Исследование одномерных автоматических систем

Исследование одномерных автоматических систем

1. Выбор варианта

Передаточные функции своего варианта W₁…W₅, выбирают с помощью формулы:

j = N_вар - 72*n;

j=16 - 72*0 = 16;

Следовательно:

W₁ (p) = ИЗ W₂ (p) = ПЗ W₃ (p) = АЗ W₄ (p) = ЕЗ W₅ (p) = АЗ

Расшифруем аббревиатуры:

_;

_;

_;

_;

_;

Выберем канал возмущений, с помощью формулы:

i=N_вар - 4*n;

i=16 - 4*4=0;

Выберем n на 1 меньше, тогда

i=16 - 4*3=4;

Соответственно мы получили четвертый канал возмущения .

Выберем  и  для определения звеньев параллельной и обратных связей:

k_пс = N_вар - 15*n;

k_пс = 16 - 15*1 = 1;

k_ос = k_пс - 15*n + ∑_вар;

k_ос = = 7;

Следовательно:

Передаточные функции W₆…W₉, выбирают с помощью формулы:

j = N_вар - 14*n;

j=16 - 14*1 = 2;

Отсюда:

W₆ (p) = ПЗ W₇ (p) = ИЗ W₈ (p) = АЗ W₉ (p) = АЗ

_;

_;

_;

_;

Определим значения коэффициентов k_i по формуле:

j = N_вар - 13*n;

j = 16          - 13*1 = 3;

Соответственно:

k₀ = 0,27; k₁ = 1,9; k₂ = 0,54; k₃ = 6,1; k₄ = 1,2; k₅ = 0,35; k₆ = 2,5; k₇ = 0,23;₈ = 7,8; k₉ = 0,73;

Постоянные времени вычисляются по формулам:

j = N_вар - 17*n, ;

j = 16 - 17*0 = 16;

Следовательно:

T₁ = 0.0567; T₂ = 2.241; T₃ = 0.0432; T₄ = 0.405; T₅ = 0.0648; T₆= 0.999; T₇= 0.864;

T₈= 0.378; T₉= 0.1755

Коэффициент колебательности выбирается по формуле:

j = N_вар - 11*n;

j = 16 - 11*1 = 5;

Откуда:

;

2. Математическое описание и исследование УОУ

Данный раздел включает в себя вопросы, касающиеся тем структурного представления динамических звеньев и систем автоматики, эквивалентных преобразований и математического описания структурных схем, формы представления вход-выходных математических моделей динамических, звеньев и систем, методов их построения, преобразования и использования, а также вопросы, касающиеся способов построения и анализа графических отображений динамических и частотных свойств звеньев и систем автоматики.

2.1 Структурное преобразование схемы объекта управления и получение ПФ по каналам внешних воздействий

На данном этапе исследования УОУ будет произведено структурное преобразование схемы объекта управления и дальнейшее получение ПФ по каналам внешних воздействий.

Исходные данные УОУ (Рисунок 1).

Рисунок 1 - Исходная структурная схема ОУ

Преобразование структурной схемы ОУ по прямому каналу.

Исключим из исходной структурной схемы ОУ возмущающее воздействие и применим правила эквивалентных преобразований к полученной структурной схеме ОУ по прямому каналу (Рисунок 2).

Рисунок 2 - Структурная схема ОУ по прямому каналу.

Рисунок 3 - Преобразование структурной схемы ОУ по прямому каналу. Шаг 1

Рисунок 4 - Преобразование структурной схемы ОУ по прямому каналу. Шаг 2

В результате преобразований получим эквивалентную передаточную функцию по прямому каналу в произвольной форме:

Полученная передаточная функция имеет 8-й порядок и обладает астатизмом 2-го порядка.

Преобразуем передаточную функцию в каноническую форму записи:

Запишем передаточную функцию в последовательно-структурированной форме записи в виде произведения элементарных полиномов:

Оценка свойств объекта:

Объект является неустойчивым, так как характеристический полином системы имеет нулевые корни;

Коэффициент усиления равен 0.4238;

Порядок астатизма равен 2.

Преобразование структурной схемы ОУ по каналу возмущения.

На данном этапе исключим из структурной схемы исходного ОУ прямой канал и произведем преобразование структурной схемы ОУ по каналу возмущения. Так как входное воздействие по прямому каналу равно нулю, то звенья , ,  и  можем исключить. В результате получим следующую структурную схему ОУ (Рисунок 6):

Рисунок 6 - Структурная схема ОУ по каналу возмущения.

Рисунок 7 - Преобразование структурной схемы ОУ по каналу возмущения. Шаг 1

Рисунок 8 - Преобразование структурной схемы ОУ по каналу возмущения. Шаг 2

Рисунок 9 - Преобразование структурной схемы ОУ по каналу возмущения. Шаг 3

В результате преобразований получим эквивалентную передаточную функцию по каналу возмущения в произвольной форме:

Полученная передаточная функция имеет 6-й порядок.

Преобразуем передаточную функцию в каноническую форму записи:

Запишем передаточную функцию в последовательно-структурированной форме записи в виде произведения элементарных полиномов:

Оценка свойств объекта:

Объект является устойчивым, так как все корни характеристического полинома системы имеют отрицательную вещественную часть;

Коэффициент усиления равен 0.315;

Порядок астатизма равен 0;

2.2 Получение и исследование динамических и частотных характеристик УОУ

На данном этапе исследования ОУ будут получены и исследованы основные динамические и частотные характеристики, такие как АФЧХ, МЧХ, ВЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ, а также будут построены корневые плоскости ОУ по возмущающим воздействиям.

Получение и исследование динамических и частотных характеристик УОУ для прямого канала:

Найдем корни числителя и знаменателя передаточной функции:

Корни числителя:

; ; ;

Корни знаменателя:

; ; ;

;  ;

Рисунок 10 - Корневая плоскость ПФ ОУ по прямому каналу

В соответствии с рисунком 10 ОУ является неустойчивым в разомкнутом состоянии, так как его характеристический полином имеет нулевые корни.

Рисунок 11 - АФЧХ ОУ для прямого канала

Рисунок 12 - АФЧХ ОУ для прямого канала в масштабе

В соответствии с рисунком 11 и рисунком 12, используя критерий Найквиста для неустойчивой разомкнутой системы, можно сказать, что система в замкнутом состоянии не будет устойчива, т.к. АФЧХ системы не охватывает точку  как видно на графике.

Рисунок 13 - ВЧХ ОУ для прямого канала

1.     
Переходная характеристика имеет перерегулирование , так как ВЧХ не положительна на всем участке изменения частоты (рисунок 13).

.        Переходной процесс ОУ не имеет монотонный характер, так как соответствующая ему ВЧХ не является положительной функцией частоты (рисунок 13).

Рисунок 14 - МЧХ ОУ для прямого канала

Рисунок 15 - ЛАЧХ и ЛФЧХ ОУ для прямого канала

В соответствии с рисунком 15 запасы по амплитуде равны 6.76 дБ, а запасы по фазе составляют 23.2 градуса.

Получение и исследование динамических и частотных характеристик УОУ для канала возмущения:

Найдем корни числителя и знаменателя передаточной функции:

Корни числителя:

; ;

Корни знаменателя:

; ; ;

;

; ;

Рисунок 16 - Корневая плоскость ПФ ОУ по каналу возмущения

В соответствии с рисунком 16 ОУ является устойчивым в разомкнутом состоянии, так как все его корни характеристического полинома имеют отрицательную вещественную часть.

Рисунок 17 - АФЧХ ОУ для канала возмущения

В соответствии с рисунком 17 используя критерий Найквиста, для неустойчивой разомкнутой системы, можно сказать, что система в замкнутом состоянии не будет устойчива, т.к. АФЧХ системы не охватывает точку  как видно на графике.

Рисунок 18 - ВЧХ ОУ для канала возмущения

1.      Острый пик при частоте равной  Гц, за которым  переходит через нуль при частоте близкой к , на графике ВЧХ ОУ для канала возмущения (рисунок 18) соответствует медленно затухающим колебаниям переходного процесса.

.        Переходная характеристика имеет перерегулирование , так как ВЧХ не положительна на всем участке изменения частоты (рисунок 18).

.        Переходной процесс ОУ не имеет монотонный характер, так как соответствующая ему ВЧХ не является положительной функцией частоты (рисунок 18).

Рисунок 19 - МЧХ ОУ для канала возмущения

В соответствии с рисунком 20 запасы по амплитуде и по фазе бесконечны.

Рисунок 20 - ЛАЧХ и ЛФЧХ ОУ для канала возмущения

2.3 Получение вход-выходных математических моделей УОУ в дифференциальной форме

3. Исследование возможностей и простейших вариантов управления объектом

На данном этапе работы выполняется оценка возможностей и простейших вариантов управления объектом с помощью типовых законов управления. В ходе работы исследуются графики ЛАЧХ и ЛФЧХ, а также оценивается переходной процесс ОУ по прямому каналу.

Исходные характеристики ОУ.

Рисунок 21 - График переходного процесса ОУ по прямому каналу

В соответствии с рисунком 21 объект управления является неустойчивым.

Исходя из полученных логарифмических частотных характеристик системы (Рисунок 22) и логарифмического критерия Найквиста можно сделать вывод о том, что для данного ОУ наиболее подходящим является пропорциональный регулятор с коэффициентом усиления равный:

Рисунок 22 - Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ УОУ по прямому каналу

При этом достигаются наибольшие запасы устойчивости ОУ. Запасы устойчивости по амплитуде составляют 20.7 дб, а по фазе 69.4 град.

Рисунок 23 - Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ УОУ по прямому каналу с использованием П - регулятора (красный график)

Использование других законов регулирования не целесообразно по следующим причинам:

·        И - закон регулирования не подходит, так как произойдет понижение фазовой характеристики на угол 90 град., что приведет к понижению запасов устойчивости;

·        Д - закон регулирования в чистом виде не является физически реализуемым, за исключением случая использования физически реализуемого дифференциального звена, что приводит к большим аппаратным затратам;

·        ПД, ПИ и ПИД - законы регулирования являются сложными законами управления, состоящие из более простых регуляторов и, следовательно, они более сложны в настройке и требуют больших аппаратных затрат.

Рисунок 24 - График переходного процесса замкнутой системы по прямому каналу с использованием П - регулятора

В соответствии с рисунком 24 характеристики переходного процесса имеют следующие значения:

·        Время регулирования - сек.;

·        Максимальное отклонение от установившегося значения - ;

·        Установившееся значение переходного процесса - ;

·        Перерегулирование при максимальном отклонении 1.14 и установившемся значением 1 составит

4. D-разбиение

На этом этапе работы необходимо провести однопараметрическое

D-разбиение с целью нахождения областей устойчивости.

Исходная передаточная функция объекта управления по прямому каналу:

Введем варьируемый коэффициент  и замкнем ОУ отрицательной обратной связью:

В результате преобразований получим характеристический полином системы в следующем виде, приравняем его к нулю:

откуда:

Применим к полученному выражению преобразование Фурье и выделим мнимую и вещественную части варьируемого параметра :

Используя математический пакет Matlab для построения графика D - разбиения (рисунок 23, рисунок 24).

Рисунок 23 - График D - разбиения

В соответствии с рисунком 24 и рисунком 25 можно выделить следующие области, претендующие на устойчивость - область I, область II, область III.

Рисунок 24 - График D - разбиения в масштабе

При  область I не устойчива, так как присутствует один корень характеристического полинома ОУ с положительной вещественной частью:

При  область II устойчива, так как все корни характеристического полинома ОУ имеют отрицательную вещественную часть:

При  область III не устойчива, так как присутствует один корень характеристического полинома ОУ с положительной вещественной частью:

Таким образом, с помощью метода однопараметрического D - разбиения было доказано, что исходный ОУ является устойчивым.

Список источников

дифференциальный модель автоматический одномерный

1.   Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

2.      Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Основы теории автоматического управления: Учебное пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. тех. ун-та, 2003.

.        Кирюшин О.В. Управление техническими системами: курс лекций. - Уфа: Изд-во УГНТУ, 2003.

.        Конспект лекций за I семестр 2010-2011 учебного года, профессор Заковоротный В.Л.

.        Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Теория управления», Обухов П.С., Кудряшёв С.Б. 2004.