Вычисление модулей гладкости

Вычисление модулей гладкости

1. Вспомогательные леммы

Будем говорить, что , если для  функция  измерима на отрезке  и , а для функция  непрерывна на отрезке  и .

Будем также говорить, что, если , причем .

Дляи данных чисел  и  введем оператор обобщенного сдвига  по правилу:

)        для ,

+

)        для ,

)        для ,

)        для , , где

.

. Пусть заданы числа ,  и  такие, что , . Пусть числа  выбраны по правилу:

)        если , то  при

)        если , то  и  при ,  при , при

)        если , то  и  при ,  при , при

)        если , то  и  при  и  при ,  и  при .

Тогда

,

где положительная постоянная  не зависит от  и .

Лемма 2. Пусть  и . Тогда

Доказательство. Пусть

1)     

Сделаем замену переменной . Тогда

)        ,

Сделаем замену переменных

,

тогда

,

)        ,

Сделаем замену переменной

Тогда

где

Сделаем еще замену переменных

Тогда

,

Далее замена переменной

Тогда

,

Сделав замену переменных

Получим

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Если функцияимеет абсолютно непрерывную  ( производную на каждом отрезке , тогда при фиксированном  функция  также имеет абсолютно непрерывную  производную на каждом отрезке

Доказательство. Пусть . Выберем произвольный отрезок . На нем имеем:

 1)

Функции  и  абсолютно непрерывны на  и так как  а  то в силу строгой монотонности  на  и , строгой монотонности  на  и  и строгой монотонности ,  строго монотонна на  и , а  строго монотонна на  и . В силу теоремы: пусть абсолютно непрерывная функция, заданная на отрезке  строго возрастает. Если, абсолютно непрерывна на , то функция , абсолютно непрерывна на  (если  строго убывает доказательство не меняется) функция

абсолютно непрерывна на каждом из отрезков  и , а

абсолютно непрерывна на  и . А поскольку  и непрерывны на . Поскольку сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель не обращается в нуль, абсолютно непрерывных функций абсолютно непрерывны, то  абсолютно непрерывна на .

)

Пусть

Как и в случае 1) доказывается, что  абсолютно непрерывна на . Так как по теореме Лагранжа о среднем

,

то  при любых . Тогда по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла при фиксированном  на отрезке  существует конечная производная

В силу абсолютной непрерывности  на  также абсолютно непрерывна на . 3) и 4) разбираются также как и 2).

б) 1)

В силу абсолютной непрерывности  и  на каждом отрезке рассуждая как и в случае а) 1) получаем, что  абсолютно непрерывна на

) ,

Таким образом,  также абсолютно непрерывна на  и воспользовавшись как и в случае а) 2) теоремой Лебега о предельном переходе под знаком интеграла получим, что  абсолютно непрерывна на  и в этом случае.

)        и 4) разбираются также как и 2). Для произвольного доказывается индукцией по .

Черезобозначим множество таких функций , что ,  имеет абсолютно непрерывную  производную на каждом отрезке  и где

Тогда . Действительно,

Сделав замену переменной  имеем

где .

Лемма 4. Пусть  Тогда

)        для почти всех  и почти всех  справедливы равенства:

а)

б)

) для почти всех  и для любых

а) ,

где

б)

)        если , то для почти всех  и для любых

Лемма 9.  и

 (4)

Доказательство: Из Леммы 8 следует, что . Далее применим индукцию по.

)        . Ясно, что функция

абсолютно непрерывна на каждом отрезке  и поскольку

 то

для почти всех .

)        Предположим  и

. Тогда имеем:

где .

Так как

и по предположению  имеет  производную, абсолютно непрерывную на каждом , то и  абсолютно непрерывна на любом отрезке . На основании 1) и предположения индукции имеем

Лемма 9 доказана.

Для  рассмотрим оператор

,

где

Пусть  и

Лемма 10. Пусть ,  и числа  выбраны по правилу Леммы 7. Тогда для и  выполнено равенство:

 (5)

Доказательство: Применим индукцию по

)        . Из равенства (4) Леммы 9 при  следует, что

И поскольку , то для  имеем .

Поэтому

.

По Лемме 9 имеем, что . Применив Лемму 6, получим

2)      Предположим

Так же как и при доказательстве равенства (4) при  получаем, что

 (6)

Из Лемм 1, 3 и 9 следует, что . Поэтому пользуясь предположением индукции, Леммой 4. 2) б) и Леммой 6. 1) имеем:

На основании индукции Лемма 10 доказана.

Лемма 11. Пусть , ,  выбраны по правилу Леммы 7. Тогда, если , то

 и

 (7)

Доказательство: То, что  следует из Лемм 10, 9, 1 и 3. Из равенства (5), Леммы 4. 2) б) и равенства (4) следует, что

Лемма 11 доказана.

2. Теоремы Джексона для к-го обобщенного модуля гладкости

Для  и данных чисел  введем - функционал по формуле:

Теорема 1. Пусть заданы числа ,  и  такие, что , . Пусть числа  выбраны по правилу:

) если , то  при

) если , то  и  при ,  при , при

Тогда для  справедливы неравенства:

где положительные постоянные  и  не зависят от  и .

Доказательство:

для любой функции. По Лемме 1 , где положительная постоянная  не зависит от  и . Если , то в силу Леммы 7

,

где положительная постоянная  не зависит от  и .

Поэтому . Для доказательства правого неравенства рассмотрим функцию

где .

Так как  имеет  абсолютно непрерывную производную на каждом , то применяя Теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла (так же как и при доказательстве случая 2) Леммы 3), Лемму 4. 1) б), обобщенное неравенство Минковского и Лемму 1 имеем для  и при

Так как  представляет собой сумму произведений , то

и применяя равенство (7) Леммы 11 имеем

Поскольку для

где положительные постоянныеине зависят от , то

где

с другой стороны

Так как

то учитывая, что

имеем:

Из Леммы 4. 3) получаем

Поэтому из равенства (8) и неравенства (****) следует, что

Таким образом для

Пусть

Тогда , а для  имеем:

Итак для любого

Теорема 1 доказана.

Пусть заданы натуральные числа  и  Известно, что функция  есть четный тригонометрический полином порядка  Функция , где

обладает для  и  свойствами:

)        ,

где положительная постоянная не зависит от

Лемма 12. Если , то

есть алгебраический многочлен степени не выше, чем .

Обозначим через  наилучшее приближение функции  при помощи алгебраических многочленовстепени не выше, чем , в метрике , то есть

Лемма 13. Пусть ,  и .

Тогда

Доказательство: Пусть. Положим

Для фиксированного  подберем  так, что . По Лемме 12  есть алгебраический многочлен степени не выше, чем . Используя обобщенное неравенство Минковского, неравенство (3) при  и свойство 2)  имеем:

Пусть

Поскольку любой многочлен можно представить в виде линейной комбинации многочленов Якоби, то

Положим

Тогда из (9) следует

=

поскольку

Таким образом

Лемма 13 доказана.

Следствие. Пусть  и . Тогда

Доказательство: Применяя неравенство (10)  раз получаем

Следствие доказано.

Лемма 14. Пусть  алгебраический полином степени не выше, чем , , . Тогда справедливы неравенства:

где положительная постоянная  не зависит от .

Теорема 2. Пусть даны числа ,  и  такие, что , . Пусть числа  выбраны по правилу Теоремы 1Тогда для справедливы неравенства:

где положительные постоянные  и  не зависят от  и

Доказательство: Пусть . Для любой функцииможем записать

По следствию

Переходя к точной нижней грани по всем , получим

и по теореме 1

Таким образом первое неравенство теоремы доказано. Докажем второе.

Пусть  алгебраический многочлен наилучшего приближения для  степени не выше, чем . Пусть . Из теоремы 1 следует, что

Так как  то используя равенство типа Маркова

где  многочлен степени , которое сразу следует из Леммы 14, получаем:

Отсюда с учетом (11) имеем

Теорема 2 доказана.

. Вычисление модулей гладкости для некоторых функций

По определению

где

Пусть . Тогда обобщенный оператор обобщенного сдвига  имеет вид:

Т.к. , то окончательно получаем:

Сделаем замену переменных . Тогда

Т.к. , то . Тогда

2. Найти модуль гладкости 2-го порядка для функции

Найдем

Поскольку , то и  и  и достаточно рассмотреть случай . Тогда

+

Заключение

Для  - периодических функций хорошо известны прямая и обратная теоремы теории приближений, которые можно записать в виде неравенств:

где  - наилучшее приближение непрерывной  или интегрируемой в  - й степени  функции  при помощи тригонометрических полиномов порядка не выше, чем  в метрике ,  -  - й модуль гладкости  в метрике  и положительные постоянные  и  не зависят от  и .

При рассмотрении непериодических функций уже не удается получить такие же связи, как неравенства , между модулями гладкости функции и ее наилучшими приближениями алгебраическими многочленами. В данной дипломной работе были получены аналоги неравенств , где обычный модуль гладкости заменен обобщенным модулем гладкости. Такие обобщенные модули гладкости были определены при помощи операторов обобщенного сдвига. В ходе выполнения дипломной работы были рассмотрены вспомогательные леммы и с помощью них доказаны аналоги неравенств  для обобщенных модулей гладкости.

лемма гладкость полином модуль