Матричный метод решения линейных уравнений. Аналитическая геометрия
Содержание
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
Задание 8
Задание 9
Задание 1
Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить
ее:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
.
Решение
1) Вычислим:
- система совместна;
Найдем x, y, z по формулам
Крамера:
.
Иак, получаем ответ (3;-2;1).
2) Составляем матричное уравнение 
,
где 
, 
, 
.
Найдем все алгебраические дополнения матрицы A:
Составляем матрицу 
и транспонируем ее:
.
Запишем обратную матрицу:
.
Следовательно,
.
Итак, получаем ответ (3;-2;1)
3) Решим систему методом Гаусса:
.
Тогда
Ответ: (3;-2;1).
Задание 2
По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти:
а) модуль вектора 
; б) скалярное произведение векторов и 
; в) проекцию вектора 
на вектор ; г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении 
: 
, 
и 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Решение
Найдем векторы
,
,
1) 
.
2) 
.
3) Проекция вектора на вектор равна:
.
Тогда 
.
4) Координаты точки М, делящей отрезок l в отношении 
, находятся по формулам:
,
,
.
Значит, M(
;
;).
Задание 3
Даны векторы 
. Показать, что векторы 
образуют базис четырехмерного
пространства, найти координаты вектора в этом базисе: 
(2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0), (33;-4;23;3).
Решение
Векторы (2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0) образуют базис, так как:
.
Обозначим координаты вектора в новом базисе 
. Тогда в новом базисе будем иметь:
.
,
получим систему уравнений:
Вычислим:
- система совместна;
Найдем x, y, z, q по формулам Крамера:
;
.
Итак, получаем ответ 
.
Задание 4
Даны вершины 
, 
и треугольника.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А в радианах с точностью
до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение
медианы проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств,
определяющих внутреннюю область треугольника АВС. Сделать чертеж.
Решение
Рисунок 1
1) 
;
2) 
; 
.
По теореме косинусов:
.
Тогда угол A равен 29,5
.
3) Уравнение стороны АВ запишем, используя уравнение прямой, проходящей
через точки А(
), В():
.
Тогда 
.
Уравнение прямой АВ примет вид: 
.
Так как СН перпендикулярна АВ, то 
.
Тогда 
.
4) Так как CM - медиана, то
точка M - середина AB. Значит,
, или 
.
Уравнение прямой CM
примет вид: 
.
5) Уравнение стороны АС запишем, используя уравнение прямой, проходящей
через точки А(), С():
.
Тогда .
Уравнение прямой АС примет вид:
.
Так как BK перпендикулярна АC, то
.
Тогда 
.
уравнение матрица предел производный
Прямые BK и CH пересекаются в точке O, найдем ее координаты. Для этого решим систему:
.
Тогда O(0;5) - точка пересечения высот
исходного треугольника.
6) Прямые AB и CH пересекаются в точке H, найдем ее координаты. Для этого
решим систему:
.
Тогда H(
).
Значит, 
.
7) Уравнение стороны BС
запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки B(), С():
.
Тогда .
Уравнение прямой BС
примет вид:
.
Cистемa линейных неравенств, определяющих
внутреннюю область треугольника АВС, примет вид:
.
Задание 5
а) Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка 
перпендикулярно к этому отрезку,
если 
, 
.
б) Найти координаты точки пересечения прямой
с плоскостью 
.
Решение
а) 
;
;
уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно вектору (отрезку ).
б) 
;
t=-2
Отсюда координаты точки пересечения прямой и плоскости (-3;-4;0).
Задание 6
Найти пределы:
а) 
;
;
в) 
;
г) 
.
Задание 7
а) Найти производные указанных функций:
;
б) Найти производную неявно заданной функции:
;
;
;
;
в) Найти производные функций, используя логарифмическую производную:
;
.
Задание 8
Исследовать функцию и построить ее график: 
.
Решение
1. Область определения функции 
.
2. Функция ни четная, ни нечетная; непериодическая.
. График функции пересекает ось Oy в точке 
, точки пересечения с Oх - ; .
. Производная функции равна 
. Точки, подозрительные на экстремум:
; x=0, х=2.
При 
, тогда функция
возрастает;
при 
- функция убывает;
при , тогда функция возрастает.
Следовательно, в точке функция достигает своего максимума ; в точке функция достигает своего минимума .
5. . Вторая производная существует всюду
и всюду конечна: она обращается в нуль при .
При 
- функция выпуклая, при 
- функция вогнутая. При переходе
через точку вторая производная меняет знак, значит, в соответствующей
точке имеется перегиб.
6. Функция не имеет асимптот.
7. Инструментами программы MathCad построим график заданной функции:
Задание 9
Мотком проволоки длиною 20 м требуется огородить клумбу, имеющую форму
кругового сектора. При каком радиусе круга площадь клумбы будет наибольшей?
Решение
Площадь клумбы (кругового сектора) равна
,
где 
.
Длина дуги, ограничивающей сектор, равна 
.
Тогда 
.
Отсюда 
.
Получаем функцию
.
Вычислим производную первого порядка:
.
Найдем R из уравнения
: .
При 
,
тогда функция возрастает;
при - функция 
убывает. Следовательно, в точке функция достигает своего максимума 
.
Таким образом, радиус круга должен быть равен 5 м, чтобы площадь клумбы
была наибольшей.
Ответ: 5 м.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Выгодский,
М.Я. Справочник по высшей математике. - М., 1977, 872 с. с илл.
2. Гантмахер,
Ф.Р. Теория матриц. - М.: Издательство «Наука» (Главная редакция
физико-математической литературы), 1966. - 576 с. с илл.
3. Гусак,
А.А. Справочное пособие по решению задач: аналитическая геометрия и линейная
алгебра. - Мн.: ТетраСистемс, 1998.
. Гусак,
А.А. Справочное пособие по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А.
Бричикова - 4-е изд. Стереотип. - Мн.: ТетраСистемс, 2002.
5. Кузнецов,
А.В., Кузнецова, Д.С., Шилкина. Е.И. и др. Сборник задач и упражнений по высшей
математике. Общий курс. Учебное пособие. Мн., Выш. шк., 1994 г. 284 с.
. Руководство
к решению задач по высшей математике: Учеб. пособие . В 2ч. Ч.1,2 / Г.И.
Гурский, В.П. Домашов, В.К. Кравцов, А.П. Сильванович; Под общ.ред. Г.И.
Гурского - Мн.: Высш.шк., 1990.