Резисторные цепи

Резисторные цепи

Дистанционный тур краевого форума «Молодежь и наука»

«Резисторные цепи»

«Физика и познание мира»

Исследовательская работа

Суханова Ольга Андреевна

Руководитель Петунин В.М., доцент кафедры САУ, СибГАУ

Научный руководитель Петунин Владимир Михайлович, доцент кафедры САУ, СибГАУ 2214198

Ответственный за корректуру текста работы Петунин Владимир Михайлович, доцент кафедры САУ, СибГАУ

Г. Красноярск

«Резисторные цепи»

Руководитель: Петунин Владимир Михайлович, доцент кафедры САУ, СибГАУ

Цель работы: введение в процесс анализа и синтеза электрических цепей базовых понятий математики с целью расширения межпредметных связей, углубления понимания проблемы, и нахождения новых методов решения проблем.

Методы и методики, используемые в работе: теоретический, аналитический

Полученные данные: при анализе свойств электрических цепей и последующем синтезе конкретных устройств на их основе с успехом были применены знания из многих разделов математики.

Выводы: простейшие резисторные цепи имеют важное практическое значение. Знание их свойств и методов расчета необходимо при решении задач электротехники.

Введение

В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с устройствами, либо являющимися элементами электрической цепи либо содержащими в себе электрические цепи. К основным элементам электрических цепей относятся источники и потребители электрической энергии [1]. Важное свойство потребителей - пропорциональность между силой тока и падением напряжения описывается законом Ома и моделируется элементом «сопротивление». Специальные элементы, ограничивающие ток в электрической цепи, называются резисторами. Электрические цепи характеризуются значениями силы тока и напряжения на отдельных ее участках. Расчет электрической цепи, направленный на определение этих значений, называется ее анализом и часто строится на основе эквивалентных преобразований - замене нескольких сопротивлений одним (общим). Такие замены возможны для последовательного и параллельного соединений сопротивлений. Рассчитать общее сопротивление для смешанного соединения сопротивлений сложнее, а иногда и невозможно.

Разработка электрической цепи с заданными свойствами - синтез электрической цепи задача более сложная и неоднозначная. Умение выполнять эти процедуры всегда было востребовано при изучении школьного курса физики, на конкурсах и олимпиадах школьников различного уровня и лежит в основе профессиональной деятельности специалистов в области электротехники и электроники [3, 4, 5, 6, 7, 8].

В этой работе исследуется возможность применения базовых понятий математики, таких как различные средние нескольких величин, симметрия, золотое сечение и прогрессия к задачам анализа и синтеза электрических цепей. В работе вводятся новые термины: резисторный квадрат, резисторный прямоугольник, резисторное тело и электрическая симметрия.

Основная часть работы

Резисторная цепь - несколько резисторов, соединенных проводниками. Соединения резисторов бывают:

·        Последовательное соединение - это соединение, при котором конец одного резистора соединяется с началом другого.

·        Параллельное соединение - это соединение, при котором к одной паре узлов электрической цепи присоединены несколько резисторов.

·        Последовательно-параллельное соединение - это соединение, при котором резисторы соединены сначала последовательно, а затем параллельно.

·        Параллельно-последовательное соединение - соединение, при котором резисторы сначала соединены параллельно, а последовательно.

Свойства резисторных цепей можно изучать, оценивая соотношение сопротивлений резисторов и цепи. Сопротивление - одно из свойств резистора, модель его электрических свойств, рассчитываемое по формуле

.

Формулы расчета общего сопротивления были выведены на уроках физики в 8 классе.

·        При последовательном соединении общее сопротивление рассчитывается по формуле

.

Если все сопротивления одинаковые, то

·        При параллельном соединении общее сопротивление рассчитывается по формуле

,

где

Если все сопротивления одинаковые, то

Для двух параллельно соединенных резисторов их общее сопротивление равно:

. Если ,

то

Свойство последовательного и параллельного соединения резисторов рассмотрим на примере цепей, собранных из двух резисторов, сопротивления которых относятся как золотое сечение

, где .

Несколько слов о числе фи. Число  обладает следующими свойствами:

Из этих резисторов можно собрать 4 разных цепи.

1.      В цепь включен только первый нагреватель

.        В цепь включен только второй нагреватель

.        В цепь включены оба нагревателя последовательно

.        В цепь включены оба нагревателя параллельно

Найдем сопротивления этих цепей.

- сопротивление первого нагревателя

- сопротивление второго нагревателя

- последовательно соединенные первый и второй нагреватели.

-параллельно соединенные первый и второй нагреватели.

Сопротивления этих 4 цепей образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Так как ,, а напряжение постоянно, то и мощности образуют геометрическую прогрессию со знаменателем. Это свойство можно использовать при проектировании электроплитки с 4 позициями (значениями) мощности, образующими геометрическую прогрессию.

Электрическая схема плитки будет выглядеть так:

Рисунок 1. Электрическая плита

Состояния контактов, обеспечивающих заданный ряд мощностей, показаны в следующей таблице (+ означает замкнутый контакт)

Цепи с последовательно-параллельным и параллельно-последовательным включением резисторов.

Цепи с последовательно-параллельным включением резисторов состоят из нескольких параллельно включенных ветвей, которые содержат произвольное количество последовательно включенных резисторов (Рисунок ?).

Рисунок 2

Простейшая цепь такого вида состоит из четырех резисторов.

Рисунок 3

Цепи с параллельно-последовательным включением резисторов являются последовательным соединением нескольких групп параллельно включенных резисторов.

Рисунок 4

Резисторный прямоугольник

Резисторный прямоугольник - это особое соединение, при котором число последовательно (параллельно) включенных сопротивлений во всех группах цепи одинаково.

Пользуясь формулами общего сопротивления при последовательном и параллельном соединении, можно вывести формулу для нахождения сопротивления резисторного прямоугольника

,

где n - число резисторов в строке, m - число строк. В резисторном квадрате число строк и резисторов в них одинаково. Для квадрата числа n,m равны, следовательно, его сопротивление будет равно R.

Симметрия резисторной цепи

Для некоторых резисторных цепей присуще свойство симметрии. Резисторные цепи могут обладать привычной для нас геометрической симметрией, например, рассмотренные ранее спаянные из проволоки квадрат, куб, или резисторный шестиугольник с диагоналями. Наряду с этим, резисторные цепи могут обладать и электрической симметрией. Под электрической симметрией мы будем понимать способность электрической цепи сохранять свое сопротивление при добавлении в нее нескольких резисторов произвольного сопротивления.

Если такую схему собрать из одинаковых резисторов, например, спаять из четырех одинаковых проволочек, то получится резисторный квадрат (Резисторный квадрат 1).

Рисунок 5. Резисторный квадрат 1

Изобразим эту схему в виде резисторного квадрата.

Рисунок 6. Резисторный квадрат 2

Сопротивление этих схем останется прежним и в том случае, если схема цепи потеряет геометрическую симметрию (геометрическая деформация схемы).

Сопротивление этих схем одинаково, несмотря на то, что вторая содержит диагональ из низкоомной проволоки (изменение числа элементов схемы).

Это позволяет говорить о новом виде симметрии, электрической симметрии.

Под симметрией общего вида мы будем понимать свойство объекта сохранять некоторые свои характеристики под воздействием некоторых возмущений.

Определим условия, при которых резисторная цепь обладает электрической симметрией. Рассмотрим цепь, представленную на Рисунке? И содержащую резисторы разного сопротивления.

Рисунок 7

Через диагональ AB ток не течет, если напряжение, приложенное к диагонали равно нулю.

Напряжения U2 и U1 будут равны, если выполняется такая пропорция

,

а наш проволочный четырехугольник будет обладать электрической симметрией: включение в диагональ AB резистора с любым сопротивлением не изменяет общего сопротивления цепи.

Смешанные соединения

Все остальные соединения можно считать смешанными. Среди таких схем также можно найти геометрическую и/или электрическую симметрию. Например, проволочный куб, резисторная правильная пирамида.

Найдем общее сопротивление проволочного куба с одинаковыми сопротивлениями ребер относительно вершин, расположенных на главной диагонали. Воспользовавшись геометрической и электрической симметрией. Из геометрической симметрии следует, что потенциалы вершин A,B,C и D,E,F равны. Объединяем эти тройки узлов (Проволочный куб 1).

Рисунок 8. Проволочный куб 1

Получаем привычную для нас схему.

Рисунок 9

Рассчитываем общее сопротивление куба, ранее рассмотренными методами.

Аналогично рассмотрим пирамиду, в основании которой лежит правильный шестиугольник.

Рисунок 10. Резисторная пирамида 1

На данном Рисунке 10 представлена модель такой резисторной пирамиды.

Рисунок 11. Резисторная пирамида 2

Проведем ось симметрии через точки G и K, разделив для этого два резистора пополам.

Рисунок 12. Резисторная пирамида 3

На основании электрической симметрии потенциалы в точках A и C, F и D, G,H и K, равны, и они могут быть объединены.

Рисунок 13. Резисторная пирамида 4

Используя данную схему, можно рассчитать общее сопротивление пирамиды. В виду симметричность схемы можно рассмотреть только одну ее часть.

; ; ;

Нарисовать схему из тетрадки и доказать ее электрическую симметричность.

Трансатлантический кабель

Задача. Чему равна сила тока, потребляемого от источника напряжение 1 вольт Трансатлантическим кабелем, разомкнутым на конце.

Для решения этой задачи необходимо знать входное сопротивление Трансатлантического кабеля. Для нахождения этого сопротивления составим модель кабеля.

Модель электрических свойств такого кабеля состоит из моделей его отдельных частей. Моделью маленького отрезка провода будем считать его сопротивление . А моделью изолятора вокруг этого малого отрезка - R. Модель кусочка кабеля будет состоять из двух отрезков провода и кусочка изолятора. На Рисунке 13 представлена модель всего Трансатлантического кабеля. Чем короче мы выбираем отрезок, тем модель будет точнее. В идеале нужно взять бесконечное множество очень коротких отрезков. Если сопротивление двух проводов мы обозначим как Rлинии, то тогда r = Rлинии/n, где n - число участков, а значит один участок провода -. А тогда если сопротивление всего изолятора будет Rизолятора, то сопротивление

На данном рисунке представлена модель Трансатлантического кабеля.

Рисунок 14. Трансатлантический кабель 1

Упростим эту модель, заменив каждую пару  на r.

Рисунок 15. Трансатлантический кабель 2

Построим расчет входного сопротивления кабеля (Rвхода) на том, что оно не изменится, если к кабелю добавить еще одно звено, так как таких звеньев бесконечно много.

Расчетная схема выглядит так.

Рисунок 16. Трансатлантический кабель 3

Входное сопротивление этой схемы остается прежним.

;

;

Перейдем обратно к замене r и R на rлинии и Rизолятора соответственно, но обозначим rлинии как rr, а Rизолятора как RR.

;.

Таким образом, мы получили, что общее сопротивление Трансатлантического кабеля есть среднее геометрическое сопротивления линии и сопротивления изолятора.

Выводы

резисторный цепь электрический симметрия

1.      В работе на целом ряде примеров показано конкретное практическое применение простейших цепей.

.        Рассмотрены свойства простейших электрических цепей с применением базовых терминов математики, таких как, арифметическая и геометрическая прогрессия, арифметическое, гармоническое и геометрическое средние.

.        Особое внимание было уделено понятию симметрии. При решении задачи о Трансатлантическом кабеле был рассмотрен новый вид геометрической симметрии - трансляционная симметрия.

.        Введено понятие электрической симметрии. Отмечены ее особенности и полезность при решении наших задач.

.        В дальнейшем предполагается дополнить список базовых терминов понятиями аликвотные дроби, цепная дробь, алгоритм Евклида, второй замечательный предел, показательная функция.

Список литературы

1.      Жеребцов И. П. Электрические и магнитные цепи. Основы электротехники. - 2-е изд., перераб. и доп. - Л.: Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1987.     - 256 с.: ил.

.        Тарасов Л. В. Симметрия в окружающем мире. Учебное пособие для школьников - М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»» Издательство «Мир и Образование», 2005. - 256с.: ил.

.        Сергеев И. Н., Олехник С. Н., Гашков С. В. Примени математику. - М.: Наука. Гл. ред. Физ. - мат. лит., 1989. - 240 с.

.        Гиэдинг П., Хоньек Д., Райли К. Двести интригующих физических задач. Перевод с англ. - М.: Бюро Квантум, Техносфера, 2005. - 272 с. (Библиотечка «Квант», Вып. 90)

.        Наумчик В. Н. Физика. Решение задач повышенной сложности. Мн.: «Мисанта», 2003. - 320 с.

.        Бакунов М. И., Бирогов С. Б. Олимпиадные задачи по физике. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 154 с.

.        Задачи московских физических олимпиад. / Под ред. С. С. Кротова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1988. - 192 с. (Библиотечка «Квант», Вып. 60)

.        Слинкина Т.А., Чернышова Л. И. Задачи физических олимпиад: Учеб. Пособие для абитуриентов и студентов. - Красноярск : САА, 1994. - 42 с.