отыщем дисперсии оценок параметров:
;
.
Вспомогательные данные:
|
x
|
(x-xsr)^2
|
y
|
yteor
|
(y-yteor)^2
|
x^2
|
|
5,8
|
66,01563
|
5,4
|
4,33948
|
1,124703
|
33,64
|
|
7,2
|
45,22563
|
6,3
|
6,73502
|
0,189242
|
51,84
|
|
9,1
|
23,28063
|
12,7
|
9,98611
|
7,365199
|
82,81
|
|
14,8
|
0,765625
|
16,8
|
19,73938
|
8,639955
|
219,04
|
|
16,2
|
5,175625
|
17,1
|
22,13492
|
25,35042
|
262,44
|
|
13,7
|
0,050625
|
19,2
|
17,85717
|
1,803192
|
187,69
|
|
13,2
|
0,525625
|
16,3
|
17,00162
|
0,492271
|
174,24
|
|
17,6
|
13,50563
|
23,2
|
24,53046
|
1,770124
|
309,76
|
|
13,2
|
0,525625
|
19,3
|
17,00162
|
5,282551
|
174,24
|
|
14,2
|
0,075625
|
16,3
|
18,71272
|
5,821218
|
201,64
|
|
20,5
|
43,23063
|
31,2
|
29,49265
|
2,915044
|
420,25
|
|
21,6
|
58,90563
|
35,1
|
31,37486
|
13,87667
|
466,56
|
|
Итого
|
257,2825
|
|
|
74,63059
|
2584,15
|
Имеем:
;
;
;
;
.
При уровне значимости 0,05 и
числе вариант 12 коэффициент Стьюдента равен 2,23.
Доверительные интервалы для
параметров уравнения:
, 
.
2,23*2,5 = 5,575; 
2,23*0,17 =
0,379.
Доверительный интервал для a:
(-5.585 - 5.575; -5.585 + 5.575) =
(-11.16; -0.010);
для b:
(1.711 -
0,379; 1.711 + 0.379) =
(1.332; 2.090).
Литература
регрессия корреляция
линейный
1. Емельянов А.С. Эконометрия и
прогнозирование. -М.: Экономика, 1985. - С. 82-89.
2. 13. Иванова В.М.
Экономическая теория. Основы бизнеса: Ч.IY: Эконометрика/Ред. совет: А.Д.
Смирнов, В.Ф. Максимова и др. -М.:СОМИНТЭК, 1991. -158 с.
. Кейн Э. Экономическая
статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ. -
М.:Статистика, 1977.254 с.
. Магнус Я.Р. Катышев
П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начальный курс. - М.: Дело, 1997. - 248 с.
. Маленво Э.
Статистические методы эконометрии. - М.: Статистика, 1975. -423 с.