Двойное векторное произведение
Оглавление
Введение
Глава
1.
Векторы и основные линейные операции над ними
.1
Векторные величины
.2
Единичный вектор
Глава
2. Векторное произведение и его свойства
.1
Определение векторного произведения
Глава
3. Двойное векторное произведение
Заключения
Список
используемой литературы
Введение
При изучении двойного векторного произведения
необходимо знание вектора и основные линейные операции над ними.
Вектором называется всякая величина, обладающая
направлением. Скалярной величиной, или скалярном, называется величинами, не
обладающая направлением. Над векторми производяться действия, называемые
сложением, вычитанием и умножением векторов. Эти действия имеют много общих
свойств с алгебраическими действиями сложения, вычитания и умножения. Поэтому
учение о действиях над векторами называется векторной алгеброй.
Двойным векторным произведением называеться
выражение вида:
Двойное векторное произведение есть вектор,
комплонарный с векторами b и c; оно выражаеться через векторы b и c следующим
образом:
Глава 1. Векторы и основные линейные
операции над ними
.1 Векторные величины
В отличие от скалярной величины, которую можно
задать одним числом и отложить на некоторой шкале (отсюда и название -
«скалярная») - площадь, объём, температура - векторную величину, или просто
вектор, можно задать с помощью числа и некоторого направления (скорость, сила).
Итак, мы можем сказать, что вектор 
- это
величина, которая характеризуется числом, совпадающим с длиной отрезка 
, и
направлением, совпадающим с направлением луча 
(рис. 1).
При этом длину вектора обозначают 
, 
или ещё 
. Длину
вектора также называют модулем этого вектора. Векторы 
и 
называют
равными, если совпадают их длины и направления.
Векторы и называют
противоположными, если их длины равны, а направления противоположны. Заметим,
что при этом начало вектора можно поместить в любой точке пространстве. Такие
векторы называют свободными.
Если начало и конец вектора
совпадают, то такой вектор называется нулевым (
). Направление нулевого вектора не
определено.
Умножение вектора на скаляр
Определение 1. Произведением вектора
на число 
называется
такой вектор 
, что 
, а
направление его совпадает с направлением вектора , если >0, и ему
противоположно, если <0; если 
или 
, то 
.
Ясно, что векторы и 
(если 
) можно
поместить на одной прямой (рис.2). Вектор 
, очевидно, является противоположным
вектору .
Определение 2. Два ненулевых вектора
и , лежащих на
одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
1.2 Единичный вектор
Определение 3. Вектор 
, длина
которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом. Если задан
некоторый вектор (
), то всегда
можно подобрать множитель , такой,
чтобы после умножения на него длина вектора была бы равна единице. Очевидно, что
в качестве такого числа нужно взять 
. Тогда 
, и при этом
называется
единичным вектором, соответствующим вектору , или ортом вектора . Очевидно,
что направление единичного вектора всегда совпадает с направлением вектора . Ясно
также, что 
.
Точно так же единичный вектор 
,
направление которого совпадает с направлением оси 
, называется
ортом оси , или её единичным
вектором.
Сложение векторов
Определение 4. Суммой векторов и ,
расположенных так, что начало вектора совпадает с концом вектора , называется
вектор , начало
которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора 
. (правило
треугольника - рис. 2 а).
При этом пишут: 
. Аналогично
определяется сумма n векторов
.
А именно: суммой называют вектор 
,
проведённый из начала первого в конец последнего вектора, при условии, что
начало вектора 
совпадает с
концом вектора 
, начало
вектора 
совпадает с
концом вектора 
и т.д.
(правило многоугольника - рис. 3.б).
Замечание. Если на векторах и построить
параллелограмм, поместив их начало в общую точку, то сумма 
будет
лежать на диагонали параллелограмма, выходящего из общего начала векторов и (правило
параллелограмма - рис. 2 , в).
) 
- поглощение нулевого вектора
) 
- перестановочное, или
коммутативное
) 
- сочетательное, или ассоциативное.
Для всякого ненулевого вектора 
существует
противоположный вектор -
, такой, что
.
Вычитание векторов
Определение 5. Вектор называется
разностью векторов и , т.е. 
, если 
. Отсюда
следует, что 
т.е.
вычитание векторов сведено к сложению (рис. 4). Нетрудно заметить, что разность
век-торов лежит на второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах и ,
проведённой из конца вектора -
в конец вектора .
Глава 2. Векторное произведение и
его свойства
.1 Определение векторного
произведения
Определение. Векторным произведением
ненулевых
векторов и называется
такой вектор , который
удовлетворяет трём условиям:
. 
, т.е. длина вектора 
численно
равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
. Вектор перпендикулярен
плоскости, в которой лежат векторы и .
. Тройка , , - правая
(рис.5)
Если хотя бы один из векторов и нулевой, то
по определению 
. Заметим,
что иногда векторное произведение двух векторов и обозначается символом 
.
Свойства векторного произведения
. 
.
Это очевидно, так как при
перестановке векторов изменится ориентация тройки.
. Свойство сочетательности
относительно скалярного множителя:
.
(без доказательства)
. Распределительное свойство
относительно сложения векторов :
.
.
Следствие. .
То есть скобки можно раскрывать, как
при обыкновенном умножении, не переставляя местами множители (без
доказательства).
. Необходимое и достаточное условие
коллинеарности двух ненулевых векторов
Теорема. Для того, чтобы два
ненулевых вектора и были
коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы
равно нулю.
Доказательство. Необходимость. Пусть
векторы и коллинеарны,
тогда они лежат на одной прямой, следовательно, 
=> 
. Значит, 
Достаточность. Пусть векторное
произведение . Так как 
, 
, то значит , т.е. 
или 
, а это
означает, что векторы и b
коллинеарны.
Замечание. Заметим, что если два
вектора 
и 
коллинеарны,
то существует такое число , при
котором 
, т.е.
=> 
.
Итак, мы доказали, что если два
вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
. Векторное произведение векторов,
заданных своими координатами
Заметим, что 
. Далее
очевидно, что
, 
, 
, 
, 
, 
.
и 
.
. Механический смысл векторного
произведения
Если сила 
поворачивает
тело вокруг оси 
, то момент 
силы , как
известно, равен 
(рис.5).
Пример 1.
Найти площадь треугольника с вершинами в
точках(-1,1,2), B(2,3,3) и C(1,2,-1);
. Найти единичный вектор, перпендикулярный к
плоскости, в которой лежат точки A,B и C.
Решение.
1. 
, 
= 
=
.
Площадь треугольника равна половине
площади параллелограмма, построенного на векторах и 
,
следовательно 
.
. В силу определения векторного
произведения вектора 
, два
вектора
удовлетворяют поставленной задаче
(рис. 7).
Глава 3. Двойное векторное
произведение
Определение. Двойным векторным произведением
трёх ненулевых векторов 
, 
и 
называется 
; если хотя
бы один из векторов , или равен нулю,
то 
.
Итак, мы видим, что двойное
векторное произведение представляет собою векторную величину. Заметим, что
объекты типа часто
встречаются в физике и механике. Выведем простую форму для вычисление двойного
векторного произведения.
Итак, допустим, что нам известны
координаты векторов, т.е.
вектор скаляр
произведение тождество
, , 
.
Вычислим .
Обозначим 
, 
.
Очевидно, что нас интересует вектор 
. Известно,
что вектор выражается
через координаты векторов и так:
,
, 
, 
.
В свою очередь, аналогично
.
Подставим в правую часть этого
равенства полученные выражения для 
, 
и 
и, кроме того, выполним
искусственное преобразование, добавив и отняв к правой части выражения 
, 
, 
. Получим:
Итак, получили: 
.
Отметим, что справа в скобках стоят
числа, равные скалярным произведениям 
и 
; они являются коэффициентами
линейной комбинации векторов и , через которые выражается двойное
векторное произведение . Нетрудно
заметить, что двойное векторное произведение представляет собою вектор, который
лежит в той же плоскости, что и вектора и , т.е. векторы , и компланарны.
Остановимся теперь на вычислении
выражения 
, которое,
вообще говоря, также является двойным векторным произведением. Действительно:
т.е. представляет собою вектор, лежащий
в одной плоскости с векторами и . Очевидно также, что 
.
Другие свойства двойного векторного
произведения нетрудно проанализировать, принимая во внимание свойства
скалярного и векторного произведения.
Доказать тождество Лагранжа
.
Решение
;
;
. Доказать формулу
Решение
Следовательно:
.
Что и требовалось доказать.
Пример 1. Доказать тождество Якоби:
.
Имеем
,
,
.
Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.
Пример 2. Показать, что точки А (1,2,1), В
(3,3,3), С (4,1,2) и D (5,4,5) лежат в одной плоскости.
Решение. Найдем координаты векторов , 
и 
.
(2,1,2), (3,-1,1), (4,2,4).
Если точки А, В, С и D лежат в одной
плоскости, то и векторы лежат в одной плоскости (рис. 2.8.1), а тогда смешанное
произведение этих векторов равно нулю.
Действительно,
(, ,) = 
= 0,
т.к. первая и вторая строки
определителя пропорциональны.
Пример 2. Доказать, что векторы 
, 
и 
линейно
зависимы и найти эту линейную зависимость.
(,,)=
=0,
следовательно, векторы , и компланарны,
а значит, они линейно зависимы, т.е. существуют константы , 
и 
такие, что ++=0, т.е. (
+ 
+
)+(3+ 4 +
) + (
+2-3)=, откуда
следует: (+ 3 + )+ (+ 4 + 2) + (2+ -3)=, т.к. , , - базисные
векторы, то имеем такую систему для нахождения , и :
Здесь выступает в качестве параметра, и
данная система имеет бесчисленное множество решений. Подставим 
, 
в указанную
выше линейную комбинацию: 
. Сократим
на 
. Получим
искомую линейную зависимость 
.
Заключение
Двойное векторное произведение играют
существенную роль и в других науках, таких, как физика, электротехника; в
действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного
(числового) описания явлений.
Список использованной литературы
1. Александров
П.С., Лекции по аналитической геометрии.- М.: Наука, 1968-912 с.
2. Беклемишев
Д.В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1971 - 328
с.
. Гусак
А.А., Гусак Г.М., Бричникова Е.А. Справочник по высшей математике. - М.:
ТетраСистемс, 1999- 640 с.
. Мусхелишвили
Н.И., Курс аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1967- 655 с.