Основы дифференциальной геометрии

Основы дифференциальной геометрии

1. Элементы топологии

1.1 Понятие метрического пространства. Расстояние между множествами. Диаметр множества

Напомним, что в точечном евклидовом пространстве En расстояние между точками P(x1, x2,… xn), Q(y1, y2,… yn) вычисляется по формуле

r(P, Q) = ,

если координаты точек заданы относительно ортонормированной системы координат. Мы можем рассматривать это расстояние, как функцию, сопоставляющую двум точкам P и Q число r(P, Q). Функция r обладает следующими свойствами:

1. r(P, Q) = r(Q, P);

2. r(P, Q) + r(Q, R) ³ r(P, R) (неравенство треугольника);

3. r(P, Q) ³ 0, и r(P, Q) = 0 Û P = Q.

Пусть теперь M - произвольное множество, элементы которого будем называть точками. Пусть на M задана функция r, сопоставляющая любым двум точкам P, QÎM число r(P, Q), которое называется расстоянием между этими точками, и такая что выполнены свойства (аксиомы) 1, 2, 3. Тогда пара (M, r) называется метрическим пространством, а функция r - метрикой.

Примеры 1. Пусть V - произвольное подмножество евклидова пространства. Расстояние между двумя точками P, QÎV будем считать таким же, как во всем пространстве. Тогда (V, r) - метрическое пространство. Метрика r называется индуцированной из En.

2. Сфера S2 в трехмерном геометрическом пространстве. Расстояние r1 между P, QÎ S2 определяется как длина кратчайшей кривой по поверхности, соединяющей P и Q. Как известно, этой кривой является дуга большой окружности (у которой радиус равен радиусу сферы).

Мы также можем определить расстояние как в примере 1: r(P, Q) - это длина хорды PQ. Тогда (S2, r1) и (S2, r) - это разные метрические пространства.

3. Определим на плоскости расстояние между точками A(x1, y1), B(x2, y2) по формуле r2(A, B)=|x2 - x1|+|y2 - y1|. Получается, что r2(A, B) равно длине ломаной AMB, изображённой на следующем чертеже.

Упражнение. Самостоятельно про-верьте, что для плоскости с метрикой r2 выполняются все аксиомы метрического пространства.

Диаметром множества V в метрическом пространстве (M, r) называется точная верхняя грань расстояний между точками этого множества:

d(V) = r(P, Q).

Расстоянием между двумя множествами V, W называется точная нижняя грань расстояний между точками этих множеств:

r(V, W) = r(P, Q).

В частности, если одно из множеств состоит из одной точки, то получаем определение расстояния от точки до множества.

Почему в этом определении супрэмум, а не максимум, инфинум, а не минимум? Поясним на примере.

Пример. Пусть V - это открытый (без границы) круг радиуса 1 на плоскости с центром в начале координат, а W = Q (2,0). Тогда d(V) = 2, хотя таких точек, расстояние между которыми равно 2 в V нет. Таким образом, максимум не достигается. Аналогично, r(Q, V) = 1, хотя такой точки PÎV, что r(Q, P) = 1 не существует. Значит, минимум не достигается.

Отметим, что если множества пересекаются, то расстояние между ними равно нулю. Обратное неверно. Например, если W есть прямая x = 1, то r(V, W) = 0, но V IW=Æ.

Определение. Множество V в метрическом пространстве (M, r) называется ограниченным, если d(V)<¥.

Заметим, что и всё метрическое пространство может быть ограниченным, как например, (S2, r1).

Упражнение. Чему равны диаметры метрических пространств (S2, r1) и (S2, r)?

1.2 Открытые множества. Понятие топологического пространства

Обозначим U (P,e)={QÎM| r(P, Q)<e} - открытый шар в метрическом пространстве (M, r). В частности, на плоскости это будет открытый круг, а на прямой - интервал.

Определение. Пусть V - некоторое множество в метрическом пространстве (M, r). Точка PÎV называется внутренней точкой этого множества, если она входит в V вместе с некоторым содержащим её

открытым шаром, т.е. если существует такое e>0, что U (P,e)ÌV.

Определение. Множество VÌ(M, r) называется открытым, если все его точки являются внутренними для этого множества. Пустое множество считается открытым.

Определение. Множество V в евклидовом пространстве называется связным, если для любых точек P, QÎV существует непрерывная кривая gÌV, соединяющая P и Q.

Это привычное определение связного множества обладает существенным недостатком: мы ещё не знаем, что такое «непрерывная кривая», и даже не знаем, что такое кривая. Тем более это определение не годится для произвольного метрического пространства. Математически более точное определение требует пояснений.

Определение. Множество V в метрическом пространстве (M, r) называется несвязным, если его можно представить в виде объединения V=V1UV2 двух непересекающихся множеств, каждое из которых открыто в V (в индуцированной топологии).

Представим себе, что множество состоит из двух непересекающихся частей V1 и V2, которые не являются открытыми во всём метрическом пространстве, а P - точка, лежащая на границе V1. Рассмотрим метрическое пространство (V, r) c индуцированной из M метрикой. Тогда шар U (P,e) в (V, r) выглядит так, как это

показано на рисунке. Согласно определению, точка P оказывается внутренней точкой множества V1. Аналогично, это верно и для произвольной точки множества V1. Таким образом, V1 оказывается открытым в V. Такая ситуация оказывается невозможной, если V связно в интуитивном понимании этого слова.

Определение. Множество V в метрическом пространстве (M, r) называется связным, если оно не является несвязным. Открытое связное множество называется областью. Любая область, содержащая точку P, называется окрестностью этой точки.

Теорема 1. I. Объединение любого числа открытых множеств есть открытое множество.

II. Пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

Оставим эту теорему без доказательства.

Следующий пример показывает, что пересечение бесконечного числа открытых множеств может не быть открытым.

Пример. Пусть

V1= (-2; 2), V2 = (-1,5; 1,5), V3 = (- ; ),…, Vi = (-1 - ; 1 + ), … Тогда Vi = [-1, 1].

Определение. Говорят, что система всех открытых подмножеств метрического пространства (M, r) образует топологию этого пространства. Эта система обозначается буквой t.

Мы выяснили, совокупность подмножеств t обладает следующими свойствами:

I. V1, V2, V3,…Ît Þ ViÎt (J - множество индексов);

II. V1, V2, V3,…, VnÎt Þ ViÎt;

III. ÆÎt, MÎt.

Определение. Пусть M - произвольное множество, на котором задана система подмножеств t, удовлетворяющая аксиомам I, II, III. Тогда пара (M, t) называется топологическим пространством, а t - топологией. Множества, входящие в t будем называть открытыми.

Мы видим, что любое метрическое пространство является топологическим. Та топология, которая определяется на нём метрикой r, называется метрической топологией.

Пусть (M, t) - топологическое пространство, а F - подмножество в M. Тогда мы можем задать на F топологию, т.е. превратить F в топологическое пространство следующим образом. Множество VÌF назовём открытым, если существует множество W, открытое во всем M, такое, что V=WIF. Такая топология на F называется индуцированной из (M, t).

Для нас наиболее важен случай, когда F - это поверхность в трёхмерном пространстве. Получается, мы можем определить, что такое открытое множество на поверхности.

1.3 Замкнутые множества. Замыкание

Определение 1. Точка P называется точкой прикосновения множества W, если любая её окрестность пересекается с W. Это равносильно тому, что r(P, W)=0. Множество WÌ(M, t) называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.

Определение 2. Множество W в топологическом пространстве (M, t) называется замкнутым, если его дополнение M\W открыто в M.

Примем без доказательства, что эти два определения равносильны.

Очевидно, что каждая точка самого множества V является его точкой прикосновения. Но, если V не замкнуто, то существуют ещё точки, которые в V не входят, но являются его точками прикосновения.

Определение. Совокупность всех точек прикосновения множества V называется замыканием множества V. Будем использовать обозначения для замыкания: .

Определение. Совокупность всех внутренних точек множества называется его внутренностью и обозначается . Множество \ называется границей множества V.

Пример 1. Пусть U (O, 1) - открытый круг на плоскости. Тогда его замыканием является B (O, 1)=(O, 1)={Q| r(O, Q)£1} - замкнутый круг, а граница есть окружность S1={Q| r(O, Q)=1}.

Свойства операции замыкания.

. =U;

2. ÍI;

3. VÌ, = ;

4. = Æ.

Пример 2. Пусть V=(-1, 0), W=(0,1). Тогда V IW = Æ Þ =Æ. С другой стороны, =[-1, 0], =[0,1], Þ I= {0}. Данный пример показывает, что равенство в пункте 2. может не выполняться.

Теорема 2. I. Пересечение любого числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

II. Объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

III. Æ и M - замкнутые множества.

Данные свойства и теорему принимаем без доказательства.

.4 Непрерывные отображения. Гомеоморфизм

Напомним определение непрерывной функции курса математического анализа.

Определение. Числовая функция f:R -® R называется непрерывной в точке xo, если "e>0 $d>0 такое, что |x - xo|<dÞ|f(x) - f(xo)|<e.

Это определение можно переформулировать на языке открытых шаров.

Определение. Числовая функция f:R -® R называется непрерывной в точке xo, если "e>0 $d>0 такое, что xÎU(xo,d) Þ f(x)ÎU (f(xo),e).

Это определение годится и для отображения двух метрических пространств f: (M, r) -® (N, r1). Можно также записать его в следующем виде.

Определение. Пусть (M, r) и (N, r1) - два метрических пространства. Отображение f: M -® N называется непрерывным в точке xoÎM, если "e>0 $d>0 такое, что f (B(xo,d))Ì B(yo,e), где yo= f(xo).

Смысл этого определения: точки близкие к xo после отображения оказываются близкими к yo: каким бы маленьким ни был открытый шар

с центром в yo, найдется такой шар с центром в xo, который отображается внутрь первого шара. Для того, чтобы получить определение непрерывного в точке отображения двух топологических пространств достаточно заменить открытые шары на произвольные окрестности.

Определение. Пусть (X, t) и (Y, t1) - два топологических пространства. Отображение f: X -® Y называется непрерывным в точке xoÎX, если для каждой окрестности V точки yo= f(xo)ÎY найдется такая окрестность U точки xo, что f(U)Ì V.

Условие, использованное в определении: «для каждой окрестности V точки yo= f(xo)ÎY найдется такая окрестность U точки xo, что f(U)ÌV» называется условием Коши. Отображение f: X -® Y называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке xoÎX.

Теорема 3. Отображение f: X -® Y двух топологических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества VÌY есть открытое множество f-1(V)=UÌX (без доказательства).

Определение. Отображение f: X -® Y двух топологических пространств называется открытым, если образ любого открытого в X множества U есть открытое в Y множество V=f(U).

Определение. Отображение f: X -® Y двух топологических пространств называется гомеоморфизмом или топологическим отображением, если это отображение

) биективное (т.е. взаимно-однозначное отображение X на всё Y);

) непрерывное;

) открытое.

Это равносильно тому, что f обратимо и оба отображения f и f-1 являются непрерывными.

Получается, что топологическое отображение f: X -® Y устанавливает взаимнооднозначное соответствие между открытыми множествами пространства (X, t) и открытыми множествами пространства (Y, t1). Поэтому с точки зрения топологии пространства (X, t) и (Y, t1) устроены одинаково, если между ними существует гомеоморфизм

f: X ® Y. В этом случае эти пространства называются гомеоморфными или топологически эквивалентными.

Примеры. 1. Открытый интервал (-1, 1) и вся числовая прямая гомеоморфны. Гомеоморфизм устанавливает отображение f: (-1, 1) -® R, f(x)=tg x.

2. Сфера S2 и плоскость R2 не гомеоморфны. Однако, если из сферы выколоть одну точку, то оставшееся множество будет гомеоморфно плоскости. Гомеоморфизм устанавливает, так называемая, стереографическая проекция p: S2\{N} -® R2 (см. рисунок ниже).

Когда речь идёт о поверхностях, гомеоморфизм можно наглядно представить так. Мы можем поверхность как угодно мять, сжимать и растягивать (как резиновую), нельзя только разрезать и склеивать. Всё, что в результате получится будет гомеоморфно исходной поверхности.

3. Сфера и любой выпуклый многогранник (тетраэдр, куб…) гомеоморфны. Для того, чтобы построить гомеоморфизм мы поместим многогранник внутрь сферы, так чтобы центр сферы находился внутри многогранника и спроецируем его из центра на поверхность сферы.

Для того, чтобы доказать, что поверхности или кривые гомеоморфны, достаточно построить гомеоморфизм. Если гомеоморфизм построить не удаётся, это ещё не означает, что он не существует. Поэтому для доказательства того, что два топологических пространства не гомеоморфны, надо найти такие величины, которые сохраняются при гомеоморфизме. Они называются топологическими инвариантами. Это одна из тем спецкурса по топологии, который вы можете прослушать на 4 или 5 курсе в рамках «дисциплины по выбору». Приведём лишь один пример.

4. Топологическим инвариантом для кривых является наличие и количество разбивающих точек. Например, удалив из прямой одну точку, мы разобьем её на два несвязных множества. Если из окружности удалить одну точку, то она останется связной. Следовательно, окружность S1 и числовая прямая не гомеоморфны.

2. Теория кривых

2.1 Вектор-функция скалярного аргумента

Определение. Пусть E3 - евклидово векторное пространство, U - некоторое множество на прямой, плоскости или в пространстве. Говорят, что на U задана вектор-функция, если каждой точке AÎU сопоставлен вектор (A) Î E3. Если I Í R - некоторый интервал числовой прямой, то : I -® E3 называется вектор-функцией скалярного аргумента.

Пусть t Î I, а (t) Î E3 - его образ при отображении : I -® E3. В E3 выберем ОНБ {i, j, k}. Тогда вектор (t) мы можем разложить по базису:

(t)= x(t) i + y(t) j + z(t) k

(в других обозначениях: (t)= r1(t) i + r2(t) j + r3(t) k). Таким образом, задание одной вектор-функции равносильно заданию трех скалярных (обычных) функций x(t), y(t), z(t); x: I -® R, y: I -® R, z: I -® R.

Понятия предела, непрерывности и производной вводится аналогично таким же понятиям для обычных функций.

Определение. Пишем, что = (t), если |(t) - | = 0 (здесь уже получается предел обычной функции). Это равносильно следующему:

"e > 0 $d: | t - to| < d Þ |(t) - | < e.

Говорим, что (t) непрерывна при t = to, если

(t) = (tо);

(t) непрерывна на интервале I, если она непрерывна " t Î I.

Определение. Производная вектор-функции : I -® E3 в точке toÎ I определяется по формуле

¢(tо) =.

Если предел существует для каждого toÎ I и to не фиксировать, то получим новую вектор-функцию ¢: I -® E3.

Примем без доказательства, что ¢(t) = x¢(t) i + y¢(t) j + z¢(t) k, т.е. вычислять производную вектор-функции можно покоординатно.

Вектор-функцию ¢(t) также можно дифференцировать. Получим вектор-функцию ²(t). Далее, естественным образом можем определить и производные высших порядков.

Определение. Говорим, что (t) принадлежит классу Cn(I), если она определена на интервале I, у неё существуют все производные до порядка n включительно, и они непрерывны.

Определение. Вектор-функция (t) называется регулярной на интервале I, если | ¢(t) | > 0 (Û ¢(t) ¹ ) " t Î I.

Пусть (t) и (t) - две вектор-функции, определенные на одном интервале I. Тогда для них можно ввести такие же алгебраические операции, что и для обычных векторов: сложение, вычитание, умножение на число, скалярное, векторное произведения.

( ± )(t) = (t) ± (t), (l) (t) = l(t),

( · )(t) = (t) · (t), ( ´ )(t) = (t) ´ (t), " t Î I.

Для трёх вектор-функций, определенных одном том же интервале I, можно определить смешанное произведение ( )(t) = (t)(t)(t) " t Î I. Мы получим новые функции (векторные или скалярные), которые тоже можно дифференцировать. При этом выполняются те же правила дифференцирования, что и для операций над обычными функциями:

( ± )¢ = ¢ ± ¢, (l)¢ = l ¢,

( · )¢ = ¢ · + · ¢, ( ´ )¢ = ¢´ + ´ ¢.

Упражнение. Используя формулу для вычисления скалярного произведения по координатам, самостоятельно докажите, что имеет место равенство ( · )¢ = = ¢ · + · ¢.

Также для вектор-функции имеет место формула Тейлора:

(t+Dt) = (t) + Dt ¢(t) + ²(t) + … + ( (n)(t) + e(t, Dt)),

где e(t, Dt) - бесконечно малая вектор-функция, т.е. e(t, Dt) = .

Для вектор-функции также можно определить понятия первообразной, неопределенного и определенного интегралов.

Если отложить все векторы (t), t Î I, от одной точки O - начала координат, то их концы образуют множество точек, которое называется годографом вектор-функции (t).

В дальнейшем, стрелочку над обозначением вектор-функции ставить не будем.

2.2 Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная кривая. Замена параметра

Пусть E - обычное геометрическое пространство или плоскость. Тогда E является точечным евклидовым пространством. Мы будем вести речь про пространство, но всё сказанное ниже с незначительными изменениями верно и для случая, когда E - плоскость. Пусть в пространстве задана декартова СК Oxyz. Мы будем отождествлять произвольную точку M и её радиус-вектор .

Определение. Путем (или параметризованной кривой) называется непрерывное отображение c: I -® E, где I - некоторый интервал числовой прямой.

Таким образом, путь сопоставляет каждому значению t Î I точку в пространстве. В силу нашей договоренности об отождествлении, можно сказать, что путь сопоставляет каждому значению t Î I вектор. Поэтому путь - это непрерывная вектор-функция. Подчеркнем, что путь - это отображение (в отличие от кривой).

Определение. Пусть c: I -® E - путь. Тогда его траектория - множество g=c(I) в пространстве называется кривой. Вектор-функция c(t)=x(t) i + y(t) j + z(t) k называется параметризацией кривой g. Запись

x = x(t),

y = y(t),

z = z(t), t Î I,

называется параметрическими уравнениями кривой g. Если использовать обозначение - это вектор с переменными координатами (x, y, z), то параметрические уравнения можно записать в виде одного векторного равенства = c(t). Также можно сказать, что кривая g - это годограф вектор-функции c(t).

Замечание. При таком определении кривая может выглядеть совсем непохоже на интуитивное представление о кривой. Например, кривая Пеано проходит через каждую точку квадрата, и поэтому она имеет ненулевую площадь. Такой пример рассматривается в рамках спецкурса по топологии. Это говорит о том, что понятие кривой, на самом деле, не такое простое.

Определение. Простой дугой (или элементарной кривой) называется множество g в пространстве или на плоскости, гомеоморфное открытому интервалу числовой прямой.

Простыми дугами не являются кривые с самопересечениями (например, «восьмёрка») и даже окружность.

Определение. Путь c называется простым, если c - взаимнооднозначное отображение.

Простой путь задает кривую без самопересечений: при движении по кривой мы проходим каждую точку ровно один раз. Но образ интервала при таком отображении не всегда является простой дугой.

Определение. Кривая g называется регулярной, если у нее существует регулярная параметризация. Кривая называется гладкой класса Cn, если у нее существует регулярная класса Cn параметризация.

Вы привыкли, что если функция дифференцируема, то ее график не имеет изломов. Но кривая, определяемая вектор-функцией не является её графиком.

Пример 1. Путь c(t) = (t2, t3), t Î R определяет на плоскости кривую, которая называется полукубической параболой. Этот путь дифференцируемый класса C¥(R).

Имеем c¢(t) = (2t, 3t2) и c¢(0) = , т.е. данный путь не является регулярным. Причем, регулярность нарушается как раз в той точке, где кривая имеет излом.

Из теоремы 1 (следующий параграф) следует, что гладкая класса C1 регулярная кривая не имеет изломов. Полукубическая парабола - это пример простой дуги.

Пример 2. Путь c(t) = (a cos t, a sin t), tÎR определяет на плоскости окружность радиуса a с центром в начале координат. Этот путь не является простым: в процессе изменения параметра мы «проходим» через каждую точку окружности бесконечное количество раз.

Пример 3. Одна и та же кривая может задаваться разными параметрическими уравнениями. Например, верхняя половина полукубической параболы может быть задана следующими уравнениями.

x = t2, x = e2t,

y = t3, t Î (0, + ¥) y = e3t, t Î R

Ясно, что вторая система получается из первой с помощью замены t = et, t Î R. Обозначим j(t) = et; тогда j - это отображение j: R -® (0, + ¥). Так возникает понятие «замена параметра».

Определение. Пусть c:I -® E - путь, задающий кривую g, а I1 Î R - другой интервал числовой прямой. Пусть j: I1 -® I - непрерывное отображение, t=j(u). Рассмотрим композицию отображений d = c°j: I1-® P, d(u)= c(j(u)). Это

будет другой путь, но его образ d(I1) - та же самая кривая g. Говорят, что отображение j осуществляет замену параметра кривой.

Определение. Замена параметра t=j(u) называется допустимой, если j - функция касса Cn(I1) и j¢(u) ¹ 0 " uÎ I1.

Пусть c - регулярный путь. Тогда

d¢(u)= c(j(u))¢ = j¢(u) c¢(t).

Мы видим, что путь d(u) является регулярным тогда и только тогда, когда замена параметра является допустимой. Другими словами, допустимая замена параметра сохраняет регулярность пути.

Определение. Регулярные пути c: I -® E и d: I1-® E называются эквивалентными, если существует такая допустимая замена параметра j: I1 -® I, t = j(u), что d = c°j. Иногда говорят, что регулярная кривая - это класс эквивалентных друг другу регулярных путей.

Можно сказать, что эквивалентные пути имеют одинаковую траекторию, но проходят ее за различные промежутки времени и с разной скоростью.

Например, замена параметра t = et, является допустимой, и поэтому пути c(t) = (t2, t3), t Î (0, + ¥) и d(t) = (e2t, e3t), tÎR являются эквивалентными.

Упражнения. 1. Является ли регулярным путь (a cos3t, a sin3t), tÎR?

2. Является ли допустимой замена параметра t = , uÎR? В какой интервал она переводит числовую прямую?

2.3 Касательная прямая. Нормальная плоскость кривой

Определение. Пусть g - некоторая кривая, P - точка на ней. Выберем близкую к ней точку QÎg. Прямую PQ назовем секущей. Если при Q -® P секущая стремится занять определенное положение l, то прямая l называется касательной к кривой g в точке P.

Математически более точным является следующее определение.

Определение. Пусть g - некоторая кривая, P - точка на ней, а l - некоторая прямая, проходящая через P. Выберем близкую к P точку QÎg. Обозначим d =½ PQ½, d - расстояние от Q до l. Если = 0, то прямая l называется касательной к кривой g в точке P.

Теорема 1. Гладкая класса C1 (т.е. регулярная) кривая имеет в каждой своей точке касательную и, притом, единственную.

Доказательство. Пусть c(t) - гладкая регулярная параметризация кривой g, P = c(to), Q = c(t) - близкая к P точка. Тогда

= c(t) - c(to), d =½ ½ =½ c(t) - c(to)½.

Пусть l - некоторая прямая, проходящая через P, t - единичный направляющий вектор этой прямой, а a - угол между t и . Тогда

d = d×sin a =½ ½ ×½ t½ ×sin a =½ ´t½,

(мы домножили на ½ t½, т. к. ½ t½ =1). Отсюда

= = = .

Перейдем в этом равенстве к пределу при d -® 0 Û t -® to:

= .

Значит, равенство нулю этого предела равносильно c¢(to)´t = Û Û c¢(to) ½½ t. Таким образом, прямая l будет касательной Û вектор c¢(to) будет её направляющим вектором. Поскольку путь c(t) регулярный, то c¢(to) ¹ , а значит, касательная прямая существует и однозначно определяется данным вектором и точкой P = c(to).

Пусть кривая g задана уравнением = c(t).Из теоремы вытекает, что касательная к g, проходящая через точку P(xo, yo, zo) = c(to), задается уравнением

= = . (1)

Если кривая расположена на плоскости, то в этом уравнении будет отсутствовать второе равенство (координата z).

Кривая на плоскости может быть задана уравнением в неявном виде:

F (x, y) = 0. (2)

Пусть = c(t) - параметрическое уравнение этой же кривой; в развёрнутом виде:

x = x(t),

y = y(t).

Тогда при подстановке этих уравнений в (2) мы получаем тождество:

F (x(t), y(t)) º 0.

Продифференцируем его по t:

x¢(t) + y¢(t) = 0. (*)

Обозначим grad F = . Тогда равенство (*) равносильно (grad F) · c¢(t) º 0.

Это означает, что в каждой точке P=c(to) на кривой g вектор градиента gradPF, вычисленный в этой точке перпендикулярен вектору c¢(to), т.е. является вектором нормали для касательной к кривой в этой точке P. Значит уравнение касательной в точке P имеет вид:

(x - xo) + (y - yo) = 0, (3)

где все производные вычисляются в точке P(xo, yo).

Если кривая задана уравнением в явном виде y = f (x), то мы можем переписать уравнение так: y - f (x) = 0, и, применяя уравнение (2), получим уравнение касательной

y - yo = f ¢(xo) (x - xo). (4)

Определение. Любая прямая, проходящая через точку PÎg, перпендикулярно касательной к кривой g в этой точке называется нормалью кривой. Если регулярная кривая расположена на плоскости, то нормаль у нее в каждой точке одна, а если кривая находится в пространстве-то бесконечно много. Тогда все нормали лежат в одной плоскости перпендикулярной касательной. Эта плоскость называется нормальной плоскостью к кривой g в точке P.

Пусть = c(t) - параметрическое уравнение кривой, P(xo, yo, zo) = = c(to). Тогда вектор c¢(to) будет перпендикулярен нормальной плоскости, а значит уравнение этой плоскости имеет вид:

c1¢ (to) (x - xo) + c2¢ (to) (y - yo) + c3¢ (to) (z - zo) = 0. (5)

Если кривая расположена на плоскости, то уравнение нормали к ней в точке P:

c1¢ (to) (x - xo) + c2¢ (to) (y - yo) = 0.

Если кривая задана уравнением в неявном виде (2), то вектор gradPF будет направляющим вектором нормали к ней в точке P, а значит уравнение нормали:

= . (6)

2.4 Соприкасающаяся плоскость к кривой. Главная нормаль. Бинормаль

Определение. Пусть g - некоторая кривая, P - точка на ней, Q Î g - близкая к P точка. Пусть p - плоскость, проходящая через P. Обозначим d =½ PQ½, d - расстояние от Q до этой плоскости. Если = 0, то плоскость p называется соприкасающейся плоскостью к кривой g в точке P.

Смысл этого определения в следующем: соприкасающаяся плоскость - это та плоскость, которая плотнее всего прилегает к кривой. Следующее определение эквивалентно данному.

Определение. Пусть g - некоторая кривая, P - точка на ней. Выберем две близкие к P точки Q и R на кривой. Если при Q -® P и R -® P плоскость

PQR стремится занять определенное положение p, то плоскость p называется соприкасающейся плоскостью к кривой g в точке P.

Теорема 2. Если кривая g дважды дифференцируема и регулярна в точке P, то она имеет в этой точке соприкасающуюся плоскость. Если c(t) - параметризация класса C2 кривой g и P = c(to), то соприкасающаяся плоскость будет параллельна векторам c¢(to) и c²(to). Если эти векторы не коллинеарны, то соприкасающаяся плоскость единственна, а если c¢(to)½½ c²(to), то любая плоскость, проходящая через касательную к кривой g в точке P, будет соприкасающейся плоскостью к кривой (без доказательства).

Можно определить соприкасающуюся плоскость, как параллельную векторам c¢(to) и c²(to), а потом доказать, что именно она наиболее плотно прилегает к кривой.

Если c¢(to) c²(to), то соприкасающаяся плоскость в точке P = c(to) задается уравнением

x - xo y - yo z - zo1¢ c2¢ c3¢ = 0. (7)

c1² c2² c3²

Определение. Прямая перпендикулярная к соприкасающейся плоскости к кривой g в точке P называется бинормалью к кривой g в точке P. Нормаль к кривой g в точке P, лежащая в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью. Поскольку c¢(to) и c²(to) параллельны соприкасающейся плоскости, то вектор c¢(to)´c²(to) будет вектором нормали к ней, а значит, он будет направляющим вектором бинормали. Значит, бинормаль задается уравнением.

= = .

c2² c3² c3² c1² c2² c3²

Главная нормаль перпендикулярна касательной и бинормали. Поэтому её направляющий вектор перпендикулярен c¢ и c¢´c². Значит, направляющий вектор главной нормали - это (c¢´ c²)´ c¢. Для того, чтобы

составить уравнение главной нормали надо сначала вычислить этот вектор в данной точке.

Определение. Плоскость перпендикулярная главной нормали к кривой g в точке P называется спрямляющей плоскостью к кривой g в точке P.

Для спрямляющей плоскости вектор (c¢´c²)´c¢ будет вектором нормали. Для того, чтобы составить уравнение спрямляющей плоскости надо сначала вычислить вектор (c¢´c²)´c¢ в данной точке.

Единичные направляющие векторы касательной, главной нормали и бинормали принято обозначать соответственно t, n, b. Тогда, для того, чтобы они образовывали правую тройку необходимо, чтобы выполнялось n = t ´ b - именно в этом порядке. Тогда

t = , b = , n = . (8)

Говорят, что вместе с точкой P = c(to) эти векторы, вычисленные в данной точке, образуют подвижной репер кривой {P, t, n, b} или репер Френе. Именно в этом репере удобнее всего исследовать поведение кривой в окрестности точки P.

Изобразим теперь кривую вместе с репером Френе и всеми прямыми и плоскостями, относящимися к кривой.

2.5 Длина кривой. Естественный параметр

Определение. Пусть = c(t) - параметрическое уравнение кривой g, А = c(а), B= c(b) - две точки на кривой (a<b). Разобьём промежуток [a, b]:

= to<t1 <t2 < … < tn-1<tn = b.

Тогда ломаная с вершинами

c(а), c(t1), c(t2),…, c(tn-1), c(b)

называется вписанной в кривую.

Будем неограниченно измельчать это разбиение так, чтобы длина максимального звена ломаной стремилась к нулю:

d = |c(ti+1) - c(ti)| -® 0.

Определение. Если при этом длина ломаной

l =| c(ti+1) - c(ti) |

стремится к определённому пределу L, то L называется длиной участка пути c(t) от a до b.

Подчеркнём, что данная величина может не совпадать с длиной кривой от А до B, поскольку путь по кривой может осуществляться с «возвратами» (например, вписанная ломаная может выглядеть,

как на втором рисунке). Но если c(t) - это гладкая и регулярная параметризация, то величина L будет длиной дуги кривой g от А до B, потому что в точках, где движение по кривой меняет направление, обязательно выполняется c¢= , что невозможно для регулярной параметризации.

Теорема 3. Пусть c(t) - гладкая параметризация кривой g. Длина дуги кривой g от точки А = c(а) до точки B = c(b) вычисляется по формуле

L (А, B)= |c¢(t)| dt. (9)

При этом эта величина не зависит от выбора конкретной параметризации кривой g, т.е. при допустимой замене параметра, эта величина не изменяется.

Доказательство. Длина ломаной, вписанной в кривую, равна сумме длин её звеньев:

l = | c(ti+1) - c(ti)|.

Добавим и отнимем справа два выражения:

| c¢(ti)| (t i+ 1 - t i), |c¢(t)| dt,

а затем сгруппируем:

= |c¢(t)| dt + { | c¢(t i ) | (ti + 1 - t i) - |c¢(t)| dt} +

+ { | c(ti+1) - c(ti) | - | c¢(ti)| (t i + 1 - ti)},

Первая фигурная скобка стремится к нулю при измельчении разбиения по определению интеграла. Вторую перепишем так:

(t i + 1 - ti) { - |c¢(ti)|}

Выражение в фигурных скобках стремится нулю по определению производной, а

(ti+1 - ti) = b - a,

поэтому и всё выражение стремится к нулю. Получается, что при измельчении разбиения длина вписанной ломаной стремится к

|c¢(t)| dt.

Пусть теперь t = j(u) - допустимая замена параметра, f(u) = c(j(u)), a=j(u1), b= j(u2). Тогда j - монотонная функция.

1 случай. Функция j - возрастающая. Тогда j¢>0 и u1 < u2. В соответствии с формулами замены параметра в определенном интеграле получаем

| f ¢(u)| du = |c(j(u))¢u| du = | ct¢· j¢u| du = |c¢(t)| j¢u du = |c¢(t)| dt.

2 случай. Функция j - убывающая. Тогда j¢<0 и u1 >u2. Поэтому u1 будет верхним пределом, а u2 - нижним. При перестановке пределов в определенном интеграле меняется знак, а j¢u выносится из-под модуля со знаком минус; оба минуса компенсируют друг друга:

| f ¢(u)| du = |c(j(u))¢u| du = | ct¢· j¢u| du = - |c¢(t)| (- j¢u) du =

= |c¢(t)| j¢u du = |c¢(t)| dt.

Таким образом, формула для вычисления длины одинакова, как для параметра t, так и для параметра u на кривой g.

Определение. Выберем произвольную точку A = c(to) на кривой g и будем от неё отсчитывать длину кривой до произвольной точки В, в одну сторону со знаком «+», в другую - со знаком «-»; т.е. если длина дуги АВ равна s, то точке В приписывается новое значение параметра s или - s. Тем самым на кривой получается новый параметр s, который называется естественным параметром кривой. Если параметр, с помощью которого задана кривая, является естественным, то такая параметризация называется естественной параметризацией кривой.

Естественная параметризация означает, что в качестве параметра на кривой выбрана длина дуги, отсчитываемая от некоторой начальной точки A в одну сторону - со знаком «+», а в другую - со знаком «-».

Если A=c(to), В=c(t), то в соответствии с теоремой 3

s(t) = ± |c¢(t)| dt (10)

Это формула для нахождения естественного параметра. В качестве to можно выбирать любое значение из интервала, на котором кривая определена и регулярна, и знак «+» или «-» можно выбирать по желанию, но для всей кривой сразу. В дальнейшем, мы считаем, что в данной формуле выбран знак «+».

По формуле дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом

= | c¢(t) |.

Обозначим естественную параметризацию кривой той же буквой c: c(s)=c (t(s)), тогда

= = : = ,

т.е. dc/ds - это единичный вектор, что и следовало ожидать, потому что при движении по кривой с естественным параметром мы за единицу изменения параметра проходим единицу пути. Дифференцирование по параметру s будем обозначать точкой:

= (s).

Мы установили, что | (s) | =1, значит единичный направляющий вектор касательной - это t=(s). Кроме того, равенство |(s)|=1 равносильно ||2= · = 1. Продифференцируем последнее равенство:

(·)¢s = 0 Û · + · = 0 Û · = 0.

Это означает, что в случае естественной параметризации

^. (**)

Благодаря этому очень многие формулы упрощаются.

Вектор параллелен соприкаюсающейся плоскости, а в силу (**) он перпендикулярен касательной, значит он направлен по главной нормали, т.е.

n|| Þ n=/||. Тогда b= t´n=´/||. Итак,

t = , n = , b = .

(именно, учитывая последнее равенство, мы делаем вывод, что n­­, для того, чтобы тройка (t, n, b) - получалась правой). Главная нормаль имеет уравнение:

= = ,

а спрямляющая плоскость:

(so) (x - xo) + (so) (y - yo) + (so) (z - zo) = 0.

Отметим также, что если А = c(s1), B = c(s2), то длина участка кривой от А до B вычисляется очень просто: L (А, B)= | s2 - s1|.

2.6 Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе

= k,

то эта величина называется кривизной кривой g в точке Р. Другими словами, кривизна кривой - это скорость поворота её касательной.

Теорема 4. Регулярная кривая g класса С2 в каждой своей точке имеет кривизну. Если = c(s) - уравнение кривой с естественным параметром, то k = |(s)|.

Доказательство. Пусть Р = c(s), Q = c(s + s), тогда векторы (s) и (s + s) будут единичными направляющими векторами касательных в этих точках. Отложим их из одной точки. Получим равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 1. Тогда находим основание:

|(s + s) - (s)| = 2sin .

Отсюда

= = = · .

Перейдем здесь к пределу при s ® 0.

|(s)| = ·= 1· k,

т.к. при s® 0 также a® 0. Что и требовалось доказать.

Примем без доказательства, что для кривой заданной уравнением с произвольным параметром

k = = . (11)

Если кривая расположена на плоскости, то мы имеем c3 º 0. Поэтому получаем формулу для плоских кривых:

k = . (11¢)

(в данном случае mod означает числовой модуль).

Если кривая на плоскости задана уравнением в явном виде y=f(x), то мы можем переписать его в параметрическом виде

x = t, y=f(t).

Применим формулу (11¢):

k = .

Раскроем определитель и заменим обратно t на x. Окончательно получаем:

k = . (12)

Теорема 5. 1) Если кривизна кривой равна нулю всюду, то эта кривая есть прямая линия.

) Если кривая плоская и ее кривизна постоянна k=ko= const>0, то это кривая - дуга окружности радиуса R =1/ ko.

Доказательство. Докажем только первый пункт. Пусть = c(s) - параметрическое уравнение кривой с естественным параметром. Имеем k = |(s)| º 0 Û (s) º . В развёрнутом виде получаем систему дифференциальных уравнений, и находим её решение:

Û Û

где b1, b2, b3 - постоянные величины. Получили параметрические уравнения прямой.

Определение. Пусть g некоторая кривая, Р - точка на ней, Q, R - близкие к ней точки; если при Q и R стремящихся к Р окружность w стремится занять определенное положение wo, то окружность wo называется соприкасающейся окружностью к кривой g в точке Р, а её центр O и радиус R называются центром и радиусом кривизны кривой g в точке Р.

Примем без доказательства, что g и wo имеют в точке Р одинаковую кривизну, а поскольку кривизна окружности радиуса R равна 1/R, то R = 1/k. Центр кривизны кривой в точке P лежит на главной нормали к кривой в точке P.

При этом очевидно, что угол между соприкасающимися плоскостями будет равен углу между бинормалями в точках Р и Q.

Теорема 6. регулярная кривая g класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) - естественная параметризация кривой g, то

|k| = . (13)

Доказательство. Поскольку кривая регулярная, мы можем задать её с помощью естественной параметризации c(s). Тогда ¹ . В тех точках, где k ¹ 0 выполнено ¹ , а при естественной параметризации ^ , значит в этих точках однозначно определена соприкасающаяся плоскость как параллельная этим векторам.

Пусть Р=c(s), Q=c (s+s) - две точки на кривой g, b(s) и b(s+∆s) - единичные векторы бинормали в этих точках, а q - угол между ними. Также как и в доказательстве теоремы 4,

| b(s+∆s) - b(s)| = 2sin , Þ = × ,

Перейдем в этом равенстве к пределу при s ® 0

|(s)| = · = 1·|k|,

т.к. при s®0 также и q ®0. Итак, |k|= | (s)|.

Т.к. | (s)| = 1, то (s)· (s) = 1. Продифференцировав это тождество, получим

·b = 0 Û ^ b.

Потом, b = t´n. Продифференцируем это равенство:

= ´n + t ´ .

Теорема 7. Если кручение кривой тождественно равно нулю всюду, то эта кривая - плоская линия (без доказательства).

При этом, плоскость в которой она лежит, очевидно, является её соприкасающейся плоскостью. Для того, чтобы составить её уравнение, достаточно составить уравнение соприкасающейся плоскости в любой фиксированной точке на кривой,

где эта кривая регулярна и k ¹ 0. При этом равенство кручения нулю предполагает его существование, а значит предполагает, что k ¹ 0. Если в точке A выполнено k = 0, то в этой точке кривая может переходить из одной плоскости в другую.

Из этих формул и теорем о существовании и единственности решений систем дифференциальный уравнений вытекает основная теорема теории кривых.

Теорема 8. Если на некотором интервале IÌR заданы непрерывная функция ks и гладкая функция k(s)>0, то существует кривая  класса С2, для которой s будет естественным параметром, k - кривизной, а k - кручением. Такая кривая определяется однозначно с точностью до положения в пространстве, т.е. любые две такие кривые совмещаются движением.

Таким образом, кривизна и кручение полностью определяют форму кривой, но только при условии, что k(s)¹0 на всей кривой. Для того, чтобы определить положение кривой в пространстве надо задать к системе (12) начальные данные, а именно, начальные векторы t(0), n(0), b(0) и начальную точку кривой O=c(0), т.е. надо задать ортонормированный репер. Если кривая задается с помощью другого ортонормированного репера {O¢, t¢, n¢, b¢}, то его можно совместить с первым репером с помощью движения, и тогда совместятся и задаваемые этими реперами кривые.

2.7 Вид кривой в подвижном репере

Пусть g - кривая класса с3, PÎg - точка в которой k¹0, k¹0, и {P, t, n, b}  - подвижной репер. Этот репер определяет декартову систему координат с началом Р. Обозначим координаты х, у, z.

Пусть = c(s) - уравнение кривой с естественным параметром и P=c(0). Разложим c(s) в ряд Тейлора в окрестности s=0:

c(s) = c(0) + s (0) + (s) + (s) + s3 (s),

где (s) - бесконечно малый вектор при s-® 0. Поскольку c(0) - начало координат, то c(0) = . Мы также знаем, что = , = k. Тогда с помощью формул Френе находим

= nk = nk(- kt  kb) = n - k2tkkb.

c(s) = s×t + n + (n - k2tkkb) + s3 (s).

Значит, если отбросить бесконечно малые величины порядка более 3, то

c(s) = t + n b,

Поэтому параметрические уравнения кривой в окрестности точки P в наших координатах будут иметь вид:

если для каждой координаты оставить только величину, имеющую наибольшее значение при малых s.

Соприкасающаяся плоскость параллельна  и , т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оxy. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 1 (парабола).

Спрямляющая плоскость параллельна  и , т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оxz. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P при k>0 изображен на рисунке 2 (кубическая парабола).

Нормальная плоскость парал-лельна n и b, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оyz. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 3 (полукубическая парабола).

2.8 Огибающая семейства плоских кривых. Эволюта и эвольвента кривой

Определение. Пусть на плоскости задано семейство кри-вых {gt}. Пусть кривая w в каждой своей точке касается одной из кривых семейства (т.е. имеет с ней общую касательную). Тогда w называется огибающей семейства кривых gt.

Пусть семейство кривых {gt} задано с помощью уравнения в неявном виде

где t - параметр семейства, а кривая

w - параметрическим уравнением = c(t) так, чтобы в точке c(t) она касалась кривой gt (т.е. в качестве параметра у кривой w выступает «номер» линии с которой она касается в данной точке). При таком определении параметра точка c(t) = (x(t), y(t)) принадлежит кривой gt, а значит, выполняется тождество

(x(t), y(t), t) º 0. (*)

Продифференцируем это тождество по t:

x¢(t) + y¢(t) + = 0. (**)

В уравнении (17) для каждой отдельной кривой gt параметр t выступает в качестве постоянной. Поэтому вектор grad F будет вектором нормали для кривой gt. Но кривая w имеет вместе с gt общую касательную, поэтому grad F будет вектором нормали и для кривой w. Следовательно,

x¢(t) + y¢(t) = 0.

Поэтому (**) принимает вид: ¶F/¶t = 0. Объединяя (*) и (**) получаем, что функции (x(t), y(t)) удовлетворяют системе уравнений

(x, y, t) = 0,t(x, y, t) = 0.

Множество точек, которые удовлетворяют этой системе называется дискриминантной линий. Оно не всегда является кривой.

Примеры 1. Для семейства прямых y - tx = 0 система (18) имеет вид = tx = 0.

Дискриминантная линия состоит только из одной точки (0, 0).

2. Для семейства окружностей, изображённого на рисунке (центры окружностей находятся на единичной окружности с центором O, а радиусы равны 1) система (12) имеет вид

(x - cos t)2 + (y - sin t)2 = 1,

(x - cos t)·sin t - (y - sin t)·cos t = 0.

Она имеет два решения (проверьте подстановкой)

= 2cos t, x = 0 = 2sin t; y = 0.

Только первое решение задаёт кривую.

Примем без доказательства, что если в каждой точке дискриминантной линии ¶j/¶x и ¶j/¶y одновременно в ноль не обращаются, то дискриминантная линия является огибающей кривой.

Определение. Проведём в каждой точке плоской кривой g нормаль к этой кривой. Получим семейство прямых nt. Огибающая семейства этих прямых называется эволютой кривой g.

Оказывается, геометрическое место всех центров кривизны кривой g совпадает с её эволютой (без доказательства). Именно это свойство позволяет легко составить уравнение эволюты. Для того, чтобы получить точку

на эволюте, следует от точки на кривой отложить отрезок равный R (радиусу кривизны) в направлении вектора нормали n. Отсюда получаем уравнение эволюты в векторном виде:

= c(t) + Rn Û = c(t) + n,

где = c(t) - уравнение кривой g. Для плоской кривой вектор (-y¢, x¢) перпендикулярен направляющему вектору касательной c¢= (x¢, y¢), а значит, он направлен по нормали. Тогда

n = (, ).

Согласно формуле (11¢)

R = .

Тогда уравнения эволюты кривой g:

x = x(t) - , y = y (t) + . (19)

Определение. Пусть кривая g задана уравнением с естественным параметром = c(s). Из каждой точки c(s) кривой отложим вектор - s. Геометрическое место концов этих векторов называется эвольвентой кривой g.

Представим, что на часть кривой, соответствующей значениям s>0, намотана нить, конец которой находится в точке c(0). Будем разматывать эту нить, сохраняя её в постоянном натяжении. Тогда размотанная часть нити будет находиться на касательной к кривой, и длина этой части будет равна s. Таким образом, конец нити будет находиться

на касательной на расстоянии s от точки касания в направлении противоположном к направлению возрастания параметра. Значит, конец нити будет находиться на эвольвенте к данной кривой. Поэтому эвольвенту ещё называют развёрткой кривой.

На данном рисунке изображена развёртка окружности. Она широко применяется в технике: форму развёртки окружности имеют зубья цилиндрических шестерён.

Если кривая задана уравнением с естественным параметром = c(s), то уравнение её развёртки кривой в векторном виде:

= c(s) -st Û = c(s) - s(s).

Если кривая задана уравнением с произвольным параметром, то уравнение развёртки этой кривой:

= c(t) -s .

Если g¢ - эвольвента кривой g, то g является эволютой для g¢. Точно также, кривая g является эвольвентой для своей эволюты.

Пример. Для окружности, заданной уравнениями

x=acos t, y=asin t,

c¢(t) = (- asin t, acos t), | c¢(t)| = a, а естественный параметр s = at (убедитесь самостоятельно). Отсюда получаем уравнения развёртки:

x=a(cos t + tsin t),

y=a(sin t - tcos t).

2.9 Примеры решения задач

Задача 1. Точка вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью w, находясь от неё на постоянном расстоянии a > 0 и одновременно поднимается вверх вдоль Oz с постоянной скоростью b > 0. Составьте уравнение траектории данной точки, если в момент времени t = 0 она находилась на оси Ox (винтовая линия). Проверить регулярность получившегося пути.

Решение. Из условия задачи вытекает, что проекция данной точки на плоскость Oxy описывает окружность радиуса a в этой плоскости. При этом угол, который определяет положение проекции точки на

окружности (отсчитываемый от оси Ox) изменяется по закону j = wt. Поэтому координаты x и y изменяются по закону

x = a cos wt, y = a sin wt.

Координата z задаёт «высоту» точки над «горизонтальной» плоскостью Oxy. Она изменяется с постоянной скоростью b: z = bt. Отсюда окончательно получаем уравнение траектории:

x = a cos wt, = a sin wt, (20) = bt.

Находим координаты вектора с¢, а затем квадрат его длины:

с¢(- aw sin wt, aw cos wt, b),

|с¢|2 = (aw)2sin2wt + (aw)2cos2wt + b2 = (aw)2 + b2 > 0.

Следовательно, путь является регулярным при любом значении параметра.

Задача 2. Окружность радиуса a на плоскости катится без скольжения по оси Ox. На окружности отмечена точка M.

1. Составить уравнение траектории данной точки (циклоида).

2. Проверить регулярность получившегося пути.

3. Найти длину одной арки циклоиды.

4. Найти естественный параметр и записать уравнение циклоиды в естественной параметризации на каком-либо одном её участке.

5. Вычислить кривизну циклоиды и определить в каких точках кривизна достигает экстремальных значений.

Решение. 1. Предположим, что окружность повернулась на угол j и касается оси Ox в точке K. Пусть O¢ - её центр. Введём вспомогательную декартову СК O¢x¢y¢, которая получается из Oxy переносом начала координат в точку O¢. Окружность катится по оси Ox без скольжения. Поэтому длина отрезка OK равна длине дуги KM, т.е.

равна aj, если угол исчисляется в радианах. Отсюда O¢(aj, a) и формулы замены координат:

x = x¢+ aj,

y = y¢+ a.

В новой СК по чертежу легко найти координаты точки M:

x¢= - a·cos(j - ) = - a·sin j, y¢= a·sin(j - ) = - a·cos j.

Отсюда получаем уравнение циклоиды:

x = a(j - sin j),

y = a(1 - cos j).

Заметим, что вид уравнения (знаки и расположение синуса и косинуса) зависит от того, какой именно угол выбран в качестве параметра.

2. Находим координаты вектора с¢, а затем квадрат его длины:

с¢(a(1 - cos j), a sin j),

|с¢|2 = a2(1 - 2cos j + cos2j + sin2j) = 2a2(1 - cos j).

Решаем уравнение

|с¢|2 = 0 Û cos j = 1 Û j = 2pk.

Следовательно, путь является регулярным при любых значениях параметра, кроме j=2pk. Очевидно, этим значениям соответствуют точки на оси Ox; отмеченная точка принимает их положение когда окружность завершает полный оборот.

3. Длина кривой вычисляется по формуле (9) § 5. Одна арка циклоиды соответствует изменению параметра 0£j£2p. Поэтому её длина

L =|c¢(t)| dt = dt = a dt = 2a|sin |dt =

= 2asin dt = 2a(- 2cos )|= 4a(- cos p + cos 0) = 8a.

При вычислениях мы учитывали, что на промежутке [0, 2p] выполнено sin ³ 0.

4. Естественный параметр находится по формуле (10) § 5, где знак «+» или «-», а так же to (в нашем случае jo) мы можем выбрать по желанию. Выберем jo= 0 и знак «+». Тогда

= 2a sin dt = - 4a cos |= 4a , если jÎ[0, 2p];= 4a(- cos | + cos |) = 4a , если jÎ[2p, 4p].

Также и на всех последующих промежутках [2pn, 2p(n +1)] получается своя отдельная формула. Поэтому запишем уравнение с естественным параметром только для участка кривой, соответствующего jÎ[0, 2p]. Имеем s = 4a . Выражаем из этого уравнения j и подставляем в уравнение циклоиды.

cos = 1- Þ j = 2arccos , sÎ[0, 8a]; = = , j = 2sin ·cos = ,

- cos j = 2sin2 = (8as - s2) = . = 2a arccos - , = s - .

. Кривизна плоской кривой вычисляется по формуле (11¢) § 6. Находим координаты вектора с², а затем вычисляем отдельно числитель и знаменатель из формулы (11¢):

с²(a sin j, a cos j),

= a2(sin2j - cos j(1 - cos j)) =

= a2(1 - cos j) = 2a2sin2 .

|с¢|3 = (2a2(1 - cos j))3/2 = (4a2sin2 )3/2 = 8a3|sin3 |

Подставляем найденное в формулу (11¢) и получаем

k =

Можно сделать вывод, что кривизна стремится к +¥ при приближении точки к оси Ox (j -® 2pn, nÎZ) и достигает минимального значения при sin = ±1, т.е. в самых верхних точках арок циклоиды (j = pm, mÎZ).

Задача 3. Для винтовой линии

x = a cos t,

y = a sin t,

z = bt:

. Найти длину одного витка (tÎ[0, 2p]), найти естественный параметр и записать уравнение в естественной параметризации.

2. Вычислить кривизну и кручение.

3. Записать натуральные уравнения.

Решение. 1. с¢(- a sin t, a cos t, b),

|c¢(t)| = = (*) = |c¢(t)| dt = dt = 2p. = |c¢(t)| dt = dt = t Þ t = .

Подставляем это значение в уравнение кривой и получаем уравнение в естественной параметризации:

x = a cos ,

y = a sin , = .

. Кривизна и кручение вычисляются по формулам (11) и (15) из § 6 соответственно. Нам понадобятся вторые и третьи производные:

с²(- a cos t, - a sin t, 0), с²¢(a sin t, - a cos t, 0).

Находим вектор с¢´ с², а затем его квадрат:

с¢´ с² = - a sin t a cos t b = (ab sin t) i - (ab cos t) j + a2k.

a cos t - a sin t 0

| с¢´ с²|2 = (ab sin t)2 + (ab cos t) 2 + a4 = a2(a2 + b2).

При подстановке в формулу для кривизны не забываем извлечь корень:

k = = = .

Обращаем внимание, что |c¢| уже вычислен выше (см. (*)).

В числителе формулы (15) стоит смешанное произведение. Его можно вычислить непосредственно:

a sin t a cos t b

с¢с²с¢¢¢ = - a cos t - a sin t 0 = ba2,

а можно воспользоваться определением: с¢с²с¢¢¢ = (с¢´ с²)· с¢¢¢. В различных задачах наиболее удобным может оказаться тот или иной способ. Знаменатель для кручения уже найден. Итак,

k= = = .

. Для того, чтобы записать натуральные уравнения k = k(s), kk(s) кривой, необходимо в формулах для кривизны и кручения сделать замену параметра t на параметр s. В нашем случае кривизна и кручение постоянны, поэтому и заменять нечего. Натуральные уравнения нашей винтовой линии имеют вид:

k = , k= .

Задача 4. Кривая на плоскости задана уравнением в неявном виде:

ln(x2 + y2) - x2y = 0.

Составить уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке A (1, 0).

Решение. Сначала подставим координаты точки A в уравнение и убедимся, что она действительно принадлежит кривой. Обозначим левую часть уравнения j(x, y). Находим вектор градиента для функции j(x, y) и значение градиента в точке A:

grad j = = ;

gradAj = (2, - 0,5).

Тогда уравнение касательной и нормали в точке A (см. формулы (3), (6) из § 3):

(x - 1) - 0,5 (y - 0) = 0 Û 4x - y - 4 = 0 (касательная);

= Û x - 4y - 1 = 0 (нормаль).

Задача 5. В какой точке касательная к кривой

x = et,

g: y = - e-t,

z = t

параллельна плоскости p: x + y - 2z - 5 = 0? В этой точке составить уравнение касательной прямой, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости, бинормали. Найти векторы, составляющие репер Френе в найденной выше точке.

Решение. Направляющим вектором касательной служит вектор c¢(t) = (et, e-t, 1). Вектор (1, 1,-2) - это вектор нормали к плоскости. Касательная будет параллельна плоскости p (или будет лежать в ней), если c¢(t)^ Û c¢(t)· = 0. Последнее уравнение в координатах имеет вид et + e-t - 2 = 0.

Решая это уравнение находим, что t = 0. Подставим найденное значение параметра в уравнение кривой и находим точку A (1, -1, 0). Именно в этой точке требуется составить все указанные в условии задачи уравнения. Поэтому находим c¢(0) = (1, 1, 1). Касательная прямая и нормальная плоскость (см. (1) и (5) из § 3):

= = Û x - 1 = y + 1 = z.

(x - 1) + 1 (y + 1) + 1 (z - 0) = 0 Û x + y + z = 0.

Поскольку точка A не лежит в плоскости p, то и найденная касательная к кривой g в этой плоскости не лежит.

Находим вектор второй производной в точке A:

c²(t) = (et, - e-t, 0), c²(0) = (1, - 1, 0)

и составляем уравнение соприкасающейся плоскости (см. (7) § 4):

x - 1 y + 1 z

1 1 = 0 Û x + y - 2z = 0.

- 1 0

Попутно мы нашли координаты вектора c¢(0)´c²(0) = (1, 1, - 2), который является направляющим для бинормали. Отсюда уравнение бинормали:

= = .

Далее находим (c¢(0)´c²(0))´c¢(0) = (3, - 3, 0) (тот факт, что он оказался коллинеарным c²(0) - это случайное совпадение, связанное с тем, что у нас получилось c²(0)^c¢(0)). Находим длины

| с¢(0)| = , | c¢(0)´c²(0)| = | с¢(0)| | c¢(0)´c²(0)|= 3 Þ

t , n , b = .

Задача 6. Найти линию, по которой касательные к кривой

x = cos t,

g: y = sin t, = et,

пересекают плоскость Oxy.

Решение. Нам необходимо составить уравнение касательной к кривой в произвольной точке, т.е. при произвольном значении параметра t = to. Находим направляющий вектор касательной при t = to:

c¢(to) = (- sin to, cos to, eto).

Координаты точки, которая используется в

уравнении касательной, получатся если в уравнение кривой g подставить t = to. Отсюда получаем уравнение касательной:

= = . (*)

Плоскость Oxy задаётся уравнением z = 0. Подставляем это равенство в (*) и получаем:

= = -1.

Выражаем отсюда x и y, и заменяем to на t (т. к. значение to является произвольным). Окончательно получаем уравнение искомой кривой:

x = cos t + sin t,

y = sin t - cos t.

На самом деле, эта кривая является окружностью. Используя тригонометрические формулы, мы можем преобразовать уравнение:

x = cos (t - ), y = sin( - t).

Сделаем здесь замену параметра: u = p/4 - t. Она является допустимой, т.к. du/dt = -1 ¹ 0. Получим уравнение окружности радиуса с центром в начале координат:

x = cos u,

y = sin u.

Можно иначе проверить, что наша кривая - это окружность:

x2 + y2 = (cos t + sin t)2 +(sin t - cos t)2 = 2cos2t + 2sin2t = 2.

Задача 7. Докажите, что следующая кривая является плоской и составьте уравнение плоскости в которой она лежит.

x = (t-1)3, y = (t+1)3, z = t2.

Решение. Согласно теореме 7 из § 6 нам требуется доказать, что кручение данной кривой тождественно равно нулю. При этом, достаточно доказать, что числитель в формуле для кручения равен нулю: с¢с²с¢¢¢=0. Находим:

(t-1)2 (t+1)2 2t (t-1)2 (t+1)2 2t

с¢с²с¢¢¢= 2 (t-1) 2 (t+1) 2 = 4 (t-1) (t+1) 1 =

2 2 0 1 1 0

= 4 ((t+1)2 - 2t (t+1) + 2t (t-1) - (t-1)2) º 0.

Плоскость в которой лежит кривая - это её соприкасающаяся плоскость. Мы уже доказали, что кривая плоская. Поэтому мы можем составить уравнение соприкасающейся плоскости в любой её фиксированной точке, например, при to=0. Находим точку на кривой, соответствующую данному значению параметра и векторы производных в этой точке:

Mo(- , , 0), с¢(0)=(1, 1, 0), с²(0)=(-2, 2, 2).

Составляем уравнение соприкасающейся плоскости, заменяя при этом вектор с²(0) на коллинеарный ему вектор (-1, 1, 1):

= 0 Û x - y + 2z + = 0.

Задача вроде бы решена. Но мы не учли один «тонкий» момент: во всех ли точках существует у данной кривой кручение? При t=1 мы получаем с¢(1)=(0, 4, 2), с²(1)=(0, 4, 2). Значит, в этой точке с¢´ с²= и кривизна кривой тоже равна нулю. В такой точке кривая может переходить из одной плоскости в другую. Поэтому следует сделать проверку: подставить x, y, z из уравнения кривой в уравнение плоскости. Должно получиться тождество.

Задача 8. Вычислить угол между кривыми

а) g1: y = sin x и g2: y = cos x;

б) g3: и g4:

в точке из пересечения.

Решение. а) Находим ординату точки пересечения кривых:

sin x = cos x Û x = + pn, nÎZ.

Возьмём в начале одно значение x = и найдём производные y1¢ (для g1) и y2¢ (для g2) при данном значении x:

y1¢() = cos = , y2¢() = - sin = - .

Эти значения задают угловые коэффициенты k1 и k2 касательных к кривым в точке их пересечения. Угол между касательными в точке пересечения кривых и есть угол между кривыми (по определению). Угол между прямыми находится о формуле

tg q = = = = 2.

Нетрудно проверить, что и в других точках пересечения тоже получается tg q = 2.

Ответ: q = arctg 2.

б) Находим значения параметров в точке пересечения:

Û

Умножаем последнее уравнение на e5t и получаем e6,5t = 1 Þ t = 0, t =1.

Обозначим c(t) = (t2, t3), d(t) = (et, e-5t). Тогда касательные векторы к данным кривым - это c¢(t) = (2t, 3t2), d¢(t) = (et, -5e-5t). Касательные векторы в точке пересечения - c¢(1) = (2, 3), d¢(0) = (1, -5). Эти векторы являются направляющими векторами для касательных прямых в точке пересечения кривых g3 и g4. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами:

множество гомеоморфизм скалярный дифференциальный

cos a = = = = .

Ответ: a = 45º.

Литература

1. Klingenberg W. A course of differential geometry / W. Klingenberg.-N.Y. - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 1976.

2. Погорелов А.В. Геометрия / А.В. Погорелов. - М.: Наука, 1984.

3. Александров А.Д. Геометрия / А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев.- М.:Наука, 1990.

. Феденко А.С. Дифференциальная геометрия / И.В. Белько, В.И. Ведерников, А.С. Феденко. - Мн.: Изд-во БГУ, 1982.

. Дубровин Б.А. Современная геометрия: Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - М.: Наука, 1979.

. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию / П.С. Александров. - М.: Наука, 1977.

. Воднев В.Т. Сборник задач и упражнений по дифференциальной геометрии / В.Т. Воднев и др. - Мн.: Вышэйшая школа, 1970.

. Атанасян Л.С. Сборник задач по геометрии / Л.С. Атанасян и др. - М.: Просвещение, 1975.

. Мищенко А.С. Курс дифференциальной геометрии и топологии / А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. - М.: Изд-во МГУ, 1980.

. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия / М.М. Постников. - М. Наука, 1987.