Основы математического анализа

Основы математического анализа

Контрольная работа №2 (мат. анализ)

Задание 1(8). Найти частные производные:

а)

б)

Задание 2(16). Найти градиент функции  в точке

Градиент - вектор, указывающий направление наискорейшего возрастания функции и состоящий из ее частных производных:

Найдем частные производные:

Таким образом, градиент функции  в любой ее точке имеет вид:

,

а в точке :

Задание 3 (24). Вычислить интеграл  по области

Построим чертеж области

Координаты точки :

Координаты точки :

Координаты точки

Решая уравнение третьей степени, получим решение с радикалами или тригонометрическими функциями, но судя по чертежу, обе функции проходят через точку . Действительно:

Т.е. область  словесно можно описать следующим образом: «В то время как  пробегает значения от  до ,  пробегает значения от  до ». Это и есть пределы интегрирования при переходе от двойного интеграла к последовательному:

Задание 4(32). Найти общее решение дифференциального уравнения  и построить графики двух различных частных решений этого уравнения.

Решим уравнение

Проверим

Таким образом, общее решение уравнения:

Положив , получим частное решение

Положив , получим частное решение

Отобразим графики этих функций

Задание 5(50). Найти общее дифференциального уравнения  и частное решение, удовлетворяющее условию .

Будем искать решение в виде

Тогда

Потребуем, чтобы функция  была такова, что выражение в скобках будет равно нулю. Тогда получим систему уравнений:

Решим первое ее уравнение:

 (в выражении для функции константу не добавляем, а добавляем далее, в )

Решим второе уравнение системы, подставив в него найденную :

Тогда общее решение исходного уравнения :

Проверим:

Таким образом, общее решение:

Найдем значение константы , соответствующее условию :

Т.е. частное решение, соответствующее заданному условию:

производная функция интегрирование уравнение

Задание 6 (58). Найти общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее данным условиям:

Это уравнение с правой частью специального вида. Его общее решение следует искать в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения:

Найдем решение однородного уравнения:

Характеристические корни этого уравнения:

Т.к. корни действительные и не равны друг другу, то решение однородного уравнения:

Найдем частное решение  исходного уравнения. Для правой части вида  его следует искать в таком же виде:

Чтобы найти константы  и , подставим это решение в исходное уравнение:

Следовательно,

Таким образом, общее решение исходного уравнения:

Найдем значения констант , соответствующие условиям . Для этого необходимо вычислить :

Тогда, исходя из условий:

Итак, частное решение, соответствующее заданным условиям:

Ответ:

 (общее)

(при заданных условиях)

Задание 7 (66). Исследовать на сходимость ряд

Прежде всего, проверим необходимый признак сходимости:

 - необходимое условие выполняется

Далее применим признак Даламбера:

Т.к. , то согласно признаку Даламбера, ряд сходится.

Задание 8(74). Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала:

)        Радиус сходимости найдем по признаку Даламбера - ряд сходится при

Таким образом,

         при  ряд сходится;

         при  ряд расходится.

)        При  получим ряд

Проверим необходимый признак сходимости. При этом воспользуемся формулой Стирлинга, позволяющей при предельном переходе при  заменять  на

 - условие выполняется

Проверим сходимость ряда с помощью интегрального признака (как и прежде предварительно заменив член ряда  на преобразованный по формуле Стирлинга ):

Разложим дробь на простейшие

Следовательно

Т.е. несобственный интеграл сходится к конечному числу.

А значит и ряд  тоже сходится.

) При  получим ряд

Члены данного ряда, взятые по модулю, образуют ранее рассмотренный ряд , который сходится. Следовательно, и этот знакочередующийся ряд тоже сходится.

Ответ:

ряд  сходится при .