Механика материалов конструкции

Механика материалов конструкции

Исходные данные

Параметры нагружения:

Линейные размеры:

Угловые размеры:

Жёсткости:

Характеристики материала:

Постановка задачи:

Стержневая система, моделирующая конструкцию робота-манипулятора, нагружена сосредоточенными силами  и , приложенными к захвату (точка М) и распределённой нагрузкой , действующей на стержень 1.

Предполагается, что усилие в стержне 3 вызывает его растяжение (сжатие), остальные элементы конструкции находятся в условиях поперечного изгиба.

Упругие свойства приводов моделируются пружинами с линейной жёсткостью  - в точке C, и угловой жёсткостью  - в точке O.

Определить:

-Размеры поперечных сечений стержней из расчёта на прочность.

-Деформации элементов конструкции, а также линейные  и угловое  перемещения захвата.

Построить матрицу податливости системы, характеризующую влияние нагружения захвата на его линейные перемещения с помощью интеграла Мора и сравнить полученный результат с результатом вычислений графами. Решение:

1. Уравнения равновесия для определения реакций связей.

Разбиваем систему на отдельные тела и составим для них уравнения статики в базовой системе координат oyz.

Для первого тела:

где

сечение стержень деформация захват

Для второго тела:

Для третьего тела:

Для ползуна:

2. Распределение изгибающих моментов для стержней 1, 2

Перепроектируем силы на локальные оси координат, связанные со стержнями 1 и 2. При этом определяем составляющие в точках О, А, М, направленные вдоль осей  и  (растяжением/сжатием данных стержней пренебрегаем):

Проекция сил, приложенных к точке O, на ось  (см. рис. 2):

Проекция сил, приложенных к точке A, на ось  (см. рис. 2):

Проекция сил, приложенных к точке A, на ось  (см. рис. 3):

Проекция сил, приложенных к точке M, на ось  (см. рис. 3):

Определим распределение изгибающих моментов для стержня 1 по рис. 6, рассматривая равновесие левой от сечения 1 части стержня.

Определим распределение изгибающих моментов для стержня 3 по рис. 7, рассматривая равновесие левой от сечений 2, 3 частей стержня.

Здесь функция Хевисайда ,

Далее построим эпюры изгибающих моментов для стержней 1, 2 и определим наибольшие по модулю значения моментов для каждого из этих стержней (см. по программе).

. Расчёт на прочность стержней 1, 2, 3

Условие при расчёте на прочность при поперечном изгибе имеет вид:

, где

 - момент сопротивления сечения,  - допускаемое напряжение.

Примем, что изгибающиеся стержни 1 и 2 имеют прямоугольное сечение с размерами  и  (ширинавысота). При чём геометрические размеры этих сечений определяются из следующих соотношений:

, .

, где

 - момент инерции сечения.

,

,

Условие при расчёте на прочность при растяжении/сжатии имеет вид:

, где

Учитывая, что для второго стержня , имеем:

Примем, что стержень 3 имеет сечение в форме кольца с диаметром  и толщиной стенки . Задаваясь толщиной стенки , определим диаметр из соотношения

.

4. Определение деформаций упругих тел

Для определения упругих перемещений точек стержня 1 воспользуемся моделью изгиба стержня с заделкой в точке O.

Дифференциальное уравнение изгиба первого стержня в общем виде:

Дважды проинтегрировав, получим:

Постоянные интегрирования  и  определим из граничных условий для данной модели изгиба:

Получим .

Очевидно, перемещение точки А, связанное с изгибом стержня 1 равно

Для второго стержня в качестве расчётной модели примем изгиб двухопорной балки с шарнирными закреплениями в точках B и A.

Дифференциальное уравнение изгиба третьего стержня в общем виде:

Дважды проинтегрировав, получим:

Постоянные интегрирования  и  определим из граничных условий для данной модели изгиба:

Получим

.

Очевидно, перемещение точки M, связанное с изгибом стержня 2 равно

Растяжение/сжатие третьего стержня рассчитывается как .

Необходимо учесть также соотношения для упругой силы линейной пружины:

, где

 - линейное перемещение точки С по оси y.

и для упругого момента угловой пружины:

, где  - угловое перемещение локальной системы координат oy₁z₁.

. Определение линейных и угловых перемещений элементов системы

В соответствии с графом , кинематические соотношения для линейных перемещений точек и угловых перемещений тел имеют вид: (по рис. 1, 8):

Здесь

 и  - вектора линейных перемещений точки M захвата и точки О соответственно,

 - вектор линейного перемещения точки М, связанный с деформацией стержня 2,

 - вектор линейного перемещения точки А, связанный с деформацией стержня 1,

,  - угловые перемещения локальных систем координат oy₁z₁ и oy₂z₂.

В проекциях на базовые оси координат получим:

Аналогичное соотношение для графа  имеет вид:

Здесь

 - вектор линейного перемещения точки С,

 - вектор линейного перемещения точки B, связанный с деформацией стержня 3,

 - угловое перемещение стержня 3.

Проектируя векторные соотношения, получим:

Выражения для  получаем при перепроектировании соответствующих относительных (локальных) перемещений из локальных систем координат в базовую.

Угловое перемещения захвата М определим так:

Получили систему уравнений 1 - 20 замкнутую относительно следующих неизвестных (20 параметров):

Решим полученную систему уравнений, выразив неизвестные через параметры .

Теперь, положив  вычислим деформации элементов конструкции при заданных исходных нагрузках.

Получим:

Также требуется вычислить деформации при .

. Расчёт матрицы податливости

Рассчитаем матрицу податливости через интеграл Мора, для чего убираем все внешние нагрузки и прикладываем единичную силу вдоль оси y (первое нагружение, т.е. решаем систему уравнений статики для значений ).

Снова убираем все внешние нагрузки и прикладываем единичную силу вдоль оси z (второе нагружение, т.е. решаем систему уравнений статики для значений ).

Величины , рассчитанные для второго нагружения будем обозначать индексом 2, например .

Элементы матрицы податливости рассчитываются следующим образом:

Из формул нетрудно видеть, что матрица податливости  должна быть симметричной и иметь на главной диагонали только положительные элементы.

Вычислив, получим:

Аналогичный результат можно получить, исследуя решение системы уравнений 1 - 20. Если в выражениях для линейных перемещений точки М  (см. программу) положить , то матрица коэффициентов перед ,  и будет матрицей податливости системы.

Приложение

Расчёт в математическом пакете Maple 9.0

> restart;

> Heaviside(0):=0:

> # Уравнения равновесия для определения реакций связей:

> sys_stat:=

> Y[A]+Y[O]+a*r[1]^2/2*cos(theta[1]-pi/2),

> Z[A]+Z[O]+a*r[1]^2/2*sin(theta[1]-pi/2),

> M[upr]+r[1]*R[Oy[1]]+a*r[1]^3/3,

> P[y]-Y[A]+R[B]*cos(theta[3]),

> P[z]-Z[A]+R[B]*sin(theta[3]),

> -2*r[2]*P[z]*cos(pi-theta[2])-2*r[2]*P[y]*sin(pi-theta[2])+[2]*R[B]*cos(theta[2]-pi/2-theta[3]),

> R[B]=R[C],

> N[C]-R[C]*sin(theta[3]),

> F[upr]-R[B]*cos(theta[3]);

> # Распределение изгибающих моментов для стержней 1,2:

> # Перепроектируем силы на локальные оси координат:

> R[Oy[1]]:=Y[O]*cos(theta[1]-pi/2)+Z[O]*sin(theta[1]-pi/2);

> R[Ay[1]]:=Y[A]*cos(theta[1]-pi/2)+Z[A]*sin(theta[1]-pi/2);

> R[Ay[2]]:=-Y[A]*cos(theta[2]-pi/2)-Z[A]*sin(theta[2]-pi/2);

> P[y[2]]:=P[y]*cos(theta[2]-pi/2)+P[z]*sin(theta[2]-pi/2);

> # Уравнения изгибающих моментов при рассмотрении равновесия левой части для каждого из изгибающихся стержней:

> M[x[1]]:=M[upr]+z[1]*R[Oy[1]]+a*z[1]^3/6;

> M[x[3]]:=R[B]*z[2]*cos(theta[2]-pi/2-theta[3])+(z[2]-r[2])*R[Ay[2]]*Heaviside(z[2]-r[2]);

> # Исходные данные:

> pi:=Pi:

k:=1.36*10**5;

c:=2.743392*10**4;:=2.*10**11;[max]:=2.*10**8;[1]:=0.82;[2]:=0.45;[3]:=0.98;[1]:=1.6;[2]:=2.9;[3]:=0.4;

> # Решение уравнений статики:

> solve({sys_stat},{Y[A],Z[A],Y[O],Z[O],N[C],M[upr],F[upr],R[B],R[C]});

> assign(%);

> # Построим эпюры изгибающих моментов:

> P[y]:=118;

P[z]:=236;:=472;

> plot(M[x[1]],z[1]=0..r[1],color=blue,thickness=3,title="Эпюра изгибающих моментов \n для первого стержня");

> plot(M[x[3]],z[2]=0..3*r[2],color=blue,thickness=3,title="Эпюра изгибающих моментов \n для второго стержня");

> # Расчёт на прочность стержней 1,2,3:

> # Определим наибольшие параметры нагружения:

> maxM[1]:=maximize(abs(M[x[1]]),z[1]=0..r[1]); # [Н*м]

> maxM[3]:=maximize(abs(convert(M[x[3]],piecewise)),z[2]=0..3*r[2]); # [Н*м]

> # Определим параметры сечений:

> sys_sech:=

> h[1]/b[1]=2.18,

> h[2]/b[2]=2.18,

> b[1]*h[1]^2/6=maxM[1]/sigma[max],

> b[2]*h[2]^2/6=maxM[3]/sigma[max],

> F[3]=maxP[3]/sigma[max];

> fsolve({sys_sech},{h[1],b[1],h[2],b[2],F[3]});

> assign(%);

> # Выберем в качестве третьего стержня трубу с толщиной стенки 0.05 мм диаметром d[3]:

> d[3]=solve(F[3]=0.05*10**(-3)*Pi*d[3],d[3]); # [м]

> # Моменты инерции сечений:

> Ix[1]:=b[1]*h[1]^3/12; # [м^4]

> Ix[2]:=b[2]*h[2]^3/12; # [м^4]

> # Определение деформаций упругих тел:

> # Выберем в качестве модели изгиба для 1-го стержня задеку в точке O, а для 2-го стержня - двухопорную балку с шарнирами в точках A и B.

> unassign('a','P[y]','P[z]');

> V[1]:=convert(1/E/Ix[1]*int(int(M[x[1]],z[1]),z[1])+_C[1]*z[1]+_C[2],piecewise):

> V[2]:=convert(1/E/Ix[2]*int(int(M[x[3]],z[2]),z[2])+_C[3]*z[2]+_C[4],piecewise):

> # Начальные условия для 1-го и 2-го стержней соответственно:

> cond[1]:=eval(V[1],z[1]=0)=0,eval(diff(V[1],z[1]),z[1]=0)=0:

> cond[2]:=eval(V[2],z[2]=0)=0,eval(V[2],z[2]=r[2])=0:

> solve({cond[1]},{_C[1],_C[2]});

> assign(%);

> solve({cond[2]},{_C[3],_C[4]});

> assign(%);

> # Построим графики моделей изгибов для первого и третьего стержней соотвественно:

> plot(subs(a=472, P[y]=118, P[z]=236, V[1]),z[1]=0..r[1],color=blue,thickness=3, title="Форма изгиба первого стержня");

> plot(subs(a=472, P[y]=118, P[z]=236, V[2]),z[2]=0..3*r[2],color=blue,thickness=3, title="Форма изгиба второго стержня");

> # Уравнения перемещений точек для неизвестных:

> params:=[

> D_M[y],D_M[z],D_C[y],

> D_theta[1],D_theta[2],D_theta[3],Theta[M],

> dBy(3),dBz(3),

> dAy(1),dAz(1),

> dMy(2),dMz(2)];

> # Выразим решение через a, P[y] и P[z].

> sys_graph:=

> F[upr]=-k*D_C[y],

> M[upr]=-c*D_theta[1],

> D_M[y]=dAy(1)+dMy(2)-D_theta[1]*r[1]*sin(theta[1])-2*D_theta[2]*r[2]*sin(theta[2]),

> D_M[z]=dAz(1)+dMz(2)+D_theta[1]*r[1]*cos(theta[1])+2*D_theta[2]*r[2]*cos(theta[2]),

> D_M[y]=D_C[y]+dBy(3)+dMy(2)-D_theta[3]*r[3]*sin(theta[3]+pi)-3*D_theta[2]*r[2]*sin(theta[2]),

> D_M[z]=dBz(3)+dMz(2)+D_theta[3]*r[3]*cos(theta[3]+pi)+3*D_theta[2]*r[2]*cos(theta[2]),

> 

> # Перепроектируем локальные перемещения:

> dBy(3)=-R[B]*r[3]/E/F[3]*cos(theta[3]),

> dBz(3)=-R[B]*r[3]/E/F[3]*sin(theta[3]),

> dAy(1)=eval(V[1],z[1]=r[1])*cos(theta[1]-pi/2),

> dAz(1)=eval(V[1],z[1]=r[1])*sin(theta[1]-pi/2),

> dMy(2)=eval(V[2],z[2]=3*r[2])*cos(theta[2]-pi/2),

> dMz(2)=eval(V[2],z[2]=3*r[2])*sin(theta[2]-pi/2),

> Theta[M]=D_theta[2]-eval(diff(V[2],z[2]),z[2]=3*r[2]):

> SLV:=solve({sys_graph},

> convert(params,set));

> # Вычислим деформации элементов конструкции при исходных нагрузках (a=472, P[y]=118, P[z]=236):

> # Вычислим деформации элементов конструкции при нагрузках (a=0, P[y]=118, P[z]=236):

> subs(a=0, P[y]=118, P[z]=236,SLV);

> assign(SLV);

> # Расчёт матрицы податливости:

> # Вычислим матрицу податливости через интеграл Мора:

> # Первое нагружение (a=0, P[y]=1, P[z]=0):

> M[x[1],1]:=subs(a=0, P[y]=1, P[z]=0, M[x[1]]);

> M[x[3],1]:=subs(a=0, P[y]=1, P[z]=0, M[x[3]]);

> M[upr,1]:=subs(a=0, P[y]=1, P[z]=0, M[upr]);

> F[upr,1]:=subs(a=0, P[y]=1, P[z]=0, F[upr]);

> R[B,1]:=subs(a=0, P[y]=1, P[z]=0, R[B]);

> # Второе нагружение(a=0, P[y]=0, P[z]=1):

> M[x[1],2]:=subs(a=0, P[y]=0, P[z]=1, M[x[1]]);

> M[x[3],2]:=subs(a=0, P[y]=0, P[z]=1, M[x[3]]);

> M[upr,2]:=subs(a=0, P[y]=0, P[z]=1, M[upr]);

> F[upr,2]:=subs(a=0, P[y]=0, P[z]=1, F[upr]);

> R[B,2]:=subs(a=0, P[y]=0, P[z]=1, R[B]);

> # Вычислим коэффициенты матрицы податливости:

> G:=matrix(2,2,[delta[11],delta[12],delta[21],delta[22]]);

> delta[11]:='1/E/Ix[1]*int(M[x[1],1]^2,z[1]=0..r[1])+1/E/Ix[2]*int(M[x[3],1]^2,z[2]=0..3*r[2])+R[B,1]^2*r[3]/E/F[3]+M[upr,1]^2/c+F[upr,1]^2/k';

> delta[12]:='1/E/Ix[1]*int(M[x[1],1]*M[x[1],2],z[1]=0..r[1])+1/E/Ix[2]*int(M[x[3],1]*M[x[3],2],z[2]=0..3*r[2])+R[B,1]*R[B,2]*r[3]/E/F[3]+M[upr,1]*M[upr,2]/c+F[upr,1]*F[upr,2]/k';

> delta[22]:='1/E/Ix[1]*int(M[x[1],2]^2,z[1]=0..r[1])+1/E/Ix[2]*int(M[x[3],2]^2,z[2]=0..3*r[2])+R[B,2]^2*r[3]/E/F[3]+M[upr,2]^2/c+F[upr,2]^2/k';

> delta[21]:='delta[12]';

> delta[11]:=simplify(evalf(delta[11]));

> delta[12]:=simplify(evalf(delta[12]));

> delta[21]:=simplify(evalf(delta[21]));

> delta[22]:=simplify(evalf(delta[22]));

> 'G'=convert(G,Matrix);

> # Выражения для линыейных перемещений точки М:

> 'D_M[y]'=D_M[y];

> 'D_M[z]'=D_M[z];

> # Положив в них a=0, получим:

> 'D_M[y]'=subs(a=0,D_M[y]);

> 'D_M[z]'=subs(a=0,D_M[z]);

> # Матрица коэффициентов перед P[y] и P[z]:

> G:=lhs(simplex[display]([D_M[y]=const,D_M[z]=const],[P[y],P[z]]));